《任意角的三角函數的定義及應用》練習

1．2任意角的三角函數1．任意角的三角函數的定義及應用在初中我們已經學了銳角三角函數，知道它們都是以銳角為自變量、邊的比值為函數值的三角函數．你能用平面直角坐標系中角的終邊上的點的坐標來表示銳角三角函數嗎？改變終邊上的點的位置，這個比值會改變嗎？把角擴充為任意角，結論成立嗎？一、任意角的三角函數1．單位圓：在平面直角坐標系中，以原點O為圓心，以單位長度為半徑的圓稱為________．2．三角函數的定義：設角α的頂點與原點重合，始邊與x軸非負半軸重合．在平面直角坐標系中，角α終邊與單位圓交于一點P(x，y)，則r＝|OP|＝1.那么：(1)y叫做________，記作sinα，即y＝sinα；(2)x叫做________，記作cosα，即x＝cosα；(3)eq\f(y,x)叫做________，記作tanα，即eq\f(y,x)＝tanα(x≠0)．正弦、余弦、正切都是以角為自變量，以單位圓上點的坐標或坐標的比值為函數值的函數，我們把它們統(tǒng)稱為________．答案：1.單位圓2．(1)α的正弦(2)α的余弦(3)α的正切三角函數二、三角函數值在各個象限內的符號1．由三角函數的定義，以及各象限內的點的坐標的符號，可以確定三角函數在各象限的符號．sinα＝eq\f(y,r)，其中r>0，于是sinα的符號與y的符號相同，即：當α是第________象限角時，sinα>0；當α是第________象限角時，sinα<0.cosα＝eq\f(x,r)，其中r>0，于是cosα的符號與x的符號相同，即：當α是第__________象限角時，cosα>0；當α是第________象限角時，cosα<0.tanα＝eq\f(y,x)，當x與y同號時，它們的比值為正，當x與y異號時，它們的比值為負，即：當α是第________象限角時，tanα>0；當α是第________象限角時，tanα<0.2．根據終邊所在位置總結出形象的識記口訣1：“sinα＝eq\f(y,r)：上正下負橫為0；cosα＝eq\f(x,r)：左負右正縱為0；tanα＝eq\f(y,x)：交叉正負．”形象的識記口訣2：“一全正、二正弦、三正切、四余弦．”答案：1.一、二三、四一、四二、三一、三二、四三、誘導公式一由定義可知，三角函數值是由角的終邊的位置確定的，因此，終邊相同的角的同一三角函數的值________，這樣就有下面的一組公式(誘導公式一)：sin(2kπ＋α)＝sinα，cos(2kπ＋α)＝cosα，tan(2kπ＋α)＝tanα，k∈Z.答案：相等四、三角函數線1．有向線段：有向線段是規(guī)定了方向(即起點、終點)的線段，它是________、________的．在平面直角坐標系中，和坐標軸同向的有向線段為正，反向的為負．2．正弦線、余弦線、正切線：三角函數線是用來形象地表示三角函數值的有向線段．有向線段的________表示三角函數值的________，有向線段的________表示三角函數值的絕對值的________．三角函數線的作法如下：設角α的終邊與單位圓的交點為P，過點P作x軸的垂線，垂足為M，則有向線段MP，OM就分別是角α的正弦線與余弦線，即MP＝y(tǒng)＝sinα，OM＝x＝cosα.過點A(1，0)作單位圓的切線，設這條切線與角α的終邊(或終邊的反向延長線)交于點T，則有向線段AT就是角α的正切線，即AT＝tanα.3．填寫下表中三角函數的定義域、值域：函數定義域值域y＝sinαy＝cosαy＝tanα答案：1.有長度有正負2.方向正負長度大小3.函數定義域值域y＝sinαR[－1，1]y＝cosαR[－1，1]y＝tanαeq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(α\b\lc\|(\a\vs4\al\co1(α≠\f(π,2)＋kπ，k∈Z))))R任意角的三角函數的定義1．正弦、余弦、正切可分別看成是從一個角的集合到一個比值的集合的映射，它們都是以角為自變量，以比值為函數值的函數．2．三角函數值是比值，是一個實數．這個實數的大小和點P(x，y)在終邊上的位置無關，而是由角α的終邊位置所決定．對于確定的角α，其終邊的位置也是唯一確定的．因此，三角函數是角的函數．(1)三角函數值只與角α的終邊所在的位置有關，與點P在終邊上的位置無關．(2)三角函數值是一個比值，沒有單位．三角函數值的符號三角函數值在各象限的符號取決于終邊所在的位置，具體說取決于x，y的符號，記憶時結合三角函數定義式記，也可用口訣只記正的“一全正、二正弦、三正切、四余弦”．三角函數線對于三角函數線，須明確以下幾點：(1)當角α的終邊在y軸上時，余弦線變成一個點，正切線不存在．(2)當角α的終邊在x軸上時，正弦線、正切線都變成點．(3)正弦線、余弦線、正切線都是與單位圓有關的有向線段，所以作某角的三角函數線時，一定要先作單位圓．(4)線段有兩個端點，在用字母表示正弦線、余弦線、正切線時，要先寫起點字母，再寫終點字母，不能顛倒；或者說，含原點的線段，以原點為起點，不含原點的線段，以此線段與x軸的公共點為起點．(5)三種有向線段的正負與坐標軸正負方向一致，三種有向線段的長度與三種三角函數值相同．三角函數的定義域1．由三角函數的定義式可以知道，無論角α終邊落在哪里，sinα，cosα都有唯一的值與之對應，但對正切則要求α終邊不能落在y軸上，否則正切將無意義．2．角和實數建立了一一對應關系，三角函數就可以看成是以實數為自變量的函數，所以就可以借助單位圓，利用終邊相同的角的概念求出任意角的三角函數．eq\x(基)eq\x(礎)eq\x(鞏)eq\x(固)1．sin810°＋tan765°＋tan1125°＋cos360°＝________．答案：42．若α的終邊過點P(2sin30°，－2cos30°)，則sinα的值為________．答案：－eq\f(\r(3),2)3．若角α的終邊過點P(3cosθ，－4cosθ)(θ為第二象限角)，則sinα＝________．答案：eq\f(4,5)4．cosθ·tanθ＜0，則角θ是________象限角．答案：第三或第四5．已知點P(tanα，cosα)在第三象限，則角α的終邊在第________象限．答案：二6．角α的正弦線與余弦線長度相等，且符號相同，那么α(0＜α＜2π)的值為________．答案：eq\f(π,4)或eq\f(5,4)π7．sin1，sin，sin三者的大小關系是________．答案：sin＞sin＞sin1eq\x(能)eq\x(力)eq\x(升)eq\x(級)8．函數y＝eq\r(sinx)＋eq\r(－cosx)的定義域是________．解析：∵eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,－cosx≥0，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(sinx≥0，,cosx≤0，))即角x的終邊落在第二象限內和兩個半軸上．∴2kπ＋eq\f(π,2)≤x≤2kπ＋π，k∈Z.答案：eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ＋\f(π,2)，2kπ＋π))(k∈Z)9．已知角α的終邊在直線y＝kx上，若sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα<0，則k＝________．解析：∵sinα＝－eq\f(2\r(5),5)，cosα<0，∴α的終邊在第三象限．令角α的終邊上一點的坐標為(a，ka)，a<0，則r＝－eq\r(1＋k2)·a，sinα＝eq\f(－ka,\r(1＋k2)a)＝－eq\f(2\r(5),5)，∴k＝2.答案：210．在(0，2π)內，滿足eq\r(tan2α)＝－tanα的α的取值范圍是________．解析：由eq\r(tan2α)＝－tanα，知tanα≤0，在單位圓中作出角α的正切線，知eq\f(π,2)＜α≤π或eq\f(3π,2)＜α＜2π.答案：eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)，2π))11．解不等式eq\r(2)＋2cosx≥0.解析：eq\r(2)＋2cosx≥0?cosx≥－eq\f(\r(2),2)，利用單位圓，借助三角函數線(如圖)可得出解集是eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(2kπ－\f(3,4)π，2kπ＋\f(3,4)π))(k∈Z)．12．若eq\f(π,4)＜θ＜eq\f(π,2)，則下列不等式中成立的是()A．sinθ＞cosθ＞tanθB．cosθ＞tanθ＞sinθC．sinθ＞tanθ＞cosθD．tanθ＞sinθ＞cosθ解析：作出角θ的三角函數線(如圖)，數形結合得AT＞MP＞OM，即tanθ>sinθ>cosθ.答案：D13．函數y＝eq\f(sinx,|sinx|)＋eq\f(cosx,|cosx|)＋eq\f(tanx,|tanx|)的值域是(C)A．{－1，0，1，3}B．{－1，0，3}C．{－1，3}D．{－1，1}14．若0＜α＜eq\f(π,2)，證明：(1)sinα＋cosα＞1；(2)sinα＜α＜tanα.證明：(1)在如圖所示單位圓中，∵0＜α＜eq\f(π,2)，|OP|＝1，∴sinα＝MP，cosα＝OM.又在△OPM中，有|MP|＋|OM|＞|OP|＝1.∴sinα＋cosα＞1.(2)如圖所示，連接AP，設△OAP的面積為S△OAP，扇形OAP的面積為S扇形OAP，△OAT的面積為S△OAT.∵S△OAP＜S扇形OAP＜S△OAT，∴eq\f(1,2)OA·MP＜eq\f(1,2)eq\o(AP,\s\up8(︵))·OA＜eq\f(1,2)OA·AT.∴MP<eq\o(AP,\s\up8(︵))<AT，即sinα＜α＜tanα.15．已知f(n)＝coseq\f(nπ,5)(n∈Z)，求f(1)＋f(2)＋f(3)＋…＋f(2014)的值．解析：角eq\f(n,5)π(n＝1，2，…，10)表示10個不同終邊的角，這10條終邊分成五組，每組互為反向延長線．∴f(1)＋f(2)＋…＋f(10)＝0，f(11)＋f(12)＋…＋f(20)＝0，…f(2001)＋f(2002)＋…＋f(2010