三垂線定理及其逆定理人教版原創(chuàng)課件

pO自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平1一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。

斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，2ACBO

定理

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一（1）射影相等的兩條斜3AaOP

已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一4AaOP證明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥a，AO與PA相交a⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aAaOP證明：a⊥POPA⊥AO⊥a，AO與PA相交a5PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BCPCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面6例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)PA⊥正方形7PMCABPAOaαA1

C1

CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP8三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找9PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂10直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一11PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①12線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的13在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一PAO14三垂線定理的逆定理

在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。三垂線定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。線射垂直線斜垂直定理逆定理線射垂直

線斜垂直定理逆定理三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個15例3在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD求證：AD⊥BC∴DO⊥BC，于是AD⊥BC.證明：作AO⊥平面BCD于點O，連接BO，CO，DO，則BO，CO，DO分別為AB，AC，AD在平面BCD上的射影。OADCB∵AB⊥CD，∴BO⊥CD，同理CO⊥BD，于是O是△BCD的垂心，例3在四面體ABCD中，已知AB⊥CD，AC⊥BD∴D161.已知PA、PB、PC兩兩垂直，求證：P在平面ABC內(nèi)的射影是△ABC的垂心。CBPAH2.經(jīng)過一個角的頂點引這個角所在平面的斜線，如果斜線和這個角兩邊的夾角相等，那么斜線在平面上的射影是這個角的平分線所在的直線。練習(xí)：1.已知PA、PB、PC兩兩垂直，CBPAH2.經(jīng)過一個角17pO自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平面上的射影；這個點與垂足間的線段叫做這點到這個平面的垂線段。Q(1)射影pO自一點向平面引垂線，垂足叫做這點在這個平18一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，這條直線叫做這個平面的斜線，斜線和平面的交點叫做斜足。斜線上一點與斜足間的線段叫做這點到這個平面的斜線段。ACB過斜線上斜足以外的一點向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個平面上的射影；垂足與斜足間的線段叫做這點到平面的斜線段在這個平面上的射影。

斜線上任意一點在平面上的射影，一定在斜線的射影上。一條直線和一個平面相交，但不和這個平面垂直，19ACBO

定理

從平面外一點向這個平面所引的垂線段和斜線段中，（1）射影相等的兩條斜線段相等，射影較長的斜線段也較長（2）相等的斜線段的射影相等，較長的斜線段的射影也較長（3）垂線段比任何一條斜線段都短ACBO定理從平面外一（1）射影相等的兩條斜20AaOP

已知PA、PO分別是平面的垂線、斜線，AO是PO在平面上的射影。a，a⊥AO。求證：a⊥PO在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么，它就和這條斜線垂直。三垂線定理AaOP在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一21AaOP證明：a⊥POPA⊥

a

AO⊥a，AO與PA相交a⊥平面PAOPO平面PAOPA⊥aAaOP證明：a⊥POPA⊥AO⊥a，AO與PA相交a22PCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，

求證：PC⊥BC證明：∵PA⊥平面ABC

∴PC是平面ABC的斜線∴AC是PC在平面ABC上的射影∵BC平面ABC

且AC⊥BC∴由三垂線定理得

PC⊥BCPCBA例1已知P是平面ABC外一點，PA⊥平面23例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)

PA⊥正方形ABCD所在平面，O為對角線BD的中點求證：PO⊥BD，PC⊥BD(3)在正方體AC1中，求證：A1C⊥B1D1，A1C⊥BC1(2)已知：PA⊥平面PBC，PB=PC，M是BC的中點，求證：BC⊥AMADCBA1D1B1C1(1)(2)BPMCA(3)POABCD例2直接利用三垂線定理證明下列各題：(1)PA⊥正方形24PMCABPAOaαA1

C1

CBB1OAαaP我們要學(xué)會從紛繁的已知條件中找出或者創(chuàng)造出符合三垂線定理的條件解題回顧，怎么找？PMCABPAOaαA1C1CBB1OAαaP25三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找平面的斜線在平面內(nèi)的射影和平面內(nèi)的一條直線垂直注意：由一垂、二垂直接得出第三垂并不是三垂都作為已知條件解題回顧PAOaα三垂線定理解題的關(guān)鍵：找三垂！怎么找？一找直線和平面垂直二找26PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂直的判定定理，這兩條直線可以是：①相交直線②異面直線使用三垂線定理還應(yīng)注意些什么？解題回顧PAOaαbcde三垂線定理是平面的一條斜線與平面內(nèi)的直線垂27直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一定成立。PAOaα例如：當(dāng)b⊥時，

b⊥OA注意：如果將定理中“在平面內(nèi)”的條件去掉，結(jié)論仍然成立嗎？b但

b不垂直于OP解題回顧直線a在一定要在平面內(nèi)，如果a不在平面內(nèi)，定理就不一28PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①線面垂直③線斜垂直PAOaα直線和平面垂直平面內(nèi)的直線和平面一條斜線的射影垂直平面內(nèi)的直線和平面的一條斜線垂直PAOaα三垂線定理包含幾種垂直關(guān)系？②線射垂直PAOaα①29線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線在平面內(nèi)的射影垂直平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線垂直三垂線定理的逆定理？線射垂直線斜垂直PAOaαPAOaα平面內(nèi)的一條直線和平面的30在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那么，它也和這條斜線的射影垂直。PAOaα

已知：PA，PO分別是平面的垂線和斜線，AO是PO在平面的射影,a,a⊥PO求證：a

⊥AO三垂線定理的逆定理在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面