【真題】北京市高考數(shù)學(xué)(理)試題含解析

【真題】2018年北京市高考數(shù)學(xué)(理)試題含答案剖析【真題】2018年北京市高考數(shù)學(xué)(理)試題含答案剖析【真題】2018年北京市高考數(shù)學(xué)(理)試題含答案剖析2018年一般高等學(xué)校招生全國(guó)一致考試（北京卷）數(shù)學(xué)（理工類(lèi)）第一部分（選擇題共40分）一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng).12，Bx2,0,1,2，則AIB．若會(huì)集AxxA）0，1（B）-1，0，1（C）-2，0，1（D）-1，0，1，22.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)i的共軛復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于1i（A）第一象限（B）第二象限（C）第三象限（D）第四象限3．執(zhí)行以下列圖的程序框圖，輸出的s值為（）．A．12B．567C．67D．124．“十二平均律”是通用的音律系統(tǒng)，明朝朱載堉最早用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出半音比率，為這個(gè)理論的發(fā)展做出了重要的貢獻(xiàn)．十二平均律將一個(gè)純八度音程分成十二份，依次獲取十三個(gè)單音，從第二個(gè)單音起，每一個(gè)單音的頻率與它的前一個(gè)單音的頻率的比都等于122．若第一個(gè)單音的頻率為f，則第八個(gè)單音的頻率為（）．A．32fB．322fC．1225fD．1227f5．某四棱錐的三視圖以下列圖，在此三棱錐的側(cè)面中，直角三角形的個(gè)數(shù)為（）．A．1B．2C．3D．46.a3b3ab”是“ab”的設(shè)a,b均為單位向量，則“（A）充分而不用要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不用要條件7.在平面直角坐標(biāo)系中，記d為點(diǎn)Pcos,sin到直線(xiàn)xmy20的距離.當(dāng),m變化時(shí)，d的最大值為（A）1（B）2（C）3（D）48.設(shè)會(huì)集Ax,y|xy1,axy4,xay2，則A對(duì)任意實(shí)數(shù)a，2,1AB對(duì)任意實(shí)數(shù)a，2,1AC當(dāng)且僅當(dāng)a0時(shí)，2,1AD當(dāng)且僅當(dāng)a3時(shí)，2,1A2二.填空（9）設(shè)an是等差數(shù)列，且a13，a2a536，則an的通項(xiàng)公式為。（10）在極坐標(biāo)系中，直線(xiàn)cossina(a0)與圓2cos相切，則a。（11）設(shè)函數(shù)fxcosx60。若fxf4對(duì)任意的實(shí)數(shù)x都建立，則的最小值為。（12）若x,y滿(mǎn)足x1y2x，則2yx的最小值是。（13）能說(shuō)明“若fxf0對(duì)任意的x0,2都建立，則fx在0,2上是增函數(shù)”為假命題的一個(gè)函數(shù)是。（14）已知橢圓M:x2y21ab0，雙曲線(xiàn)N:x2y21。若雙曲線(xiàn)N的兩條漸近a2222bmn線(xiàn)與橢圓M的四個(gè)交點(diǎn)及橢圓M的兩個(gè)焦點(diǎn)恰為一個(gè)正六邊形的極點(diǎn)，則橢圓M的離心率為；雙曲線(xiàn)N的離心率為。三．解答題（15）（本小題13分）在ABC中，a7，b8，cosB1。7（Ⅰ）求A；（Ⅱ）求AC邊上的高。（16）（本小題14分）如圖，在三棱柱ABCABC1中，CCABC,D,E,F,G分別為AA,ACAC111平面1,11,BB1的中點(diǎn)，ABBC5,ACAA12.I）求證：AC平面BEF;II）求二面角BCDC1的余弦值；III）證明：直線(xiàn)FG與平面BCD訂交.16）（本小題12分）電影公司隨機(jī)收集了電影的有關(guān)數(shù)據(jù)，經(jīng)分類(lèi)整理獲取下表：電影種類(lèi)第一類(lèi)第二類(lèi)第三類(lèi)第四類(lèi)第五類(lèi)第六類(lèi)電影部數(shù)14050300200800510好評(píng)率好評(píng)率是指：一類(lèi)電影中獲取好評(píng)的部數(shù)與該類(lèi)電影的部數(shù)的比值假設(shè)所有電影可否獲取好評(píng)相互獨(dú)立（1）從電影公司收集的電影中隨機(jī)采用1部，求這部電影是獲取好評(píng)的第四類(lèi)電影的概率；（2）從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)采用1部，估計(jì)恰有1部獲取好評(píng)的概率；（3）假設(shè)每類(lèi)電影獲取人們喜歡的概率與表格中該類(lèi)電影的好評(píng)率相等，用“k1”表示第k類(lèi)電影獲取人們喜歡，“k0”表示第k類(lèi)電影沒(méi)有獲取人們喜歡（k1,2,3,4,5,6）.寫(xiě)出方差D1,D2,D3,D4,D5,D6的大小關(guān)系（18）（本小題13分）設(shè)函數(shù)fxax24a1x4a3ex，（1）若曲線(xiàn)yfx在點(diǎn)1,f1處的切線(xiàn)方程與x軸平行，求a；（2）若fx在x2處獲取極小值，求a的取值范圍．（19）（本小題14分）已知拋物線(xiàn)22px經(jīng)過(guò)點(diǎn)P1,2．過(guò)點(diǎn)Q0,1的直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C有兩個(gè)C:y不相同的交點(diǎn)A，B，且直線(xiàn)PA交y軸于M，直線(xiàn)PB交y軸于N．（1）求直線(xiàn)l的斜率的取值范圍；（2）設(shè)O為原點(diǎn)，QMQO，QNQO，求證：11為定值．20.（本小題14分）設(shè)n為正整數(shù)，會(huì)集A|t1,t2,...,tn,tk0,1,k1,2,...,n.對(duì)于會(huì)集A中的任意元素x1,x2,...,xn和y1,y2,...,yn，記M,1y1x1y1x2y2x2y2...xnynxnynx12I當(dāng)n3時(shí)，若1,1,0,0,1,1，求M,和M,的值；II當(dāng)n4時(shí)，設(shè)B是A的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于B中的任意元素,，當(dāng),相同時(shí)，M,是奇數(shù)；當(dāng),不相同時(shí)，M,是偶數(shù).求會(huì)集B中元素個(gè)數(shù)的最大值；III給定不小于2的n，設(shè)B是A的子集，且滿(mǎn)足：對(duì)于B中的任意兩個(gè)不相同的元素,，M,0.寫(xiě)出一個(gè)會(huì)集B，使其元素個(gè)數(shù)最多，并說(shuō)明原由.答案：一.選擇題【答案】A【答案】Dz11ii)1i11i，1i(1i)(1222則z1i，故11的共軛復(fù)數(shù)在第四象限，22i應(yīng)選D【答案】B【剖析】依照程序框圖可知，開(kāi)始k1，s1，執(zhí)行s111111，k2，此時(shí)k3不行立，循環(huán)，12s11215，k3，此時(shí)k3建立，結(jié)束，2126輸出s5．6應(yīng)選B．4.【答案】D【剖析】依照題意可得，此十三個(gè)單音形成一個(gè)以f為首項(xiàng)，122為公比的等比數(shù)列，12281故第八個(gè)單音的頻率為f1227f．應(yīng)選D．【答案】C【剖析】由三視圖可知，此四棱錐的直觀圖以下列圖，在正方體中，△PAD,△PCD,△PAB均為直角三角形，PB3,BC5,PC22，故△PBC不是直角三角形．應(yīng)選C．【答案】C【剖析】充分性：|a3b||3ab|，|a|26ab9|b|29|a|26ab|b|2，又|a||b|1，可得ab0，故ab.必要性：ab，故ab0，2222，所以|a|6ab9|b|9|a|6ab|b|所以|a3b||3ab|．【答案】C【剖析】：Pcos,sin，所以P點(diǎn)的軌跡是圓。直線(xiàn)xmy20恒過(guò)0,2點(diǎn)。轉(zhuǎn)變成圓心到直線(xiàn)的距離加上半徑取到最大值，所以答案為3.【答案】：D2103?！酒饰觥浚喝?,1A，則2a14a2a22則當(dāng)a3A；當(dāng)a3A選D時(shí)，2,1時(shí)，2,122二.填空題9．答案：an6n3nNa13a13剖析：由題知，設(shè)等差數(shù)列公差為d，所以：a2a1d，即，解a5a1a1d+a14d=364da13n1d6n3nN得，所以an=a1。d=610．答案：12剖析：cossina直線(xiàn)方程轉(zhuǎn)變成xya即xya02cos22cos圓的方程轉(zhuǎn)變成x2y22x即(x1)2y21、1a1直線(xiàn)與圓相切2解得a12a0a12211.答案：3剖析：由題知：fxmaxf1，即cos1，所以2kZ，464k46解得:=8k2kZ，0，所以k0時(shí)，min2。3312．答案：3剖析：將不等式變換成線(xiàn)性規(guī)劃，即x1y2xx1目標(biāo)函數(shù)z2yx如右圖z在A(1,2)處取最小值z(mì)min313.答案：fxx23x，答案不唯一剖析：函數(shù)需要滿(mǎn)足在0,2上的最小值為f0，并且在0,2上不只一。采用張口向下，對(duì)稱(chēng)軸在0,2上的二次函數(shù)均可，其余正確答案也正確。14.【答案】：31，2【剖析】：設(shè)正六邊形邊長(zhǎng)為t；依照橢圓的定義2a31t，2c2t，e橢圓c31a雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程為

y

3x，

ba

3，所以

e雙曲線(xiàn)

c=2。a三.解答題【剖析】（Ⅰ）ABC中，cosB1，所以B為鈍角，sinB1cos2B43；77由正弦定理：ab，所以sinAasinB3sinAb，sinB2所以A2,kZ；也許A22k,kZ；3k3又ABC中，B為鈍角，所以A為銳角，所以A。3（Ⅱ）ABC中，sinCsin(AB）=sin（B+）=1sinB+3cosB33，32214三角形ABC的面積SABC163，設(shè)AC邊上的高為habsinC，2SABC118h63，所以h3333。bh2，即AC邊上的高為222【剖析】（I）證明：∵ABBC，且E是AC的中點(diǎn)，ACBE,∵在三棱柱ABCA1B1C1中，E,F分別是AC11的中點(diǎn)，,ACEF∥CC1∵CC1平面ABC，EF平面ABC,∵AC平面ABC，EFAC,EF,BE平面BEF,EFBEEAC平面BEF.（II）由（I）知，EFAC，ACBE，EFEB,∴以E為原點(diǎn)，EA,EB,EF分別為x軸，y軸，z軸建立以下列圖空間直角坐標(biāo)系，則有，B0,2,0,C1,0,0,D1,0,1,1C1,0,2BC1,2,0，CD2,0,1設(shè)平面BCD的法向量nx,y,z，∴BCn0,即x2y0，CDn02xz0n2,1,4，.易知平面CDC1法向量m0,1,0∴cosm,nmn1121，mn2121由圖可知，二面角BCDC1的平面角為鈍角，∴二面角BCDC1的余弦值21.21（III）方法一：∵F0,0,2,G0,2,1,∴FG0,2,1∵平面BCD的法向量n2,1,4，設(shè)直線(xiàn)FG與平面BCD的夾角為，∴sinFGncosFG,nnFG0∴直線(xiàn)FG與平面BCD訂交.方法二：假設(shè)直線(xiàn)FG與平面BCD平行，∵設(shè)CD與EF的交點(diǎn)為M,連結(jié)

242，5215021BM，∵FG平面BB1FE,且平面BB1FE平面BCDBM,FG∥BM,BG∥FM,∴四邊形BMFG為平行四邊形，∴FMBG,易知FMBG，∴假設(shè)不行立，∴直線(xiàn)FG與平面BCD訂交.17.【剖析】（1）由表格可知電影的總部數(shù)140503002008005102000獲取好評(píng)的第四類(lèi)電影20050設(shè)從收集的電影中選1部，是獲取好評(píng)的第四類(lèi)電影為事件501A,則P(A)402000（2）由表格可得獲取好評(píng)的第五類(lèi)電影8000.2160第五類(lèi)電影總數(shù)為800未獲取好評(píng)的第五類(lèi)電影800160640第四類(lèi)電影總數(shù)為200未獲取好評(píng)的第四類(lèi)定影20050150設(shè)從第四類(lèi)電影和第五類(lèi)電影中各隨機(jī)采用1部，估計(jì)恰有1部獲取好評(píng)為事件BC501C6401C1501C160117則P(B)C2001C8001100（3）D1D4D2D5D3D618.【剖析】（1）函數(shù)定義域?yàn)閤R，f(x)2ax4a1exax24a1x4a3exexax22a1x2exax1x2，若函數(shù)在1,f1處切線(xiàn)與x軸平行，則f1ea10，即a1．（2）由（1）可知fxax22a1x2exx2ax1ex，①當(dāng)a0時(shí)，令fx0，x2，x,22fx0fxZ極大值不滿(mǎn)足題意；當(dāng)a0時(shí)，令fx0，x2或x1，a②當(dāng)a0時(shí)，即12，ax111,a,2aafx0fx]極小值Z不滿(mǎn)足題意；③當(dāng)a0時(shí)，1）當(dāng)12，即a1時(shí)，fx≥0，函數(shù)fx無(wú)極值點(diǎn)；a22）當(dāng)12，即a1時(shí)，a2x111,a,2aafx0fxZ極大值]滿(mǎn)足題意；3）當(dāng)12，即0a1時(shí)，a2x,2212,afx0fxZ極大值]不滿(mǎn)足題意．綜上所述，若fx在x2處獲取極小值，a1．

2,]22,極大值]22,極小值Z11,aa極小值Z219.【剖析】（1）由已知可得42p，所以?huà)佄锞€(xiàn)C的方程為y24x．令A(yù)(x1,y1)，B(x2,y2)，直線(xiàn)l顯然不能夠與x軸垂直，令其方程為ykx1，帶入y24x整理得yky21，4即ky24y40．所以由已知可得k0，解得k1且k0．1616k0所以直線(xiàn)l的斜率k的取值范圍為,00,1．（2）由（1）知yy4，yy24．12k1k而點(diǎn)A(x1,y1)，B(x2,y2)均在拋物線(xiàn)上，所以x1y12，x2y22．44因?yàn)橹本€(xiàn)PA與直線(xiàn)PB與y軸訂交，則直線(xiàn)PA與直線(xiàn)PB的斜率均存在，即y12，y22．因?yàn)閗PAy12y124(y12)4，x1y2y24y2111114所以直線(xiàn)PA的方程為y241)，y1(x2令x0，可得yM2422y1，即M(0,2y1)．y1y12y12同理可得N(0,2y2)．y12而由QMQO可得，2y11，所以12y1．y122y1同原由QNQO可得，2y21，所以12y2．y222y2所以112y12y2(2y1)(2y2)(2y2)(2y1)2y12y2(2y1)(2y2)82y1y28888kk2．4y1y22(y1y2)444424kkk【剖析】解：（Ⅰ）(1,1,0),(0,1,1)M(,)1[(11|11|)(11|11|)(00|00|)]21[220]22M(,)1[(10|10|)(11|11|)(01|01|)]21[020]12（Ⅱ）Qxi,yi{0,1}xiyi|xiyi|0,xiyi0或xiyi2,xi=yi=14，因?yàn)镸(,)為奇數(shù)，則α有1項(xiàng)或3項(xiàng)為1，其余為0，所以理論上元素個(gè)數(shù)最多有C14C438個(gè)。因?yàn)镸(,)為偶數(shù)(,不相同)，則兩者同為1的項(xiàng)數(shù)為0也許2（若