同步精練 三角形中的幾何計算 Word版含答案

三角形中的幾何計算基礎(chǔ)鞏固1在△ABC中，eq\f(a,sinA)等于()\f(c,sinB)\f(b,sinC)\f(c,sinC)\f(sinB,b)2在△ABC中，已知C＝60°，b＝4eq\r(3)，則BC邊上的高等于()\r(3)B．2eq\r(3)C．4eq\r(3)D．63在△ABC中，BC＝1，B＝eq\f(π,3)，當(dāng)△ABC的面積等于eq\r(3)時，sinC＝______.4在△ABC中，A＝30°，AB＝2，BC＝1，則△ABC的面積等于______．5若△ABC面積為eq\f(\r(3),2)，c＝2，A＝60°，求b、a的值．6在△ABC中，已知a＝2bcosC，求證：△ABC為等腰三角形．7已知三角形的一個角為60°，面積為10eq\r(3)cm2，周長為20cm，求此三角形各邊長．8已知△ABC三邊的長分別為a＝cm，b＝cm，c＝cm.求此三角形的面積．綜合過關(guān)9半徑為1的圓內(nèi)接三角形的面積為，求此三角形三邊長的乘積．10在△ABC中，BC＝a，AC＝b，a，b是方程x2－2eq\r(3)x＋2＝0的兩個根，且2cos(A＋B)＝1，求：(1)角C的度數(shù)；(2)AB的長度；(3)△ABC的面積．11已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長分別為AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求四邊形ABCD的面積．能力提升12在△ABC中，若已知三邊為連續(xù)正整數(shù)，最大角為鈍角．(1)求最大角的余弦值；(2)求以此最大角為內(nèi)角，夾此角兩邊之和為4的平行四邊形的最大面積．參考答案1答案：C2解析：BC邊上的高等于bsinC＝6.答案：D3解析：△ABC的面積S＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\r(3)，解得c＝4，所以b＝eq\r(a2＋c2－2accosB)＝eq\r(13)，所以cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝－eq\f(\r(13),13)，所以sinC＝eq\f(2,13)eq\r(39).答案：eq\f(2,13)eq\r(39)4解析：由余弦定理得BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos30°，∴AC2－2eq\r(3)AC＋3＝0.∴AC＝eq\r(3).S△ABC＝eq\f(1,2)AB·ACsin30°＝eq\f(1,2)×2×eq\r(3)×eq\f(1,2)＝eq\f(\r(3),2).答案：eq\f(\r(3),2)5分析：本題為三角形面積的應(yīng)用，主要是構(gòu)建方程求得a、b.解：根據(jù)題意：S＝eq\f(1,2)bc·sinA＝bsin60°＝eq\f(\r(3),2)，∴b＝1.由余弦定理，得a2＝b2＋c2－2bccosA＝3，∴a＝eq\r(3).6分析：欲證△ABC為等腰三角形，可利用余弦定理證明兩邊相等．證明：由余弦定理，得cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab).又cosC＝eq\f(a,2b)，∴eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(a,2b).整理得b2＝c2.∴b＝c.∴△ABC是等腰三角形．7分析：此題條件除一個角外，面積、周長都不是構(gòu)成三角形的基本元素，但都與邊或角相關(guān)，故可設(shè)出邊長，利用所給的條件列出方程求解．解：設(shè)三角形的三條邊長為a，b，c，B＝60°，則依題意，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(cos60°＝\f(a2＋c2－b2,2ac)，,\f(1,2)acsin60°＝10\r(3)，,a＋b＋c＝20，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＋c＝20，①,b2＝a2＋c2－ac，②,ac＝40.③))由①式得b2＝[20－(a＋c)]2＝400＋a2＋c2＋2ac－40(a＋c)．④將②代入④得400＋3ac－40(a＋c)＝0，再將③代入④得a＋c＝13.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋c＝13，,ac＝40，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a1＝5，,c1＝8，))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a2＝8，,c2＝5，))∴b＝7.∴該三角形的三邊長為5cm,7cm,8cm.8解：根據(jù)余弦定理的推論，得cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ca)＝eq\f＋－,2××≈7，sinB＝eq\r(1－cos2B)≈eq\r(1－72)≈4.應(yīng)用S＝eq\f(1,2)casinB，得S≈eq\f(1,2)×××4≈(cm2)．9分析：由于題設(shè)條件有三角形外接圓半徑，故聯(lián)想正弦定理：eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2R，其中R為三角形外接圓半徑，與含有正弦的三角形面積公式S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB發(fā)生聯(lián)系，對abc進(jìn)行整體求解．解：設(shè)△ABC三邊為a，b，c，則S△ABC＝eq\f(1,2)acsinB，∴eq\f(S△ABC,abc)＝eq\f(acsinB,2abc)＝eq\f(sinB,2b).又eq\f(b,sinB)＝2R，其中R為三角形外接圓半徑，∴eq\f(S△ABC,abc)＝eq\f(1,4R).∴abc＝4RS△ABC＝4×1×＝1.∴三角形三邊長的乘積為1.10分析：(1)利用三角形的內(nèi)角和求得cosC；(2)利用余弦定理求AB的長度；(3)利用S＝eq\f(1,2)absinC求△ABC的面積．解：(1)cosC＝cos[π－(A＋B)]＝－cos(A＋B)＝－eq\f(1,2).∵0°＜C＜180°，∴C＝120°.(2)由題設(shè)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2\r(3)，,ab＝2，))∴AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝a2＋b2－2abcos120°＝a2＋b2＋ab＝(a＋b)2－ab＝(2eq\r(3))2－2＝10.所以AB＝eq\r(10).(3)S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)×2×eq\f(\r(3),2)＝eq\f(\r(3),2).11分析：先將所求面積轉(zhuǎn)化為用某個角的三角函數(shù)表示，再利用對角互補及余弦定理求出該角即可．解：如圖，連接BD，則有四邊形ABCD的面積S＝S△ABD＋S△CDB＝eq\f(1,2)AB·ADsinA＋eq\f(1,2)BC·CDsinC.∵A＋C＝180°，∴sinA＝sinC.故S＝eq\f(1,2)(AB·AD＋BC·CD)sinA＝eq\f(1,2)(2×4＋6×4)sinA＝16sinA.由余弦定理，在△ABD中，BD2＝AB2＋AD2－2AB·ADcosA＝20－16cosA，在△CDB中，BD2＝CB2＋CD2－2CB·CDcosC＝52－48cosC，∴20－16cosA＝52－48cosC.∵cosC＝－cosA，∴64cosA＝－32.∴cosA＝－eq\f(1,2).又0°＜A＜180°，∴A＝120°.故S＝16sin120°＝8eq\r(3).12分析：利用最大角的余弦值小于0解得三邊長，再用余弦定理得最大角的余弦值；(2)轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最大值．解：(1)設(shè)三邊a＝k－1，b＝k，c＝k＋1，k∈N＋且k＞1，故角C為鈍角．∴cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)＝eq\f(k－4,2k－1)＜0.解得1＜k＜4.∵k∈N＋，∴k＝2或3，但k＝2時不能構(gòu)成三角形，應(yīng)舍去．當(dāng)k＝3時，a＝2，b＝3，c＝4，由余弦定理，得c