第五節(jié)-函數(shù)的極值與最大最小值課件

一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法1注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(P146例4)為極大點,是極大值

是極小值為極小點,

注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可2函數(shù)極值的求法費馬(fermat)引理----必要條件在駐點或者是連續(xù)不可導(dǎo)點中去尋找.因此尋求極值點的方法:注意:例如,函數(shù)極值的求法費馬(fermat)引理----必要條件在駐點3定理1

(極值第一判別法)(是極值點情形)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,定理1(極值第一判別法)(是極值點情形)且在空心鄰域內(nèi)有4求極值的步驟:(不是極值點情形)(1)給出定義域,并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)的駐點及連續(xù)不可導(dǎo)點;(2)考察這些點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號,從而確定極值點;(3)求出極值點的函數(shù)值,即為極值.求極值的步驟:(不是極值點情形)(1)給出定義域,并找出定義5例1.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令6定理2

(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則

在點

取極大值;則

在點

取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則7例2解圖形如下例2解圖形如下8第五節(jié)-函數(shù)的極值與最大最小值課件9注：運用第二充分條件求極值也有它的局限性.若?(x)在駐點這三個函數(shù)在x=0處就分別屬于這三種情況.從而當(dāng)只能用第一充分條件來判定處的二階導(dǎo)數(shù)?(x)在處可能有極大值,也可能有極小值,例如:也可能沒有極值.(只需點連續(xù)即可)注：運用第二充分條件求極值也有它的局限性.若?(x)在駐點這10例3.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例3.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得11例4例412定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當(dāng)為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當(dāng)充分接近時,上式左端正負(fù)號由右端第一項確定,故結(jié)論正確.證:利用在點的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時13例如,例3中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.

說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.例如,例3中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~14二、最大值與最小值問題

則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)最大值最小值----駐點和不可導(dǎo)點二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.15特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點處達(dá)到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個16例5.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:故函數(shù)在取最小值0;在取最大值.例5.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:故函數(shù)在取17求最大值。例6.

設(shè)是任意兩正數(shù)，滿足：解:設(shè)即求f(x)在(0,a)內(nèi)的最大值令得是區(qū)間唯一的駐點，故為區(qū)間(0,a)之間的最大值求最大值。例6.18(k

為某一常數(shù))例7.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應(yīng)如何選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,(k為某一常數(shù))例7.鐵路上AB段的距離為10019實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;20清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例8.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一,駐點又因此觀察者站在距離墻2.4m處看圖最清楚.問觀察者在距墻多遠(yuǎn)處看圖才最清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例8.21內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為0或不存在的點(2)第一充分條件過由正變負(fù)為極大值過由負(fù)變正為極小值(3)第二充分條件為極大值為極小值內(nèi)容小結(jié)1.連續(xù)函數(shù)的極值(1)極值可疑點:使導(dǎo)數(shù)為022最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;f(x)在某開區(qū)間或閉區(qū)間內(nèi)連續(xù)可導(dǎo)，若有唯一的極值點，則必最值點。2.連續(xù)函數(shù)的最值

在實際問題中，如果f(x)有唯一的駐點，則一般為最值點。最值點應(yīng)在極值點和邊界點上找;f(x)在23思考與練習(xí)1.設(shè)則在點a處().的導(dǎo)數(shù)存在,取得極大值;取得極小值;的導(dǎo)數(shù)不存在.B提示:利用極限的保號性.思考與練習(xí)1.設(shè)則在點a處().的導(dǎo)242.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo);(B)可導(dǎo),且(C)取得極大值;(D)取得極小值.D由保號性2.設(shè)在的某鄰域內(nèi)連續(xù),且則在點處(A)不可導(dǎo);(B25P452（3）.當(dāng)P452（3）.當(dāng)26一、函數(shù)的極值及其求法一、函數(shù)的極值及其求法27注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可能出現(xiàn)在導(dǎo)數(shù)為

0

或不存在的點.1)函數(shù)的極值是函數(shù)的局部性質(zhì).例如(P146例4)為極大點,是極大值

是極小值為極小點,

注意:為極大點為極小點不是極值點2)對常見函數(shù),極值可28函數(shù)極值的求法費馬(fermat)引理----必要條件在駐點或者是連續(xù)不可導(dǎo)點中去尋找.因此尋求極值點的方法:注意:例如,函數(shù)極值的求法費馬(fermat)引理----必要條件在駐點29定理1

(極值第一判別法)(是極值點情形)且在空心鄰域內(nèi)有導(dǎo)數(shù),(1)“左正右負(fù)”,(2)“左負(fù)右正”,定理1(極值第一判別法)(是極值點情形)且在空心鄰域內(nèi)有30求極值的步驟:(不是極值點情形)(1)給出定義域,并找出定義域內(nèi)所給函數(shù)的駐點及連續(xù)不可導(dǎo)點;(2)考察這些點兩側(cè)導(dǎo)函數(shù)的符號,從而確定極值點;(3)求出極值點的函數(shù)值,即為極值.求極值的步驟:(不是極值點情形)(1)給出定義域,并找出定義31例1.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令得得3)列表判別是極大點，其極大值為是極小點，其極小值為注意:函數(shù)的不可導(dǎo)點,也可能是函數(shù)的極值點.例1.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求極值可疑點令32定理2

(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則

在點

取極大值;則

在點

取極小值.證:(1)存在由第一判別法知(2)類似可證.定理2(極值第二判別法)二階導(dǎo)數(shù),且則33例2解圖形如下例2解圖形如下34第五節(jié)-函數(shù)的極值與最大最小值課件35注：運用第二充分條件求極值也有它的局限性.若?(x)在駐點這三個函數(shù)在x=0處就分別屬于這三種情況.從而當(dāng)只能用第一充分條件來判定處的二階導(dǎo)數(shù)?(x)在處可能有極大值,也可能有極小值,例如:也可能沒有極值.(只需點連續(xù)即可)注：運用第二充分條件求極值也有它的局限性.若?(x)在駐點這36例3.

求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得駐點3)判別因故為極小值;又故需用第一判別法判別.例3.求函數(shù)的極值.解:1)求導(dǎo)數(shù)2)求駐點令得37例4例438定理3

(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時,是極小點;是極大點.2)當(dāng)為奇數(shù)時,為極值點,且不是極值點.當(dāng)充分接近時,上式左端正負(fù)號由右端第一項確定,故結(jié)論正確.證:利用在點的泰勒公式,可得定理3(判別法的推廣)則:數(shù),且1)當(dāng)為偶數(shù)時39例如,例3中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~定理3)都是充分的.

說明:當(dāng)這些充分條件不滿足時,不等于極值不存在.例如:為極大值,但不滿足定理1~定理3的條件.例如,例3中所以不是極值點.極值的判別法(定理1~40二、最大值與最小值問題

則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.求函數(shù)最值的方法:(1)求在內(nèi)的極值可疑點(2)最大值最小值----駐點和不可導(dǎo)點二、最大值與最小值問題則其最值只能在極值點或端點處達(dá)到.41特別:

當(dāng)在內(nèi)只有一個極值可疑點時,

當(dāng)在上單調(diào)時,最值必在端點處達(dá)到.若在此點取極大值,則也是最大值.(小)

對應(yīng)用問題,有時可根據(jù)實際意義判別求出的可疑點是否為最大值點或最小值點.(小)特別:當(dāng)在內(nèi)只有一個42例5.

求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:故函數(shù)在取最小值0;在取最大值.例5.求函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值和最小值.解:故函數(shù)在取43求最大值。例6.

設(shè)是任意兩正數(shù)，滿足：解:設(shè)即求f(x)在(0,a)內(nèi)的最大值令得是區(qū)間唯一的駐點，故為區(qū)間(0,a)之間的最大值求最大值。例6.44(k

為某一常數(shù))例7.

鐵路上AB段的距離為100km,工廠C距A處20AC⊥

AB,要在AB線上選定一點D向工廠修一條已知鐵路與公路每公里貨運價之比為3:5,為使貨D點應(yīng)如何選取?20解:設(shè)則令得又所以為唯一的極小點,故AD=15km時運費最省.總運費物從B運到工廠C的運費最省,從而為最小點,問Km,公路,(k為某一常數(shù))例7.鐵路上AB段的距離為10045實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;實際問題求最值應(yīng)注意:(1)建立目標(biāo)函數(shù);(2)求最值;46清楚(視角最大)?觀察者的眼睛1.8m,例8.

一張1.4m高的圖片掛在墻上,它的底邊高于解:設(shè)觀察者與墻的距離為xm,則令得駐點根據(jù)問題的實際意義,觀察者最佳站位存在,唯一