上海市長(zhǎng)寧區(qū)2022屆高三上學(xué)期高考一模數(shù)學(xué)試題 帶詳解

長(zhǎng)寧區(qū)2021-2122學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷2021.12.14考生注意：1.答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名，學(xué)校，班級(jí)等信息填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼；2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書(shū)寫(xiě)，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?，草稿紙上的答案一律不予評(píng)分；3.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.已知集合，則____________2.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________3.____________4.若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則____________5.在直角坐標(biāo)系中，角的始邊為正半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則____________6.位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會(huì)個(gè)指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個(gè)展館，每個(gè)展館只需位同學(xué)，則共有____________種不同的安排方法.7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)于下列四個(gè)式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（寫(xiě)出所有恒成立式子的序號(hào)）9.設(shè)，若，則的最大值為_(kāi)___________10.已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為_(kāi)___________11.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，線段的中點(diǎn)均在拋物線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________．12.設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，若曲線仍然為某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件14.給定一組數(shù)據(jù)，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則（）A. B.C D.15.已知平面經(jīng)過(guò)圓柱旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面上，則下列個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①總存在直線且與異面；②總存在直線且；③總存在平面且；④總存在平面且.A.l B.2 C.3 D.416.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為（）A. B.C. D.三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐體積；（2）求直線與平面所成角的正切值.18.已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為（1）若，求的面積；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，求外接圓半徑的值.19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購(gòu)買(mǎi)了家用汽車(chē)，使用汽車(chē)共需支出三筆費(fèi)用；購(gòu)置費(fèi)、燃油費(fèi)、養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)，某種型號(hào)汽車(chē)，購(gòu)置費(fèi)共萬(wàn)元；購(gòu)買(mǎi)后第年燃油費(fèi)共萬(wàn)元，以后每一年都比前一年增加萬(wàn)元.（1）若每年養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)均為萬(wàn)元，設(shè)購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)年后共支出費(fèi)用為萬(wàn)元，求的表達(dá)式；（2）若購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)后的前年，每年養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)均為萬(wàn)元，由于部件老化和事故多發(fā)，第年起，每一年的養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)都比前一年增加，設(shè)使用年后養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)年平均費(fèi)用為，當(dāng)時(shí)，最小，請(qǐng)你列出時(shí)的表達(dá)式，并利用計(jì)算器確定的值（只需寫(xiě)出的值）20已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）已知函數(shù)的圖像存在對(duì)稱中心的充要條件是的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，判斷函數(shù)的圖像是否存在對(duì)稱中心，若存在，求出該對(duì)稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意，都存在及實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.21.城市道路大多是縱橫交錯(cuò)的矩形網(wǎng)格狀，從甲地到乙地的最短路徑往往不是直線距離，而是沿著網(wǎng)格走的直角距離，在直角坐標(biāo)系中，定義點(diǎn)的“直角距離”為：，設(shè).（1）寫(xiě)出一個(gè)滿足的點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）過(guò)點(diǎn)作斜率為的直線，點(diǎn)分別是直線上的動(dòng)點(diǎn)，求的最小值；（3）設(shè)，記方程的曲線為，類比橢圓研究曲線的性質(zhì)（結(jié)論不要求證明），并在所給坐標(biāo)系中畫(huà)出該曲線；

長(zhǎng)寧區(qū)2021-2122學(xué)年高三年級(jí)第一學(xué)期教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試卷2021.12.14考生注意：1.答題前，務(wù)必在答題紙上將姓名，學(xué)校，班級(jí)等信息填寫(xiě)清楚，并貼好條形碼；2.解答試卷必須在答題紙規(guī)定的相應(yīng)位置書(shū)寫(xiě)，超出答題紙規(guī)定位置或?qū)懺谠嚲?，草稿紙上的答案一律不予評(píng)分；3.本試卷共有21道試題，滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.一、填空題（本大題共有12題，滿分54分，第1-6題每題4分，第7-12題每題5分）考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置直接填寫(xiě)結(jié)果.1.已知集合，則____________【答案】【解析】【分析】直接根據(jù)集合運(yùn)算求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以故答案為?.的二項(xiàng)展開(kāi)式中的系數(shù)為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)式定理計(jì)算即可.【詳解】解：展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，故當(dāng)時(shí)，的二項(xiàng)展開(kāi)式中的項(xiàng)為，其系數(shù)為.故答案為：3.____________【答案】【解析】【分析】由于，進(jìn)而根據(jù)極限法則求極限即可得答案.【詳解】.故答案為：4.若線性方程組的增廣矩陣為，解為，則____________【答案】【解析】【分析】本題可先根據(jù)增廣矩陣還原出相應(yīng)的線性方程組，然后將解代入線性方程組即可得到、的值，最終可得出結(jié)果．【詳解】解：由題意，可知：此增廣矩陣對(duì)應(yīng)的線性方程組為：，將解代入上面方程組，可得：．所以故答案為：．5.在直角坐標(biāo)系中，角的始邊為正半軸，頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，若角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則____________【答案】##【解析】【分析】結(jié)合三角函數(shù)的定義、誘導(dǎo)公式求得正確答案.【詳解】.故答案為：6.位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會(huì)個(gè)指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個(gè)展館，每個(gè)展館只需位同學(xué)，則共有____________種不同的安排方法.【答案】【解析】【分析】利用排列計(jì)算出正確答案.【詳解】位同學(xué)被推薦擔(dān)任進(jìn)博會(huì)個(gè)指定展館服務(wù)志愿者，每人負(fù)責(zé)個(gè)展館，每個(gè)展館只需位同學(xué)，則共有種不同的安排方法.故答案為：7.已知雙曲線的左，右焦點(diǎn)為，過(guò)的直線與雙曲線的左、右支分別交于點(diǎn).若為等邊三角形，則的邊長(zhǎng)為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，結(jié)合雙曲線的定義求解即可.【詳解】解：如圖，設(shè)的邊長(zhǎng)為，，因?yàn)闉榈冗吶切?，所以，由雙曲線的方程知，所以由雙曲線的定義得，即，解得，.所以的邊長(zhǎng)為.故答案：.8.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)所對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為，對(duì)于下列四個(gè)式子：（1）；（2）；（3）；（4），其中恒成立的是____________（寫(xiě)出所有恒成立式子的序號(hào)）【答案】（2）（3）【解析】【分析】結(jié)合復(fù)數(shù)運(yùn)算對(duì)四個(gè)式子進(jìn)行分析，由此確定正確答案.【詳解】，所以（1）錯(cuò)誤.，，所以（4）錯(cuò)誤.設(shè)，.，所以（2）正確.，所以（3）正確.故答案為：（2）（3）9.設(shè)，若，則的最大值為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】由指對(duì)互化對(duì)數(shù)換地公式得，再根據(jù)基本不等式得，進(jìn)而得.【詳解】解：因?yàn)椋?，所以，因?yàn)?，所以，故，所以故的最大值?故答案為：.10.已知公差不為的等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則的最小值為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】對(duì)的值進(jìn)行分類討論，結(jié)合等差數(shù)列前項(xiàng)和最值的求法求得的最小值.【詳解】取得最小值，則公差，或，（1）當(dāng)，，所以的最小值為.（2）當(dāng)，不合題意.綜上所述：的最小值為.故答案為：11.已知點(diǎn)在拋物線上，點(diǎn)在的準(zhǔn)線上，線段的中點(diǎn)均在拋物線上，設(shè)直線與軸交于點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)___________．【答案】【解析】【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)題意得是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，故，進(jìn)而得，再根據(jù)直線與軸交于點(diǎn)得，最后結(jié)合對(duì)勾函數(shù)求解即可.【詳解】解：設(shè)所以的中點(diǎn)坐標(biāo)為，由于，所以，即；同理得，所以，即是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，所以，所以，故由于直線與軸交于點(diǎn)所以，即，因?yàn)閷?duì)勾函數(shù)的取值范圍是，所以，故答案為：12.設(shè)曲線與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，若曲線仍然為某函數(shù)的圖像，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)___________【答案】【解析】【分析】設(shè)是在點(diǎn)處的切線，進(jìn)而根據(jù)題意得直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，進(jìn)而得的方程為，再聯(lián)立方程即可得，進(jìn)而得答案.【詳解】解：設(shè)是在點(diǎn)處切線，因?yàn)榍€與函數(shù)的圖像關(guān)于直線對(duì)稱，所以直線關(guān)于對(duì)稱后的直線方程必為，曲線才能是某函數(shù)的圖像，如圖所示直線與的角為，所以的傾斜角為，所以的方程為故聯(lián)立方程得，即，所以，解得所以的取值范圍為故答案為：.二、選擇題（本大題共有4題，滿分20分，每題5分）每題有且只有一個(gè)正確選項(xiàng)，考生應(yīng)在答題紙的相應(yīng)位置，將代表正確選項(xiàng)的小方格涂黑.13.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】先利用分式不等式的解法將解得或，再利用充分條件和必要條件的定義判斷.【詳解】因?yàn)椋裕?，即，解得或，所以“”是“”的必要不充分條件.故選：B14.給定一組數(shù)據(jù)，設(shè)這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，中位數(shù)為，眾數(shù)為，則（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】求得平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)，由此確定正確選項(xiàng).【詳解】，平均數(shù)，中位數(shù)，眾數(shù)，所以故選：B15.已知平面經(jīng)過(guò)圓柱的旋轉(zhuǎn)軸，點(diǎn)是在圓柱的側(cè)面上，但不在平面上，則下列個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是（）①總存在直線且與異面；②總存在直線且；③總存在平面且；④總存在平面且.A.l B.2 C.3 D.4【答案】C【解析】【分析】根據(jù)空間位置關(guān)系可直接判斷.【詳解】解：由已知得直線與平面可能平行，也可能相交，所以一定存在直線，且與異面，故①正確；一定存在直線，且，故②正確；一定存在平面，且，故③正確；當(dāng)直線與平面相交時(shí)，不存在存在平面，且，故④錯(cuò)誤；所以4個(gè)命題中真命題的個(gè)數(shù)是3個(gè).故選：C16.若函數(shù)的值域?yàn)?，則的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】由題知，再結(jié)合函數(shù)值值域得，再結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可得答案【詳解】解：，，令，則，因?yàn)椋?，因?yàn)楹瘮?shù)的值域?yàn)?，則所以，即，因?yàn)椋瘮?shù)單調(diào)遞減，所以的取值范圍為故選：A三、解答題（本大題共有5題，滿分76分）解答下列各題必須在答題紙的相應(yīng)位置寫(xiě)出必要的步驟.17.在直三棱柱中，.（1）求四棱錐的體積；（2）求直線與平面所成角的正切值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得平面，進(jìn)而根據(jù)體積公式計(jì)算即可；（2）由題可證平面，進(jìn)而是直線與平面所成角，再計(jì)算即可得答案.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)橹比庵?，平面，所以，因?yàn)?，所以平面，因?yàn)?，所以所以四棱錐的體積.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)橹比庵?，平面，所以因?yàn)?，所以平面，因?yàn)樵谥比庵?，，所以平面，故連接，，則是直線與平面所成角，所以，所以直線與平面所成角的正切值為.18.已知三個(gè)內(nèi)角所對(duì)的邊分別為（1）若，求的面積；（2）設(shè)線段的中點(diǎn)為，若，求外接圓半徑的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由題知，進(jìn)而根據(jù)余弦定理，結(jié)合已知得，，再根據(jù)三角形面積公式計(jì)算即可；（2）在中由余弦定理得，進(jìn)而在中，，再根據(jù)正弦定理求解即可.【小問(wèn)1詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，因?yàn)?，所以，所以的面積為.【小問(wèn)2詳解】解：因?yàn)榫€段的中點(diǎn)為，，，所以在中，由，解得（舍），所以在中，，即，因?yàn)?，所以，所以由正弦定理得外接圓半經(jīng)滿足，所以外接圓半徑19.隨著人們生活水平的提高，很多家庭都購(gòu)買(mǎi)了家用汽車(chē)，使用汽車(chē)共需支出三筆費(fèi)用；購(gòu)置費(fèi)、燃油費(fèi)、養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)，某種型號(hào)汽車(chē)，購(gòu)置費(fèi)共萬(wàn)元；購(gòu)買(mǎi)后第年燃油費(fèi)共萬(wàn)元，以后每一年都比前一年增加萬(wàn)元.（1）若每年養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)均為萬(wàn)元，設(shè)購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)年后共支出費(fèi)用為萬(wàn)元，求的表達(dá)式；（2）若購(gòu)買(mǎi)汽車(chē)后的前年，每年養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)均為萬(wàn)元，由于部件老化和事故多發(fā)，第年起，每一年的養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)都比前一年增加，設(shè)使用年后養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)年平均費(fèi)用為，當(dāng)時(shí)，最小，請(qǐng)你列出時(shí)的表達(dá)式，并利用計(jì)算器確定的值（只需寫(xiě)出的值）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意，購(gòu)買(mǎi)該車(chē)后，每年的燃油費(fèi)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，進(jìn)而得年后燃油的總費(fèi)用是，進(jìn)而結(jié)合題意可得；（2）由題知從第七年起，養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)滿足等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，進(jìn)而得年后，養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)為，再求平均值即可得答案，最后利用計(jì)算器計(jì)算可得.【小問(wèn)1詳解】解：根據(jù)題意，購(gòu)買(mǎi)后第年燃油費(fèi)共萬(wàn)元，以后每一年都比前一年增加萬(wàn)元，所以購(gòu)買(mǎi)該車(chē)后，每年的燃油費(fèi)構(gòu)成等差數(shù)列，首項(xiàng)為，公差為，所以購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)第年的燃油費(fèi)用為，所以購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)年后燃油的總費(fèi)用是，因?yàn)槊磕牮B(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)均為萬(wàn)元，所以購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)年后養(yǎng)護(hù)費(fèi)用共萬(wàn)元，所以.【小問(wèn)2詳解】解：當(dāng)時(shí)，由于每一年的養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)都比前一年增加，所以從第七年起，養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)滿足等比數(shù)列，首項(xiàng)為，公比為，所以從第七年起，第年的養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)用為，所以購(gòu)買(mǎi)該種型號(hào)汽車(chē)年后，養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)為，所以當(dāng)時(shí)，使用年后，養(yǎng)護(hù)保險(xiǎn)費(fèi)的年平均費(fèi)用為.經(jīng)計(jì)算器計(jì)算得時(shí)，最小.20.已知函數(shù).（1）求證：函數(shù)是上的減函數(shù)；（2）已知函數(shù)的圖像存在對(duì)稱中心的充要條件是的圖像關(guān)于原點(diǎn)中心對(duì)稱，判斷函數(shù)的圖像是否存在對(duì)稱中心，若存在，求出該對(duì)稱中心的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由；（3）若對(duì)任意，都存在及實(shí)數(shù)，使得，求實(shí)數(shù)的最大值.【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）存在，（3）2

【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)性的定義證明即可；（2）假設(shè)函數(shù)的圖像存在對(duì)稱中心，進(jìn)而根據(jù)題意將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為恒成立，進(jìn)而得，解方程即可得答案；（3）根據(jù)題意