2022-2023學(xué)年上海初二下學(xué)期同步講義第12講梯形及中位線(含詳解)

第12講梯形及中位線本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線.中位線主要包括兩個方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應(yīng)用.模塊一：梯形及等腰梯形知識精講一、梯形及梯形的有關(guān)概念（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底.腰：不平行的兩邊叫做腰.高：梯形兩底之間的距離叫做高.（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.特殊梯形、、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形？交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形.【等腰梯形性質(zhì)】等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個內(nèi)角相等.等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對角線相等.另外：等腰梯形是軸對稱圖形；【等腰梯形判定】等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形.等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形.例題解析例1.（2019?上海八年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD//BC,ZB=30°,ZBCD=60°,AD=2,AC平分NBCD,則BC長為（ ）.ADA.4 B.6 C.4V3 D.373例2.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°,腰長為8,高和上底相等，則梯形中位線長為 （ ）A.8百 B.10 C.473+4 D.1673例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰梯形的銳角為（）A.30° B.45° C.60° D.75°例4.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是（）A.等腰梯形的兩底平行且相等B.等腰梯形的兩條對角線相等C,等腰梯形在同一底上的兩個角相等D.等腰梯形是軸對稱圖形例5.（2017?上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（ ）A.梯形B.等腰梯形C.平行四邊形 D.等腰梯形或平行四邊形例6.（2019?上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（）例7.（2020?上海楊浦區(qū)?八年級期末）已知在梯形ABCD中，ADHBC,AB=AD=DC=4,AC±AB,那么梯形ABCD的周長等于.例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5。加，其中一條底邊的長為6cm,那么該梯形的另一條底邊的長是cm.例9.（2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）如圖，在等腰梯形488中，AB//CD，AD^AB,BD-LBC,則NC=例10.(2019?上海上外附中八年級期中)在梯形ABC。中，AB//CD,對角線AC1BD,AC=6,BO=8,則梯形ABC。的面積為.例11.(2020?上海浦東新區(qū)?八年級月考)如圖，在梯形4時中，AD//BC,BC=\2,AB=DC=8.Z5=60°.(1)求梯形的中位線長.(2)求梯形的面積.A D例12.(2020?上海浦東新區(qū)?八年級期末)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CELBF于點(diǎn)0.(1)求證：四邊形EBCF是等腰梯形；(2)EF=1,求四邊形EBCF的面積.例13.如圖，已知梯形｛靦中，a'是下底，N4除60°,BD平■分2ABC,且BD1CD,若梯形周長是30面，求此梯形的面積.

例14.如圖，直角梯形45<力中，ZJ=90",AD//BC,4>5,Z/>45°,徵的垂直平分線交AD于點(diǎn)、￡交協(xié)的延長線于點(diǎn)凡求斯的長.例15.如圖，在梯形［及/中，AD//BC,AB-AD^DC,N於60°,(1)求證：ABVACx(2)若屐6,求梯形4/力的面積.例16.如圖，在梯形力犯9中，AD//BC,CA平?分乙BCD,DE//AC,交函的延長線于點(diǎn)區(qū)Z例17.如圖，在等腰三角形［況'中，點(diǎn)〃、￡分別是兩腰/C、比上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)質(zhì)功相交于點(diǎn)0,Z1=Z2.求證：梯形9%?是等腰梯形.A例18.如圖，梯形如叱中，。為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，4、B、C的坐標(biāo)分別為(14,0)、(14,3)、(4,3).點(diǎn)只0同時從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動，點(diǎn)一沿例以每秒1個單位向終點(diǎn)4運(yùn)動，點(diǎn)0沿依龍以每秒2個單位向終點(diǎn)8運(yùn)動.當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了x秒，當(dāng)x等于多少時，四邊形勿優(yōu)'為平行四邊形？(2)四邊形匕能否成為等腰梯形?說明理由.例19.如圖，等腰梯形花圃力收力的底邊力〃靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰四的長為x米.(1)請求出底邊用的長(用含x的代數(shù)式表示)；(2)若NBAA6Q。，該花圃的面積為S米2,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)9686時x的值.例20.已知，一次函數(shù)y=-1x+4的圖像與x軸，y軸，分別交于4、8兩點(diǎn)，梯形4次4(。是原點(diǎn))的邊(1)求點(diǎn)。的坐標(biāo)；(2)如果一個一次函數(shù)y=Ax+力(4、b為常數(shù)，且〃W0)的圖像經(jīng)過爾。兩點(diǎn)，求這個一次函數(shù)的解析式.例21.如圖，直角梯形4及力中，AB//CD,N/=90°,力廬6,4M,底3,動點(diǎn)〃從點(diǎn)4出發(fā)，沿方向移動，動點(diǎn)。從點(diǎn)｛出發(fā)，在邊上移動.設(shè)點(diǎn)―移動的路程為x,線段四的長度為y,線段A?平分梯形”切的周長.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)p不在房邊上時，線段圖能否平分梯形4A笫的面積?若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由.模塊二：輔助線知識精講解決梯形問題常用的方法①作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形：③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長與下底延長線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形；⑤移對角線法：平移對角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂直的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的高等.質(zhì)題解析例1.如圖，已知在梯形ABC￡＞中，AD//BC,AB=AD=CD^\3,AEYBC,垂足為E,AE=12.則邊的長等于( )A.20B.21 C.22 D.23例2.已知梯形ABC。中，AD//BC,NB=70,ZC=40,AD=2,BC=10.求DC的長.則所的長等于（b—a例4.已知：如圖，在梯形4則所的長等于（b—a例4.已知：如圖，在梯形4時中，AD//BC,AB-AC,/力白90°,BD-BC,BD交AC于0.求證：CO-CD.例5.在等腰梯形力6a9中，AD//BC,AB-DC,對角線〃'與"相交于點(diǎn)0,/8g60：例3.如圖，梯形ABC￡>中，AB//CD,ZA+ZB=90,AB=b,CD=a,E、/分別為AB、8的中點(diǎn),.b+a?b+aA. B. 2 3AC=10cm,求梯形的高應(yīng)的長.例6.如圖，在梯形/靦中，AD//BC(BC>AD),ZD=90°,BC=CD=\2,ZAB￡=45h,若｛氏10,則上.模塊三：中位線知識精講三角形中位線的定義和性質(zhì)：.定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，(強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)；.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半..梯形中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.【要點(diǎn)點(diǎn)撥】經(jīng)過三角形的一邊中點(diǎn)作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位線.同樣地，從梯形的一腰中點(diǎn)作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線定理的特例了.例題解析例1(1)順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；(2)順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；(3)順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(4)順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(5)順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(6)順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(7)順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(8)順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(9)順次聯(lián)結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是.

例2.（2019?上海浦東新區(qū)?八年級期中）如圖，Z\ABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，AD=BD,AE=EC,BC=6,則DE=（ ）A.4 B.3 C.2 D.5例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是（）A.平行四邊形B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形例4.（2019?上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為4，6,則梯形的中位線長為例5.（2019?上海上外附中）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為A￡＞，BC中點(diǎn)，且AB=6,C￡）=8,則EE的長度。的范圍是例6.（2017?上海閔行區(qū)?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是

例7.（2018?上海寶山區(qū)?八年級期末）如圖，將。被力中，AD=8,點(diǎn)、E,尸分別是被切的中點(diǎn)，則"為.例8.（2017?上海徐匯區(qū)?八年級期末）如圖，在△/笈中，點(diǎn)〃，6分別是邊力6,寬的中點(diǎn)，若"的長是6,則力仁例9.（2019?上海上外附中）如圖，矩形48CD中，46=6,A￡>=8,點(diǎn)0為對角線AC中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊AD中點(diǎn)，則四邊形ABOM的周長為?/9 C例10.（1）點(diǎn)。、E、尸分別是aABC三邊的中點(diǎn)，4?！晔闹荛L為105，則aABC的周長為；（2）aABC三條中位線的長為3c/n、4cm,5cm,則aABC的面積為.例11.如圖，在中，點(diǎn)〃是邊6c的中點(diǎn)，點(diǎn)內(nèi)，然平分NB4C,CELAE點(diǎn)尸在邊46上，EF//BC.(1)求證：四邊形以懷是平行四邊形；(2)線段8尸、AB、4C之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明.例12.如圖所示，在梯形切中，AD//BC,對角線AC_LBO交于點(diǎn)0,MN是模形ABCD的中位線，NDBC=3。,求證：AOMN.例13.如圖所示，在正方形4/力中，對角線47、初交于點(diǎn)。平分NBAC,交BC于點(diǎn)、E,交仍于點(diǎn)尸，求證：C序20F.例14.如圖1所示，已知劭、酸分別是AABC的外角平分線，過點(diǎn)力作AGLCE,垂足分別為尺G,連接R7,延長/尸、AG,與直線6c相交，易證FG=-(AB+BC+AC).(1)若如、應(yīng)分別是的內(nèi)角平分線(如圖2)：(2)劭為△466?的內(nèi)角平分線，四為△4砥的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種情況下，線段加與△46。三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系?請寫出你的猜想，并對其中的一種情況給予證明.例15.如圖，在四邊形465中，AD-BC,E、尸分別是徽48的中點(diǎn)，延長BC,分別交此'的延長線于點(diǎn)〃、G；求證：ZAHF^ZBGF.■B

■B隨堂檢測1.有隨堂檢測1.有兩個角相等的梯形是（A.等腰梯形B.直角梯形C.一般梯形D.直角梯形或等腰梯形.卜列命題中，真命題是（）4順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是矩形B.順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是菱形C.順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是等腰梯形〃順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊的中點(diǎn)，所得的四邊形一定是直角梯形.已知梯形的兩個對角分別是78°和120°,則另兩個角分別是（）A.78°或120°B.102°或60°C.120°或78°D.60°或120°.下列命題，錯誤命題的個數(shù)是 （）①若一個梯形是軸對稱圖形，則此梯形一定是等腰梯形；②等腰梯形的兩腰的延長線與經(jīng)過兩底中點(diǎn)的直線必交于一點(diǎn)；③一組對邊相等而另一組對邊不相等的四邊形是梯形；④有兩個內(nèi)角是直角的四邊形是直角梯形.41個 6.2個 C.3個 4個.如圖，在aABC中，D、E分別是BC、AC的中點(diǎn)，且A￡>_LA8,AD=4,AB=6.求AC的長..等腰梯形兩底之差等于一腰長，求它的底角的度數(shù)..如圖，四邊形ABC。中，AD不平行BC,現(xiàn)給出三個條件：?ZCAB=^DBA,?AC=BD,③AE>=BC.請從上述三個條件中選擇兩個條件，使得本題添上這兩個條件后能夠推出ABC。是等腰梯形，并加以證明（只需證明一種情況）..如圖，在四邊形ABC。中，E、F、G、”分別是AD、BD、BC、AC上的中點(diǎn),AB^5,8=7.求四邊形EFG”的周長.第13講梯形及中位線本章節(jié)主要講述了兩部分內(nèi)容，梯形和中位線，從直角梯形和等腰梯形的性質(zhì)出發(fā)，求解相關(guān)的邊與角的關(guān)系，在求解的過程中，部分題目需要添加輔助線.中位線主要包括兩個方面，三角形和梯形，在解題的過程中，要做到靈活應(yīng)用.模塊一：梯形及等腰梯形知識精講一、梯形及梯形的有關(guān)概念（1）梯形：一組對邊平行而另一組對邊不平行的四邊形叫做梯形.底：平行的兩邊叫做底，其中較長的是下底，較短的叫上底.腰：不平行的兩邊叫做腰.高：梯形兩底之間的距離叫做高.（2）特殊梯形直角梯形：一腰垂直于底的梯形叫做直角梯形.特殊梯形、、等腰梯形：兩腰相等的梯形叫做等腰梯形.思考討論：若上面兩個條件同時成立是否是梯形？交流：如果同時具備直角梯形和等腰梯形的特征，那么該圖形是矩形.【等腰梯形性質(zhì)】等腰梯形性質(zhì)定理1等腰梯形在同一底上的兩個內(nèi)角相等.等腰梯形性質(zhì)定理2等腰梯形的兩條對角線相等.另外：等腰梯形是軸對稱圖形；【等腰梯形判定】

等腰梯形判定定理1在同一底邊上的兩個內(nèi)角相等的梯形是等腰梯形.等腰梯形判定定理2對角線相等的梯形是等腰梯形.例題解析例i.（2019?上海八年級課時練習(xí)）如圖，梯形ABCD中，AD/7BC,NB=30°,ZBCD=60°,AD=2,AC平分/BCD,則BC長為（ ）.C.473C.473 D.3i/3【答案】B【分析】過點(diǎn)A作AE〃DC,可判斷出4ABE是直角三角形，四邊形ADCE是菱形，從而求出CE,BE即可得出BC的長度.【詳解】過點(diǎn)A作AE〃DC,VAD/7BC,二四邊形ADCE是平行四邊形,又,；AC平分/BCD,/.ZDAC=ZACE-ZDCA,；.AD=CD,，四邊形ADCE是菱形，；.CE=AD=AE=2,；AE〃CD,NAEB=NBCD=60°,又YNB=30°,.,.ZBAE=90",.*.BE=2AEM,；.BC=BE+CE=6.故答案為：6.【點(diǎn)睛】本題考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形，解題的關(guān)鍵是掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)、含30度角的直角三角形和梯形.例2.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）若等腰梯形兩底角為30°,腰長為8,高和上底相等，則梯形中位線長為（ ）A.8y/j B.10 C.4^+4 D.1673【答案】C【分析】分析題意畫出圖形,則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30°,由DE_LAB,ZA=30",AD=8,即可得出DE=4,進(jìn)而求出CD的長度；運(yùn)用勾股定理得出AE和BF的長度，易證四邊形CDEF是平行四邊形，得出EF的長度，進(jìn)而得出AB+CD的長度，由梯形中位線的性質(zhì)，即可解答本題.【詳解】根據(jù)題意畫出圖形，則DE=CD=CF,AD=8,ZA=30".因為DE_LAB,ZA=30",AD=8,所以DE='aD=4,2所以CD=4,AE-7ad2-DE2出,同理BF=16.因為DE_LAB,CF±AB,所以DE/7CF.因為CD〃EF,所以四邊形CDEF是平行四邊形，所以EF=CD=4.因為CD=4cm,AB=AE+EF+FB=4G+4+4 =8 +4,所以AB+CD=8+4+4=8 +8,所以梯形的中位線長為L (AB+CD)=473+4.故選C.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于需結(jié)合梯形中位線的性質(zhì)，勾股定理等知識進(jìn)行求解.例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）一個等腰梯形的兩底之差為12,高為6,則等腰梯形的銳角為（）A.30° B.45° C.60° D.75°【答案】B【分析】作梯形的兩條高線，證明△ABE@Z\DCF,則有BE=FC,然后判斷4ABE為等腰直角三角形求解.【詳解】如圖，作AE_LBC、DFLBC,四邊形ABCD為等腰梯形,AD〃BC,BC-AD=12,AE=6,?.?四邊形ABCD為等腰梯形，.*.AB=DC,ZB=ZC,VAD/7BC,AEXBC,DFXBC,AAEFD為矩形，；.AE=DF,AD=EF,.,.△ABE^ADCF,/.BE=FC,.*.BC-AD=BC-EF=2BE=12,；.BE=6,VAE=6,.,.△ABE為等腰直角三角形，.?.NB=NC=45°.故選B.【點(diǎn)睛】此題考直等腰梯形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.例4.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）下到關(guān)于梯形的敘述中，不正確的是A.等腰梯形的兩底平行且相等B.等腰梯形的兩條對角線相等C.等腰梯形在同一底上的兩個角相等D.等腰梯形是軸對稱圖形【答案】A【分析】本題考查時等腰梯形性質(zhì)的理解.等腰梯形的性質(zhì)如下:等腰梯形兩腰相等;等腰梯形兩底平行;等腰梯形的兩條對角線相等;等腰梯形同一底上的兩個內(nèi)角相等;等腰梯形是軸對稱圖形.【詳解】由等腰梯形的性質(zhì)可知,等腰梯形的對角線相等,其在同一底上的兩個角相等,可知B、C不符合題意；同時等腰梯形關(guān)于兩底中點(diǎn)的連線成軸對稱,即可得到D不符合題意，而等腰梯形兩底平行但不相等,因此A符合題意.故選A.【點(diǎn)睛】此題考查等腰梯形性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于對性質(zhì)的掌握.例5.（2017?上海八年級期末）一組對邊相等，另一組對邊平行的四邊形是（ ）A.梯形B.等腰梯形 C.平行四邊形D.等腰梯形或平行四邊形【答案】D【解析】根據(jù)特殊四邊形的性質(zhì)，分析所給條件，選擇正確答案.解：A、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故A不正確；B、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故B不正確；C、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故C不正確：D、一組對邊相等，另一組對邊平行，可以是等腰梯形，也可以是平行四邊形，故D正確.故選D.“點(diǎn)睛”本題考查了平行四邊形和等腰梯形的性質(zhì).考慮問題時應(yīng)該全面考慮，不能漏掉任何一種情況，要求培養(yǎng)嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膽B(tài)度.例6.（2019?上海上外附中）判斷：一組鄰角相等的梯形是等腰梯形（）【答案】錯誤【分析】根據(jù)題設(shè)畫出反例圖形即可.【詳解】解：反例：如圖，已知梯形4BCD，AD//BC,ZC=ZD=90°,而梯形ABCD不是等腰梯形.故該命題是假命題，故答案為：錯誤.【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的概念，熟悉等腰梯形的性質(zhì)，舉出反例是解題的關(guān)鍵.例7.（2020?上海楊浦區(qū)?八年級期末）已知在梯形ABCD中，AD//BC,A3=AO=0C=4,ACA.AB,那么梯形ABCD的周長等于.【答案】20【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到NZXC=NOC4,根據(jù)平行線的性質(zhì)得到ND4C=NACB,得到N￡>C4=N4CB，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)列式求出ZBC4=30°,根據(jù)直角三角形的性質(zhì)求出BC,根據(jù)梯形的周長公式計算，得到答案.【詳解】解：???AO=￡）C,：.ZDAC=ZDCA,-AD//BC,..ZDAC=ZACB,ZDC4=ZACB,-AD//BC,AB=DC.：.ZB=ZBCD=2ZACB,ACLAB,.?.ZB+ZBC4=9O°,HP3ZBC4=9O°..-.ZBC4=30°,..3C=2AB=8,-.AB=AD=DC=4,8c=8,；?梯形的周長=4+4+4+8=20,故答案為：20.BL 【點(diǎn)睛】本題考查的是梯形的性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)，掌握含30。的直角三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.例8.（2020?上海嘉定區(qū)?八年級期末）已知一個梯形的中位線長為5cm,其中一條底邊的長為6cm,那么該梯形的另一條底邊的長是cm.【答案】4【分析】根據(jù)梯形中位線定理解答即可.【詳解】解：設(shè)該梯形的另一條底邊的長是wm,根據(jù)題意得：］（x+6）=5,解得：六4,即該梯形的另一條底邊的長是4cm.故答案為；4.【點(diǎn)睛】本題考查了梯形中位線定理，屬于基本題目，熟練掌握該定理是解題關(guān)鍵.例9.（2018?上海市民辦揚(yáng)波中學(xué)八年級期末）如圖，在等腰梯形ABC。中，AB//CD,AD=AB>BD工BC,則NC=.【答案】60°【分析】利用平行線及AB〃 證明Z4￡）8=NABO=N8￡>C,再證明ZADC=/BCD,再利用直角三角形兩銳角互余可得答案.【詳解】解：因為：AB"CD，所以：NA￡>B=NAB。，因為：AD=AB<所以：NBDC=AABD,所以；ZADB=ZABD=ZBDC.因為：等腰梯形488，所以：ZADC=/BCD,設(shè)：ZBDC=x0,所以NBCD=2x0,因為：BD±BC.所以：龍+2x=90,解得：尤=30,所以：ZC=60°.故答案為：60°.【點(diǎn)睛】本題考查等腰梯形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)及平行線的性質(zhì)，掌握相關(guān)性質(zhì)是解題關(guān)鍵.例10.（2019?上海上外附中八年級期中）在梯形ABC。中，AB//CD,對角線ACLBD,AC=6,BO=8,則梯形ABC。的面積為.【答案】24【分析】根據(jù)對角線互相垂直的四邊形的面積公式即可求得答案.【詳解】解：如圖所示，梯形對角線垂直，則S.e=L-AC-8O=gx6x8=24.故答案是：24【點(diǎn)睛】本題考查對角線互相垂直的四邊形的面積公式：對角線垂直時，四邊形可看成四個直角三角形的面積之和，可得對角線互相垂直的四邊形面積為對角線乘積的一半.例11.（2020?上海浦東新區(qū)?八年級月考）如圖，在梯形4靦中，AD//BC,BC=12,AB=DC=3.Z5=60°.（1）求梯形的中位線長.（2）求梯形的面積.【答案】（1）8（2）3273【分析】（1）過4作1勿曲交比’于區(qū)則四邊形4陽?是平行四邊形，得AMEC,AE=DC,證出△力比'是等邊三角形，得BE=M=8,則4）=g4,即可得出答案；(2)作力以比于E則N加尸=90°-Z5=30°,由含30°角的直角三角形的性質(zhì)得出34,肪=Q跖=46，由梯形面積公式即可得出答案.【詳解】解：(1)過力作"〃山交火于后?：AD〃BC,???四邊形力也?是平行四邊形，：.AD=EaAE=DC,VAB=DC,：.AB=AEtVZ5=60°,:.l\ABE是等邊三角形，：.SE=AS=8,:?AD=EC=BC-BE=\2-8=4,???柳杉」以〃的中位線K=-/、)=^-(4T2)=8；2 2(2)作于E則/區(qū)始=90°-Z5=30°,：.BF^—AB=A,AF=￡bF=?6梯形力及力的面積(AABOXAF=g(4+12)><46=32道.A,DE\BFEC【點(diǎn)睛】此題考查了平行四邊形的判定及性質(zhì)，等邊三角形的判定及性質(zhì)，梯形中位線的性質(zhì)，直角三角形30度角的性質(zhì).例12.(2020?上海浦東新區(qū)?八年級期末)如圖，等腰三角形ABC中，AB=AC,點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，CE_LBF于點(diǎn)0.(1)求證：四邊形EBCF是等腰梯形；(2)EF=1,求四邊形EBCF的面積.

【分析】(1)根據(jù)三角形的中位線定理和等腰梯形的判定定理即可得到結(jié)論：(2)如圖，延長BC至點(diǎn)G,使CG=EF,連接FG,根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得到FG=EC=BF,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)和三角形中位線定理即可得到結(jié)論.【詳解】(1)???點(diǎn)E、F分別是AB、AC的中點(diǎn)，.,.EF//BC,BE=-AB=-AC=CF,2 2四邊形EBCF是等腰梯形：(2)如圖，延長BC至點(diǎn)G,使CG=EF,連接FG,VEF//BC,BPEF//CG,且CG=EF,四邊形EFGC是平行四邊形，又?.?四邊形EBCF是等腰梯形，.*.FG=EC=BF,VEF=CG,FC=BE,/.△EFB^ACGF(SSS),?*'S?*'S四邊形ebcf=SaBFG>VGC=EF=1,且EF二，BC,2JBC=2,ABG=BC+CG=l+2=3.VFG//EC,AZGFB=ZB0C=90°,TOC\o"1-5"\h\z1 3.*.FH=-BG=-,2 2. 1 39S四邊形EBCF=SaBFG=^X3X-=~?【點(diǎn)睛】本題考查了等腰梯形的判定，全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵.例13.如圖，已知梯形被力中，比是下底，除60°,BD平■分2ABC,魚BD1CD,若梯形周長是30的，求此梯形的面積.【難度】★★【答案】276cm2.【解析】,：BD平一分乙ABC,:.NABANDBO、NABO30°.2'：AD//BC, 力廄/加俏30°,：.AB=AD'：BDLCD,:.NDC±6Q°,:.NABGNDCB,：.AB=CD.設(shè).AB=CD=AD=x,RtABCD中,如￡30°,：.BC=2CD=2x,.*.30=a+x+x+2*,解得：a=6.作力反L6。，RtAABE中,,.,/力氏30°,.?.脛3,/ff=3>/3.(A世BGA行12n上c而.2【總結(jié)】本題考查梯形面積公式及等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例14.如圖，直角梯形四（力中，ZJ=90°,AD//BC,?5,NZM5°,切的垂直平分線交AD于點(diǎn)E,交胡的延長線于點(diǎn)凡求班'的長.【難度】★★【答案】5【解析】聯(lián)結(jié)終垂直平分CD,：.EC=ED,NECD=ND=45°,：./CEk9G°,；N4=90°,AD//BC,四邊形胡比是矩形，：.BC=AE.設(shè)吃產(chǎn)AE,:.E慶EX爐5-x；N曲=NG旌45°,...△/!吠是等腰直角三角形，A戶A氏xBF^BA+Af=5-x+x=5.【總結(jié)】本題考查中垂線的性質(zhì)，等腰直角三角形，直角梯形的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意用整體思想求出線段加的長.例15.如圖，在梯形4?＜力中，AD//BC,AB^AD-DC,Z5=60°,(3)求證：ABVAC^(4)若屐6,求梯形4靦的面積.【難度】★★【答案】(1)見解析；(2)27百.【解析】(1)'：AB=CD,:.N片NDC六6Q°,/刈//介120°,：AD-DC,的信N〃O=30°:.NBAC=NBAD~NDAC=l20°-30°=90°：.BA±AC；(2)'：AB=AD=DC,DC=6,：.CD=Al^AB=6在直角三角形/8C中，必=30°,1BU2AB=12作血8C,則｛氏3』，S(**L(A￡)+BC)AE=27豆.2【總結(jié)】本題主要考查含30°的直角三角形性質(zhì)與梯形面積公式的綜合運(yùn)用.例16.如圖，在梯形4靦中，AD//BC,CA平■分乙BCD,DE//AC,交比1的延長線于點(diǎn)色Z序2/反求證：AB=DC.【難度】★★【解析】??FC平分/及力：.ABC^Z.ACD^~4DCB2'：DE//AC,:.N拄NACF>NDCB2；N住2N￡,；.2入DCB?梯形46"中，AD//BC,：.AB-CD【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與角平分線的綜合運(yùn)用，注意對基本模型的總結(jié)運(yùn)用.例17.如圖，在等腰三角形/8C中，點(diǎn)〃、￡分別是兩腰/C、6。上的點(diǎn)，聯(lián)結(jié)質(zhì)口相交于點(diǎn)0,Z1=Z2.求證：梯形區(qū)應(yīng)c是等腰梯形.A【難度】★★【解析】：AB=AC,：.4DBC=/ECB在△陽9與△反方中，Z1=Z2,BOBC:.△BCMAECB,：.BD-CE'：A&-AC,：.AD=AE,二/力旌陷,(18O0-ZA)=N/4除N4G0：.DE//BC,又?.?6。與四不平行二四邊形做%'是梯形，且劭=3；...梯形H應(yīng)C是等腰梯形【總結(jié)】本題考查等腰梯形判定定理的運(yùn)用，注意證明梯形的方法的總結(jié).例18.如圖，梯形016c中，。為直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，4、B、C的坐標(biāo)分別為(14,0)、(14,3)、(4,3).點(diǎn)只0同時從原點(diǎn)出發(fā)，分別作勻速運(yùn)動，點(diǎn)〃沿物以每秒1個單位向終點(diǎn)4運(yùn)動，點(diǎn)、Q沿OC、曲以每秒2個單位向終點(diǎn)8運(yùn)動.當(dāng)這兩點(diǎn)中有一點(diǎn)到達(dá)自己的終點(diǎn)時，另一點(diǎn)也停止運(yùn)動.(1)設(shè)從出發(fā)起運(yùn)動了x秒，當(dāng)x等于多少時，四邊形/47為平行四邊形？(2)四邊形。尸”能否成為等腰梯形?說明理由.【難度】★★【答案】(D45： (2)不能.【解析】(1)由題可知：005,B40,01=14.'：BC//OA...當(dāng)。點(diǎn)在BC上,且0片。時，四邊形6W是平行四邊形即2尸5=X,解得；x=5；(2)作點(diǎn)C作血切于點(diǎn)E,過點(diǎn)Q作QFLOP與茂F'：AO//BC,：.CB-QF當(dāng)卷所4時，XOC曜XPQF,此時四邊形〃呼為等腰梯形，貨0片0E+C5PF,...產(chǎn)4+（2尸5）+4,解得：產(chǎn)-3（舍），四邊形0a不能成為等腰梯形.【總結(jié)】本題考查梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定與性質(zhì)以及等腰梯形的判定與性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意掌握輔助線的做法，以及數(shù)形結(jié)合思想與方程思想的綜合運(yùn)用.例19.如圖，等腰梯形花圃4時的底邊靠墻，另三邊用長為40米的鐵欄桿圍成，設(shè)該花圃的腰四的長為“米.（1）請求出底邊比■的長（用含x的代數(shù)式表示）；（2）若N曲么60°,該花圃的面積為S米2,求S與x之間的函數(shù)關(guān)系式，指出自變量x的取值范圍，并求當(dāng)9686時x的值.【難度】★★★【答案】（1）除40-2筋（2）S=--x2+2O>/3x（0<x<20）,產(chǎn)4.4【解析】（1）等腰梯形4比力中，AB^CD^x,工改>40-尸產(chǎn)40-2內(nèi)(2)作跖L49,CFLADTOC\o"1-5"\h\z同理FD=AE=>x,：.BE=CF--.2 2JEaBO40-2x,：.4>40r.(BC^AD)BE1 八?_3x/3x2 /-??S= =-(40—z.x+40-x) +2O\/3x10<x<20)?2 2 2 4當(dāng)S=686時，代入解析式，解得：尸4或工=竺(舍)3，當(dāng)我68石時*的值為4.【總結(jié)】本題考查等腰梯形性質(zhì)與函數(shù)解析式的結(jié)合，注意面積公式中各個量的含義.例20.已知，一次函數(shù)y=-(x+4的圖像與x軸，y軸，分別交于4、8兩點(diǎn),梯形AOBC(。是原點(diǎn))的邊(1)求點(diǎn)C的坐標(biāo)；(2)如果一"4'一次函數(shù)y=fcr+6(4、6為常數(shù)，且4#())的圖像經(jīng)過4、C兩點(diǎn)，求這個一次函數(shù)的解析式.【難度】★★★4 64 464【答案】⑴<7(13,4)或(19,4)或(16,5)； (2)y=，x+巴或y=々一..3 3-3 3【解析】由題可知：A(16,0),B(0,4).當(dāng)陽〃4C時，點(diǎn)C坐標(biāo)為(16,5),當(dāng)比〃初時，點(diǎn)C坐標(biāo)為(13,4)或(19,4)；(2)I?一次函數(shù)的圖像經(jīng)過/、。兩點(diǎn)，點(diǎn)坐標(biāo)不能為(16,5),“3(16,0),C(13,4)時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：尸_3+3；3 3當(dāng)力(16,0),C(19,4)時，利用待定系數(shù)法可得解析式為：y=^x-竺.3 3【總結(jié)】本題考查直角梯形性質(zhì)及一次函數(shù)的綜合運(yùn)用，注意分類討論，綜合性較強(qiáng).例21.如圖，直角梯形力及力中，AB//CD,N%=90°,AB=&,4M,屐3,動點(diǎn)一從點(diǎn)/出發(fā)，沿I-方向移動，動點(diǎn)0從點(diǎn)4出發(fā)，在48邊上移動.設(shè)點(diǎn)戶移動的路程為x,線段/。的長度為y,線段國平分梯形力頗的周長.(1)求y與x的函數(shù)關(guān)系式，并求出這個函數(shù)的定義域；(2)當(dāng)戶不在比'邊上時，線段可能否平分梯形4處的面積?若能，求出此時x的值；若不能，請說明理由.【難度】★★★【答案】(1)y=-x+9(3<x<9)；(2)13時，掰平分梯形面積.【解析】(1)過點(diǎn)「作CELA8于點(diǎn)、E,則C2A序3,上4,可得：除5,所以梯形力靦的周長是18.；出平分梯形/題的周長，，產(chǎn)片9,*/0<y<6? 3<x<9,y=-x+9(3<x<9)：(2)由題可知，梯形4g9的面積是18.因為〃不在此上，所以3Wx47.當(dāng)3Wx<4時，P在AD上,此時心改=」孫，???線段國能平分梯形加力的面積，則有■?■個=92可得方程組py1,解得：卜=3或產(chǎn)(舍)：[jty=18 [y=6[y=3當(dāng)4W后7時，點(diǎn)尸在曲上，此時5仞歿=3、4。-4+>>)?.?線段々能平分梯形月8切的面積，則有g(shù)x4(x-4+y)=9可得方程組\ ,方程組無解，[2x+2y=17當(dāng)方3時，線段圖能平分梯形｛及力的面積.【總結(jié)】本題利用梯形的性質(zhì)，三角形的面積公式，建立方程和方程組求解，注意針對不同情況討論，利用數(shù)形結(jié)合的思想進(jìn)行計算 .模塊二：輔助線知識精講解決梯形問題常用的方法②作高法：使兩腰在兩個直角三角形中；②移腰法：使兩腰在同一個三角形中，梯形兩個下底角是互余的，那么一般會用到這種添輔助線的方式，構(gòu)造直角三角形；③延腰法：構(gòu)造具有公共角的兩個等腰三角形；④等積變形法：聯(lián)結(jié)梯形上底一端點(diǎn)和另一腰中點(diǎn)，并延長與下底延長線交于一點(diǎn)，構(gòu)成三角形；⑤移對角線法：平移對角線，可以構(gòu)造特殊的圖形，如平行四邊形，如果是對角線互相垂直的等腰梯形，那么在平移的過程中，還可構(gòu)造等腰直角三角形，結(jié)合三線合一，求梯形的■^r等.例題解析例1.如圖，已知在梯形ABC￡>中，AD//BC, =A￡>=CE>=13,AEYBC,垂足為E,AE=\2,則BC邊的長等于( )

C.22D.23A.C.22D.23A.20B.21【難度】★★【答案】D【解析】AB=13,AE=\2, ...跖=5.:梯形ABC￡>中，ADUBC,AB-CD,AE±BC,：.BC=AD+2BE=13+2x5=23,故選D.【總結(jié)】本題主要考查等腰梯形性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例2.已知梯形A6CD中，AD//BC,NB=70,NC=40,AD=2,BC=1O.求DC的長.【難度】★★【答案】CD=8.【解析】作/A46,則四邊形4戚是平行四邊形.:.AFB拄2,NN皮70°.在△龍C中，NCM0°,：.ZEDC=180°-40°-70°=70°,:.CgC方BOBB=\0-2=8.【總結(jié)】本題考查輔助線——做一邊的平行線，構(gòu)造平行四邊形.例3.如圖，梯形A3CO中，AB//CD,ZA+ZB=90,AB=b,CD=a,E、F分別為AB、CD的中點(diǎn)，則所的長等于（ ）.b+a Db+a ?b-a nb-a

【難度】★★【答案】C【解析】分別過點(diǎn)尸做FH//BC,分別交劭于點(diǎn)G,H可得平行四邊形DFGA與平行四邊形FCBH：.AG=FD=CF=B4-CD=-a,:.G+b~a2 2：N/f+N^90°,.,.可得直角△尸掰E是GH中點(diǎn)、：.E/^-GH=-(b-a),故選C.2 2【總結(jié)】本題考查直角三角形中線性質(zhì)與梯形輔助線的添加.例4.已知：如圖，在梯形4%力中，AD//BC,AB=AC,/為右90°,BD=BC,BD交AC于0.求證：CO^CD.【難度】★★【解析】作AFLBC,DELBC,'：AD//BC,：.A廣DE.，在RtABDE中'N質(zhì)＞30°,閱廬NHC75"：.乙Doe/DBG乙AC皆15°,：./CDg/C0215°,Z.CD^CO.【總結(jié)】本題考查梯形的常用輔助線一做梯形的高，把梯形問題轉(zhuǎn)化成三角形，矩形的問題,然后根據(jù)已知條件和三角形性質(zhì)解題.例5.在等腰梯形4靦中，AD//BC,AB=DC,對角線4c與切相交于點(diǎn)0,N800=60°,AOiOcm,求梯形的高分'的長.【難度】★★【答案】5>/3cm.【解析】等腰梯形4靦中，,：0年0C,N80C=6Q°,可得等邊△優(yōu)力，:.NDBONA?6c?:仍盼M???在直角△應(yīng)唐中，B拄、BD=5,2/.DE=5拒cm.【總結(jié)】本題考查梯形的相關(guān)計算，注意方法的運(yùn)用.例6.如圖，在梯形4時中，AD“BC（BC>AD）,ZD=90°,BC=CD=\2,ZABE=45°,若4代10,則誨.【難度】★★★【答案】4或6.【解析】過點(diǎn)8作曲的垂線交DA延長線于機(jī)V為垂足,延長用倒G,使得MG-CE,聯(lián)結(jié)BG,可得四邊形成"/是正方形.：.BC=BM,NeNBMG=90°,EC=GM,:.叢BESABMG,:"MBG=/CBE?.?/4叱45°,.,.Z6B￡VZJ^45O,:.NGBm/ABM=45°,:.NAB斤NABg5°,:4B=4ABG,力伍｛氏10設(shè)CiAx,則4滬10—x, 氏12—(10—x)=2+x,DE=\2—x.在.Rt4ADE中,由｛￡="+芯，解得：產(chǎn)4或產(chǎn)6.故龍的長為4或6.【總結(jié)】本題考查了直角三角形中勾股定理的運(yùn)用，考查了全等三角形的判定和對應(yīng)邊相等的性質(zhì)，注意輔助線的添加方法，將問題轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題.模塊三：中位線知識精講三角形中位線的定義和性質(zhì)：.定義三角形的中位線：聯(lián)結(jié)三角形兩邊中點(diǎn)的線段，(強(qiáng)調(diào)它與三角形的中線的區(qū)別)：.三角形中位線定理：三角形的中位線平行于第三邊，并且等于它的一半..梯形中位線定理：梯形的中位線平行于底邊，并且等于兩底和的一半.【要點(diǎn)點(diǎn)撥】經(jīng)過三角形的一邊中點(diǎn)作另一邊的平行線，也可以證明得到的平行線段為中位線.同樣地，從梯形的一腰中點(diǎn)作底的平行線，可以證明得到的平行線段為中位線.如果把三角形看成是一個上底長度為零的特殊的梯形的話，那么三角形中位線定理就成為梯形中位線定理的特例了.例題解析例1(1)順次聯(lián)結(jié)四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；(2)順次聯(lián)結(jié)平行四邊形各邊中點(diǎn)所組成的四邊形是；(3)順次聯(lián)結(jié)矩形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(4)順次聯(lián)結(jié)正方形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(5)順次聯(lián)結(jié)菱形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(6)順次聯(lián)結(jié)對角線互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(7)順次聯(lián)結(jié)等腰梯形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；(8)順次聯(lián)結(jié)對角線相等的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是；（9）順次聯(lián)結(jié)對角線相等且互相垂直的四邊形各邊中點(diǎn)所得到的四邊形是.【難度】★【答案】（1）平行四邊形：（2）平行四邊形；（3）菱形；（4）正方形；（5）矩形；（6）矩形：（7）菱形：（8）菱形：（9）正方形.【解析】利用三角形中位線性質(zhì)可證明.【總結(jié)】本題考查中位線性質(zhì)和四邊形判定方法，注意對相關(guān)規(guī)律的總結(jié).例2.（2019?上海浦東新區(qū)?八年級期中）如圖，ZXABC中，點(diǎn)D、E分別在AB、AC邊上，AD=BD,AE=EC,BC=6,則DE=（ ）A.4 B.3 C.2 D.5【答案】B【分析】根據(jù)三角形的中位線的定理即可求出答案.【詳解】；AD=BD,AE=EC,DE是△ABC的中位線,/.BC=2DE,/.DE=3,故選B.【點(diǎn)睛】此題考查三角形的中位線，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用三角形的中位線定理，本題屬于基礎(chǔ)題型.例3.（2018?上海市清流中學(xué)八年級月考）順次連接等腰梯形各邊中點(diǎn)所圍成的四邊形是（）A.平行四邊形B.矩形 C.菱形 D.等腰梯形【答案】C【分析】由E、F、G、H分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，得出EF,HG,FG,EH是中位線，再得出四條邊相等，根據(jù)“四條邊都相等的四邊形是菱形”進(jìn)行證明.【詳解】如圖所示，因為E、F、G、II分別為AB、BC、CD、DA的中點(diǎn)，連接AC、BD,因為E、F分別是AB、BC的中點(diǎn),所以EF='ac,同理可得HG=，AC,F'G=-BD,EH--Bl）,2 2 2 2又因為等腰梯形的對角線相等，即AC=BD,因此有EF=FG=GH=HE,所以連接等腰梯形各中點(diǎn)所得四邊形為菱形.故選c.【點(diǎn)睛】此題考查三角形中位線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于畫出圖形.例4.（2019?上海上外附中）梯形兩條對角線互相垂直，且長度分別為4，6,則梯形的中位線長為【答案】V13【分析】作OE〃A。交AC延K線于京E，得到直角三角形BOE，和平行四邊形ABED-運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)和勾股定理求得班:的長度，依據(jù)梯形中位線等于上下底和的一半即可.【詳解】解：如圖，梯形ABC。，AD//BC,AC=6,BD=4,ZBOC=90°,作DE//AC交AC延長線于點(diǎn)E,四邊形A8￡￡）是平行四邊形，4BDE=NBOC=90°,CE=AD.OE=AC=6,BE=^BD2+DE2=>/42+62=2>/13.BC+AD=BC+CE=BE=2岳,梯形的中位線長為JR.故答案為：V13.【點(diǎn)睛】本題考查了梯形的中位線的性質(zhì)、平行四邊形的判定和性質(zhì)、勾股定理，解題的關(guān)鍵是通過作平行線把上下底的和看成一個整體.例5.（2019?上海上外附中）如圖，四邊形ABCD中，E，F(xiàn)分別為AD,中點(diǎn)，且AB=6,C￡）=8,則EE的長度。的范圍是【答案】l<aW7【分析】連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接GE、GF，得到EG是QBA的中位線，F(xiàn)G是△O8C的中位線，依據(jù)三角形中位線的性質(zhì)求出GE=,A3=3,GF=-DC^4,分2 2ABHDC，AB.DC不平行時，兩種情況討論，依據(jù)三角形三邊關(guān)系即可.【詳解】解：連接BD,取BD的中點(diǎn)G,連接GE、GF,又,：E，E分別為AO，BC中點(diǎn)，...EG是aDBA的中位線，F(xiàn)G是/XDBC的中位線,：.GE=-AB=3,GF=-DC^4,2 2①當(dāng)AB〃0C時，EF=GE+GF=7；②當(dāng)AB、OC不平行時，?：GF-GE<EF<GE+GF,A1<￡F<7；綜上所述：1<EFW7,BIH<a<7.故答案為；l<aW7.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形三邊大小關(guān)系，構(gòu)造三角形的中位線、分類討論是解題的關(guān)鍵.例6.（2017?上海閔行區(qū)?八年級期末）如圖，在四邊形ABCD中，E、F、G、H分別是AB、BD、CD、AC的中點(diǎn)，要使四邊形EFGH是菱形，四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是【答案】AD=BC.【解析】菱形的判別方法是說明一個四邊形為菱形的理論依據(jù)，常用三種方法：①定義；②四邊相等；③對角線互相垂直平分.據(jù)此四邊形ABCD還應(yīng)滿足的一個條件是AD=BC.等.答案不唯一.解：條件是AD=BC.VEH,GF分別是△ABC、△BCD的中位線,.,.EH〃」BC,GF〃=4C,2 2...EH〃=GF,...四邊形EFGH是平行四邊形.要使四邊形EFGH是菱形，則要使AD=BC,這樣，GH=-^AD,；.GH=GF,...四邊形EFGH是菱形.例7.（2018?上海寶山區(qū)?八年級期末）如圖，將，16⑺中，AD=S,點(diǎn)反尸分別是加,【分析】由四邊形被力是平行四邊形，根據(jù)平行四邊形的對邊相等，可得比'=448,又由點(diǎn)區(qū)廠分別是即、龍的中點(diǎn)，利用三角形中位線的性質(zhì)，即可求得答案.【詳解】解：???四邊形49是平行四邊形，：.BC^AD=8,,:點(diǎn)、E、尸分別是物、或的中點(diǎn)，TOC\o"1-5"\h\z1c：.EF=—BC=—X8=4.2故答案為：4.【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)與三角形中位線的性質(zhì).例8.（2017?上海徐匯區(qū)?八年級期末）如圖，在△｛笈中，點(diǎn)。，￡分別是邊48歐的中點(diǎn)，若龐1的長是6,則4G .【答案】12.【分析】根據(jù)三角形中位線定理計算即可.【詳解】解：???點(diǎn)D,E分別是邊AB,BC的中點(diǎn)，.-.AC=2DE=12,故答案為：12.【點(diǎn)睛】本題考查的是三角形中位線定理的應(yīng)用，掌握三角形的中位線平行于第三邊，且等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵.例9.（2019?上海上外附中）如圖，矩形ABC。中，AB=6,4）=8,點(diǎn)。為對角線4C中點(diǎn)，點(diǎn)M為邊AD中點(diǎn)，則四邊形的周長為9 C【答案】18【分析】根據(jù)題意可知的/是aAOC的中位線，所以的長可求；根據(jù)勾股定理可求出的長，利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半可求出血的長，進(jìn)而求出四邊形40/的周長.【詳解】解：?.?矩形ABC。中，AB=6.AD=8,：.AC=\lAB2+BC2=V62+82=10-,?/???。為47的中點(diǎn)，"為力〃的中點(diǎn)，.?.OM為aA。。的中位線，AM=-AD^4,2：.OM=-DC=-x6=3,2 2BO=-AC=-x\0=5,2 2四邊形 的周長=QM+AM+A8+3O=3+4+6+5=18,故答案為：18.【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)、三角形的中位線的性質(zhì)以及直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半這一性質(zhì)，題目的綜合性很好，難度不大.例10.(1)點(diǎn)。、E、尸分別是aABC三邊的中點(diǎn)，△￡＞防的周長為IOcth,則aABC的周長為：aABC三條中位線的長為3cm、4cm、5cm,則aABC的面積為.【難度】★【答案】(1)20cm；(2)24cth2.【解析】(1)=AB+BC+AC=2(DE+EF+DF)=20cm.(2),三條中位線的長為3cth、4cm、5cm,且3?+42=52,???可知△力比是直角三角形，,..5=—x6x8=24an：【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例11.如圖，在々4BC中，點(diǎn)〃是邊況的中點(diǎn)，點(diǎn)6在aABC內(nèi)，平分NBAC,CE1AE點(diǎn)尸在邊45上，EF//BC.(3)求證：四邊形颯F是平行四邊形；(4)線段跖、AB、/C之間有怎么樣的數(shù)量關(guān)系?并證明.A【難度】★★【答案】（1）見解析：（2）2BRAOAB.【解析】（1）延長龍交初于點(diǎn)G,：AELCG,45"平分/力C...△/顏與龍中，NGA母NCAE,AE^AE,4AE34AEC：.△AGE^△ACE：.AG-AC,即是等腰三角形，r.f是6T的中點(diǎn).?.?〃是。的中點(diǎn)，，龐7/胡，'：EF//BD,.?.四邊形放印是平行四邊形；（2）?瓦?是△及Z的中位線，J.ED--BG.2又V平行四邊形BDEF,：.ED-BF,：.BP--BG,即BG=2BF.2'：AG^AC,：.2BRAUB6ARBA.【總結(jié)】本題考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)、中位線的性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形，用中位線的性質(zhì)解題.例12.如圖所示，在梯形力比。中，AD//BC,對角線AC_L8￡＞交于點(diǎn)0,的是梯形4靦的中位線，ZDBC=30,求證：AOMN.【難度】★★【解析】YADUBC,:?/ADO=/DBC=300.:?在RtAAOD和RtABOC中,04=工他0O-BC.2 2：.AC=0A+0O^(AD+BC).是梯形被力的中位線，MN--(AD+BC),J.AC^MN.【總結(jié)】本題考查梯形中位線的性質(zhì)和宜角三角形中性質(zhì)的綜合運(yùn)用.例13.如圖所示，在正方形4比。中，對角線47、即交于點(diǎn)0,力￡平分44C,交班1于點(diǎn)E,交仍于點(diǎn)尸，求證：CE-20F.【難度】★★【解析】取的中點(diǎn)G,聯(lián)結(jié)0G?正方形/政力中，對角線4G加交于點(diǎn)0,A0G//CE,C420G：.ZAOG-ZACB=45°,/GOB=NOBU45°.■:AE汽?分乙BAC,：.ACAE=22.^,AZEG(^AEAC^AAOG=22.5°+45°=67.5",:.△OFG中,N6R^180°-67.5°-45°=67.5",：.40F44EG0,：.0G-0F,：.CE^20F.【總結(jié)】本題考查三角形中位線的性質(zhì)的綜合運(yùn)用，注意利用角度得到等腰三角形.例14.如圖1所示，已知加、龍分別是AA8C的外角平分線，過點(diǎn)/作AF_LB￡),AGLCE,垂足分別為尺G,連接能延長/AAG,與直線比'相交，易證FG=^(AB+BC+AC).(1)若被、龍分別是△力肉的內(nèi)角平分線(如圖2)；(2)劭為△?(優(yōu)的內(nèi)角平分線，6為△4反1的外角平分線(如圖3),則在圖2、圖3兩種情況下，線段尾與△?!常三邊又有怎樣的數(shù)量關(guān)系