最新北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教學(xué)課件全冊(cè)

最新北師大版九年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)教學(xué)課件全冊(cè)第一章特殊平行四邊形1.1菱形的性質(zhì)與判定下面幾幅圖片中都含有一些平行四邊形。觀察這些平行四邊形，你能發(fā)現(xiàn)它們有什么樣的共同特征？與下圖相比較，這些平行四邊形特殊在哪里？這些平行四邊形的鄰邊相等。像這樣的平行四邊形叫做菱形。有一組鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。圖片中有你熟悉的圖形嗎？

你能舉出一些生活中菱形的例子嗎？與同伴交流。（1）菱形是特殊的平行四邊形，它具有一般平行四邊形的所有性質(zhì)。你能列舉一些這樣的性質(zhì)嗎？

菱形的對(duì)邊平行且相等，對(duì)角相等，對(duì)角線互相平分。中心對(duì)稱圖形。

（2）你認(rèn)為菱形還具有哪些特殊的性質(zhì)？與同伴交流。

想一想（1）菱形是軸對(duì)稱圖形嗎？如果是，它有幾條對(duì)稱軸？對(duì)稱軸之間有什么位置關(guān)系？做一做

用菱形紙片折一折，回答下列問題：菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸，分別是兩條對(duì)角線所在的直線，兩條對(duì)稱軸互相垂直。菱形的四條邊相等。菱形是軸對(duì)稱圖形，有兩條對(duì)稱軸，是菱形領(lǐng)條對(duì)角線所在的直線。兩條對(duì)稱軸互相垂直。菱形的鄰邊相等，對(duì)邊相等，四條邊都相等。通過上面的折紙活動(dòng)，我們可以發(fā)現(xiàn)菱形的四條邊相等，對(duì)角線互相垂直。下面我們證明這些結(jié)論。（2）菱形中有哪些相等的線段？

已知：如圖，在菱形ABCD中，AB=AD,對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.求證：（1）AB=BC=CD=AD；（2）AC⊥BD.證明：（1）∵四邊形ABCD是菱形，∴AB=CD，AD=BC（菱形的對(duì)邊相等）又∵AB=AD∴AB=BC=CD=AD

（2）∵AB=AD∴△ABD是等腰三角形又∵四邊形ABCD是菱形∴OB=OD（菱形的對(duì)角線互相平分）在等腰三角形ABD中，∵OB=OD∴AO⊥BD即AC⊥BD定理菱形的四條邊都相等。定理菱形的兩條對(duì)角線互相垂直。

菱形是特殊的平行四邊形，它除具有平行四邊形所有性質(zhì)外，還有平行四邊形所沒有的特殊性質(zhì)：例1如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O，∠BAD=60°，BD=6，求菱形的邊長(zhǎng)AB和對(duì)角線AC的長(zhǎng)。

隨堂練習(xí)如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O.已知AB=5cm，AO=4cm，求BD的長(zhǎng).已知:如圖,四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為13cm的菱形,其中對(duì)角線BD長(zhǎng)10cm.求:(1).對(duì)角線AC的長(zhǎng)度;(2).菱形ABCD的面積.菱形性質(zhì)的應(yīng)用解:(1)∵四邊形ABCD是菱形,=2×△ABD的面積∴∠AED=900,(2)菱形ABCD的面積=△ABD的面積+△CBD的面積∴AC=2AE=2×12=24(cm).菱形的面積等于兩條對(duì)角線乘積的一半已知，如圖，在菱形ABCD中，∠BAD=2∠B.求證：△ABC是等邊三角形。如圖，在菱形ABCD中，BD=6，AC=8，求菱形的周長(zhǎng)。已知，如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O。求證：AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ABC和∠ADC.通過本題你又能得到菱形有什么性質(zhì)？菱形的每條對(duì)角線平分一組對(duì)角。如圖，在菱形ABCD中，對(duì)角線AC與BD相交于點(diǎn)O,圖中有多少個(gè)等腰三角形和直角三角形？已知：如圖，四邊形ABCD是菱形，F(xiàn)是AB上一點(diǎn)，DF交AC于E,連接BE.求證：∠AFD=∠CBE.菱形的判別方法:一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形.四條邊都相等的四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.對(duì)角線互相垂直平分的四邊形是菱形.

想一想怎樣判別一個(gè)四邊形(平行四邊形)是菱形?定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.菱形的判定已知:如圖,在四邊形ABCD中,AB=BC=CD=DA.求證:四邊形ABCD是菱形.CBDA分析:利用菱形定義和兩組對(duì)邊分別相等的四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵AB=BC=CD=DA,∴AB=CD,BC=DA.∴四邊形ABCD是平行四邊形∵AB=AD,∴四邊形ABCD是菱形。定理:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.已知:如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC⊥BD.求證:四邊形ABCD是菱形.DBCAO證明:∵四邊形ABCD是平行四邊形.∴AO=CO.∵AC⊥BD,∴DA=DC.(線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等)∴四邊形ABCD是菱形.分析:要證明□ABCD是菱形,就要證明有一組鄰邊相等即可.課堂小結(jié)1、定理:菱形的四條邊都相等.∵四邊形ABCD是菱形,∴AB=BC=CD=AD.CBDA2、定理:菱形的兩條對(duì)角線互相垂直,并且每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.∵AC,BD是菱形ABCD的兩條對(duì)角線.∴AC⊥BD,AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.DBCAO定理:四條邊都相等的四邊形是菱形.定理:對(duì)角線互相垂直的平行四邊形是菱形.在四邊形ABCD中,∵AB=BC=CD=AD,∴四邊形ABCD是菱形.∵AC,BD是□ABCD的兩條對(duì)角線,AC⊥BD.∴四邊形ABCD是菱形.CBDADBCAO第一章特殊平行四邊形1.2矩形的性質(zhì)與判定學(xué)習(xí)

目

標(biāo)1、能用綜合法證明矩形的性質(zhì)定理、判定定理以及相關(guān)結(jié)論；2、能用矩形的性質(zhì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的證明與計(jì)算．請(qǐng)從邊、角、對(duì)角線三個(gè)方面說一說平行四邊形有哪些性質(zhì)？邊：對(duì)邊平行且相等；角：對(duì)角相等；對(duì)角線：對(duì)角線互相平分．新課

導(dǎo)

入

分析：（1）矩形的形成過程是平行四邊形的一個(gè)角由量變到質(zhì)變的變化過程．（2）矩形只比平行四邊形多一個(gè)條件：“一個(gè)角是直角”，不能用“四個(gè)角都是直角的平行四邊形是矩形”來定義矩形．定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形．知識(shí)

講

解矩形與平行四邊形之間的關(guān)系平行四邊形矩形（3）矩形是特殊的平行四邊形，具有平行四邊形的一切性質(zhì)（共性），還具有它自己特殊的性質(zhì)（個(gè)性）．（4）從邊、角、對(duì)角線方面，觀察或度量猜想矩形的特殊性質(zhì)．①邊：對(duì)邊平行且相等（與平行四邊形相同），鄰邊互相垂直；②角：四個(gè)角是直角（性質(zhì)1）；③對(duì)角線：相等且互相平分．ABCDO定理:矩形的四個(gè)角都是直角.已知:如圖,四邊形ABCD是矩形.分析:由矩形的定義,利用對(duì)角相等,鄰角互補(bǔ)可使問題得證.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴∠A=90,四邊形ABCD是平行四邊形.∴∠C=∠A=90,∠B=180-∠A=90,∠D=180-∠A=90.求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90.∴四邊形ABCD是矩形.DBCA定理:矩形的兩條對(duì)角線相等.已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線.求證:AC=BD.證明:∵四邊形ABCD是矩形.∴AB=DC,∠ABC=∠DCB=90°.分析:根據(jù)矩形的性質(zhì),可轉(zhuǎn)化為全等三角形(SAS)來證明.DBCA∵BC=CB.∴△ABC≌△DCB(SAS).∴AC=DB.推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．練一練：如圖，在矩形ABCD中：?jiǎn)枺涸赗t△ABC中，斜邊AC上的中線是OB，它與斜邊的關(guān)系是OB=

AC．問：是不是所有的三角形都有這樣的性質(zhì)?關(guān)鍵是是不是任何一個(gè)三角形都可以放進(jìn)一個(gè)矩形里?【例1】已知:如圖,AC,BD是矩形ABCD的兩條對(duì)角線,AC,BD相交于點(diǎn)O,∠AOD=120°,AB=2.5cm.求矩形對(duì)角線的長(zhǎng).解析:∵四邊形ABCD是矩形.DBCAO你認(rèn)為例1還可以怎么去解？定理:有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.已知:如圖,在四邊形ABCD中,∠A=∠B=∠C=90°.分析:利用同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行來證明四邊形是平行四邊形,可使問題得證.證明:∵∠A=∠B=∠C=90°.∴∠A+∠B=180°,∠B+∠C=180°.∴AD∥BC,AB∥CD.求證:四邊形ABCD是矩形.∴四邊形ABCD是平行四邊形.DBCA∴四邊形ABCD是矩形.結(jié)論定理:對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形.已知:如圖,在□ABCD中,對(duì)角線AC=BD.求證:平行四邊形ABCD是矩形.DBCA分析:要證明□ABCD是矩形,只要證明有一個(gè)角是直角即可.證明:∴AB=CD,AB∥CD.∵AC=DB,BC=CB.∴△ABC≌△DCB.∴∠ABC=∠DCB.∵四邊形ABCD是平行四邊形.∵∠ABC+∠DCB=180°.∴∠ABC=90°.∴四邊形ABCD是矩形.下列各句判定矩形的說法是否正確？為什么？（1）對(duì)角線相等的四邊形是矩形；（）（2）對(duì)角線互相平分且相等的四邊形是矩形；（）（3）有四個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）（4）對(duì)角線相等，且有一個(gè)角是直角的四邊形是矩形；（）√

√

跟蹤訓(xùn)練╳╳定理:如果一個(gè)三角形一邊上的中線等于這邊的一半,那么這個(gè)三角形是直角三角形.求證:△ABC是直角三角形.已知:CD是△ABC邊AB上的中線,且EABCD分析:要證明△ABC是直角三角形,可以將點(diǎn)A,B,C構(gòu)造平行四邊形,然后證明其對(duì)角線相等,即可證明是矩形.證明:延長(zhǎng)CD到E,使DE=DC,連接AE,BE.∴四邊形ACBE是平行四邊形.∵AB=2CD,CE=2CD.∴AC=DB.∴四邊形ACBE是矩形.∵AD=BD,CD=ED.∴∠ACB=90°.∴△ABC是直角三角形.1．如圖所示，已知□ABCD，下列條件：①AC=BD，②AB=AD，③∠1=∠2，④AB⊥BC中，能說明□ABCD是矩形的有

（填寫序號(hào)）.解析：根據(jù)對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；矩形的定義.答案：①④隨堂

練

習(xí)2．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝8，AD是底邊上的高，E為AC的中點(diǎn)，則DE＝

．解析：根據(jù)直角三角形斜邊的中線等于斜邊的一半可得，DE等于AC的一半，所以DE=4.答案：43．如圖，在等邊△ABC中，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，以AD為邊作等邊△ADE．（1）求∠CAE的度數(shù)；（2）取AB邊的中點(diǎn)F，連結(jié)CF、CE，試證明四邊形AFCE是矩形．解析：（1）在等邊△ABC中，∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴∠DAC＝30o，又∵等邊△ADE，∴∠DAE＝60o，∴∠CAE＝30o.（2）在等邊△ABC中，∵F是AB邊的中點(diǎn)，D是BC邊的中點(diǎn)，∴CF＝AD，∠CFA＝90o，又∵AD＝AE，∴AE＝CF，由（1）知∠CAE＝30o，∴∠EAF＝60o+30o＝90o，∴∠CFA＝∠EAF，∴CF∥AE，∵AE＝CF，∴四邊形AFCE是平行四邊形，又∵∠CFA＝90o，∴四邊形AFCE是矩形．4．已知：如圖，四邊形ABCD是由兩個(gè)全等的正三角形ABD和BCD組成的，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn)．求證：四邊形BMDN是矩形．證明：在正三角形ABD和BCD中，M、N分別為BC、AD的中點(diǎn).∴BN⊥AD，DM⊥BC，∠DBC=60°，∠BND=∠DMB=90°，∠NBD=30°.∴∠NBM=90°.∴四邊形BMDN是矩形.通過本課時(shí)的學(xué)習(xí)，需要我們掌握：1、矩形的性質(zhì)：（1）矩形的四個(gè)角都是直角；（2）矩形的對(duì)角線相等；（3）推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半.2、矩形的判定定理：（1）定義：有一個(gè)角是直角的平行四邊形是矩形；（2）對(duì)角線相等的平行四邊形是矩形；（3）有三個(gè)角是直角的四邊形是矩形.3、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊上的一半.本課

小

結(jié)第一章特殊平行四邊形1.3正方形的性質(zhì)與判定由正方形的定義可知，正方形既是有一組鄰邊相等的矩形，又是有一個(gè)角為直角的菱形．有一組鄰邊相等且有一個(gè)角是直角的平行四邊形叫做正方形.定義正方形是特殊的平行四邊形，也是特殊的矩形，也是特殊的菱形．正方形的性質(zhì)=菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì).定理:正方形的兩條對(duì)角線相等,并且互相垂直平分,每條對(duì)角線平分一組對(duì)角.求證:(1)AC=BD,AC⊥BD,AO=CO,BO=DO;(2)AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.已知:四邊形ABCD是正方形,AC,BD是它的兩條對(duì)角線.ABCDO分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.證明:∴四邊形ABCD是平行四邊形,也是矩形,也是菱形.∴AO=CO,BO=DO;AC=BD,;∵四邊形ABCD是正方形,AC⊥BD;AC平分∠BAD和∠BCD,BD平分∠ADC和∠ABC.定理:正方形的四個(gè)角都是直角,四條邊都相等.求證:(1)∠A=∠B=∠C=∠D=90°.(2)AB=BC=CD=DA.分析:因?yàn)檎叫尉哂芯匦魏土庑蔚乃行再|(zhì),所以結(jié)論易證.ABCD已知:四邊形ABCD是正方形.證明:∴四邊形ABCD是矩形,也是菱形.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°,AB=BC=CD=DA.∵四邊形ABCD是正方形,對(duì)角線相等的菱形是正方形.有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.正方形的判定方法：2.在正方形ABCD的外側(cè)作等邊△ADE，

則∠AEB的度數(shù)為（）1.在□ABCD中，AC平分∠DAB，AB=3，則□ABCD的周長(zhǎng)為（）隨堂

練

習(xí)A．6B．9C．12D．15ABCD【解析】選C.可證明□ABCD是菱形．A．10°B．12.5°C．15°D．20°C3.如圖所示，在菱形ABCD中，兩條對(duì)角線AC＝6，BD＝8，則此菱形的邊長(zhǎng)為（）A．5 B．6C．8 D．10ABCD【解析】選A.根據(jù)菱形的對(duì)角線互相垂直平分和勾股定理得菱形的邊長(zhǎng)為5.4．若一個(gè)菱形的邊長(zhǎng)為2，則這個(gè)菱形兩條對(duì)角線長(zhǎng)的平方和為（）A．16 B．8 C．4

D．1A5.如圖，已知正方形ABCD，以AB為邊向正方形外作等邊三角形ABE，連結(jié)DE，CE，則∠DEC=_______.

【解析】△ABE為等邊三角形∠BAE=60°，∠DAE=150°，△ABE為等腰三角形，∠AED=15°同理∠BEC=15°所以∠DEC=30°答案：30°6.如圖，在△ABC中，D是BC邊的中點(diǎn)，E、F分別在AD及其延長(zhǎng)線上，CE∥BF，連接BE、CF．(1)求證：△BDF≌△CDE；(2)若AB=AC，求證：四邊形BFCE是菱形．【證明】（1）∵D是BC的中點(diǎn)，∴BD=CD.∵CE∥BF，∴∠DBF=∠DCE.又∵∠BDF=∠CDE，∴△BDF≌△CDE.（2）∵△CDE≌△BDF，∴DE=DF.∵BD=CD，∴四邊形BFCE是平行四邊形.在△ABC中，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，即EF⊥BC.∴四邊形BFCE是菱形.本課

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結(jié)2、正方形常用的判定方法：(1)對(duì)角線相等的菱形是正方形.(2)有一個(gè)角是直角的菱形是正方形.(3)對(duì)角線互相垂直的矩形是正方形.1、正方形的性質(zhì)：(4)有一組鄰邊相等的矩形是正方形.菱形的性質(zhì)+矩形的性質(zhì)第二章一元二次方程2.1認(rèn)識(shí)一元二次方程問題15x-15=0這是一個(gè)什么樣的方程？

只含有一個(gè)未知數(shù)（元），并且未知數(shù)的次數(shù)是1的整式方程叫一元一次方程（linearequationwithoneunknown）

認(rèn)識(shí)一元二次方程問題2大明休閑中心有一個(gè)長(zhǎng)為10m，寬為6m的游泳池，現(xiàn)想將游泳池的面積改造成35m2，若長(zhǎng)寬同時(shí)減少相同的長(zhǎng)度，問減少多少米？解：設(shè)減少x米，則長(zhǎng)為(10-x)米，寬為(6-x)米(10-x)(6-x)=35x2-16x+25=0這個(gè)方程與以前所學(xué)的一元一次方程有什么異同？想一想610xx10-x6-x

5x-15=0

①x2-16x+25=0

②相同點(diǎn)：方程兩邊都是整式;都含有一個(gè)未知數(shù)不同點(diǎn)：方程①中的未知數(shù)x最高次是1次方程②中的未知數(shù)x最高次是2次

你能結(jié)合方程①給方程②起一個(gè)名字嗎？方程x2-16x+25=0的兩邊都是整式，只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2次，我們把這樣的方程叫做一元二次方程。一元二次方程的定義一元二次方程要素①方程兩邊都是整式②只含有一個(gè)未知數(shù)③未知數(shù)的最高次數(shù)是2次試一試1、判斷下列方程中,哪些是一元二次方程?x2+

-3=0(2)x3-x+4=0(3)x2-2y-3=0(4)–5y2＋3y+1=0(5)2x2=0(6)4x2＋3x-2=(2x-1)2(不是)(不是)(不是)(是)(是)(不是

)為什么第6小題不是呢?4x2＋3x

－2=(2x-1)2你是怎么解這題的?4x2＋3x

－2=4x2-4x+1(完全平方公式)4x2—4x2＋3x+4x=1+2(移項(xiàng))(合并同類項(xiàng))7x=3一元二次方程的一般形式

一般地,任何一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程都可以化為,

ax2+bx+c=0的形式,我們把a(bǔ)x2+bx+c=0(a,b,c為常數(shù)，a≠0）稱為一元二次方程的一般形式.

為什么要限制a≠0，b,c可以為零？當(dāng)a=0時(shí)bx+c=0當(dāng)a≠0，b=0時(shí)ax2+c=0當(dāng)a≠0，c=0時(shí)ax2+bx=0當(dāng)a≠0，b=0,c=0時(shí)ax2=0只要滿足a≠0，a,b,c可以為任意實(shí)數(shù)一元二次方程的一般形式ax2+bx+c=0中ax2說明：要找到一元二次方程的系數(shù)和常數(shù)項(xiàng)，必須先將方程化為一般形式。bxc二次項(xiàng)一次項(xiàng)常數(shù)項(xiàng)二次項(xiàng)系數(shù)一次項(xiàng)系數(shù)ab例題分析

把方程3x(x-1)=2(x-2)-4化成一般形式，并寫出它的二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)及常數(shù)項(xiàng)。解:

去括號(hào)，得3x2-3x=2x-4-4

移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，得方程的一般形式：3x2-5x+8=0它的二次項(xiàng)系數(shù)是3，一次項(xiàng)系數(shù)是-5，常數(shù)項(xiàng)是8已知關(guān)于x的方程(m+1)x2+3x+1=0,它是一元二次方程嗎？解：根據(jù)一元二次方程的定義,

只需m+1≠0

即m≠-1

所以,當(dāng)m≠-1時(shí)方程是一元二次方程

在今天這節(jié)課上，你有什么樣的收獲呢？有什么感想？1.一元二次方程的定義2.一元二次方程的一般形式

ax2+bx+c=0（

a,b,c為常數(shù)，a≠0

）3.一元二次方程中的為二次項(xiàng)ax2，a為二次項(xiàng)系數(shù)；一次項(xiàng)為bx，一次項(xiàng)系數(shù)為b；常數(shù)項(xiàng)為c。第二章一元二次方程2.2用配方法求解一元二次方程開心練一練：

(1)(2)2、下列方程能用直接開平方法來解嗎?1、用直接開平方法解下列方程:靜心想一想：(1)(2)(3)能否把(3)轉(zhuǎn)化成(x+b)2=a(a≥0)的形式呢?(1)(2)(3)=(+)2=(

)2=(

)2左邊:所填常數(shù)等于一次項(xiàng)系數(shù)一半的平方.右邊:所填常數(shù)等于一次項(xiàng)系數(shù)的一半.填上適當(dāng)?shù)臄?shù)或式,使下列各等式成立.大膽試一試：共同點(diǎn)：()2=(

)2(4)觀察(1)(2)看所填的常數(shù)與一次項(xiàng)系數(shù)之間有什么關(guān)系?(1)(2)的結(jié)論適合于(3)嗎?適用于(4)嗎?現(xiàn)在你會(huì)解方程嗎?把常數(shù)項(xiàng)移到方程右邊得：兩邊同加上得：即兩邊直接開平方得：解:∴原方程的解為如何配方?例1:用配方法解方程解:配方得：開平方得：移項(xiàng)得：∴原方程的解為：一次項(xiàng)系數(shù)變?yōu)樨?fù)又如何配方呢?例2:你能用配方法解方程嗎？解:配方得：開平方得：移項(xiàng)得：∴原方程的解為：化二次項(xiàng)系數(shù)為1得：想一想用配方法解一元二次方程一般有哪些步驟?1、用配方法解下列方程:2、用配方法將下列式子化a(x+h)2+k的形式。(1)x2+8x-15=0(2)x2-5x-6=0(3)2x2-5x-6=0(4)x2+px+q=0(p2-4q＞

0)

(3)-3x2-2x+1

(2)x2-x+1

(1)y2+y-2（2）移項(xiàng)（3）配方（4）開平方（5）寫出方程的解2、用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的步驟：1、配方法：

通過配方,將方程的左邊化成一個(gè)含未知數(shù)的完全平方式,右邊是一個(gè)非負(fù)常數(shù),運(yùn)用直接開平方求出方程的解的方法。(1)化二次項(xiàng)系數(shù)為1小結(jié)第二章一元二次方程2.3用公式法求解一元二次方程公式法是這樣產(chǎn)生的你能用配方法解方程ax2+bx+c=0(a≠0)嗎?1.化1:把二次項(xiàng)系數(shù)化為1;3.配方:方程兩邊都加上一次項(xiàng)系數(shù)絕對(duì)值一半的平方;4.變形:方程左分解因式,右邊合并同類;5.開方:根據(jù)平方根意義,方程兩邊開平方;6.求解:解一元一次方程;7.定解:寫出原方程的解.2.移項(xiàng):把常數(shù)項(xiàng)移到方程的右邊;一般地,對(duì)于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)

上面這個(gè)式子稱為一元二次方程的求根公式.用求根公式解一元二次方程的方法稱為公式法老師提示用公式法解一元二次方程的前提是:1.必需是一般形式的一元二次方程:ax2+bx+c=0(a≠0).

2.b2-4ac≥0.當(dāng)時(shí)，方程有實(shí)數(shù)根嗎？例1、用公式法解方程5x2-4x-12=01.變形:化已知方程為一般形式;3.計(jì)算:b2-4ac的值;4.代入:把有關(guān)數(shù)值代入公式計(jì)算;5.定根:寫出原方程的根.2.確定系數(shù):用a,b,c寫出各項(xiàng)系數(shù);例2.用公式法解方程2x2+5x-3=0解:a=2b=5c=-3∴b2-4ac=52-4×2×(-3)=49即x1=-3x2=求根公式:

X=(a≠0,

b2-4ac≥0)解：a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

=

.即x1=,x2=.（口答）填空：用公式法解方程

2x2+x-6=021-612-4×2×(-6)49-2求根公式:

X=(a≠0,

b2-4ac≥0)a=

，b=

，c=

.b2-4ac=

=

.x=

=

=

.即x1=,x2=.例3：用公式法解方程x2+4x=214-242-4×1×(-2)24解：移項(xiàng)，得x2+4x-2=0這里的a、b、c的值是什么？3、代入求根公式:X=

(a≠0,b2-4ac≥0)1、把方程化成一般形式,并寫出a，b，c的值。2、求出b2-4ac的值。用公式法解一元二次方程的一般步驟：4、寫出方程的解：x1=?,x2=?例4解方程：解：結(jié)論：當(dāng)時(shí)，一元二次方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根.思考題：1、關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)。當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，方程的兩根為互為相反數(shù)？2、m取什么值時(shí)，方程x2+(2m+1)x+m2-4=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)解關(guān)于一元二次方程，當(dāng)a，b，c滿足什么條件時(shí)，方程的兩根互為相反數(shù)？解：一元二次方程的解為：解：已知方程求c和x的值.小結(jié)用公式法解一元二次方程的關(guān)鍵是解題步驟：３.最后代入公式當(dāng)時(shí)，有兩個(gè)實(shí)數(shù)根當(dāng)時(shí)，方程無實(shí)數(shù)解１.先寫出a，b，c２.再求出第二章一元二次方程2.4用因式分解法求解一元二次方程教學(xué)目標(biāo)1、熟練掌握用因式分解法解一元二次方程。

2、通過因式分解法解一元二次方程的學(xué)習(xí)，樹立轉(zhuǎn)化的思想。

重點(diǎn)難點(diǎn)重點(diǎn)：用因式分解法解一元二次方程難點(diǎn)：正確理解AB=0〈=〉A(chǔ)=0或B=0（A、B表示兩個(gè)因式）用因式分解法求解一元二次方程自學(xué)檢測(cè)題1、什么樣的一元二次方程可以用因式分解法來解？2、用因式分解法解一元二次方程，其關(guān)鍵是什么？3、用因式分解法解一元二次方程的理論依據(jù)是什么?4、用因式分解法解一元二方程，必須要先化成一般形式嗎？因式分解主要方法:

(1)提取公因式法

(2)公式法:a2－b2=(a+b)(a－b)

a2±2ab+b2=(a±b)2因式分解法解方程:4x2=9解：移項(xiàng)，得利用平方差公式分解因式，得可得所以，原方程的根是像上面這種利用因式分解解一元二次方程的方法叫做因式分解法。它的基本步驟是：(1)若方程的右邊不是零，則先移項(xiàng)，使方程的右邊為零；(2)將方程的左邊分解因式；(3)根據(jù)若A·B=0,則A=0或B=0,將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程。填空：（1）方程x2+x=0的根是

；（2）x2－25=0的根是

。x1=0,x2=-1x1=5,x2=-5例1解下列一元二次方程：(3x－4)2=(4x－3)2.解:移項(xiàng)，得（3x-4)2-(4x-3)2=0.將方程的左邊分解因式，得[(3x-4)+(4x-3)][(3x-4)-(4x-3)]=0,

即(7x-7)(-x-1)=0.∴7x-7=0,或-x-1=0.∴x1=1,x2=-1(1)4x2=12x;(2)(x-2)(2x-3)=6;(3)x2+9=-6x;(4)9x2=(x-1)2(5)用因式分解法解下列方程：練一練1.解方程x2－2√3x=-32.若一個(gè)數(shù)的平方等于這個(gè)數(shù)本身,你能求出這個(gè)數(shù)嗎(要求列出一元二次方程求解)?注意：當(dāng)方程的一邊為0時(shí)，另一邊容易分解成兩個(gè)一次因式的積時(shí)，則用因式分解法解方程比較方便.

練一練因式分解法解一元二次方程的基本步驟：（1）將方程變形，使方程的右邊為零；（2）將方程的左邊因式分解；（3）根據(jù)若A·B=0，則A=0或B=0，將解一元二次方程轉(zhuǎn)化為解兩個(gè)一元一次方程。能用因式分解法解一元二次方程遇到類似例1這樣的，移項(xiàng)后能直接因式分解就直接因式分解，否則移項(xiàng)后先化成一般式再因式分解.課堂小結(jié)第二章一元二次方程*2.5一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式：

x=(b2-4ac≥0)一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系1.

填表，觀察、猜想

方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

x2-2x+1=01,121x2+3x-10=02,-5-3-10x2+5x+4=0-1,-4-54問題：你發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？①用語言敘述你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②x2+px+q=0的兩根x1,

x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。

如果關(guān)于x的方程的兩根是,,則:根與系數(shù)的關(guān)系如果方程二次項(xiàng)系數(shù)不為1呢?

方程x1,

x2

x1+

x2

x1.x2

2x2-3x-2=03x2-4x+1=0問題：上面發(fā)現(xiàn)的結(jié)論在這里成立嗎？請(qǐng)完善規(guī)律；①用語言敘述發(fā)現(xiàn)的規(guī)律；②ax2+bx+c=0的兩根x1,,x2用式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系：（韋達(dá)定理）如果方程ax2+bx+c=0(a≠0)的兩個(gè)根是x1,x2

,那么x1+x2=-,x1x2=注：能用根與系數(shù)的關(guān)系的前提條件為b2-4ac≥0韋達(dá)（1540－1603）

韋達(dá)是法國(guó)十六世紀(jì)最有影響的數(shù)學(xué)家之一。第一個(gè)引進(jìn)系統(tǒng)的代數(shù)符號(hào)，并對(duì)方程論做了改進(jìn)。

他生于法國(guó)的普瓦圖。年青時(shí)學(xué)習(xí)法律當(dāng)過律師，后從事政治活動(dòng)，當(dāng)過議會(huì)的議員，在對(duì)西班牙的戰(zhàn)爭(zhēng)中曾為政府破譯敵軍的密碼。韋達(dá)還致力于數(shù)學(xué)研究，第一個(gè)有意識(shí)地和系統(tǒng)地使用字母來表示已知數(shù)、未知數(shù)及其乘冪，帶來了代數(shù)學(xué)理論研究的重大進(jìn)步。韋達(dá)討論了方程根的各種有理變換，發(fā)現(xiàn)了方程根與系數(shù)之間的關(guān)系（所以人們把敘述一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的結(jié)論稱為“韋達(dá)定理”）。

韋達(dá)在歐洲被尊稱為“代數(shù)學(xué)之父”。一元二次方程根與系數(shù)關(guān)系的證明：X1+x2=+==-X1x2=●===例已知方程x2-(k+1)x+3k=0的一個(gè)根是2,求它的另一個(gè)根及k的值。解：設(shè)方程的另一個(gè)根為x1.把x=2代入方程，得4-2(k+1)+3k=0解這方程，得k=-2由根與系數(shù)關(guān)系，得2x1＝3k

即2x1

＝－6∴x1

＝－3答：方程的另一個(gè)根是－3,k的值是－2。練習(xí)已知關(guān)于x的方程當(dāng)m=

時(shí),此方程的兩根互為相反數(shù).當(dāng)m=

時(shí),此方程的兩根互為倒數(shù).－11練習(xí)

已知兩個(gè)數(shù)的和是1，積是-2，則兩個(gè)數(shù)是

。2和-1解法(一):設(shè)兩數(shù)分別為x,y則:{解得:x=2y=－1{或

ｘ＝－1y=2{解法(二):設(shè)兩數(shù)分別為一個(gè)一元二次方程的兩根則:求得∴兩數(shù)為2,－１已知兩個(gè)數(shù)的和與積，求兩數(shù)拓展：方程

有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，求m的取值范圍。解:由已知,△=即m>0m-1<0∴0<m<1一正根，一負(fù)根△＞0x1x2＜0兩個(gè)正根△≥0x1x2＞0x1+x2＞0兩個(gè)負(fù)根△≥0x1x2＞0x1+x2＜0{{{小結(jié)：歸納小結(jié)：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：

兩根的和等于一次項(xiàng)系數(shù)與二次項(xiàng)系數(shù)的比的相反數(shù)，兩根的積等于常數(shù)項(xiàng)于二次項(xiàng)系數(shù)的比。第二章一元二次方程2.6應(yīng)用一元二次方程還記得本章開始時(shí)梯子下滑的問題嗎？①在這個(gè)問題中，梯子頂端下滑1米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離大于1米，那么梯子頂端下滑幾米時(shí)，梯子底端滑動(dòng)的距離和它相等呢？②如果梯子長(zhǎng)度是13米，梯子頂端與地面的垂直距離為12m，那么梯子頂端下滑的距離與梯子底端滑動(dòng)的距離可能相等嗎？如果相等，那么這個(gè)距離是多少？如圖：某海軍基地位于A處，在其正南方向200海里處有一重要目標(biāo)B，在B的正東方向200海里處有一重要目標(biāo)C，小島D位于AC的中點(diǎn)，島上有一補(bǔ)給碼頭。小島F位于BC中點(diǎn)。一艘軍艦從A出發(fā)，經(jīng)B到C勻速巡航，一艘補(bǔ)給船同時(shí)從D出發(fā)，沿南偏西方向勻速直線航行，欲將一批物品送達(dá)軍艦。已知軍艦的速度是補(bǔ)給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補(bǔ)給船相遇，那么相遇時(shí)補(bǔ)給船航行了多少海里？（結(jié)果精確到0.1海里）1．分析平均變化率問題的數(shù)量關(guān)系問題1思考，并填空：

1.某農(nóng)戶的糧食產(chǎn)量年平均增長(zhǎng)率為

x，第一年的產(chǎn)量為

60000kg，第二年的產(chǎn)量為

_____________

kg，

第三年的產(chǎn)量為______________

kg．260000

1+x（

）60000

1+x（

）

2a

1-x（

）a

1-x（

）

2．某糖廠

2012年食糖產(chǎn)量為

a噸，如果在以后兩年平均減產(chǎn)的百分率為

x，那么預(yù)計(jì)

2013年的產(chǎn)量將是_________．2014年的產(chǎn)量將是__________．

問題:你能歸納上述兩個(gè)問題中蘊(yùn)含的共同等量關(guān)系嗎？

兩年后：變化后的量=變化前的量2×

1±

x（

）兩年前生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是5000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是6000元，隨著生產(chǎn)技術(shù)的進(jìn)步，現(xiàn)在生產(chǎn)1t甲種藥品的成本是3000元，生產(chǎn)1t乙種藥品的成本是3600元，哪種藥品成本的年平均下降率較大？2．解決實(shí)際問題乙種藥品成本的年平均下降額為(6000-3600)÷2=1200（元）．甲種藥品成本的年平均下降額為

(5000-3000)÷2=1000（元），

解：設(shè)甲種藥品成本的年平均下降率為

x

解方程，得x1≈0.225，x2≈1.775．

列方程得．5000(1

-

x)2

=

3000

一年后甲種藥品成本為

元，

兩年后甲種藥品成本為元．5000(1

-

x)

25000(1

-

x)

根據(jù)問題的實(shí)際意義，成本的年平均下降率應(yīng)是小于

1

的正數(shù)，應(yīng)選

0.225．所以，甲種藥品成本的年平均下降率約為

22.5%．兩種藥品成本的年平均下降率相等，成本下降額較大的產(chǎn)品，其成本下降率不一定較大．成本下降額表示絕對(duì)變化量，成本下降率表示相對(duì)變化量，兩者兼顧才能全面比較對(duì)象的變化狀況．你能概括一下“變化率問題”的基本特征嗎？解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟是什么？4．歸納小結(jié)“變化率問題”的基本特征：平均變化率保持不變；解決“變化率問題”的關(guān)鍵步驟：找出變化前的數(shù)量、變化后的數(shù)量，找出相應(yīng)的等量關(guān)系．例：雪融超市今年的營(yíng)業(yè)額為280萬元，計(jì)劃后年的營(yíng)業(yè)額為403.2萬元，求平均每年增長(zhǎng)的百分率？分析：今年到后年間隔2年，今年的營(yíng)業(yè)額×（1+平均增長(zhǎng)率)2

=后年的營(yíng)業(yè)額。

1+x=±1.2(舍去)答：平均每年的增長(zhǎng)20%.解：平均每年增長(zhǎng)的百分率為x,根據(jù)題意得：小結(jié)類似地,這種增長(zhǎng)率的問題在實(shí)際生活普遍存在,有一定的模式.若平均增長(zhǎng)(或降低)百分率為x,增長(zhǎng)(或降低)前的是a,增長(zhǎng)(或降低)n次后的量是b,則它們的數(shù)量關(guān)系可表示為:1、用20cm長(zhǎng)的鐵絲能否折成面積為30cm2的矩形,若能夠,求它的長(zhǎng)與寬;若不能,請(qǐng)說明理由.解:設(shè)這個(gè)矩形的長(zhǎng)為xcm,則寬為cm,即x2-10x+30=0這里a=1,b=－10,c=30,∴此方程無解.∴用20cm長(zhǎng)的鐵絲不能折成面積為30cm2的矩形.面積問題2.某校為了美化校園,準(zhǔn)備在一塊長(zhǎng)32米,寬20米的長(zhǎng)方形場(chǎng)地上修筑若干條道路,余下部分作草坪,并請(qǐng)全校同學(xué)參與設(shè)計(jì),現(xiàn)在有兩位學(xué)生各設(shè)計(jì)了一種方案(如圖),根據(jù)兩種設(shè)計(jì)方案各列出方程,求圖中道路的寬分別是多少?使圖(1),(2)的草坪面積為540米2.(1)(2)(1)解:(1)如圖，設(shè)道路的寬為x米，

化簡(jiǎn)得，其中的x=25超出了原矩形的寬，應(yīng)舍去.∴圖(1)中道路的寬為1米.如圖，設(shè)路寬為x米，草坪矩形的長(zhǎng)（橫向）為

，草坪矩形的寬（縱向）

。相等關(guān)系是：草坪長(zhǎng)×草坪寬=540米2(20-x)米（32-x)米即化簡(jiǎn)得：再往下的計(jì)算、格式書寫與解法1相同。(2)解法二：我們利用“圖形經(jīng)過移動(dòng)，它的面積大小不會(huì)改變”的道理，把縱、橫兩條路移動(dòng)一下，使列方程容易些（目的是求出路面的寬，至于實(shí)際施工，仍可按原圖的位置修路）.第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.1用樹狀圖或表格求概率

在一次試驗(yàn)中，如果可能出現(xiàn)的結(jié)果只有____個(gè)，且各種結(jié)果出現(xiàn)的可能性大小____，我們可以通過列舉試驗(yàn)結(jié)果的方法，分析出隨機(jī)事件發(fā)生的概率。用樹狀圖或表格求概率有限相等當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素(如:同時(shí)擲兩個(gè)骰子）或一個(gè)因素做兩次試驗(yàn)（如:一個(gè)骰子擲兩次）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通?？梢圆捎昧斜矸ǎ部梢杂脴錉顖D。這個(gè)游戲?qū)π×梁托∶鞴絾幔?/p>

小明和小亮做撲克游戲，桌面上放有兩堆牌,分別是紅桃和黑桃的1,2,3,4,5,6,小明建議:我從紅桃中抽取一張牌,你從黑桃中取一張,當(dāng)兩張牌數(shù)字之積為奇數(shù)時(shí)，你得1分，為偶數(shù)我得1分,先得到10分的獲勝”。如果你是小亮,你愿意接受這個(gè)游戲的規(guī)則嗎?為什么？解：我不愿意接受這個(gè)游戲的規(guī)則，理由如下：列表：由表中可以看出,在兩堆牌中分別取一張,它可能出現(xiàn)的結(jié)果有36個(gè),它們出現(xiàn)的可能性相等。解：根據(jù)題意，畫出如下樹形圖：

由樹形圖可以看出,在兩堆牌中分別取一張,有36種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等。

因?yàn)镻(A)<P(B),所以如果我是小亮,我不愿意接受這個(gè)游戲的規(guī)則。

當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個(gè)因素,并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時(shí),為了不重不漏的列出所有可能的結(jié)果,通常采用列表法.一個(gè)因素所包含的可能情況另一個(gè)因素所包含的可能情況兩個(gè)因素所組合的所有可能情況,即n

在所有可能情況n中,再找到滿足條件的事件的個(gè)數(shù)m,最后代入公式計(jì)算.列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn):

當(dāng)一次試驗(yàn)中涉及3個(gè)因素或更多的因素時(shí),怎么辦?想一想，什么時(shí)候用“列表法”方便，什么時(shí)候用“樹形圖”方便？1234561(1,1)(2,1)(3,1)(4,1)(5,1)(6,1)2(1,2)(2,2)(3,2)(4,2)(5,2)(6,2)3(1,3)(2,3)(3,3)(4,3)(5,3)(6,3)4(1,4)(2,4)(3,4)(4,4)(5,4)(6,4)5(1,5)(2,5)(3,5)(4,5)(5,5)(6,5)6(1,6)(2,6)(3,6)(4,6)(5,6)(6,6)當(dāng)一次試驗(yàn)涉及兩個(gè)因素時(shí)，且可能出現(xiàn)的結(jié)果較多時(shí)，為不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用列表法ACDEHIHIHIBCDEHIHIHIBCHACHACIADHADIAEHAEIBCIBDHBDIBEHBEI當(dāng)一次試驗(yàn)涉及3個(gè)因素或3個(gè)以上的因素時(shí)，列表法就不方便了，為不重復(fù)不遺漏地列出所有可能的結(jié)果，通常用樹形圖例2.同時(shí)拋擲三枚硬幣,求下列事件的概率:(1)三枚硬幣全部正面朝上;(2)兩枚硬幣正面朝上而一枚硬幣反面朝上;(3)至少有兩枚硬幣正面朝上.

解:由樹形圖可以看出,拋擲3枚硬幣有8種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等.(1)滿足三枚硬幣全部正面朝上(記為事件A)的結(jié)果有1種(2)滿足兩枚硬幣正面朝上而一枚硬幣反面朝上(記為事件B)的結(jié)果有3種(3)滿足至少有兩枚硬幣正面朝上(記為事件C)的結(jié)果有4種第三章概率的進(jìn)一步認(rèn)識(shí)3.2用頻率估計(jì)概率用列舉法求概率的條件是什么?(1)實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果是有限個(gè)(n)(2)各種結(jié)果的可能性相等.當(dāng)實(shí)驗(yàn)的所有結(jié)果不是有限個(gè);或各種可能結(jié)果發(fā)生的可能性不相等時(shí).又該如何求事件發(fā)生的概率呢?3.2用頻率估計(jì)概率下表記錄了一名球員在罰球線上投籃的結(jié)果.

投籃次數(shù)（n）50100150200250300350投中次數(shù)（m）286078104123152251投中頻率（）

把全班同學(xué)分成10組，每組同學(xué)擲一枚硬幣100次，整理同學(xué)們獲得的試驗(yàn)數(shù)據(jù)，并記錄在表中.第一組的數(shù)據(jù)填在第一列，第一、二組的數(shù)據(jù)之和在第二列，…，10個(gè)組的數(shù)據(jù)之和填在第10列.根據(jù)上表中的數(shù)據(jù)，在圖中標(biāo)注出對(duì)應(yīng)的點(diǎn).投擲次數(shù)n

O0.511002003004006008009005007001000“正面向上”的頻率請(qǐng)同學(xué)們根據(jù)試驗(yàn)所得數(shù)據(jù)想一想：“正面向上”的頻率有什么規(guī)律？

在拋擲一枚硬幣時(shí)，結(jié)果不是“正面向上”就是“反面向上”，因此，從上面提到的試驗(yàn)中也能得到相應(yīng)“反面向上”的頻率.當(dāng)“正面向上”的頻率逐漸穩(wěn)定到0.5時(shí)，“反面向上”的頻率呈現(xiàn)什么規(guī)律嗎？容易看出，“反面向上”的頻率也相應(yīng)地穩(wěn)定到0.5，于是我們也用0.5這個(gè)常數(shù)表示“反面向上”發(fā)生的可能性的大小，至此，試驗(yàn)驗(yàn)證了我們的猜想：拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣時(shí)，“正面向上”與“反面向上”的可能性相等（各占一半）.

因?yàn)樵趎次試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻數(shù)m滿足0≤m≤n，所以 ，進(jìn)而可知頻率所穩(wěn)定到的常數(shù)p滿足0≤p≤1，因此0≤P(A)≤1。上面我們用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到的常數(shù)刻畫了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小.一般地，在大量重復(fù)試驗(yàn)中，如果事件A發(fā)生的頻率會(huì)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)p附近，那么這個(gè)常數(shù)p就叫做事件A的概率，記為P（A）＝p.事件一般用大寫英文字母A，B，C…表示歷史上，有人曾做過成千上萬次拋擲硬幣的試驗(yàn)，他們的試驗(yàn)結(jié)果見表試驗(yàn)者拋擲次數(shù)（n）“正面向上”次數(shù)（m）“正面向上”頻率（）莫弗204810610.518布豐404020480.5069費(fèi)勒1000049790.4979皮爾遜1200060190.5016皮爾遜24000120120.5005隨著拋擲次數(shù)的增加，“正面向上”的頻率的變化趨勢(shì)有何規(guī)律？觀察在重復(fù)拋擲一枚硬幣時(shí)，“正面向上”的頻率在0.5的左右擺動(dòng).從一定的高度落下的圖釘，落地后可能圖釘尖著地，也可能圖釘尖不找地，估計(jì)一下哪種事件的概率更大，與同學(xué)合作，通過做實(shí)驗(yàn)來驗(yàn)證一下你事先估計(jì)是否正確？你能估計(jì)圖釘尖朝上的概率嗎？【拓展】

你能設(shè)計(jì)一個(gè)利用頻率估計(jì)概率的實(shí)驗(yàn)方法估算該不規(guī)則圖形的面積的方案嗎?了解了一種方法----用多次試驗(yàn)頻率去估計(jì)概率體會(huì)了一種思想：用樣本去估計(jì)總體用頻率去估計(jì)概率弄清了一種關(guān)系------頻率與概率的關(guān)系當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)很多或試驗(yàn)時(shí)樣本容量足夠大時(shí),一件事件發(fā)生的頻率與相應(yīng)的概率會(huì)非常接近.此時(shí),我們可以用一件事件發(fā)生的頻率來估計(jì)這一事件發(fā)生的概率.第四章圖形的相似4.1成比例線段四條線段a、b、c、d

中，如果a：b=c：d，那么這四條線段a、b、c、d

叫做成比例的線段，簡(jiǎn)稱比例線段.成比例線段已知四條線段a、b、c、d

，如果或a：b=c：d，那么a、b、c、d

叫做組成比例的項(xiàng)，線段a、d

叫做比例外項(xiàng)，線段b、c

叫做比例內(nèi)項(xiàng)，線段d

叫做a、b、c的第四比例項(xiàng).如果作為比例內(nèi)項(xiàng)的是兩條相同的線段

，或a：b=b：c，即那么線段b叫做線段a和c的比例中項(xiàng).兩條線段的比是它們的長(zhǎng)度的比，也就是兩個(gè)數(shù)的比.關(guān)于成比例的數(shù)具有下面的性質(zhì).比例式是等式，因而具有等式的各個(gè)性質(zhì)，此外還有一些特殊性質(zhì)：(1)比例的基本性質(zhì)如果a：b=c：d，那么ad=bc.比例的內(nèi)項(xiàng)乘積等于外項(xiàng)乘積.如果ad=bc，那么a：b=c：d

.如果a：b=b：c，那么b2=ac.說明：(1)一個(gè)等積式可以改寫成八個(gè)比例式(比值各不相同)；(2)對(duì)調(diào)比例式的內(nèi)項(xiàng)或外項(xiàng)，比例式仍然成立(比值變了).(2)合比性質(zhì)如果,

那么.(3)等比性質(zhì)如果,

那么(b+d+…+n≠0).本課小結(jié)：主要內(nèi)容：成比例線段的意義，比例的3個(gè)主要性質(zhì)及其應(yīng)用.能力要求：通過本課的學(xué)習(xí)，形成比例變形的能力，要做一定量的習(xí)題，達(dá)到熟練.第四章圖形的相似4.2平行線分線段成比例情境引入你能不通過測(cè)量快速將一根繩子分成兩部分，使得這兩部分的比是2:3？4.2平行線分線段成比例將向下平移到如圖的位置，直線m,n與的交點(diǎn)分別為，，問題2中的結(jié)論還成立嗎？計(jì)算試一試。如果將平移到其他位置呢？abcABCDEF兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。34x7已知兩條直線被三條平行線所截，截得線段長(zhǎng)度如圖所示，你能求出x的值嗎?解：由已知條件可得：如圖4-8，直線a∥b∥c

，分別交直線m,n于

A1，A2，A3，B1，B2，B3

。過點(diǎn)A1作直線n的平行線，分別交直線b，c于點(diǎn)C2，C3。如圖4-9，圖4-9中有哪些成比例線段？推論：平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，截得的對(duì)應(yīng)線段成比例。ABCDE∵DE∥AB例1、如圖，在△ABC中，E、F分別是AB和AC上的點(diǎn)，且EF∥BC,

（1）.如果AE=7,FC=4，那么AF的長(zhǎng)是多少？（2）.如果AB=10,AE=6，AF=5，那么FC的長(zhǎng)是多少？ABCEF通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)你學(xué)會(huì)了什么？你是如何獲取這些知識(shí)的？１．通過歸納與猜想，探索“兩條直線被一組平行線所截，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例”的基本事實(shí)．２．通過作平行線構(gòu)造三角形，將平行線分線段成比例的基本事實(shí)特殊化，得到一個(gè)推論．３．掌握利用基本事實(shí)與推論求線段長(zhǎng)度的方法．如何不通過測(cè)量，運(yùn)用所學(xué)知識(shí)，快速將一根繩子分成兩部分，使這兩部分之比是2:3?ABCEDF第四章圖形的相似

4.3相似多邊形我們?cè)谏钪校?huì)看到這樣一些的圖片觀察下列各組圖片，你發(fā)現(xiàn)了什么？你能得出什么結(jié)論？(1)(2)(3)(5)(4)(6)4.3相似多邊形下列每組圖形形狀相同嗎？（1）正三角形ABC與正三角形（2）正方形ABCD與正方形

（3）正五邊形ABCDE與正五邊形

想一想：（1）在每組圖形中，是否有對(duì)應(yīng)相等的內(nèi)角？設(shè)法驗(yàn)證你的猜測(cè)．（2）在每組圖形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？圖中的兩個(gè)多邊形分別是計(jì)算機(jī)顯示屏上的多邊形ABCDEF和投射到銀幕上的多邊形A1B1C1D1E1F1，它們的形狀相同嗎?想一想：（1）在這兩個(gè)多邊形中，是否有對(duì)應(yīng)相等內(nèi)角？設(shè)法驗(yàn)證你的猜測(cè)．（2）在這兩個(gè)多邊形中，夾相等內(nèi)角的兩邊是否成比例？

強(qiáng)調(diào)說明：在上圖中，六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1是形狀相同的多邊形，其中∠A與∠A1，∠B與∠B1，∠C與∠C1，∠D與∠D1，∠E與∠E1，∠F與∠F1，分別相等，稱為對(duì)應(yīng)角；AB與A1B1，BC與B1C1，CD與C1D1，DE與D1E1，EF與E1F1，F(xiàn)A與F1A1的比都相等，稱為對(duì)應(yīng)邊．歸納總結(jié)，形成概念相似多邊形的概念：各角分別相等、各邊成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形（Similarpolygons）.例如，在上圖中六邊形ABCDEF與六邊形A1B1C1D1E1F1相似，記作六邊形ABCDEF∽六邊形A1B1C1D1E1F1，“∽”讀作“相似于”．相似比的概念：相似多邊形對(duì)應(yīng)邊的比叫做相似比（Similarityratio）.強(qiáng)調(diào)說明：(1)在記兩個(gè)多邊形相似時(shí)，要把對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.(2)相似多邊形的定義既是最基本、最重要的判定方法，也是最本質(zhì)、最重要的性質(zhì).(3)相似比有順序性.例如，五邊形ABCDE∽五邊形A1B1C1D1E1，對(duì)應(yīng)邊的比為因此五邊形ABCDE與五邊形A1B1C1D1E1的相似比五邊形

A1B1C1D1E1與五邊形ABCDE的相似比(4)相似比為1的兩個(gè)圖形是全等形.因此全等形是相似圖形特殊情況.

(1)觀察下面兩組圖形，圖（1）中的兩個(gè)圖形相似嗎？圖（2）中的兩個(gè)圖形呢？為什么？你從中得到什么啟發(fā)？與同桌交流.(2)如果兩個(gè)多邊形不相似，那么它們的各角可能對(duì)應(yīng)相等嗎？它們的各邊可能對(duì)應(yīng)成比例嗎？提出問題：一塊長(zhǎng)3m、寬1.5m的矩形黑板如圖所示，鑲在其外圍的木質(zhì)邊框7.5cm.邊框的內(nèi)外邊緣所成的矩形相似嗎？為什么？解:∵四邊形ABCD與矩形A1B1C1D1均為矩形∴∠A=∠A1，∠B=∠B1，∠C=∠C1，∠D=∠D1，由題意得AB=315，BC=165∴∴≠

∴矩形ABCD和矩形A1B1C1D1不相似.

通過這節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？有何感想？學(xué)會(huì)了哪些方法？先想一想，再分享給大家．通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，同學(xué)們經(jīng)歷從特殊到一般探究過程，認(rèn)識(shí)到全等圖形是相似比于1的相似圖形，相似圖形是全等圖形的進(jìn)一步的推廣，理解了相似多邊形的概念既是性質(zhì)又是判定，運(yùn)用性質(zhì)時(shí)對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上，同時(shí)知道相等角所對(duì)邊是對(duì)應(yīng)邊，對(duì)應(yīng)邊所對(duì)角是對(duì)應(yīng)角．體會(huì)了相似比是有順序要求．1．一個(gè)多邊形的邊長(zhǎng)分別是2、3、4、5、6，另一個(gè)和它相似的多邊形的最短邊長(zhǎng)為6，則這個(gè)多邊形的最長(zhǎng)邊為

．2．下列說法中正確的是（）A.所有的矩形都相似B.所有的正方形都相似C.所有的菱形都相似

D.所有的正多邊形都相似18B練習(xí)第四章圖形的相似4.4探索三角形相似的條件相似三角形的相關(guān)概念三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等,三條邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形,叫做相似三角形(similartrianglec).相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等,各對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.相似比等于1的兩個(gè)三角形全等.注意：要把表示對(duì)應(yīng)角頂點(diǎn)的字母寫在對(duì)應(yīng)的位置上.反之,寫在對(duì)應(yīng)位置上的字母就是對(duì)應(yīng)角的頂點(diǎn)！由于相似三角形與其位置無關(guān),因此,能否弄清對(duì)應(yīng)是正確解答的前提和關(guān)鍵.判定三角形相似的方法判定兩個(gè)三角形相似的方法:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.類比三角形全等的判定方法:邊角邊(SAS);角邊角(ASA);角角邊(AAS);邊邊邊(SSS);斜邊直角邊(HL).你還能得出判定三角形相似的其它方法嗎?相似與全等類比—新化舊由角邊角(ASA)、角角邊(AAS)可知,有兩個(gè)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似;由邊邊邊(SSS)可知:有三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;由邊角邊(SAS)可猜想:兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似;由斜邊直角邊(HL)可猜想:斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.我們已經(jīng)把前兩個(gè)猜想變?yōu)楝F(xiàn)實(shí),剩余的還有問題嗎？問題三:如果△ABC與△A′B′C′有一個(gè)角相等,且兩邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(1)如果這個(gè)角是這兩邊的夾角,那么它們一定相似嗎?我們一起來動(dòng)手:畫△ABC與△A′B′C′使∠A=∠A′,和都等于給定的值k（如）.設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠C與∠C′的大小.△ABC與△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?判定三角形相似的方法兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.如圖,在△ABC與△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.)CBAA′B′C′這又是一個(gè)用來判定兩個(gè)三角形相似的方法,但使用頻率不是很高,務(wù)必引起重視.且∠A=∠A′,圖中△ABC∽△A′B′C′,你還能用其它方法來說明其正確性嗎?且∠A=∠A′=450,∴△ABC∽△A′B′C′(兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.)CBAA′B′C′解法2:如圖,設(shè)小正方形的邊長(zhǎng)為1,由勾股定理可得:問題四:在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,∠C=∠C′=900,如果有一直角邊和斜邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?我們一起來動(dòng)手:畫△ABC與△A′B′C′,使和都等于給定的值k（如）.設(shè)法比較∠B與∠B′的大小,∠A與∠A′的大小.Rt△ABC與Rt△A′B′C′相似嗎?說說你的理由.改變k值的大小(如1∶3),再試一試.通過上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.如圖,在Rt△ABC與Rt△A′B′C′中,如果那么△ABC∽△A′B′C′,(斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.)CBAA′B′C′這是一個(gè)用來判定兩個(gè)直角三角形相似的方法,務(wù)必引起重視.我們重新來看問題三:如果△ABC與△DEF有一個(gè)角相等,且兩邊對(duì)應(yīng)成比例,那么它們一定相似嗎?(2).如果這個(gè)角是這兩邊中一條邊的對(duì)角,那么它們一定相似嗎?小明和小穎分別畫出了下面的△ABC與△DEF:通過上面的活動(dòng),你猜出了什么結(jié)論?兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形不一定相似。ABC5003.2cm4cm2cmDFE5001.6cm判定三角形相似的常用方法:兩角對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似.三邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似.兩邊對(duì)應(yīng)成比例,且夾角相等的兩個(gè)三角形相似.斜邊直角邊對(duì)應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似.相似三角形的各對(duì)應(yīng)角相等,各對(duì)應(yīng)邊對(duì)應(yīng)成比例.相似三角形對(duì)應(yīng)高的比,對(duì)應(yīng)角平分線的比,對(duì)應(yīng)中線的比,對(duì)應(yīng)周長(zhǎng)的比都等于相似比.如圖:在△ABC和△DEF中，如果∠A=∠D,∠B=∠E,那么△ABC∽△DEF.ABCDEF那么△ABC∽△DEF.且∠A=∠D，那么△ABC∽△DEF.黃金分割與人體的關(guān)系量量人的身高，從腳底往上，0.618處正好是在肚臍附近.畫家們繪畫時(shí)依照黃金比例勾勒出的臉譜.點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段AC和BC,如果

，那么稱線段AB被點(diǎn)C黃金分割,點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn),AC與AB的比叫做黃金比.黃金分割如何找出黃金分割點(diǎn)

如圖,已知線段AB按照如下方法作圖:1.經(jīng)過點(diǎn)B作BD⊥AB,使2.連接AD,在AD上截取DE=DB.3.在AB上截取AC=AE.4.C點(diǎn)就是AB的黃金分割點(diǎn).ABDEC

一條線段有幾個(gè)黃金分割點(diǎn)？?jī)蓚€(gè)黃金分割與人體學(xué)、生物學(xué)、攝影藝術(shù)、建筑學(xué)等許多領(lǐng)域廣泛存在，讓我們來盡情地欣賞黃金分割的美吧！黃金螺線蝸牛的外殼呈黃金螺線形。樹葉的梗和蝴蝶、老虎的身形呈黃金比例在現(xiàn)在生活中，黃金比例也一直被使用著，例如國(guó)旗、明信片、報(bào)紙、郵