兩角及及差余弦公式證明

兩角及及差余弦公式證明兩角及及差余弦公式證明5/5兩角及及差余弦公式證明；兩角和與差的余弦公式的五種推導(dǎo)方法之比較沈陽(yáng)市教育研究院王恩賓兩角和與差的余弦公式是三角函數(shù)恒等變換的基礎(chǔ)，其余三角函數(shù)公式都是在此公式基礎(chǔ)上變形獲得的，所以兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)作為本章要推導(dǎo)的第一個(gè)公式，往往獲得了廣大教師的關(guān)注.關(guān)于不一樣樣版本的教材采納的方法常常不一樣樣，仔細(xì)意會(huì)各樣不一樣樣的兩角和與差的余弦公式的推導(dǎo)方法，關(guān)于提升學(xué)生的分析問(wèn)題、提出問(wèn)題、研究問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力有很大的作用.下邊將兩角和與差的余弦公式的五種常有推導(dǎo)方法概括如下：方法一：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)角α的終邊與單位圓的交點(diǎn)為P1，∠POP1＝β，則∠POx＝α－β．過(guò)點(diǎn)P作PM⊥x軸，垂足為M，那么OM即為α－β角的余弦線，這里要用表示α，β的正弦、余弦的線段來(lái)表示OM．過(guò)點(diǎn)P作PA⊥OP1，垂足為A，過(guò)點(diǎn)A作AB⊥x軸，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)P作PC⊥AB，垂足為C，那么cosβ＝OA，sinβ＝AP，并且∠PAC＝∠P1Ox＝α，于是OM＝OB＋BM＝OB＋CP＝OAcosα＋APsinα＝cosβcosα＋sinβsinα．綜上所述，.說(shuō)明：應(yīng)用三角函數(shù)線推導(dǎo)差角公式這一方法簡(jiǎn)單了然，構(gòu)思奇妙，簡(jiǎn)單理解.但這類推導(dǎo)方法關(guān)于怎樣能夠獲得解題思路，存在必然的困難.此種證明方法的另一個(gè)問(wèn)題是公式是在均為銳角的狀況下進(jìn)行的證明，所以還要考慮的角度從銳角向隨意角的推廣問(wèn)題.’.；方法二：應(yīng)用三角形全等、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，則有|P1P2|=.在直角坐標(biāo)系內(nèi)做單位圓，并做出隨意角α，α+β和，它們的終邊分別交單位圓于P2、P3和P4點(diǎn)，單位圓與x軸交于P1，則P1(1,0)、P2(cosα，sinα)、P3(cos(α+β)，sin(α+β))、.∵，且，∴，∴，∴，∴，∴，.說(shuō)明：該推導(dǎo)方法奇妙的將三角形全等和兩點(diǎn)間的距離聯(lián)合在一同，利用單位圓上與角相關(guān)的四個(gè)點(diǎn)，成立起等式關(guān)系，經(jīng)過(guò)將等式的化簡(jiǎn)、變形就能夠獲得符合要求的和角與差角的三角公式.在此種推導(dǎo)方法中，推導(dǎo)思路的產(chǎn)生是一個(gè)難點(diǎn)，其余關(guān)于’.；三點(diǎn)在一條直線和三點(diǎn)在一條直線上時(shí)這一特別狀況，還需要加以解釋、說(shuō)明.方法三：應(yīng)用余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)，則.在△OPQ中，∵，∴，∴.說(shuō)明：本題的解題思路和構(gòu)思都是簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)的.由于要求兩角和與差的三角函數(shù)，所以結(jié)構(gòu)出和角和差角是必然實(shí)現(xiàn)的.結(jié)構(gòu)出的和角或差角的余弦函數(shù)又需要和這兩個(gè)角的三角函數(shù)成立起等式關(guān)系，所以借助于余弦定理、兩點(diǎn)間的距離公式成立起等式關(guān)系簡(jiǎn)單出現(xiàn)，因此此種方法是推導(dǎo)兩角和與差的余弦的比較簡(jiǎn)單理解的一種方法.但此種方法必然是在學(xué)習(xí)完余弦定理的前提下才能使用，所以此種方法在必修四中又沒法使用.其余也相同需要考慮三點(diǎn)在一條直線上的狀況.方法四：應(yīng)用三角形面積公式推導(dǎo)推導(dǎo)差角公式的方法設(shè)α、β是兩個(gè)隨意角，把α、β兩個(gè)角的一條邊拼在一同，極點(diǎn)為O，過(guò)B點(diǎn)作OB的垂線，交α另一邊于A，交β另一邊于C，則有S△OAC=S△OAB+S△OBC..’.；依據(jù)三角形面積公式，有，∴.∵，，，∴，∵，∴sin(α+β)=sinαcosβ+sinβcosα.依據(jù)此式和引誘公式，可連續(xù)證出其余和角公式及差角公式.(1)sin(α-β)=sin[α+(-β)]=sinαcos(-β)+sin(-β)cosα=sinαcosβ-sinβcosα；(2)cos(α+β)=sin[90-(α+β)]=sin[(90-α)-β]=sin(90-α)cosβ-sinβcos(90-α)=cosαcosβ-sinαsinβ；(3)cos(α-β)=cos[α+(-β)]=cosαcos(-β)-sinαsin(-β)=cosαcosβ+sinαsinβ.說(shuō)明：此種推導(dǎo)方法經(jīng)過(guò)三角形的面積的和奇妙的將兩角和的三角函數(shù)與各個(gè)角的三角函數(shù)和聯(lián)系在一同，表現(xiàn)了數(shù)形聯(lián)合的特色.弊端是公式仍是在兩個(gè)角為銳角的狀況下進(jìn)行的證明，所以相同需要將角的范圍進(jìn)行拓展.(五)應(yīng)用數(shù)目積推導(dǎo)余弦的差角公式在平面直角坐標(biāo)系xOy內(nèi)，作單位圓O，以O(shè)x為始邊作角α，β，它們的終邊與單位圓的交點(diǎn)為A，B，則＝(cosα，sinα)，＝(cosβ，sinβ).由向量數(shù)目積的見解，有.由向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示，有’.；.于是，有.說(shuō)明：應(yīng)用數(shù)目積推導(dǎo)余弦的差角公式不論是結(jié)構(gòu)兩個(gè)角的差，仍是獲得每個(gè)角的三角函數(shù)值都是簡(jiǎn)單實(shí)現(xiàn)的，并且從向量的數(shù)目積的定義和坐標(biāo)運(yùn)算兩種形式求向量的數(shù)目積將兩者之間聯(lián)合起來(lái)，充分表現(xiàn)