初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶解析)

初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶及分析)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶及分析)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題(帶及分析)初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．4．（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．5．（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，而且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．6．（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)灌水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管灌水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分．求兩根水管各自灌水的速度．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，PA垂直于x軸，QB垂直于y軸，垂足分別是A、B．（1）寫出正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO央求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說明原由；

上能否存在這樣的點(diǎn)

Q，使得△OBQ

與△OAP

面積相等？假如存在，（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ周長的最小值．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．

1的正方形

ABCD

對(duì)角線

AC

上一動(dòng)點(diǎn)（

P與A、C

不重合），點(diǎn)

E在①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y獲得最大值，并求出這個(gè)最大值．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比率函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC

軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比率和PE的大小關(guān)系，并說明原由．10．（10分）（2007?福州）如圖，已知直線y=x與雙曲線交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為4．（1）求k的值；（2）若雙曲線上一點(diǎn)C的縱坐標(biāo)為8，求△AOC的面積；（3）過原點(diǎn)O的另一條直線l交雙曲線于P，Q兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)A，B，P，Q為極點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為24，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．初二數(shù)學(xué)經(jīng)典難題參照答案與試題分析一、解答題（共10小題，滿分100分）1．（10分）已知：如圖，P是正方形ABCD內(nèi)點(diǎn)，∠PAD=∠PDA=15°．求證：△PBC是正三角形．（初二）考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；全等三角形的判斷與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判斷。專題：證明題。分析：在正方形內(nèi)做△DGC與△ADP全等，依據(jù)全等三角形的性質(zhì)求出△PDG為等邊，三角形，依據(jù)SAS證出DGC≌△PGC，推出DC=PC，推出PB=DC=PC，依據(jù)等邊三角形的判斷求出即可．解答：證明：∵正方形ABCD，∴AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°，∵∠PAD=∠PDA=15°，PA=PD，∠PAB=∠PDC=75°，在正方形內(nèi)做△DGC與△ADP全等，DP=DG，∠ADP=∠GDC=∠DAP=∠DCG=15°，∠PDG=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PDG為等邊三角形（有一個(gè)角等于60度的等腰三角形是等邊三角形），DP=DG=PG，∵∠DGC=180°﹣15°﹣15°=150°，∴∠PGC=360°﹣150°﹣60°=150°=∠DGC，在△DGC和△PGC中，∴△DGC≌△PGC，PC=AD=DC，和∠DCG=∠PCG=15°，同理PB=AB=DC=PC，PCB=90°﹣15°﹣15°=60°，∴△PBC是正三角形．評(píng)論：此題觀察了正方形的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)和判斷，全等三角形的性質(zhì)和判斷等知識(shí)點(diǎn)的應(yīng)用，要點(diǎn)是正確作出輔助線，又是難點(diǎn)，題型較好，但有必定的難度，對(duì)學(xué)生提出了較高的要求．2．（10分）已知：如圖，在四邊形ABCD中，AD=BC，M、N分別是AB、CD的中點(diǎn)，AD、BC的延長線交MN于E、F．求證：∠DEN=∠F．考點(diǎn)：三角形中位線定理。專題：證明題。分析：交AC于G，連接MG，依據(jù)中位線定理證明MG∥BC，且GM=BC，依據(jù)AD=BC連接AC，作GN∥AD證明GM=GN，可得∠GNM=∠GMN，依據(jù)平行線性質(zhì)可得：∠GMF=∠F，∠GNM=∠DEN從而得出∠DEN=∠F．解答：證明：連接AC，作GN∥AD交AC于G，連接MG．∵N是CD的中點(diǎn)，且NG∥AD，∴NG=AD，G是AC的中點(diǎn)，又∴M是AB的中點(diǎn)，∴MG∥BC，且MG=BC．∵AD=BC，∴NG=GM，△GNM為等腰三角形，∴∠GNM=∠GMN，∵GM∥BF，∴∠GMF=∠F，∵GN∥AD，∴∠GNM=∠DEN，∴∠DEN=∠F．評(píng)論：此題主要觀察平行線性質(zhì)，以及三角形中位線定理，要點(diǎn)是證明△GNM為等腰三角形．3．（10分）如圖，分別以△ABC的邊AC、BC為一邊，在△ABC外作正方形ACDE和CBFG，點(diǎn)P是EF的中點(diǎn)，求證：點(diǎn)P到AB的距離是AB的一半．考點(diǎn)：梯形中位線定理；全等三角形的判斷與性質(zhì)。專題：證明題。分析：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足挨次為R，S，T，Q，則PQ=（ER+FS），易證Rt△AER≌Rt△CAT，則ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，即可得證．解答：解：分別過E，F(xiàn)，C，P作AB的垂線，垂足挨次為R，S，T，Q，則ER∥PQ∥FS，P是EF的中點(diǎn)，∴Q為RS的中點(diǎn)，∴PQ為梯形EFSR的中位線，PQ=（ER+FS），∵AE=AC（正方形的邊長相等），∠AER=∠CAT（同角的余角相等），∠R=∠ATC=90°，Rt△AER≌Rt△CAT（AAS），同理Rt△BFS≌Rt△CBT，ER=AT，F(xiàn)S=BT，ER+FS=AT+BT=AB，PQ=AB．評(píng)論：此題綜合觀察了梯形中位線定理、全等三角形的判斷以及正方形的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，輔助線的作法很要點(diǎn)．4．（10分）設(shè)P是平行四邊形ABCD內(nèi)部的一點(diǎn)，且∠PBA=∠PDA．求證：∠PAB=∠PCB．考點(diǎn)：四點(diǎn)共圓；平行四邊形的性質(zhì)。專題：證明題。分析：依據(jù)已知作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)∠ABP=∠ADP=∠AEP，得出AEBP共圓，即可得出答案．解答：證明：作過P點(diǎn)平行于AD的直線，并選一點(diǎn)∵AD∥EP，AD∥BC．

E，使PE=AD=BCE，使PE=AD=BC，

，利用

AD∥EP，AD∥BC，從而得出∴四邊形AEPD是平行四邊形，四邊形PEBC是平行四邊形，AE∥DP，BE∥PC，∠ABP=∠ADP=∠AEP，AEBP共圓（一邊所對(duì)兩角相等）．∠BAP=∠BEP=∠BCP，∠PAB=∠PCB．評(píng)論：此題主要觀察了四點(diǎn)共圓的性質(zhì)以及平行四邊形的性質(zhì)，熟練利用四點(diǎn)共圓的性質(zhì)得出是解題要點(diǎn)．5．（10分）P為正方形ABCD內(nèi)的一點(diǎn)，而且PA=a，PB=2a，PC=3a，求正方形的邊長．考點(diǎn)：正方形的性質(zhì)；勾股定理；等腰直角三角形；旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)。專題：綜合題。分析：把△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°獲取△BEC，依據(jù)勾股定理獲取PE=2a，再依據(jù)勾股定理逆定理證明△PEC是直角三角形，從而獲取∠BEC=135°，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，△CEF是等腰直角三角形，而后再依據(jù)勾股定理求出BC的長度，即可獲取正方形的邊長．解答：解：以下列圖，把△ABP順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°獲取△BEC，∴△APB≌△CEB，BE=PB=2a，∴PE==2a，2222在△PEC中，PC=PE+CE=9a，∴∠PEC=90°，∴∠BEC=45°+90°=135°，過點(diǎn)C作CF⊥BE于點(diǎn)F，則△CEF是等腰直角三角形，∴CF=EF=CE=a，在Rt△BFC中，BC===a，即正方形的邊長為a．評(píng)論：此題觀察了正方形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)變化的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理以及逆定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)造出直角三角形是解題的要點(diǎn)．6．（10分）一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)灌水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管灌水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分．求兩根水管各自灌水的速度．考點(diǎn)：分式方程的應(yīng)用。分析：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x，則大水管進(jìn)水速度為4x，一個(gè)圓柱形容器的容積為V立方米，開始用一根小水管向容器內(nèi)灌水，水面高度達(dá)到容器高度一半后，改用一根口徑為小水管2倍的大水管灌水．向容器中注滿水的全過程共用時(shí)間t分可列方程求解．解答：解：設(shè)小水管進(jìn)水速度為x立方米/分，則大水管進(jìn)水速度為4x立方米/分．由題意得：解之得：經(jīng)檢驗(yàn)得：是原方程解．∴小口徑水管速度為立方米/分，大口徑水管速度為立方米/分．評(píng)論：此題觀察理解題意的能力，設(shè)出速度以時(shí)間做為等量關(guān)系列方程求解．7．（10分）（2009?郴州）如圖1，已知正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)M（﹣2，﹣1），且P（﹣1，﹣2）為雙曲線上的一點(diǎn)，Q為坐標(biāo)平面上一動(dòng)點(diǎn)，（1）寫出正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的關(guān)系式；（2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線MO上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MO央求出點(diǎn)的坐標(biāo)，假如不存在，請(qǐng)說明原由；

PA垂直于x軸，QB上能否存在這樣的點(diǎn)

垂直于y軸，垂足分別是Q，使得△OBQ與△OAP

A、B．面積相等？假如存在，（3）如圖2，當(dāng)點(diǎn)Q在第一象限中的雙曲線上運(yùn)動(dòng)時(shí)，作以O(shè)P、OQ為鄰邊的平行四邊形OPCQ，求平行四邊形OPCQ

周長的最小值．考點(diǎn)：反比率函數(shù)綜合題。專題：壓軸題。分析：（1）正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象都經(jīng)過點(diǎn)運(yùn)用待定系數(shù)法可求它們分析式；

M（﹣2，﹣1），設(shè)出正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的分析式，（2）因?yàn)?/p>

P（﹣1，﹣2）為雙曲線

Y=

上的一點(diǎn)，所以△OBQ、△OAP

面積為

1，依照反比率函數(shù)的圖象和性質(zhì)，點(diǎn)Q在雙曲線上，即吻合條件的點(diǎn)存在，是正比率函數(shù)和反比率函數(shù)的圖象的交點(diǎn)；（3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是定點(diǎn)，所以長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值．解答：解：（1）設(shè)正比率函數(shù)分析式為y=kx，

OP的將點(diǎn)

M（﹣2，﹣1）坐標(biāo)代入得

k=

，所以正比率函數(shù)分析式為

y=x，相同可得，反比率函數(shù)分析式為

；2）當(dāng)點(diǎn)Q在直線OM上運(yùn)動(dòng)時(shí)，設(shè)點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q（m，m），于是S△OBQ=|OB×BQ|=×m×m=m2，而S△OAP=|（﹣1）×（﹣2）|=1，所以有，m2=1，解得m=±2，所以點(diǎn)Q的坐標(biāo)為Q1（2，1）和Q2（﹣2，﹣1）；3）因?yàn)樗倪呅蜲PCQ是平行四邊形，所以O(shè)P=CQ，OQ=PC，而點(diǎn)P（﹣1，﹣2）是定點(diǎn)，所以O(shè)P的長也是定長，所以要求平行四邊形OPCQ周長的最小值就只需求OQ的最小值，（8分）因?yàn)辄c(diǎn)

Q在第一象限中雙曲線上，所以可設(shè)點(diǎn)

Q的坐標(biāo)為

Q（n，

），由勾股定理可得

OQ2=n2+

=（n﹣）2+4，所以當(dāng)（n﹣）2=0即n﹣=0時(shí)，OQ2有最小值4，又因?yàn)镺Q為正當(dāng)，所以O(shè)Q與OQ2同時(shí)獲得最小值，所以O(shè)Q有最小值2，由勾股定理得OP=，所以平行四邊形OPCQ周長的最小值是2（OP+OQ）=2（+2）=2+4．（10分）評(píng)論：此題難度稍大，觀察一次函數(shù)反比率函數(shù)二次函數(shù)的圖形和性質(zhì)，綜合性比較強(qiáng)．要注意對(duì)各個(gè)知識(shí)點(diǎn)的靈巧應(yīng)用．8．（10分）（2008?海南）如圖，P是邊長為1的正方形ABCD對(duì)角線AC上一動(dòng)點(diǎn)（P與A、C不重合），點(diǎn)E在線段BC上，且PE=PB．（1）求證：①PE=PD；②PE⊥PD；（2）設(shè)AP=x，△PBE的面積為y．①求出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；②當(dāng)x取何值時(shí)，y獲得最大值，并求出這個(gè)最大值．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題。專題：動(dòng)點(diǎn)型。分析：（1）可經(jīng)過成立全等三角形來求解．過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F，那么可經(jīng)過證三角形GPD和EFP全等來求PD=PE以及PE⊥PD．在直角三角形AGP中，因?yàn)椤螩AD=45°，所以三角形AGP是等腰直角三角形，那么AG=PG，而PB=PE，PF⊥BE，那么依據(jù)等腰三角形三線合一的特色可得出BF=FE=AG=PG，同理可得出兩三角形的另一組對(duì)應(yīng)邊DG，PF相等，所以可得出兩直角三角形全等．可得出PD=PE，∠GDP=∠EPF，而∠GDP+∠GPD=90°，那么可得出∠GPD+∠EPF=90°，由此可得出PD⊥PE．（2）求三角形PBE的面積，就要知道底邊BE和高PF的長，（1）中已得出BF=FE=AG，那么可用AP在等腰直角三角形AGP中求出AG，GP即BF，F(xiàn)E的長，那么就知道了底邊BE的長，而高PF=CD﹣GP，也即可求出PF的長，可依據(jù)三角形的面積公式得出x，y的函數(shù)關(guān)系式．而后可依據(jù)函數(shù)的性質(zhì)及自變量的取值范圍求出y的最大值以及對(duì)應(yīng)的x的取值．解答：（1）證明：①過點(diǎn)P作GF∥AB，分別交AD、BC于G、F．以下列圖．∵四邊形ABCD是正方形，∴四邊形ABFG和四邊形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形．GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90度．又∵PB=PE，BF=FE，GP=FE，△EFP≌△PGD（SAS）．PE=PD．②∴∠1=∠2．∴∠1+∠3=∠2+∠3=90度．∴∠DPE=90度．PE⊥PD．（2）解：①過P作PM⊥AB，可得△AMP為等腰直角三角形，四邊形PMBF為矩形，可得PM=BF，∵AP=x，∴PM=x，∴BF=PM=，PF=1﹣．∴S△PBE=BE×PF=BF?PF=x×（1﹣x）=﹣x2+x．2x．（0＜x＜）．即y=﹣x+②y=﹣x2+x=﹣（x﹣）2+a=﹣＜0，∴當(dāng)x=時(shí)，y最大值=．評(píng)論：此題主要觀察了正方形，矩形的性質(zhì)，全等三角形的判斷以及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，經(jīng)過成立全等三角形來得出相關(guān)的邊和角相等是解題的要點(diǎn)．9．（10分）（2010?河南）如圖，直線y=k1x+b與反比率函數(shù)（x＞0）的圖象交于A（1，6），B（a，3）兩點(diǎn)．（1）求k1、k2的值．（2）直接寫出時(shí)x的取值范圍；3）如圖，等腰梯形OBCD中，BC∥OD，OB=CD，OD邊在x函數(shù)的圖象交于點(diǎn)P，當(dāng)梯形OBCD的面積為12時(shí)，請(qǐng)判斷PC

軸上，過點(diǎn)C作CE⊥OD于點(diǎn)E，CE和反比率和PE的大小關(guān)系，并說明原由．考點(diǎn)：反比率函數(shù)綜合題；一次函數(shù)的性質(zhì)；反比率函數(shù)系數(shù)k的幾何意義。專題：綜合題。分析：（1）先把點(diǎn)A代入反比率函數(shù)求得反比率函數(shù)的分析式，再把點(diǎn)B代入反比率函數(shù)分析式求得a的值，再把點(diǎn)A，B代入一次函數(shù)分析式利用待定系數(shù)法求得k1的值．（2）當(dāng)y1＞y2時(shí)，直線在雙曲線上方，即x的范圍是在A，B之間，故可直接寫出范圍．（3）設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），易得C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=m+2，利用梯形的面積是12列方程，可求得m的值，從而求得點(diǎn)P的坐標(biāo)，依據(jù)線段的長度關(guān)系可知PC=PE．解答：解：（1）由題意知k2=1×6=6∴反比率函數(shù)的分析式為

y=

（x＞0）x＞0，∴反比率函數(shù)的圖象只在第一象限，又∵B（a，3）在y=的圖象上，a=2，B（2，3）∵直線y=k1x+b過A（1，6），B（2，3）兩點(diǎn)∴∴故k1的值為﹣3，k2的值為6；（2）由（1）得出﹣3x+9﹣＞0，即直線的函數(shù)值大于反比率函數(shù)值，由圖象可知，此時(shí)1＜x＜2，則x的取值范圍為1＜x＜2；3）當(dāng)S梯形OBCD=12時(shí)，PC=PE．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為（m，n），過B作BF⊥x軸，BC∥OD，CE⊥OD，BO=CD，B（2，3），C（m，3），CE=3，BC=m﹣2，OD=OE+ED=OE+BF=m+2∴S梯形OBCD=，即12=m=4，又mn=6n=，即PE=CEPC=PE．評(píng)論：此題綜合觀察了反比率函數(shù)與一次函數(shù)的性質(zhì)，此題難度稍大，綜合性比較強(qiáng)，注意反比率函數(shù)上的點(diǎn)的特色和利用待定系數(shù)法求函數(shù)分析式的方法．要靈巧的利用梯形的面積公式來求得相關(guān)的線段的長度，從而確立要點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)是解題的要點(diǎn)．10．（10

分）（2007?福州）如圖，已知直線

y=x與雙曲線

交于

A，B

兩點(diǎn)，且點(diǎn)

A的橫坐標(biāo)為

4．（1）求

k的值；（2）若雙曲線

上一點(diǎn)

C的縱坐標(biāo)為

8，求△AOC

的面積；（3）過原點(diǎn)

O的另一條直線

l交雙曲線

于P，Q

兩點(diǎn)（P點(diǎn)在第一象限），若由點(diǎn)

A，B，P，Q為極點(diǎn)構(gòu)成的四邊形面積為

24，求點(diǎn)

P的坐標(biāo)．考點(diǎn)：反比率函數(shù)綜合題。專題：綜合題；壓軸題。分析：（1）先依據(jù)直線的分析式求出A點(diǎn)的坐標(biāo)，而后將A點(diǎn)坐標(biāo)代入雙曲線的分析式中即可求出k的值；（2）由（1）得出的雙曲線的分析式，可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，因?yàn)椤鰽OC的面積沒法直接求出，所以可經(jīng)過作輔助線，經(jīng)過其余圖形面積的和差關(guān)系來求得．（解法不獨(dú)一）；（3）因?yàn)殡p曲線是關(guān)于原點(diǎn)的中心對(duì)稱圖形，所以以A、B、P、Q為極點(diǎn)的四邊形應(yīng)該是平行四邊形，那么△POA的面積就應(yīng)該是四邊形面積的四分之一即6．可依據(jù)雙曲線的分析式設(shè)出P點(diǎn)的坐標(biāo)，而后參照（2）的三角形面積的求法表示出△POA的面積，因?yàn)椤鱌OA的面積為6，由此可得出關(guān)于P點(diǎn)橫坐標(biāo)的方程，即可求出P點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：（1