材料力學之彎曲應力講義

第五章彎曲應力材料力學1§5–1引言§5–2平面彎曲時梁橫截面上的正應力§5–3梁橫截面上的剪應力§5–4梁的正應力和剪應力強度條件梁的合理截面§5–5非對稱截面梁的平面彎曲開口薄壁截面的彎曲中心§5–6考慮材料塑性時的極限彎矩第五章彎曲應力2§5－１引言彎曲應力1、彎曲構件橫截面上的（內力）應力內力剪力Q剪應力t彎矩M正應力s3平面彎曲時橫截面s純彎曲梁(橫截面上只有M而無Q的情況)平面彎曲時橫截面t剪切彎曲(橫截面上既有Q又有M的情況)彎曲應力2、研究方法縱向對稱面P1P2例如：4某段梁的內力只有彎矩沒有剪力時，該段梁的變形稱為純彎曲。如AB段。彎曲應力PPaaABQMxx純彎曲(PureBending):PPPa5§5－2平面彎曲時梁橫截面上的正應力1.梁的純彎曲實驗橫向線(ab、cd）變形后仍為直線，但有轉動；縱向線變?yōu)榍€，且上縮下伸；橫向線與縱向線變形后仍正交。（一）變形幾何規(guī)律：一、純彎曲時梁橫截面上的正應力彎曲應力中性層縱向對稱面中性軸bdacabcdMM6橫截面上只有正應力。

平面假設：橫截面變形后仍為平面，只是繞中性軸發(fā)生轉動，距中性軸等高處，變形相等。

（可由對稱性及無限分割法證明）3.推論彎曲應力2.兩個概念中性層：梁內一層纖維既不伸長也不縮短，因而纖維不受拉應力和壓應力，此層纖維稱中性層。中性軸：中性層與橫截面的交線。7A1B1O1O4.幾何方程：

彎曲應力abcdABdqrxy)))OO1)8

（二）物理關系：假設：縱向纖維互不擠壓。于是，任意一點均處于單項應力狀態(tài)。彎曲應力sxsx（三）靜力學關系：9彎曲應力（對稱面）……(3)EIz桿的抗彎剛度。10（四）最最大正應應力：彎曲應力力……(5)DdDd=abBhH11例1受均布載載荷作用用的簡支支梁如圖圖所示，，試求：：（1）1——1截面上1、2兩點的正正應力；；（2）此截面面上的最最大正應應力；（3）全梁的的最大正正應力；；（4）已知E=200GPa，求1—1截面的曲曲率半徑徑。彎曲應力力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120180zy解：畫畫M圖求截面面彎矩3012彎曲應力力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax12120zy求應力力1803013求曲率率半徑彎曲應力力Q=60kN/mAB1m2m11xM+M1Mmax121201803014§5－3梁橫截面面上的剪剪應力一、矩形截面面梁橫截面面上的剪剪應力1、兩點假假設：①剪應力與與剪力平平行；②矩中性軸軸等距離離處，剪剪應力相相等。2、研究方方法：分分離體平平衡。①在梁上取取微段如如圖b；②在微段上上取一塊塊如圖c，平衡彎曲應力力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c15彎曲應力力dxxQ(x)+dQ(x)M(x)yM(x)+dM(x)Q(x)dxsxyzs1t1tb圖a圖b圖c由剪應力互等16彎曲應力力Qt方向：與與橫截面面上剪力力方向相相同；t大?。貉匮亟孛鎸拰挾染鶆騽蚍植?，，沿高度度h分布為拋拋物線。。最大剪應應力為平平均剪應應力的1.5倍倍。二、其它它截面梁梁橫截面上上的剪應應力1、研究方方法與矩矩形截面面同;剪應力的的計算公公式亦為為：其中Q為截面剪力；Sz為y點以下的面積對中性軸之靜矩；172、幾種常常見截面面的最大大彎曲剪剪應力彎曲應力力Iz為整個截截面對z軸之慣性性矩；b為y點處截面面寬度。。①工字鋼截面：;?maxAQtf結論：翼緣部分tmax?腹板上的tmax，只計算腹板上的tmax。鉛垂剪應力主要腹板承受（95~97%），且tmax≈tmin

故工字鋼最大剪應力Af—腹板的面積。;?maxAQtf18②圓截面：③薄壁圓環(huán)：④槽鋼：彎曲應力力exyzPQeQeh19§5-4梁的正應應力和剪剪應力強強度條件件?梁的合理理截面1、危險面面與危險險點分析析：①一般截面面，最大大正應力力發(fā)生在在彎矩絕絕對值最最大的截截面的上上下邊緣緣上；最最大剪應應力發(fā)生生在剪力力絕對值值最大的的截面的的中性軸軸處。彎曲應力力QtsssMt一、梁的的正應力力和剪應應力強度度條件202、正應力力和剪應應力強度度條件：：②帶翼緣的的薄壁截截面，最最大正應應力與最最大剪應應力的情情況與上上述相同同；還有有一個可可能危險險的點，，在Q和M均很大的的截面的的腹、翼翼相交處處。（以以后講））彎曲應力力3、強度條條件應用用：依此強度度準則可可進行三三種強度度計算：：sMQtts214、需要校校核剪應應力的幾幾種特殊殊情況：：②鉚接或焊焊接的組組合截面面，其腹腹板的厚厚度與高高度比小小于型鋼鋼的相應應比值時時，要校校核剪應應力。①梁的跨度度較短，，M較小，而而Q較大時，，要校核核剪應力力。③各向異性材材料（如木木材）的抗抗剪能力較較差，要校核剪應應力。、校核強度度：①校核強度：②設計截面尺寸：③設計載荷：彎曲應力22解：畫內內力圖求危危面內力例2矩形(bh=0.12m0.18m）截面木梁如如圖，[]=7MPa，[]=0.9MPa，試求最大正應力和最最大剪應力力之比,并校核梁的的強度。彎曲應力q=3.6kN/mxM+ABL=3mQ–+x23求最大應應力并校核核強度應力之比彎曲應力q=3.6kN/mxM+Q–+x24y1y2GA1A2A3A4解：畫彎彎矩圖并求求危面內力力例3T字形截面的的鑄鐵梁受受力如圖，，鑄鐵的[L]=30MPa，[y]=60MPa，其截面形心心位于C點，y1=52mm，y2=88mm，Iz=763cm4，試校核此梁梁的強度。。并說明T字梁怎樣放放置更合理理？4彎曲應力畫危面應應力分布圖圖，找危險險點P1=9kN1m1m1mP2=4kNABCDx2.5kNm-4kNmM25校核強度度T字頭在上面面合理。彎曲應力y1y2GA1A2x2.5kNm-4kNmMy1y2GA3A4A4A3⊕○26二、梁的合合理截面（一）矩形形木梁的合合理高寬比比R北宋李誡于于1100年著?營造法式?一書中指出出:矩形木梁的的合理高寬寬比(h/b=)1.5英(T.Young)于1807年著?自然哲學與與機械技術術講義?一書中指出出:矩形木梁的的合理高寬寬比為彎曲應力bh27強度：正應應力：剪應力：1、在面積相相等的情況況下，選擇擇抗彎模量量大的截面面（二）其它它材料與其其它截面形形狀梁的合合理截面彎曲應力zD1zaa28彎曲應力zD0.8Da12a1z29工字形截面面與框形截截面類似。。彎曲應力0.8a2a21.6a22a2z30對于鑄鐵類類抗拉、壓壓能力不同同的材料，，最好使用用T字形類的截截面，并使使中性軸偏偏于抗變形形能力弱的的一方，即即：若抗拉拉能力弱，，而梁的危危險截面處處又上側受受拉，則令令中性軸靠靠近上端。。如下圖：：彎曲應力2、根據(jù)材料料特性選擇擇截面形狀狀sGz31彎曲應力（三）采用變截面面梁，如如下圖：最好是等強強度梁，即即若為等強度度矩形截面面，則高為為同時Px32§5-5非對稱截面面梁的平面面彎曲?開口薄壁截截面的彎曲曲中心幾何方程與與物理方程程不變。彎曲應力PxyzO33依此確定正正應力計算算公式。剪應力研究究方法與公公式形式不不變。彎曲應力彎曲中心(剪力中心)：使桿不發(fā)發(fā)生扭轉的的橫向力作作用點。（如前述坐坐標原點O）PxyzO34槽鋼：彎曲應力非對稱截面面梁發(fā)生平平面彎曲的的條件：外外力必須作作用在主慣慣性面內，，中性軸為為形心主軸軸，,若是橫向力力，還必須須過彎曲中中心。exyzPPsMQe35彎曲中心的的確定:(1)雙對稱軸截截面，彎心心與形心重重合。(2)反對稱截面面，彎心與與反對稱中中心重合。。(3)若截面由兩兩個狹長矩矩形組成，，彎心與兩兩矩形長中中線交點重重合。(4)求彎心的普普遍方法：：彎曲應力CCCQyeC36ssss§5-6考慮材料塑塑性時的極極限彎矩（一）物理理關系為：：全面屈服后后,平面假設不不再成立;仍做縱向纖纖維互不擠擠壓假設。。彎曲應力sessss理想彈塑性性材料的s-e圖ssss彈性極限分分布圖塑性極限分分布圖37（二）靜力力學關系：：（一）物理理關系為：：彎曲應力yzxssMjx橫截面圖正應力分布圖38彎曲應力yzxssMjx橫截面圖正應力分布圖39[例4]試求矩形截截面梁的彈彈性極限彎彎矩Mmax與塑性極限限彎矩Mjx之比。解：彎曲應力40第五章練練習題一、推導梁梁彎曲正應應力公式時時，采用了了哪兩個