通信原理講稿第11章課件

第11章差錯(cuò)控制編碼§11.1引言§11.2糾錯(cuò)編碼的基本原理§11.3常用的簡(jiǎn)單編碼§11.4線性分組碼§11.5循環(huán)碼第11章差錯(cuò)控制編碼§11.1引言

§11.1引言設(shè)計(jì)數(shù)字通信系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)首先合理選擇調(diào)制、解調(diào)方法及發(fā)送功率。若不滿足要求，則考慮差錯(cuò)控制。從差錯(cuò)控制角度看，信道可以分為三類：即隨機(jī)信道、突發(fā)信道和混合信道。隨機(jī)信道——在隨機(jī)信道中、錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的，且錯(cuò)碼之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。突發(fā)信道——錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的?；旌闲诺馈嬖陔S機(jī)和突發(fā)兩種錯(cuò)碼?！?1.1引言設(shè)計(jì)數(shù)字通信系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)首先合理選擇調(diào)制、常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種：檢錯(cuò)重發(fā)法——接收端在收到的信碼中檢測(cè)出(發(fā)現(xiàn))錯(cuò)碼時(shí)，即設(shè)法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收到為止。前向糾錯(cuò)法——接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能夠確定錯(cuò)碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗(yàn)法——接收端將收到的信碼原封不動(dòng)地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯(cuò)控制方法可以結(jié)合使用。常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種：接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼——由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關(guān)系，使接收端可以利用這種關(guān)系由信道譯碼器來(lái)發(fā)現(xiàn)或糾正可能存在的錯(cuò)碼。在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯(cuò)控制編碼，有時(shí)也稱為糾錯(cuò)編碼。差錯(cuò)控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價(jià)來(lái)?yè)Q取傳輸可靠性的提高。接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼——由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲(chǔ)重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收信者ARQ優(yōu)點(diǎn)：冗余碼元少、對(duì)信道有自適應(yīng)能力、成本和復(fù)雜性低；ARQ缺點(diǎn)：需要反向信道、重發(fā)控制較復(fù)雜、干擾大通信效率低、實(shí)時(shí)性差。ARQ系統(tǒng)組成信編碼器和重發(fā)控制雙譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收A例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來(lái)表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)，101(霜)，110(霧)，111(雹)。任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)措碼．則將變成另一信息碼組。這時(shí)接收端將無(wú)法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤?！?1.2糾錯(cuò)編碼的基本原理例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部若：000=晴001=不可用010=不可用011=云100=不可用101=陰110=雨111=不可用則：雖然只能傳送4種不同的天氣．但是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。例如，若000(晴)中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準(zhǔn)許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。若：000=晴則：但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測(cè)錯(cuò)誤，不能糾正錯(cuò)誤。例如，當(dāng)收到的碼組為禁用碼組100時(shí)，無(wú)法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤．因?yàn)榍?、陰、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成100。要想能糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時(shí)，接收?qǐng)瞿軝z測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼分組碼的一般概念。為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進(jìn)制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。信息碼分組，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。例如分組碼的一般概念。通信原理講稿第11章課件分組碼的結(jié)構(gòu)符號(hào)(n，k)表示分組碼k——信息碼元數(shù)n——碼組長(zhǎng)度(碼長(zhǎng))n-k——監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2ar…………ar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時(shí)間分組碼的結(jié)構(gòu)符號(hào)(n，k)表示分組碼an-1an-2ar…碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力碼重——“1”的數(shù)量稱為碼組的重量碼距——兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距。又稱漢明(Hamming)距離。最小碼距——某種編碼中各個(gè)碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。若記：d0——最小碼距；e——檢錯(cuò)位數(shù)；t——糾錯(cuò)位數(shù)；則有：碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力碼重——“1”的數(shù)量稱為碼組的重量（1）e

+1≤d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1≤d0，即碼的糾錯(cuò)能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3）e

+t+1≤d0，即若碼同時(shí)糾t個(gè)錯(cuò)并檢出e個(gè)錯(cuò)誤，則e

+t比最小碼距d0小1位。以下說明：（1）e+1≤d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1（1）e

+1≤d0（1）e+1≤d0（2）2t

+1≤d0（2）2t+1≤d0（3）t

+e+1≤d0（3）t+e+1≤d0差錯(cuò)控制編碼的效用假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的錯(cuò)誤概率相等，都等于P，且P<<1，則在碼長(zhǎng)為n的碼組中恰好發(fā)生r個(gè)錯(cuò)碼的概率為例如，當(dāng)碼長(zhǎng)n＝7時(shí)，p=10-3則有P7(1)≈7p=7×10-3；P7(2)≈21p2=2.1×10-5；差錯(cuò)控制編碼的效用假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的P7(3)≈35p3=3.5×10-8。可見，采用差錯(cuò)控制編碼，即使僅能糾正(或檢測(cè))這種碼組中1—2個(gè)錯(cuò)誤，也可以使誤碼率下降幾個(gè)數(shù)量級(jí)。這就表明，即使是較簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼也具有較大實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。P7(3)≈35p3=3.5×10-8?！?1.3常用的簡(jiǎn)單編碼1．奇偶監(jiān)督碼——奇偶監(jiān)督碼包括奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼。只有一位監(jiān)督位。在偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即滿足下式條件在奇監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即滿足下式條件§11.3常用的簡(jiǎn)單編碼1．奇偶監(jiān)督碼——奇偶監(jiān)督碼包2．二維奇偶監(jiān)督碼——又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個(gè)碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。2．二維奇偶監(jiān)督碼——又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個(gè)碼二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：可檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。不僅可檢錯(cuò)，還可糾一些錯(cuò)。檢錯(cuò)能力強(qiáng)。二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：3．恒比碼——每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。應(yīng)用：電傳機(jī)傳輸漢字，每個(gè)漢字用4位阿拉伯?dāng)?shù)字表示。每個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字又用5位二進(jìn)制符號(hào)構(gòu)成的碼組表示。每個(gè)碼組的長(zhǎng)度為5位，其中恒有3個(gè)1，稱為5中取3恒比碼。可能編成的不同碼組數(shù)等于從5中取3組合數(shù)＝30。30種許用碼組恰好可用來(lái)表示10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字。3．恒比碼——每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。4．正反碼——一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)與信息位數(shù)相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同(是信息碼的重復(fù))或者相反(是信息碼的反碼)。由信息碼中“1”的個(gè)數(shù)而定。解碼方法：先將接收碼組中信息位和監(jiān)督值按位模2相加，產(chǎn)生校驗(yàn)碼組。最后，觀察校驗(yàn)碼組中“1”的個(gè)數(shù)，按表9—3進(jìn)行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)碼。4．正反碼——一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)§11.4線性分組碼從上節(jié)介紹的一些簡(jiǎn)單編碼可以看出，每種編碼所依據(jù)的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶監(jiān)督碼的編碼原理利用了代數(shù)關(guān)系式。我們把這類建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。在代數(shù)碼中，常見的是線性碼。線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說，線性碼是按一組線性方程構(gòu)成的。本節(jié)將以漢明(Hamming)碼為例引入線性分組碼的一般原理?！?1.4線性分組碼從上節(jié)介紹的一些簡(jiǎn)單編碼可以看出回顧奇偶監(jiān)督碼在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算若S＝0，認(rèn)為無(wú)錯(cuò)；若S＝1，認(rèn)為有錯(cuò)。上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。S只有兩種取值，只能代表有、無(wú)錯(cuò)兩種信息，不能指出錯(cuò)碼位置。如果監(jiān)督位增加一位，則增加一個(gè)監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4種組合：00，01，10，11，故能表示4種不同狀態(tài)?；仡櫰媾急O(jiān)督碼若用其一種表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種就可能用來(lái)指示一位錯(cuò)碼的3種不同位置。同理r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示一位錯(cuò)碼的(2r-1)個(gè)可能位置。一般地，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r=n-k。如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示一位錯(cuò)碼的n種可能位置，則要求2r-1≥n，或者2r≥r+k+1若用其一種表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種就可能用來(lái)指示一位錯(cuò)碼的3種不舉例說明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：設(shè)(n，k)分組碼中r=4。為了糾正一位錯(cuò)碼，要求監(jiān)督拉數(shù)r≥3。若取r=3，則n=k+r=7。校正子與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表9—4規(guī)定(也可以另外規(guī)定)。S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3錯(cuò)碼位置001A0101A4010A1110A5100A2111A6011A3000無(wú)錯(cuò)舉例說明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3由表可見，當(dāng)一錯(cuò)碼在a2,a4，a5或a6時(shí)校正子S為1；否則S為0即構(gòu)成如下關(guān)系同理在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6a5a4a3的值決定于穩(wěn)入信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督值a2a1ao應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定．即監(jiān)督位應(yīng)使上三式中的值為零(表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼)，由此得到方程組由表可見，當(dāng)一錯(cuò)碼在a2,a4，a5或a6時(shí)校正子S為1；否由此解出給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表9—5所列。由此解出給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表9—信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5接收端收到每個(gè)碼組后，先按監(jiān)督方程計(jì)算出S1、S2、S3，再按表9—4判斷錯(cuò)碼情況。例，接收0000011，可得：S1S2S3=011。由表9—4可知在a3位有錯(cuò)碼。(7，4)漢明碼：最小碼距d0=3糾一個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)兩個(gè)錯(cuò)碼。編碼效率k/n=(2r-1-r)／(2r-1)=I-r／n。當(dāng)n很大時(shí)，則編碼效率接近1。接收端收到每個(gè)碼組后，先按監(jiān)督方程計(jì)算出S1、S2、S3線性分組碼的—般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程的編碼。改寫為線性分組碼的—般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線(模2)簡(jiǎn)記為或(模2)簡(jiǎn)記為稱為監(jiān)督矩陣H矩陣的各個(gè)行是線性無(wú)關(guān)的行數(shù)=監(jiān)督位數(shù)，列數(shù)=碼字長(zhǎng)度典型陣稱為監(jiān)督矩陣H矩陣的各個(gè)行是線性無(wú)關(guān)的典型陣通信原理講稿第11章課件轉(zhuǎn)置得轉(zhuǎn)置得稱為生成矩陣稱為生成矩陣生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。例如，（參照前頁(yè)矩陣G）。利用生成矩陣，碼字再由得，生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。再由譯碼,若發(fā)送碼組為接收碼組為二者之差為其中E稱為錯(cuò)誤圖樣。表示該位接收碼元無(wú)錯(cuò)；表示該位接收碼元有錯(cuò)。譯碼,若發(fā)送碼組為表示該位接收碼元無(wú)錯(cuò)；接收端譯碼時(shí)計(jì)算當(dāng)接收碼組無(wú)錯(cuò)時(shí)．S等于零有錯(cuò)但不超過檢錯(cuò)能力時(shí)，S不等于零。在錯(cuò)碼超過檢錯(cuò)能力時(shí)，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，仍能成立S等于零。這樣的錯(cuò)碼是不可檢測(cè)的。S稱為校正子(伴隨式)。S只與E有關(guān)，而與A無(wú)關(guān)，意味著S與E有的線性變換關(guān)系，能與E一一對(duì)應(yīng)，可指示錯(cuò)碼位置。接收端譯碼時(shí)計(jì)算線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性。若：A1和A2是線性碼中的兩個(gè)許用碼組，則：(A1+A2)仍為其中的一個(gè)碼組。由封閉性，兩個(gè)碼組之間的距離必是另一碼組的重量。故碼的最小距離即是碼的最小重量(除全“0”碼組外)。線性碼又稱群碼，這是由于線性碼的各許用碼組構(gòu)成代數(shù)學(xué)中的群。線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性?！?1.5循環(huán)碼11.5.1循環(huán)碼原理：在線性分組碼中，有一種重要的碼稱為循環(huán)碼。循環(huán)碼除了具有線性碼的一般性質(zhì)外．還具有循環(huán)性，即任一碼組循環(huán)一位(將最右端的碼元移至左端，或反之)以后，仍為該碼中的一個(gè)碼組。即若是許用碼組，則也是許用碼組。§11.5循環(huán)碼11.5.1循環(huán)碼原理：循環(huán)碼舉例——(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組信息位監(jiān)督位編號(hào)a6a5a4a3a2a1a0編號(hào)a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010循環(huán)碼舉例——(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組信息位監(jiān)督碼組的多項(xiàng)式表示——碼多項(xiàng)式。例如A=1100101A(x)=1x6+1x5+0x4+0x3+1x2+0x1+1x0=x6+x5+x2+1碼多項(xiàng)式表示具有線性的性質(zhì)碼組的多項(xiàng)式表示——碼多項(xiàng)式。碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算循環(huán)移位對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式如果規(guī)定xn=x0，即規(guī)定xn+1=0，則有碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算這種xn+1=0的規(guī)定，實(shí)質(zhì)上是一xn+1為模的運(yùn)算。對(duì)于整數(shù)m,若可以表示為則稱m=p(模n)，或稱m與p是同余的。碼多項(xiàng)式也有類似的運(yùn)算。多項(xiàng)式F(x)被n次多項(xiàng)式N(x)除，得到商式q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即F(x)＝q(x)N(x)+R(x)則寫為F(x)＝R(x)(模N(x))這種xn+1=0的規(guī)定，實(shí)質(zhì)上是一xn+1為模的運(yùn)算。對(duì)于整碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即只取值0和1。例如于是，可以有由此可見為了使xn=1，只需做模xn+1的運(yùn)算即可。例如：x4+x2+1=x2+x+1模x3+1碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即只取值0和1。例如由前面的分析可知，若T(x)是碼多項(xiàng)式，則在模xn+1的運(yùn)算條件下，xiT(x)仍然是碼多項(xiàng)式。

由前面的分析可知，若T(x)是碼多項(xiàng)式，則在模xn+1的運(yùn)算2．循環(huán)碼的生成矩陣G若能找到k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組,就能構(gòu)成矩陣G。在循環(huán)碼中，一個(gè)(n，k)碼有2k個(gè)不同碼組，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為0的碼組，即g(x)=0…1x…xk位n-k位則g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是碼組，而且這k個(gè)碼組是線性無(wú)關(guān)的。因此可以用來(lái)構(gòu)成循環(huán)碼的生成矩陣G。

2．循環(huán)碼的生成矩陣G例表9—6的循環(huán)碼,唯一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式代表的碼組是0010111，相對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式為一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n．k)循環(huán)碼就被確定了。因此,循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫成例表9—6的循環(huán)碼,唯一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式代表的這個(gè)生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統(tǒng)碼的生成矩陣。g(x)＝x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到這個(gè)生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統(tǒng)g(x)的性質(zhì)：g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a0=1；次數(shù)為(n-k)次；唯一的(n-k)次多項(xiàng)式；我們稱這唯一的g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。g(x)是xn+1的因式（見后面分析）。g(x)的性質(zhì)：說明g(x)是xn+1的因式。因?yàn)槿未a多項(xiàng)式T(x)都是g(x)的倍式，所以有T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一個(gè)碼組，其次數(shù)為n-k次。把它循環(huán)移位k次仍為一個(gè)碼組。所以xkg(x)是n次多項(xiàng)式，在模xn+1運(yùn)算下，所以即說明g(x)是xn+1的因式。因?yàn)閤kg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以即g(x)是xn+1的因式。這樣就可以通過對(duì)xn+1的因式分解得到g(x).因?yàn)閤kg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以因?yàn)樗写a多項(xiàng)式T(x)都可被g(x)整除。所以非系統(tǒng)碼編碼：T(x)=m(x)g(x)系統(tǒng)碼編碼：用xn-k乘m(x)，即把m(x)左移n-k位；用xn-k除以g(x)，得余式r(x)；T(x)=xn-km(x)+r(x)11.5.2循環(huán)碼的編、解碼方法因?yàn)樗写a多項(xiàng)式T(x)都可被g(x)整除。所以11.5.2例：信息碼110，信息碼多項(xiàng)式m(x)=x2+x生成多項(xiàng)式g(x)=x4+x2+x+1即于是，編出碼字1100000+101=1100101例：信息碼110，隨機(jī)信號(hào)分析平穩(wěn)隨機(jī)過程的定義、性質(zhì)；什么是廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程？平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度如何定義，有何性質(zhì)？平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)后，均值、自相關(guān)與方差、功率譜密度有何關(guān)系？隨機(jī)信號(hào)分析什么是高斯噪聲？什么是高斯白噪聲？什么是窄帶高斯噪聲？窄帶高斯噪聲的幅度和相位服從什么分布？窄帶高斯噪聲的同相分量和正交分量服從什么分布？習(xí)題1、2、3、7、8、12什么是高斯噪聲？什么是高斯白噪聲？什么是窄帶高斯噪聲？信道信道分類：廣義信道與狹義信道、調(diào)制信道與編碼信道、恒參信道與變參信道；離散信道信道的信道容量是如何定義的，它的物理意義是什么？連續(xù)信道信道的信道容量是如何定義的（山農(nóng)公式）？習(xí)題8、13、14、15信道模擬調(diào)制幅度調(diào)制的原理（時(shí)域表達(dá)式、頻域表達(dá)式、波形圖、頻譜圖）；相干解調(diào)AM、DSB、SSB、VSB原理、信噪比計(jì)算；瞬時(shí)頻率與瞬時(shí)相位、調(diào)頻與調(diào)相信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式、帶寬的計(jì)算；相干解調(diào)器的原理、相干解調(diào)輸入和輸出信噪比、寬帶調(diào)頻單音調(diào)制信噪比的計(jì)算。習(xí)題：7、9、10、13模擬調(diào)制數(shù)字信號(hào)的基帶傳輸基帶傳輸系統(tǒng)組成模型。基帶數(shù)字信號(hào)的時(shí)域表達(dá)式、功率譜密度的一般表達(dá)式；碼型的概念與常用碼型（單極性非歸零、單極性歸零、雙極性非歸零、差分碼、AMI、HDB3）。單、雙極性非歸零碼的功率譜的特點(diǎn)；數(shù)字信號(hào)的基帶傳輸理解奈奎斯特第一準(zhǔn)則的推導(dǎo)過程與結(jié)論；升余弦滾降特性頻譜特點(diǎn)；部分響應(yīng)系統(tǒng)的組成與工作原理，相關(guān)編碼，預(yù)編碼的方法（表達(dá)式）。信道時(shí)域均衡的原理（均衡器的組成結(jié)構(gòu)）；眼圖的物理意義；習(xí)題：5、8、10、11、12、13通信原理講稿第11章課件正弦載波數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)二進(jìn)制ASK、FSK、PSK、DPSK的原理（波形、時(shí)域表達(dá)式、頻域表達(dá)式、調(diào)制器、解調(diào)器組成框圖）；二進(jìn)制ASK、FSK、PSK、DPSK的抗噪聲性能（分析方法、結(jié)論）；多進(jìn)制MASK、MPSK的原理（時(shí)域表達(dá)式、調(diào)制器、解調(diào)器框圖）。習(xí)題：2、3、4、6、7、10、12、14正弦載波數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸理想低通與帶通抽樣定理；量化、均勻量化、非均勻量化、量化間隔、分層電平、量化電平、壓縮與擴(kuò)張；均勻量化器的量化噪聲、量化信噪比；編碼、自然二進(jìn)制碼、折疊二進(jìn)制碼、，A律13折線編碼；PCM系統(tǒng)的原理（組成框圖與工作過程），編碼位數(shù)、信號(hào)帶寬、量化噪聲功率、碼元速率。模擬信號(hào)的數(shù)字傳輸DPCM系統(tǒng)的原理（組成框圖與工作過程）；基本增量調(diào)制系統(tǒng)的原理（組成框圖與工作過程）；時(shí)分復(fù)用與數(shù)字復(fù)接的概念（幀結(jié)構(gòu)、基群、二次群、高次群、同步數(shù)字復(fù)接系列SDH、準(zhǔn)同步數(shù)字復(fù)接系列PDH）。習(xí)題：2、8、9、10、14、17DPCM系統(tǒng)的原理（組成框圖與工作過程）；數(shù)字信號(hào)最佳接收 數(shù)字信號(hào)接收的統(tǒng)計(jì)模型；確知信號(hào)、隨相信號(hào)、起伏信號(hào)；相關(guān)接收機(jī)的結(jié)構(gòu)；普通接收機(jī)與最佳接收機(jī)的比較；匹配濾波器的傳遞函數(shù)、沖擊響應(yīng)、輸出信號(hào)；習(xí)題：1、2、5數(shù)字信號(hào)最佳接收差錯(cuò)控制編碼差錯(cuò)控制三種方法；ARQ系統(tǒng)組成與工作過程；漢明距離，最小漢明距離，糾錯(cuò)能力與最小距離的關(guān)系；奇偶校驗(yàn)碼、水平垂直奇偶校驗(yàn)碼、恒比碼的編碼方法；線性分組碼的性質(zhì)，監(jiān)督矩陣、生成矩陣的特點(diǎn)及其關(guān)系。差錯(cuò)控制編碼循環(huán)碼的特點(diǎn)、循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式、循環(huán)碼的生成矩陣；循環(huán)碼的多項(xiàng)式運(yùn)算編碼方法；習(xí)題：1、2、6、7、10、12。循環(huán)碼的特點(diǎn)、循環(huán)碼的生成多項(xiàng)式、循環(huán)碼的生成矩陣；第11章差錯(cuò)控制編碼§11.1引言§11.2糾錯(cuò)編碼的基本原理§11.3常用的簡(jiǎn)單編碼§11.4線性分組碼§11.5循環(huán)碼第11章差錯(cuò)控制編碼§11.1引言

§11.1引言設(shè)計(jì)數(shù)字通信系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)首先合理選擇調(diào)制、解調(diào)方法及發(fā)送功率。若不滿足要求，則考慮差錯(cuò)控制。從差錯(cuò)控制角度看，信道可以分為三類：即隨機(jī)信道、突發(fā)信道和混合信道。隨機(jī)信道——在隨機(jī)信道中、錯(cuò)碼的出現(xiàn)是隨機(jī)的，且錯(cuò)碼之間是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。突發(fā)信道——錯(cuò)碼是成串集中出現(xiàn)的?；旌闲诺馈嬖陔S機(jī)和突發(fā)兩種錯(cuò)碼?！?1.1引言設(shè)計(jì)數(shù)字通信系統(tǒng)時(shí)，應(yīng)首先合理選擇調(diào)制、常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種：檢錯(cuò)重發(fā)法——接收端在收到的信碼中檢測(cè)出(發(fā)現(xiàn))錯(cuò)碼時(shí)，即設(shè)法通知發(fā)送端重發(fā)，直到正確收到為止。前向糾錯(cuò)法——接收端不僅能發(fā)現(xiàn)錯(cuò)碼，還能夠確定錯(cuò)碼的位置，能夠糾正它。反饋校驗(yàn)法——接收端將收到的信碼原封不動(dòng)地轉(zhuǎn)發(fā)回發(fā)送端與原信碼比較。若發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤則發(fā)端重發(fā)。三種差錯(cuò)控制方法可以結(jié)合使用。常用的差錯(cuò)控制方法有以下幾種：接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼——由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼元序列中增加一些監(jiān)督碼元。這些監(jiān)督碼和信碼之間有確定的關(guān)系，使接收端可以利用這種關(guān)系由信道譯碼器來(lái)發(fā)現(xiàn)或糾正可能存在的錯(cuò)碼。在信息碼元序列中加入監(jiān)督碼元就稱為差錯(cuò)控制編碼，有時(shí)也稱為糾錯(cuò)編碼。差錯(cuò)控制編碼原則上是以降低信息傳輸速率為代價(jià)來(lái)?yè)Q取傳輸可靠性的提高。接收端根據(jù)什么來(lái)識(shí)別有無(wú)錯(cuò)碼——由發(fā)送端的信道編碼器在信息碼ARQ系統(tǒng)組成信源編碼器和緩沖存儲(chǔ)重發(fā)控制雙向信道譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收信者ARQ優(yōu)點(diǎn)：冗余碼元少、對(duì)信道有自適應(yīng)能力、成本和復(fù)雜性低；ARQ缺點(diǎn)：需要反向信道、重發(fā)控制較復(fù)雜、干擾大通信效率低、實(shí)時(shí)性差。ARQ系統(tǒng)組成信編碼器和重發(fā)控制雙譯碼器指令產(chǎn)生緩沖存儲(chǔ)收A例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部利用來(lái)表示天氣，則可以表示8種不同的天氣。000(晴)，001(多云)，010(陰)，011(雨)，100(雪)，101(霜)，110(霧)，111(雹)。任一碼組在傳輸中若發(fā)生一個(gè)或多個(gè)措碼．則將變成另一信息碼組。這時(shí)接收端將無(wú)法發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤?！?1.2糾錯(cuò)編碼的基本原理例：3位二進(jìn)制數(shù)字構(gòu)成的碼組，共有8種不同的組合。若將其全部若：000=晴001=不可用010=不可用011=云100=不可用101=陰110=雨111=不可用則：雖然只能傳送4種不同的天氣．但是接收消卻有可能發(fā)現(xiàn)碼組中的一個(gè)錯(cuò)碼。例如，若000(晴)中錯(cuò)了一位，則接收碼組將變成100或010或001，這三種碼組都是不準(zhǔn)許使用的，稱為禁用碼組，故接收端在收到禁用碼組時(shí)，就認(rèn)為發(fā)現(xiàn)了錯(cuò)碼。若：000=晴則：但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼組。上述碼只能檢測(cè)錯(cuò)誤，不能糾正錯(cuò)誤。例如，當(dāng)收到的碼組為禁用碼組100時(shí)，無(wú)法判斷是哪一位碼發(fā)生了錯(cuò)誤．因?yàn)榍?、陰、雨三者錯(cuò)了一位都可以變成100。要想能糾正錯(cuò)誤，還要增加多余度。例如，苦規(guī)定許用碼組只有兩個(gè)：000(晴)、111(雨)、其余都是禁用碼組。這時(shí)，接收?qǐng)瞿軝z測(cè)兩個(gè)以下錯(cuò)碼，或能糾正一個(gè)錯(cuò)碼。但是這種碼不能發(fā)現(xiàn)兩個(gè)措碼，因?yàn)榘l(fā)生兩個(gè)錯(cuò)碼后產(chǎn)生的是許用碼分組碼的一般概念。為了傳輸4種不同的信息，用兩位二進(jìn)制碼組就夠了，它們是：00、01、10、11。代表所傳信息的這些兩位碼，稱為信息位。前面使用3位碼，多出的一位稱為監(jiān)督位。信息碼分組，每組信碼附加若干監(jiān)督碼的編碼集合，稱為分組碼。例如分組碼的一般概念。通信原理講稿第11章課件分組碼的結(jié)構(gòu)符號(hào)(n，k)表示分組碼k——信息碼元數(shù)n——碼組長(zhǎng)度(碼長(zhǎng))n-k——監(jiān)督碼元數(shù)an-1an-2ar…………ar-1a0k位信息位r位監(jiān)督位n=k+r時(shí)間分組碼的結(jié)構(gòu)符號(hào)(n，k)表示分組碼an-1an-2ar…碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力碼重——“1”的數(shù)量稱為碼組的重量碼距——兩個(gè)碼組對(duì)應(yīng)位上數(shù)字不同的位數(shù)稱為碼組的距離，簡(jiǎn)稱碼距。又稱漢明(Hamming)距離。最小碼距——某種編碼中各個(gè)碼組間距離的最小值稱為最小碼距(d0)。若記：d0——最小碼距；e——檢錯(cuò)位數(shù)；t——糾錯(cuò)位數(shù)；則有：碼重、碼距與碼的糾檢錯(cuò)能力碼重——“1”的數(shù)量稱為碼組的重量（1）e

+1≤d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1位；（2）2t+1≤d0，即碼的糾錯(cuò)能力t的2倍比最小碼距d0小1位；（3）e

+t+1≤d0，即若碼同時(shí)糾t個(gè)錯(cuò)并檢出e個(gè)錯(cuò)誤，則e

+t比最小碼距d0小1位。以下說明：（1）e+1≤d0，即碼的檢錯(cuò)能力e比最小碼距d0小1（1）e

+1≤d0（1）e+1≤d0（2）2t

+1≤d0（2）2t+1≤d0（3）t

+e+1≤d0（3）t+e+1≤d0差錯(cuò)控制編碼的效用假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的錯(cuò)誤概率相等，都等于P，且P<<1，則在碼長(zhǎng)為n的碼組中恰好發(fā)生r個(gè)錯(cuò)碼的概率為例如，當(dāng)碼長(zhǎng)n＝7時(shí)，p=10-3則有P7(1)≈7p=7×10-3；P7(2)≈21p2=2.1×10-5；差錯(cuò)控制編碼的效用假設(shè):發(fā)送“0”的錯(cuò)誤概率和發(fā)送“1”的P7(3)≈35p3=3.5×10-8?？梢?，采用差錯(cuò)控制編碼，即使僅能糾正(或檢測(cè))這種碼組中1—2個(gè)錯(cuò)誤，也可以使誤碼率下降幾個(gè)數(shù)量級(jí)。這就表明，即使是較簡(jiǎn)單的差錯(cuò)控制編碼也具有較大實(shí)際應(yīng)用價(jià)值。P7(3)≈35p3=3.5×10-8?！?1.3常用的簡(jiǎn)單編碼1．奇偶監(jiān)督碼——奇偶監(jiān)督碼包括奇數(shù)監(jiān)督碼和偶數(shù)監(jiān)督碼。只有一位監(jiān)督位。在偶監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為偶數(shù)，即滿足下式條件在奇監(jiān)督碼中，監(jiān)督位使碼組中“l(fā)”的個(gè)數(shù)為奇數(shù)，即滿足下式條件§11.3常用的簡(jiǎn)單編碼1．奇偶監(jiān)督碼——奇偶監(jiān)督碼包2．二維奇偶監(jiān)督碼——又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個(gè)碼組，若干碼組再按列排列成矩陣，每列增加一位監(jiān)督位。2．二維奇偶監(jiān)督碼——又稱方陣碼。每一行是奇偶監(jiān)督碼的一個(gè)碼二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：可檢測(cè)偶數(shù)個(gè)錯(cuò)誤適于檢測(cè)突發(fā)錯(cuò)碼。不僅可檢錯(cuò)，還可糾一些錯(cuò)。檢錯(cuò)能力強(qiáng)。二維奇偶監(jiān)督碼特點(diǎn)：3．恒比碼——每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。應(yīng)用：電傳機(jī)傳輸漢字，每個(gè)漢字用4位阿拉伯?dāng)?shù)字表示。每個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字又用5位二進(jìn)制符號(hào)構(gòu)成的碼組表示。每個(gè)碼組的長(zhǎng)度為5位，其中恒有3個(gè)1，稱為5中取3恒比碼?？赡芫幊傻牟煌a組數(shù)等于從5中取3組合數(shù)＝30。30種許用碼組恰好可用來(lái)表示10個(gè)阿拉伯?dāng)?shù)字。3．恒比碼——每個(gè)碼組均含有相同數(shù)目的“1”(和“0”)。4．正反碼——一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)與信息位數(shù)相同，監(jiān)督碼元與信息碼元相同(是信息碼的重復(fù))或者相反(是信息碼的反碼)。由信息碼中“1”的個(gè)數(shù)而定。解碼方法：先將接收碼組中信息位和監(jiān)督值按位模2相加，產(chǎn)生校驗(yàn)碼組。最后，觀察校驗(yàn)碼組中“1”的個(gè)數(shù)，按表9—3進(jìn)行判決及糾正可能發(fā)現(xiàn)的錯(cuò)碼。4．正反碼——一種簡(jiǎn)單的能夠糾正錯(cuò)碼的編碼。其中的監(jiān)督位數(shù)§11.4線性分組碼從上節(jié)介紹的一些簡(jiǎn)單編碼可以看出，每種編碼所依據(jù)的原理各不相同，而且是大不相同，其中奇偶監(jiān)督碼的編碼原理利用了代數(shù)關(guān)系式。我們把這類建立在代數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的編碼稱為代數(shù)碼。在代數(shù)碼中，常見的是線性碼。線性碼中信息位和監(jiān)督位是由一些線性代數(shù)方程聯(lián)系著的，或者說，線性碼是按一組線性方程構(gòu)成的。本節(jié)將以漢明(Hamming)碼為例引入線性分組碼的一般原理。§11.4線性分組碼從上節(jié)介紹的一些簡(jiǎn)單編碼可以看出回顧奇偶監(jiān)督碼在接收端解碼時(shí)，實(shí)際上就是在計(jì)算若S＝0，認(rèn)為無(wú)錯(cuò)；若S＝1，認(rèn)為有錯(cuò)。上式稱為監(jiān)督關(guān)系式，S稱為校正子。S只有兩種取值，只能代表有、無(wú)錯(cuò)兩種信息，不能指出錯(cuò)碼位置。如果監(jiān)督位增加一位，則增加一個(gè)監(jiān)督關(guān)系式。由于兩個(gè)校正子的可能值有4種組合：00，01，10，11，故能表示4種不同狀態(tài)?；仡櫰媾急O(jiān)督碼若用其一種表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種就可能用來(lái)指示一位錯(cuò)碼的3種不同位置。同理r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式能指示一位錯(cuò)碼的(2r-1)個(gè)可能位置。一般地，若碼長(zhǎng)為n，信息位數(shù)為k，則監(jiān)督位數(shù)r=n-k。如果希望用r個(gè)監(jiān)督位構(gòu)造出r個(gè)監(jiān)督關(guān)系式來(lái)指示一位錯(cuò)碼的n種可能位置，則要求2r-1≥n，或者2r≥r+k+1若用其一種表示無(wú)錯(cuò)，則其余3種就可能用來(lái)指示一位錯(cuò)碼的3種不舉例說明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：設(shè)(n，k)分組碼中r=4。為了糾正一位錯(cuò)碼，要求監(jiān)督拉數(shù)r≥3。若取r=3，則n=k+r=7。校正子與錯(cuò)碼位置的對(duì)應(yīng)關(guān)系如表9—4規(guī)定(也可以另外規(guī)定)。S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3錯(cuò)碼位置001A0101A4010A1110A5100A2111A6011A3000無(wú)錯(cuò)舉例說明如何構(gòu)造監(jiān)督關(guān)系式：S1S2S3錯(cuò)碼位置S1S2S3由表可見，當(dāng)一錯(cuò)碼在a2,a4，a5或a6時(shí)校正子S為1；否則S為0即構(gòu)成如下關(guān)系同理在發(fā)送端編碼時(shí)，信息位a6a5a4a3的值決定于穩(wěn)入信號(hào)，因此它們是隨機(jī)的。監(jiān)督值a2a1ao應(yīng)根據(jù)信息位的取值按監(jiān)督關(guān)系來(lái)確定．即監(jiān)督位應(yīng)使上三式中的值為零(表示編成的碼組中應(yīng)無(wú)錯(cuò)碼)，由此得到方程組由表可見，當(dāng)一錯(cuò)碼在a2,a4，a5或a6時(shí)校正子S為1；否由此解出給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表9—5所列。由此解出給定信息位后，可直接按上式算出監(jiān)督位，其結(jié)果如表9—信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5a4a3a2a1a00000000100011100010111001100001010110100100011110101100101001101100001010110111010100110011111010001110001111111信息位監(jiān)督位信息位監(jiān)督位a6a5a4a3a2a1a0a6a5接收端收到每個(gè)碼組后，先按監(jiān)督方程計(jì)算出S1、S2、S3，再按表9—4判斷錯(cuò)碼情況。例，接收0000011，可得：S1S2S3=011。由表9—4可知在a3位有錯(cuò)碼。(7，4)漢明碼：最小碼距d0=3糾一個(gè)錯(cuò)碼或檢測(cè)兩個(gè)錯(cuò)碼。編碼效率k/n=(2r-1-r)／(2r-1)=I-r／n。當(dāng)n很大時(shí)，則編碼效率接近1。接收端收到每個(gè)碼組后，先按監(jiān)督方程計(jì)算出S1、S2、S3線性分組碼的—般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線性方程的編碼。改寫為線性分組碼的—般原理。線性分組碼是指信息位和監(jiān)督位滿足一組線(模2)簡(jiǎn)記為或(模2)簡(jiǎn)記為稱為監(jiān)督矩陣H矩陣的各個(gè)行是線性無(wú)關(guān)的行數(shù)=監(jiān)督位數(shù)，列數(shù)=碼字長(zhǎng)度典型陣稱為監(jiān)督矩陣H矩陣的各個(gè)行是線性無(wú)關(guān)的典型陣通信原理講稿第11章課件轉(zhuǎn)置得轉(zhuǎn)置得稱為生成矩陣稱為生成矩陣生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。例如，（參照前頁(yè)矩陣G）。利用生成矩陣，碼字再由得，生成矩陣G的每一行都是一個(gè)碼組。再由譯碼,若發(fā)送碼組為接收碼組為二者之差為其中E稱為錯(cuò)誤圖樣。表示該位接收碼元無(wú)錯(cuò)；表示該位接收碼元有錯(cuò)。譯碼,若發(fā)送碼組為表示該位接收碼元無(wú)錯(cuò)；接收端譯碼時(shí)計(jì)算當(dāng)接收碼組無(wú)錯(cuò)時(shí)．S等于零有錯(cuò)但不超過檢錯(cuò)能力時(shí)，S不等于零。在錯(cuò)碼超過檢錯(cuò)能力時(shí)，B變?yōu)榱硪辉S用碼組，仍能成立S等于零。這樣的錯(cuò)碼是不可檢測(cè)的。S稱為校正子(伴隨式)。S只與E有關(guān)，而與A無(wú)關(guān)，意味著S與E有的線性變換關(guān)系，能與E一一對(duì)應(yīng)，可指示錯(cuò)碼位置。接收端譯碼時(shí)計(jì)算線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性。若：A1和A2是線性碼中的兩個(gè)許用碼組，則：(A1+A2)仍為其中的一個(gè)碼組。由封閉性，兩個(gè)碼組之間的距離必是另一碼組的重量。故碼的最小距離即是碼的最小重量(除全“0”碼組外)。線性碼又稱群碼，這是由于線性碼的各許用碼組構(gòu)成代數(shù)學(xué)中的群。線性碼重要性質(zhì)之一，是它具有封閉性?！?1.5循環(huán)碼11.5.1循環(huán)碼原理：在線性分組碼中，有一種重要的碼稱為循環(huán)碼。循環(huán)碼除了具有線性碼的一般性質(zhì)外．還具有循環(huán)性，即任一碼組循環(huán)一位(將最右端的碼元移至左端，或反之)以后，仍為該碼中的一個(gè)碼組。即若是許用碼組，則也是許用碼組?！?1.5循環(huán)碼11.5.1循環(huán)碼原理：循環(huán)碼舉例——(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組信息位監(jiān)督位編號(hào)a6a5a4a3a2a1a0編號(hào)a6a5a4a3a2a1a00000000041001011100101115101110020101000611001013011100171110010循環(huán)碼舉例——(7,3)循環(huán)碼碼組信息位監(jiān)督位碼組信息位監(jiān)督碼組的多項(xiàng)式表示——碼多項(xiàng)式。例如A=1100101A(x)=1x6+1x5+0x4+0x3+1x2+0x1+1x0=x6+x5+x2+1碼多項(xiàng)式表示具有線性的性質(zhì)碼組的多項(xiàng)式表示——碼多項(xiàng)式。碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算循環(huán)移位對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式如果規(guī)定xn=x0，即規(guī)定xn+1=0，則有碼多項(xiàng)式的按模運(yùn)算這種xn+1=0的規(guī)定，實(shí)質(zhì)上是一xn+1為模的運(yùn)算。對(duì)于整數(shù)m,若可以表示為則稱m=p(模n)，或稱m與p是同余的。碼多項(xiàng)式也有類似的運(yùn)算。多項(xiàng)式F(x)被n次多項(xiàng)式N(x)除，得到商式q(x)和一個(gè)次數(shù)小于n的余式R(x)，即F(x)＝q(x)N(x)+R(x)則寫為F(x)＝R(x)(模N(x))這種xn+1=0的規(guī)定，實(shí)質(zhì)上是一xn+1為模的運(yùn)算。對(duì)于整碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即只取值0和1。例如于是，可以有由此可見為了使xn=1，只需做模xn+1的運(yùn)算即可。例如：x4+x2+1=x2+x+1模x3+1碼多項(xiàng)式系數(shù)仍按模2運(yùn)算，即只取值0和1。例如由前面的分析可知，若T(x)是碼多項(xiàng)式，則在模xn+1的運(yùn)算條件下，xiT(x)仍然是碼多項(xiàng)式。

由前面的分析可知，若T(x)是碼多項(xiàng)式，則在模xn+1的運(yùn)算2．循環(huán)碼的生成矩陣G若能找到k個(gè)線性無(wú)關(guān)的碼組,就能構(gòu)成矩陣G。在循環(huán)碼中，一個(gè)(n，k)碼有2k個(gè)不同碼組，若用g(x)表示其中前(k-1)位皆為0的碼組，即g(x)=0…1x…xk位n-k位則g(x)、xg(x)，x2g(x)，…，xk-1g(x)都是碼組，而且這k個(gè)碼組是線性無(wú)關(guān)的。因此可以用來(lái)構(gòu)成循環(huán)碼的生成矩陣G。

2．循環(huán)碼的生成矩陣G例表9—6的循環(huán)碼,唯一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式代表的碼組是0010111，相對(duì)應(yīng)的碼多項(xiàng)式為一旦確定了g(x)，則整個(gè)(n．k)循環(huán)碼就被確定了。因此,循環(huán)碼的生成矩陣G可以寫成例表9—6的循環(huán)碼,唯一的一個(gè)(n-k)次碼多項(xiàng)式代表的這個(gè)生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統(tǒng)碼的生成矩陣。g(x)＝x4+x2+x+1將此g(x)代入上式，得到這個(gè)生成矩陣不是系統(tǒng)碼的生成矩陣，可以通過行變換，變換成系統(tǒng)g(x)的性質(zhì)：g(x)必須是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)a0=1；次數(shù)為(n-k)次；唯一的(n-k)次多項(xiàng)式；我們稱這唯一的g(x)為碼的生成多項(xiàng)式。g(x)是xn+1的因式（見后面分析）。g(x)的性質(zhì)：說明g(x)是xn+1的因式。因?yàn)槿未a多項(xiàng)式T(x)都是g(x)的倍式，所以有T(x)=h(x)g(x)g(x)本身也是一個(gè)碼組，其次數(shù)為n-k次。把它循環(huán)移位k次仍為一個(gè)碼組。所以xkg(x)是n次多項(xiàng)式，在模xn+1運(yùn)算下，所以即說明g(x)是xn+1的因式。因?yàn)閤kg(x)是n次的，所以Q(x)=1。所以所以