2022-2023學年北京市順義牛欄山高二10月月考數(shù)學試題【含答案】

2022-2023學年北京市順義牛欄山高二10月月考數(shù)學試題一、單選題1．已知向量，，則（

）A． B． C． D．A【分析】根據(jù)空間向量線性運算的坐標表示求解.【詳解】∵，∴故選：A.2．已知，，是不共面的三個向量，則下列各組向量中能構(gòu)成空間的一個基底的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，C【分析】根據(jù)基底向量的概念結(jié)合共面向量的結(jié)論分析判斷.【詳解】∵，，是不共面的三個向量對A：∵，則，，共面，不能作為基底向量，A錯誤；對B：∵，則，，共面，不能作為基底向量，B錯誤；對C：顯然不存在實數(shù)，使得成立，則，，不共面，可以作為一組基底向量，C正確；對D：∵，則，，共面，不能作為基底向量，D錯誤；故選：C.3．2022年北京冬奧會于2月4日開幕，某高中為了解本校學生收看開幕式的平均時長（單位：分鐘），采用樣本量比例分配的分層隨機抽樣，分別抽取了男生60人、女生40人，其平均收看時長分別為120分鐘和90分鐘，據(jù)此估計本校全體學生的平均收看時長為（

）A．90分鐘 B．105分鐘 C．108分鐘 D．120分鐘C【分析】根據(jù)平均數(shù)公式計算可得；【詳解】解：依題意估計本校全體學生的平均收看時長為（分鐘）故選：C4．以下數(shù)據(jù)為參加數(shù)學競賽決賽的15人的78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，則這15人成績的第80百分位是（

）A．90 B．90.5 C．91 D．91.5B【分析】由樣本數(shù)據(jù)第80百分位的定義以及求解步驟直接求解即可得出答案.【詳解】把成績按從小到大的順序排列為：56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，因為15×80%＝12，所以這15人成績的第80百分位是.故選：B.本題考查了樣本數(shù)據(jù)百分位數(shù)的計算，屬于基礎(chǔ)題.5．袋內(nèi)有大小相同的3個白球和2個黑球，從中不放回地摸球，用表示“第一次摸到白球”，用表示“第二次摸到白球”，用表示“第一次摸到黑球”則下列說法正確的是（

）A．與為互斥事件 B．與為對立事件C．與非相互獨立事件 D．與為相互獨立事件C根據(jù)互斥事件和相互獨立事件的概念逐一判斷即可.【詳解】與可以同時發(fā)生但是不放回的摸球第一次對第二次有影響，所以不為互斥事件，也非相互獨立事件；與可以同時發(fā)生所以不是對立事件；與，第一次摸到白球與第一次摸到黑球一定不能同時發(fā)生，不是相互獨立事件.故選：C.本題考查互斥事件和相互獨立事件的概念，是基礎(chǔ)題.6．甲?乙?丙?丁四位同學將代表高一年級參加校運會米接力賽，教練組根據(jù)訓練情況，安排了四人的交接棒組合.已知該組合三次交接棒失誤的概率分別是，，，假設(shè)三次交接棒相互獨立，則此次比賽中該組合交接棒沒有失誤的概率是（

）A． B． C． D．C【分析】根據(jù)獨立事件概率的乘法公式直接計算即可.【詳解】由題意，三次交接棒不失誤的概率分別為，，，則該組合交接棒不失誤的概率為.故選：C.7．記動點P是棱長為1的正方體的對角線上一點，記．當為鈍角時，則的取值范圍為A． B． C． D．B【分析】建立空間直角坐標系，利用∠APC不是平角，可得∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0，即

，從而可求λ的取值范圍．【詳解】由題設(shè)，建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz，

則有A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），（0，0，1）

∴

=（1，1，-1），∴

=（λ，λ，-λ），

∴

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（1，0，-1）=（1-λ，-λ，λ-1）

=

+

=（-λ，-λ，λ）+（0，1，-1）=（-λ，1-λ，λ-1）

顯然∠APC不是平角，所以∠APC為鈍角等價于cos∠APC＜0

∴

∴（1-λ）（-λ）+（-λ）（1-λ）+（λ-1）（λ-1）=（λ-1）（3λ-1）＜0，得

＜λ＜1

因此，λ的取值范圍是（

，1），故選B.

點評：本題考查了用空間向量求直線間的夾角，一元二次不等式的解法，屬于中檔題．8．如圖為某年6月份北京空氣質(zhì)量指數(shù)歷史數(shù)據(jù)折線圖，以下結(jié)論不正確的是（

）指數(shù)數(shù)值與等級水平表：指數(shù)0～5051～100101～150151～200201～300等級一級優(yōu)二級良三級輕度污染四級中度污染五級重度污染六級嚴重污染A．6月份空氣質(zhì)量為優(yōu)的天數(shù)為8天B．6月份連續(xù)2天出現(xiàn)中度污染的概率為C．6月份北京空氣質(zhì)量指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的眾數(shù)為160D．北京6月4至7日這4天的空氣質(zhì)量逐漸變好C【詳解】選項A：6月份空氣質(zhì)量為優(yōu)的有7、8、11、12、13、18、19、30共8天，說法正確，排除A；選項B：6月份連續(xù)2天出現(xiàn)中度污染的為（24、25）和（28、29）這兩組，說法正確，排除B；選項C：6月份北京空氣質(zhì)量指數(shù)歷史數(shù)據(jù)的眾數(shù)為42，出現(xiàn)3次，而160僅出現(xiàn)2次，所以眾數(shù)不是160，說法錯誤，選C；選項D：北京6月4至7日這4天的數(shù)據(jù)依次為81、71、68、42，所以這四天的空氣質(zhì)量逐漸變好的說法正確，排除D；故選：C9．在棱長為2的正方體中，是棱上一動點，點是面的中心，則的值為（

）A．4 B． C．2 D．不確定A【分析】畫出圖形，建立空間直角坐標系，用向量法求解即可【詳解】如圖，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標系，因為正方體棱長為2，點是面的中心，是棱上一動點，所以，，，故選：A10．有很多立體圖形都體現(xiàn)了數(shù)學的對稱美，其中半正多面體是由兩種或兩種以上的正多邊形圍成的多面體，半正多面體因其最早由阿基米德研究發(fā)現(xiàn)，故也被稱作阿基米德體.如圖，這是一個棱數(shù)為24，棱長為的半正多面體，它的所有頂點都在同一個正方體的表面上，可以看成是由一個正方體截去八個一樣的四面體所得.若點為線段上的動點，則直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為（

）A． B． C． D．C【分析】將半正多面體補成正方體并建立空間直角坐標系，確定相關(guān)點坐標，設(shè)，利用向量夾角的坐標表示及二次函數(shù)性質(zhì)求所成角的余弦值的取值范圍.【詳解】將半正多面體補成正方體，建立如圖所示的空間直角坐標系.因為半正多面體的棱長為，故正方體的棱長為所以，.設(shè)，則.所以.令，則，因為，所以.故直線與直線所成角的余弦值的取值范圍為.故選：C二、填空題11．已知是直線的方向向量，是直線的方向向量．若直線，則________．【分析】由，則，從而可得出的值，得出答案.【詳解】由，則由，則，解得所以故12．某電子商務公司對10000名網(wǎng)絡(luò)購物者2014年度的消費情況進行統(tǒng)計，發(fā)現(xiàn)消費金額（單位：萬元）都在區(qū)間內(nèi)，其頻率分布直方圖如圖所示．（Ⅰ）直方圖中的_________；（Ⅱ）在這些購物者中，消費金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為_________．（Ⅰ）3；（Ⅱ）6000．【詳解】由頻率分布直方圖及頻率和等于1可得，解之得．于是消費金額在區(qū)間內(nèi)頻率為，所以消費金額在區(qū)間內(nèi)的購物者的人數(shù)為：，故應填3；6000．本題考查頻率分布直方圖，屬基礎(chǔ)題．13．如圖所示平行六面體中，，則___________.【分析】在平行六面體中，由空間向量可得，對其兩邊平方，再根據(jù)空間向量的數(shù)量積公式，即可求得，由此即可求出結(jié)果.【詳解】在平行六面體中，所以，所以14．饕餮紋是青銅器上常見的花紋之一，最早見于長江中下游地區(qū)的良渚文化陶器和玉器上，盛行于商代至西周早期．將青銅器中的饕餮紋的一部分畫到方格紙上，如圖所示，每個小方格的邊長為一個單位長度，有一點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，且向右或向下跳是等可能的，那么點經(jīng)過3次跳動后恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為_________．【分析】先利用列舉法得到共8種不同的跳法，再利用概率公式求解即可．【詳解】點從點出發(fā)，每次向右或向下跳一個單位長度，則有（右，右，右），（右，右，下），（右，下，右），（下，右，右），（右，下，下），（下，右，下），（下，下，右），（下，下，下），共8種不同的跳法（線路），符合題意的只有（下，下，右）這1種，所以3次跳動后，恰好是沿著饕餮紋的路線到達點的概率為．故．三、雙空題15．如圖，棱長為2的正方體中，是棱的中點，點在正方體的表面及其內(nèi)部運動，且.則（1）所有滿足條件的點構(gòu)成的圖形的面積為__________；（2）的最小值為___________.

1【分析】取AD中點E，AB中點F，連接MD、、EF、、，根據(jù)射影定理，可證、，進而可證平面，即可得P點的運動軌跡，分別求得等腰梯形各個邊長，代入公式，即可得答案；如圖建系，求得各點坐標，即可得坐標，根據(jù)點到面距離的向量求法，代入公式，計算即可得答案.【詳解】取AD中點E，AB中點F，連接MD、、EF、、，如圖所示：因為平面，所以MD即為MC在平面內(nèi)的射影，因為M、E分別為中點，所以，所以，則，所以，根據(jù)射影定理可得，同理為MC在平面內(nèi)的射影，且，所以，又E、F分別為AD、AB中點，所以，所以四點共面，所以平面，因為，則平面，所以P點的軌跡即為平面，在等腰梯形中，，不妨將等腰梯形取出畫成平面圖，過E、F分別作EG、FH垂直，如下圖所示：所以，所以，所以等腰梯形的面積，所以所有滿足條件的點構(gòu)成的圖形的面積為；由題意可得，當平面時，MP有最小值，即求點M到平面的距離，分別以為x，y，z軸正方向建系，如下圖所示則，所以因為平面，所以即為平面的法向量，所以點M到平面的距離，所以的最小值為1四、解答題16．如圖，在底面為菱形的平行六面體中，分別在棱上，且，且．(1)用向量表示向量；(2)求證：共面；(3)當為何值時，．(1)(2)證明見解析(3)1【分析】（1）根據(jù)空間向量線性運算法則計算可得；（2）根據(jù)空間向量線性運算法則得到，即可證明共面；（3）設(shè)，因為底面為菱形，則當時，，由，即可得出答案.【詳解】(1)．(2)證明：，，，共面．(3)當，，證明：設(shè)，底面為菱形，則當時，，，，，，．17．在體育知識有獎問答競賽中，甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)籃球知識的問題，已知甲答題正確的概率是，乙答題錯誤的概率是，乙、丙兩人都答題正確的概率是，假設(shè)每人答題正確與否是相互獨立的．(1)求丙答題正確的概率；(2)求甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率．(1)(2)【分析】（1）設(shè)丙答對這道題的概率為，利用對立事件和相互獨立事件概率公式，即可求解；（2）由相互獨立事件概率乘法公式，即可求解.【詳解】(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件，設(shè)丙答對題的概率，乙答對題的概率，由于每人回答問題正確與否是相互獨立的，因此是相互獨立事件.根據(jù)相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式，得，解得，所以丙對這道題的概率為(2)甲、丙都答題錯誤，且乙答題正確的概率為甲、乙、丙三人都回答錯誤的概率為18．如圖，在長方體，，，點在上，且.(1)求直線與所成角的余弦值；(2)求二面角的余弦值.(1)(2)【分析】（1）由題意，建立空間直角坐標系，寫出對應點的坐標，表示出向量，利用向量的夾角公式代入計算即可得兩直線所成的角；（2）由（1）表示出，

求解平面的法向量為，又因為平面的一個法向量為，代入向量的夾角公式計算，再由圖可判斷二面角的平面角為銳角，即可得余弦值.【詳解】(1)以為原點，的方向分別為軸，軸，軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系，則，所以，所以.所以直線與所成角的余弦值為.(2)因為.設(shè)平面的法向量為，則得，顯然是平面的一個法向量.因為，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.19．某學校需要從甲、乙兩名學生中選一人參加數(shù)學競賽，抽取了近期兩人次數(shù)學的成績，統(tǒng)計結(jié)果如下表：第一次第二次第三次第四次第五次甲的成績(分)乙的成績(分)(1)若從甲、乙兩人中選出一人參加數(shù)學競賽，你認為選誰合適?請說明理由.(2)若數(shù)學競賽分初賽和復賽，在初賽中有兩種答題方案：方案一：每人從道備選題中任意抽出道，若答對，則可參加復賽，否則被淘汰.方案二：每人從道備選題中任意抽出道，若至少答對其中道，則可參加復賽，否則被潤汰.已知學生甲、乙都只會道備選題中的道，那么你推薦的選手選擇哪種答題方條進入復賽的可能性更大?并說明理由.（1）見解析；（2）選方案二【分析】（1）可以用兩種方法決定參賽選手,方法一：先求平均數(shù)再求方差，根據(jù)成績的穩(wěn)定性決定選手；方法二：從統(tǒng)計的角度看，看甲乙兩個選手獲得以上(含分)的概率的大小決定選手；（2）計算出兩種方案學生乙可參加復賽的概率，比較兩個概率的大小即得解.【詳解】(1)解法一：甲的平均成績?yōu)?；乙的平均成績?yōu)?，甲的成績方差；乙的成績方差為；由于，，乙的成績較穩(wěn)定，派乙參賽比較合適，故選乙合適.解法二、派甲參賽比較合適，理由如下：從統(tǒng)計的角度看，甲獲得以上(含分)的概率，乙獲得分以上(含分)的概率因為故派甲參賽比較合適，(2)道備選題中學生乙會的道分別記為，，，不會的道分別記為，.方案一：學生乙從道備選題中任意抽出道的結(jié)果有：，，，，共5種，抽中會的備選題的結(jié)果有，，，共3種.所以學生乙可參加復賽的概率.方案二：學生甲從道備選題中任意抽出道的結(jié)果有，，，，，，，，，，共種，抽中至少道會的備選題的結(jié)果有：，，，，，，共種，所以學生乙可參加復賽的概率因為，所以學生乙選方案二進入復賽的可能性更大.本題主要考查平均數(shù)和方差的計算，考查古典概型的概率的計算和決策，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.20．如圖，在四棱錐中，平面，底面為平行四邊形，，.點在上，且平面.(1)證明：；(2)求的值；(3)求點到平面的距離.(1)證明見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)平面，，平面，得到，再利用線面垂直的判定定理證明；（2）取中點，連接，由（1）得四邊形為菱形，進而得到，則兩兩互相垂直，建立空間直角坐標系，設(shè)，其中，由求解；（3）由（2）知，再求得平面的一個法向量為，由求解.【詳解】(1)解：因為平面，平面ACM，所以.因為平面，平面ABCD，所以，又，所以平面.又平面PBD，所以.(2)取中點，連接.由（1）得四邊形為菱形，所以.因為，所以.因為兩兩互相垂直，以為原點，的方向分別為軸?軸?軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標系.則，，，.所以.設(shè)，，其中.所以.因為平