2023屆湖南省長郡中學(xué)、衡陽八中等十三校重點中學(xué)數(shù)學(xué)高一上期末檢測試題含解析

2022-2023學(xué)年高一上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項1．考生要認(rèn)真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結(jié)束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．已知定義在R上的奇函數(shù)滿足：當(dāng)時，.則（）A.2 B.1C.-1 D.-22．下列各式正確是A. B.C. D.3．已知角的終邊經(jīng)過點，則的值為A. B.C. D.4．已知函數(shù)的圖象上關(guān)于軸對稱的點至少有3對，則實數(shù)的取值范圍是A. B.C. D.5．函數(shù)的減區(qū)間為（）A. B.C. D.6．若直線與圓相切，則的值是（）A.-2或12 B.2或-12C.-2或-12 D.2或127．函數(shù)的部分圖象如圖所示，將其向右平移個單位長度后得到的函數(shù)解析式為（）A. B.C. D.8．圓的半徑和圓心坐標(biāo)分別為A. B.C. D.9．已知是定義在上的奇函數(shù)，且，若對任意，都有成立，則的值為（）A.2022 B.2020C.2018 D.010．已知是上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，則當(dāng)時，（）A. B.C. D.11．表示集合中整數(shù)元素的個數(shù)，設(shè)，，則（）A.5 B.4C.3 D.212．中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示：在受噪聲干擾的信道中，最大信息傳遞速度取決于信道帶寬，信道內(nèi)信號的平均功率，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率的大小，其中叫做信噪比.當(dāng)信噪比比較大時，公式中真數(shù)中的1可以忽略不計.按照香農(nóng)公式，若不改變帶寬，而將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了（）附：A.10% B.20%C.50% D.100%二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．某醫(yī)藥研究所開發(fā)一種新藥，如果成年人按規(guī)定的劑量服用，據(jù)監(jiān)測，服藥后每毫升血液中的含藥量（微克）與時間（時）之間近似滿足如圖所示的圖象．據(jù)進(jìn)一步測定，每毫升血液中含藥量不少于0.25微克時，治療疾病有效，則服藥一次治療疾病有效的時間為___________小時．14．已知函數(shù)對任意不相等的實數(shù)，，都有，則的取值范圍為______.15．已知，且，則的值為______16．將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度得到函數(shù)的圖象，若使得，且的最小值為，則_________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．已知集合，.（1）求；（2）求.18．已知，求的值.19．在密閉培養(yǎng)環(huán)境中，某類細(xì)菌的繁殖在初期會較快，隨著單位體積內(nèi)細(xì)菌數(shù)量的增加，繁殖速度又會減慢．在一次實驗中，檢測到這類細(xì)菌在培養(yǎng)皿中的數(shù)量（單位：百萬個）與培養(yǎng)時間（單位：小時）的關(guān)系為：根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)畫出散點圖如下：為了描述從第小時開始細(xì)菌數(shù)量隨時間變化的關(guān)系，現(xiàn)有以下三種模型供選擇：①，②，③（1）選出你認(rèn)為最符合實際的函數(shù)模型，并說明理由；（2）利用和這兩組數(shù)據(jù)求出你選擇的函數(shù)模型的解析式，并預(yù)測從第小時開始，至少再經(jīng)過多少個小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬個20．已知實數(shù)，且滿足不等式.（1）解不等式；（2）若函數(shù)在區(qū)間上有最小值，求實數(shù)的值.21．求解下列問題：（1）已知，，求的值；（2）已知，求的值.22．（1）計算：（2）若，，求的值.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、D【解析】由奇函數(shù)定義得，從而求得，然后由計算【詳解】由于函數(shù)是定義在R上的奇函數(shù)，所以，而當(dāng)時，，所以，所以當(dāng)時，，故.由于為奇函數(shù)，故.故選：D.【點睛】本題考查奇函數(shù)的定義，掌握奇函數(shù)的概念是解題關(guān)鍵．2、D【解析】對于，，，故，故錯誤；根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，可知錯誤故選3、C【解析】因為點在單位圓上，又在角的終邊上，所以；則；故選C.4、D【解析】本題首先可以求出函數(shù)關(guān)于軸對稱的函數(shù)的解析式，然后根據(jù)題意得出函數(shù)與函數(shù)的圖像至少有3個交點，最后根據(jù)圖像計算得出結(jié)果【詳解】若，則，因為時，，所以，所以若關(guān)于軸對稱，則有，即，設(shè)，畫出函數(shù)的圖像，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)圖像的凹凸性可知對數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)在點處相交為臨界情況，即要使與的圖像至少有3個交點，需要且滿足，即，解得，故選D【點睛】本題考查的是函數(shù)的對稱性、對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，主要考查如何根據(jù)函數(shù)對稱性來求出函數(shù)解析式，考查學(xué)生對對數(shù)函數(shù)以及三角函數(shù)的圖像的理解，考查推理能力，考查數(shù)形結(jié)合思想，是難題5、D【解析】先氣的函數(shù)的定義域為，結(jié)合二次函數(shù)性質(zhì)和復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性的判定方法，即可求解.【詳解】由題意，函數(shù)有意義，則滿足，即，解得，即函數(shù)的定義域為，令，可得其開口向下，對稱軸的方程為，所以函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，即的減區(qū)間為.故選：D.6、C【解析】解方程即得解.【詳解】解：由題得圓的圓心坐標(biāo)為半徑為1，所以或.故選：C7、C【解析】由函數(shù)圖象求出、、和的值，寫出的解析式，再根據(jù)圖象平移得出函數(shù)解析式【詳解】由函數(shù)圖象知，，，解得，所以，所以函數(shù)；因為，所以，；解得，；又，所以；所以；將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度后，得的圖象，即故選：8、D【解析】半徑和圓心坐標(biāo)分別為,選D9、D【解析】利用條件求出的周期，然后可得答案.【詳解】因為是定義在上的奇函數(shù)，且，所以，所以，所以即的周期為4，所以故選：D10、B【解析】設(shè)，則，求出的解析式，根據(jù)函數(shù)為上的奇函數(shù)，即可求得時，函數(shù)的解析式，得到答案.【詳解】由題意，設(shè)，則，則，因為函數(shù)為上的奇函數(shù)，則，得，即當(dāng)時，.故選：B.【點睛】本題主要考查了利用函數(shù)的奇偶性求解函數(shù)的解析式，其中解答中熟記函數(shù)的奇偶性，合理計算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11、C【解析】首先求出集合，再根據(jù)交集的定義求出，即可得解；【詳解】解：因為，，所以，則，，，所以；故選：C12、B【解析】根據(jù)題意，計算出值即可；【詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，，因為所以將信噪比從1000提升至4000，則大約增加了20%，故選：B.【點睛】本題考查對數(shù)的運(yùn)算，考查運(yùn)算求解能力，求解時注意對數(shù)運(yùn)算法則的運(yùn)用.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】根據(jù)圖象先求出函數(shù)的解析式，然后由已知構(gòu)造不等式0.25，解不等式可得每毫升血液中含藥量不少于0.25微克的起始時刻和結(jié)束時刻，他們之間的差值即為服藥一次治療疾病有效的時間【詳解】解：當(dāng)時，函數(shù)圖象是一個線段，由于過原點與點，故其解析式為，當(dāng)時，函數(shù)的解析式為，因為在曲線上，所以，解得，所以函數(shù)的解析式為，綜上，，由題意有，解得，所以，所以服藥一次治療疾病有效的時間為個小時，故答案為：．14、【解析】首先根據(jù)題意得到在上為減函數(shù)，從而得到，再解不等式組即可.【詳解】由題知：對任意不相等的實數(shù)，，都有，所以在上為減函數(shù)，故，解得：.故答案為：【點睛】本題主要考查分段函數(shù)的單調(diào)性，同時考查了對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，屬于簡單題.15、【解析】根據(jù)同角的三角函數(shù)的關(guān)系，利用結(jié)合兩角和的余弦公式即可求出【詳解】，，，，，故答案為.【點睛】本題主要考查同角的三角函數(shù)的關(guān)系，兩角和的余弦公式，屬于中檔題.已知一個角的某一個三角函數(shù)值，便可運(yùn)用基本關(guān)系式求出其它三角函數(shù)值，角的變換是解題的關(guān)鍵16、【解析】根據(jù)三角函數(shù)的圖形變換，求得，根據(jù)，不妨設(shè)，求得，，得到則，根據(jù)題意得到，即可求解.【詳解】將函數(shù)的圖象向左平移個單位長度，可得，又由，不妨設(shè)，由，解得，即，又由，解得，即則，因為的最小值為，可得，解得或，因為，所以.故答案為：三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、（1）（2）【解析】（1）分別求兩個集合，再求交集；（2）先求，再求.【小問1詳解】，解得：，即，，解得：，即，；【小問2詳解】，.18、【解析】先根據(jù)條件求出，再將目標(biāo)式轉(zhuǎn)化為用表示，然后代入的值即可.詳解】由已知，所以由得19、（1），理由見解析；（2），至少再經(jīng)過小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬個【解析】（1）分析可知，所選函數(shù)必須滿足三個條件：（ⅰ）定義域包含；（ⅱ）增函數(shù)；（ⅲ）隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變?。畬Ρ热齻€函數(shù)模型可得結(jié)論；（2）將所選的兩點坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，求出參數(shù)值，可得出函數(shù)模型的解析式，再由，解該不等式即可得出結(jié)論.【小問1詳解】解：依題意，所選函數(shù)必須滿足三個條件：（?。┒x域包含；（ⅱ）增函數(shù)；（ⅲ）隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變小因為函數(shù)的定義域為，時無意義；函數(shù)隨著自變量的增加，函數(shù)值的增長速度變大函數(shù)可以同時符合上述條件，所以應(yīng)該選擇函數(shù)【小問2詳解】解：依題意知，解得，所以令，解得所以，至少再經(jīng)過小時，細(xì)菌數(shù)量達(dá)到百萬個20、（1）（2）【解析】分析：（1）由題意結(jié)合指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性可得，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性和函數(shù)的定義域可得不等式的解集為.（2），令，結(jié)合反比例函數(shù)性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)可得.詳解：（1）由題意得:，∴，∴，解得.（2），令，當(dāng)時，，，所以，所以.∵，∴的對數(shù)函數(shù)在定義域內(nèi)遞減，∴，∴.點睛：本題主要考查指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，換元法及其應(yīng)用等知識，意在