2022-2023學(xué)年上海市上海大學(xué)附屬嘉定高級中學(xué)高二年級上冊學(xué)期開學(xué)考試數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年上海市上海大學(xué)附屬嘉定高二上學(xué)期開學(xué)數(shù)學(xué)試題一、單選題1．若a，b是異面直線，直線，則c與b的位置關(guān)系是（

）A．相交 B．異面 C．平行 D．異面或相交D通過反證法的思想，可以判斷出選項正誤.【詳解】若a，b是異面直線，直線，則c與b不可能是平行直線．否則，若，則有，得出a，b是共面直線．與已知a，b是異面直線矛盾，故c與b的位置關(guān)系為異面或相交，故選：D2．三個互不重合的平面把空間分成六個部分時，它們的交線有（

）A．1條 B．2條 C．3條 D．1條或2條D【分析】畫圖可得，當三個平面兩兩相交或有兩個平面平行時滿足題意【詳解】

當三個平面兩兩相交（交線重合）或有兩個平面平行時滿足題意，由圖可得它們的交線有1條或2條，故選：D本題考查平面的基本性質(zhì).屬于基礎(chǔ)題.3．已知為兩條不同的直線，為兩個不同的平面，給出下列4個①若，則.

②若，則.③若，.

④若，則.其中真命題的序號為A．①② B．①④ C．③④ D．②③D【詳解】，則或與是異面直線，故①不正確；若，則垂直于中所有的直線，，過做一平面與交于，則所以.故②正確；若，則．這是直線和平面垂直的一個性質(zhì)定理，故③成立；，則，或相交，或異面．故④不正確，綜上可知②③正確，故選：D．4．二面角是直二面角，，，設(shè)直線與、所成的角分別為和，則（

）A． B．C． D．C【分析】先作出直線與、所成的角，由最小角定理可得：，即可判斷出.【詳解】如圖，作出，，連結(jié)BC，AD.因為二面角是直二面角，所以，所以為與所成的角.同理：為與所成的角.由最小角定理可得：．又，．故選：C．二、填空題5．在空間中，如果兩條直線沒有交點，那么這兩條直線的位置關(guān)系是___________.平行或異面【分析】根據(jù)空間中兩直線的位置關(guān)系即可判斷.【詳解】空間中的直線沒有公共點，則兩直線要么平行，要么是異面直線.故平行或異面6．已知正△ABC邊長為a，那么△ABC的平面直觀圖的面積為______．【分析】由直觀圖先求出，再求出高，即可求得面積.【詳解】如圖是△ABC和直觀圖，易知：，，在圖中作于，則，故.故答案為.7．若正四棱柱的底面邊長為2，高為4，則異面直線與所成角的余弦值是_________．【分析】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出異面直線BD1與AD所成角的余弦值．【詳解】以D為原點，DA為x軸，DC為y軸，DD1為z軸，建立空間直角坐標系，∵正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面邊長為2，高為4，∴B（2，2，0），D1（0，0，4），A（2，0，0），D（0，0，0），（﹣2，﹣2，4），（﹣2，0，0），設(shè)異面直線BD1與AD所成角為θ，則cosθ．∴異面直線BD1與AD所成角的余弦值為．故答案為．本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力、空間想象能力，考查函數(shù)與方程思想、數(shù)形結(jié)合思想，是基礎(chǔ)題．8．正方體中，棱長為分別是、的中點，是底面的中心，過作截面，則所得截面的面積為___________.【分析】連接，可證明，然后可得截面為梯形，然后求出其面積即可.【詳解】連接，因為分別是、的中點，所以，因為，所以，因為是的中點，所以過作截面，所得截面為梯形，因為正方體的棱長為，所以，，，所以梯形的高為，其面積為，故9．若圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則它的母線長和底面半徑的比值是__________．【詳解】試題分析：設(shè)圓柱的底面半徑為r,母線長為l，由題意r=l，∴本題考查了圓柱展開圖的性質(zhì)點評：掌握圓柱的性質(zhì)是解決此類問題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題10．在正方體中，是的中點，則直線與平面所成的角大小為___________（結(jié)果用反三角函數(shù)表示）.【分析】根據(jù)線面垂直利用幾何法確定線面角，進而根據(jù)銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】在正方體中，連接相交于點,連接,平面,平面,所以,又,平面,所以平面，因此為直線與平面所成角，,,所以在直角三角形,,所以故11．有下列四個①三點可以確定一個平面：②若一條直線垂直于平面內(nèi)的無數(shù)條直線，則該直線與平面垂直；③垂直于同一平面的兩條直線平行；④若直線a，b與直線c相交成等角，則.其中正確命題的序號是___________.③【分析】根據(jù)空間中點線面的位置關(guān)系以及平面的基本性質(zhì)即可求解.【詳解】空間中三個不共線的點可以確定一個平面，故①錯，若一條直線垂直于平面內(nèi)的任意一條直線，則該直線與平面垂直，故②錯，垂直于同一平面的兩條直線平行，故③對，若直線a，b與直線c相交成等角，則不一定平行，例如正方體中,與所成角均為直角，但不平行.，故④錯誤.故③12．如圖，六角螺帽毛坯是由一個正六棱柱挖去一個圓柱所構(gòu)成的．已知螺帽的底面正六邊形邊長為2cm，高為2cm，內(nèi)孔半徑為0.5cm，則此六角螺帽毛坯的體積是____cm3.【分析】先求正六棱柱體積，再求圓柱體積，相減得結(jié)果.【詳解】正六棱柱體積為圓柱體積為所求幾何體體積為故本題考查正六棱柱體積、圓柱體積，考查基本分析求解能力，屬基礎(chǔ)題.13．直線交平面于點，與所成角為上兩點到平面的距離分別為2?4，則長為___________.或【分析】由線面角以及銳角三角函數(shù)即可求解.【詳解】當在的同一側(cè)時(如圖),,由題意可知：,且,所以，同理：當在的兩側(cè)時，則,故，故或14．如圖，E、F分別為正方體的面ADD1A1、面BCC1B1的中心，則四邊形BFD1E在該正方體的面上的射影可能是下圖中的_______________.（要求：把可能的圖的序號都填上）②③【分析】根據(jù)圖像考慮上下平面，左右平面，前后平面的投影，對比選項得到答案.【詳解】根據(jù)圖像知：四邊形BFD1E在在上下平面的投影為②；在左右平面的投影為③，在前后平面的投影為②.故②③.三、解答題15．如圖，和是異面直線，分別為線段上的點，且，求和所成角的大小.【分析】在平面中，過作，交于，連接，證明，然后利用余弦定理解三角形可得和所成角的大小．【詳解】在平面中，過作，交于，連接，，，又，，則，即（或其補角）為和所成角，在中，，，，，所以，由于空間中兩直線的夾角的范圍為和所成角的大小為．16．如圖所示，在正方體中，分別是的中點.求證：(1)三線共點；(2)直線和直線是異面直線.(1)見解析(2)見解析【分析】（1）分別延長，交于點，由平面基本性質(zhì)知面．再由三角形中位線定理證明，，三線共點于．（2）由反證法以及線面平行的判定以及性質(zhì)即可得矛盾求解.【詳解】(1)分別延長，，交于點，，面，面．是的中點，，是的中點，連接，，的交點為線段AB的中點，即為E，，，三線共點于．(2)假如直線和直線不是異面直線，則存在一個平面，使得，由于在正方體中,,,因此,又因為平面,且平面,故,在正方形中，顯然不平行，故矛盾，因此假設(shè)不成立，即直線和直線是異面直線.17．已知邊長為1的正方形ABCD，沿BC旋轉(zhuǎn)一周得到圓柱體.（1）求圓柱體的表面積；（2）正方形ABCD繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)到，求與平面ABCD所成的角.（1）4π；（2）.【分析】（1）畫出示意圖，求出圓柱的母線長，利用表面積運算公式計算即可；（2）由已知可得平面，連接，則為與平面ABCD所成的角，解直角三角形即可.【詳解】（1）因為正方形的邊長為1，所以圓柱底面半徑，母線長為，則圓柱的表面積為.（2）因為正方形ABCD繞BC逆時針旋轉(zhuǎn)到，所以平面，連接因為平面，所以為與平面ABCD所成的角，又，，所以，，又，所以本題考查圓柱表面積及線面角的計算問題，考查學(xué)生空間想象能力，數(shù)學(xué)運算能力，是一道容易題.18．如圖，已知三棱柱的底面是正三角形，側(cè)面是矩形，M，N分別為BC，的中點，P為AM上一點，過和P的平面交AB于E，交AC于F.（1）證明：，且平面；（2）設(shè)O為的中心，若面，且，求直線與平面所成角的正弦值.（1）答案見解析；（2）【分析】（1）推導(dǎo)出，四邊形為矩形，，從而，由此能證明，又，即可得到平面．（2）推導(dǎo)出，從而，四邊形為平行四邊形，，，，直線在平面內(nèi)的投影為，從而直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，由此能求出直線與平面所成角的正弦值．【詳解】解：（1）證明：，分別為，的中點，底面為正三角形，四邊形是矩形，，，四邊形為矩形，，，，，，，，平面平面，綜上，，且平面．（2）解：三棱柱上下底面平行，平面與上下底面分別交于，，，面，面，面面，，四邊形為平行四邊形，是正三角形的中心，，，，，由（1）知直線在平面內(nèi)的投影為，直線與平面所成角即為等腰梯形中與所成角，在等腰梯形中，令，過作于，則，，，，直線與平面所成角的正弦值為．19．如下圖所示，在三棱錐P－ABC中，PA⊥底面ABC，PA＝AB，∠ABC＝60°，∠BCA＝90°，點D，E分別在棱PB，PC上，且DE∥BC.(1)求證：BC⊥平面PAC；(2)當D為PB的中點時，求AD與平面PAC所成的角的正弦值；(3)是否存在點E，使得二面角A－DE－P為直二面角？并說明理由．（1）見證明；（2）(3)見解析【分析】建立如圖所示的空間直角坐標系，（1）通過證明，再結(jié)合即可得結(jié)論；（2）結(jié)合（1）中的結(jié)論進一步說明是與平面所成的角，先通過向量夾角公式求出余弦值，再求正弦值；（3）由已知條件推導(dǎo)出為二面角的平面角，由此能推導(dǎo)出存在點使得二面角是直二面角．【詳解】以A為原點，，分別為y軸、z軸的正方向，過A點且垂直于平面PAB的直線為x軸，建立空間直角坐標系，設(shè)PA＝a，由已知可得：A(0,0,0)，B(0，a，0)，C，P(0,0，a)．(1)＝(0,0，a)，＝，∴＝0，∴⊥，∴BC⊥AP，又∵∠BCA＝90°，∴BC⊥AC，∴BC⊥平面PAC.(2)∵D為PB的中點，DE∥BC，∴E為PC的中點，∴D，E，∴由(1)知，BC⊥平面PAC，∴DE⊥平面PAC，垂足為點E，∴∠DAE是AD與平面PAC所成的角，∵＝，＝，∴cos∠DAE＝＝，∴AD與平面PAC所成的角的正弦值為.(3)