2023屆北京市第三十九中學高一上數學期末考試模擬試題含解析

2022-2023學年高一上數學期末模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1．設，且，則等于（）A.100 B.C. D.2．若是圓上動點,則點到直線距離的最大值A.3 B.4C.5 D.63．若角的終邊過點，則A. B.C. D.4．已知扇形的圓心角為2弧度，其所對的弦長為2，則扇形的弧長等于A. B.C. D.5．函數（其中mR）的圖像不可能是（）A. B.C. D.6．菱形ABCD在平面α內，PC⊥α，則PA與BD的位置關系是（）A.平行 B.相交但不垂直C.垂直相交 D.異面且垂直7．已知向量，，若，則（）A. B.C.2 D.38．已知關于的方程的兩個實根為滿足則實數的取值范圍為A. B.C. D.9．以下四組數中大小比較正確的是（）A. B.C. D.10．關于的方程的所有實數解的和為A.2 B.4C.6 D.811．已知一元二次方程的兩個不等實根都在區(qū)間內，則實數的取值范圍是（）A. B.C. D.12．過圓C：（x﹣2）2+（y﹣2）2＝4的圓心，作直線分別交x，y正半軸于點A，B，△AOB被圓分成四部分（如圖），若這四部分圖形面積滿足SI+SⅣ＝SⅡ+SⅢ，則這樣的直線AB有A.0條 B.1條C.2條 D.3條二、填空題（本大題共4小題，共20分）13．已知函數，若函數的最小值與函數的最小值相等，則實數的取值范圍是__________14．已知函數，則______.15．已知函數，若存在，使得，則的取值范圍為_____________.16．已知函數，且，則a的取值范圍為________f（x）的最大值與最小值和為________.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17．如圖，四棱錐中，底面為菱形，平面.(1)證明：平面平面；(2)設，，求到平面的距離.18．設直線與相交于一點.（1）求點的坐標；（2）求經過點，且垂直于直線的直線的方程.19．一片森林原來的面積為a，計劃每年砍伐一些樹，且每年砍伐面積的百分比相等，當砍伐到面積的一半時，所用時間是10年，為保護生態(tài)環(huán)境，森林面積至少要保留原面積的，已知到今年為止，森林剩余面積為原來的.（1）求每年砍伐面積的百分比；（2）到今年為止，該森林已砍伐了多少年？（3）今后最多還能砍伐多少年？20．已知函數（1）求的定義域；（2）判斷的奇偶性，并說明理由；（3）設，證明：21．已知函數，.（1）設函數，求函數在區(qū)間上的值域；（2）定義表示中較小者，設函數.①求函數的單調區(qū)間及最值；②若關于的方程有兩個不同的實根，求實數的取值范圍.22．已知集合，.（1）求；（2）求.

參考答案一、選擇題（本大題共12小題，共60分）1、C【解析】由，得到，再由求解.【詳解】因為，所以，則，所以，則，解得，故選：C2、C【解析】圓的圓心為(0,3)，半徑為1.是圓上動點,則點到直線距離的最大值為圓心到直線的距離加上半徑即可.又直線恒過定點，所以.所以點到直線距離的最大值為4+1=5.故選C.3、D【解析】角的終邊過點，所以.由角，得.故選D.4、A【解析】根據題意畫出圖形，結合圖形求出半徑r，再計算弧長【詳解】如圖所示，，，過點O作，C垂足，延長OC交于D，則，；中，，從而弧長為，故選A【點睛】本題考查了弧長公式的應用問題，求出扇形的半徑是解題的關鍵，屬于基礎題5、C【解析】對m分類討論，利用對勾函數的單調性，逐一進行判斷圖像即可.【詳解】易見，①當時，圖像如A選項；②當時，時，易見在遞增，得在遞增；時，令，得為對勾函數，所以在遞增，遞減，所以根據復合函數單調性得在遞減，遞增，圖像為D；③當時，時，易見在遞減，故在遞減；時為對勾函數，所以在遞減，遞增，圖像為B.因此，圖像不可能是C.故選：C.【點睛】本題考查了利用對勾函數單調性來判斷函數的圖像，屬于中檔題.6、D【解析】由菱形ABCD平面內,則對角線,又,可得平面,進而可得,又顯然，PA與BD不在同一平面內，可判斷其位置關系.【詳解】假設PA與BD共面，根據條件點和菱形ABCD都在平面內，這與條件相矛盾.故假設不成立，即PA與BD異面.又在菱形ABCD中，對角線，，，則且，所以平面平面.則,所以PA與BD異面且垂直.故選：D【點睛】本題考查異面直線的判定和垂直關系的證明,屬于基礎題.7、A【解析】先計算的坐標，再利用可得，即可求解.【詳解】，因為，所以，解得：，故選：A8、D【解析】利用二次方程實根分布列式可解得.【詳解】設,根據二次方程實根分布可列式:,即,即,解得:.故選D.【點睛】本題考查了二次方程實根的分布.屬基礎題.9、C【解析】結合指數函數、對數函數、冪函數性質即可求解詳解】對A，，故，錯誤；對B，在第一象限為增函數，故，錯誤；對C，為增函數，故，正確；對D，，，故，錯誤；故選：C【點睛】本題考查根據指數函數，對數函數，冪函數性質比較大小，屬于基礎題10、B【解析】本道題先構造函數，然后通過平移得到函數，結合圖像，計算，即可【詳解】先繪制出，分析該函數為偶函數，而相當于往右平移一個單位，得到函數圖像為：發(fā)現(xiàn)交點A,B,C,D關于對稱，故，故所有實數解的和為4，故選B【點睛】本道題考查了函數奇偶性判定法則和數形結合思想，繪制函數圖像，即可11、D【解析】設，根據二次函數零點分布可得出關于實數的不等式組，由此可解得實數的取值范圍.【詳解】設，則二次函數的兩個零點都在區(qū)間內，由題意，解得.因此，實數的取值范圍是.故選：D.12、B【解析】數形結合分析出為定值,因此為定值,從而確定直線AB只有一條.【詳解】已知圓與軸,軸均相切,由已知條件得,第部分的面積是定值,所以為定值,即為定值,當直線繞著圓心C移動時,只有一個位置符合題意,即直線AB只有一條.故選:B【點睛】本題考查直線與圓的實際應用,屬于中檔題.二、填空題（本大題共4小題，共20分）13、【解析】由二次函數的知識得，當時有．令，則，．結合二次函數可得要滿足題意，只需，解不等式可得所求范圍【詳解】由已知可得，所以當時，取得最小值，且令，則，要使函數的最小值與函數的最小值相等，只需滿足，解得或.所以實數的取值范圍是故答案為【點睛】本題考查二次函數最值的問題，求解此類問題時要結合二次函數圖象，即拋物線的開口方向和對稱軸與區(qū)間的關系進行求解，同時注意數形結合在解題中的應用，考查分析問題和解決問題的能力，屬于基礎題14、2【解析】根據自變量的范圍，由內至外逐層求值可解.【詳解】又故答案為：2.15、【解析】根據條件作出函數圖象求解出的范圍，利用和換元法將變形為二次函數的形式，從而求解出其取值范圍.【詳解】由解析式得大致圖象如下圖所示：由圖可知：當時且，則令，解得：，，又，，，令，則，，即.故答案為：【點睛】思路點睛：根據分段函數函數值相等關系可將所求式子統(tǒng)一為一個變量表示的函數的形式，進而根據函數值域的求解方法求得結果；易錯點是忽略變量的取值范圍，造成值域求解錯誤.16、①.②.2【解析】由結合，即可求出a的取值范圍；由，知關于點成中心對稱，即可求出f（x）的最大值與最小值和.【詳解】由，，所以，則故a的取值范圍為.第（2）空:由，知關于點成中心對稱圖形，所以.故答案為：；.三、解答題（本大題共6小題，共70分）17、(1)詳見解析(2)【解析】（1）證面面垂直可根據證線線垂直，∵為菱形，∴.∵平面，∴.∴平面.（2）可根據等體積法求解到平面的距離試題解析：(1)∵為菱形，∴.∵平面，∴.∴平面.又平面，∴平面平面.(2)∵,,∴，.∵,∴.若設到平面的距離為.∴，∴，∴.即到平面的距離為.18、（1）；（2）.【解析】（1）將兩直線方程聯(lián)立，求出方程組的公共解，即可得出點的坐標；（2）求出直線的斜率，可得出垂線的斜率，然后利用點斜式方程可得出所求直線的方程，化為一般式即可.【詳解】（1）由，解得，因此，點的坐標為；（2）直線斜率為，垂直于直線的直線斜率為，則過點且垂直于直線的直線的方程為，即：.【點睛】本題兩直線交點坐標計算，同時也考查了直線的垂線方程的求解，解題時要將兩直線的垂直關系轉化為斜率關系，考查計算能力，屬于基礎題.19、（1）；（2）5；（3）15.【解析】（1）根據題意，列出關于砍伐面積的百分比的方程，即可容易求得；（2）到今年為止，森林剩余面積為原來的，可列出關于m的等式，解之即可.（3）設從今年開始，最多還能砍伐年，列出相應表達式有，解不等式求出的范圍即可【詳解】（1）設每年砍伐的百分比為，則，即，，解得：所以每年砍伐面積的百分比為（2）設經過年剩余面積為原來，則，即又由（1）知，，，解得故到今年為止，該森林已被砍伐5年（3）設從今年開始，最多還能砍伐年，則年后剩余面積為.令，即，，，解得故今后最多還能砍伐15年【點睛】關鍵點點睛：本題考查指數型函數數學建模在實際問題中的應用，熟練運用指數性質運算，將文字語言轉化成數學語言是解題的關鍵，考查學生的轉化能力與運算能力，屬于中檔題.20、（1）（2）偶函數；理由見解析（3）證明見解析【解析】（1）根據對數函數的真數大于0建立不等式求解；（2）根據函數的奇偶性定義判斷即可；（3）利用不等式的性質及對數函數的單調性證明即可.【小問1詳解】因為，即，所以函數的定義域是【小問2詳解】因為，都有，且，所以函數為偶函數【小問3詳解】因為，所以所以所以因為是增函數，所以因為，，所以21、(1)；(2)①.答案見解析；②..【解析】（1）為上的單調增函數，故值域為.（2）計算得，由此得到的單調性和最值，而有兩個不同的根則可轉化為與的函數圖像有兩個不同的交點去考慮.解析：（1）∵函數在區(qū)間上單調遞減，函數在區(qū)間上單調遞增，∴函數在區(qū)間上單調遞增，故，即，所以函數在區(qū)間上的值域為.（2）當時，有，故；當時