分類變量與列聯(lián)表課件-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版（2019）選擇性必修第三冊(cè)

分類變量與列聯(lián)表F佳

2022年06月吸煙的危害

吸煙已成為全球范圍內(nèi)嚴(yán)重危害健康、危害人類生存環(huán)境、降低人們的生活質(zhì)量、縮短人類壽命的緊迫問(wèn)題．為此，聯(lián)合國(guó)固定每年5月31日為全球戒煙日．

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問(wèn)題.吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn)？

例如,就讀不同學(xué)校是否對(duì)學(xué)生的成績(jī)有影響,不同班級(jí)學(xué)生用于體育鍛煉的時(shí)間是否有差別,吸煙是否會(huì)增加患肺癌的風(fēng)險(xiǎn),等等,本節(jié)將要學(xué)習(xí)的獨(dú)立性檢驗(yàn)方法為我們提供了解決這類問(wèn)題的方案.

在現(xiàn)實(shí)生活中，人們經(jīng)常需要回答一定范圍內(nèi)的兩種現(xiàn)象或性質(zhì)之間是否存在關(guān)聯(lián)性或互相影響的問(wèn)題.在討論上述問(wèn)題時(shí),為了表述方便,我們經(jīng)常會(huì)使用一種特殊的隨機(jī)變量,以區(qū)別不同的現(xiàn)象或性質(zhì),這類隨機(jī)變量稱為分類變量.兩種變量分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、宗教信仰、國(guó)籍等等變量♂對(duì)于性別變量,其取值為男和女兩種.♀

這種變量的不同“值”表示個(gè)體所屬的不同類別,像這類變量稱為分類變量.兩種變量數(shù)值變量的取值一定是實(shí)數(shù),

例如身高、體重、考試成績(jī)等，張明的身高是180cm，李立的身高是175cm。數(shù)值變量：體重、身高、溫度、考試成績(jī)等等

兩種變量分類變量：性別、是否吸煙、是否患肺癌、宗教信仰、國(guó)籍等等變量數(shù)值變量的取值為實(shí)數(shù)，其大小和運(yùn)算都有實(shí)際含義.分類變量是區(qū)別不同的現(xiàn)象和性質(zhì)的一種特殊的隨機(jī)變量．本節(jié)主要討論取值于{0,1}的分類變量的關(guān)聯(lián)性.①分類變量的取值也可以用實(shí)數(shù)來(lái)表示，例如男性，女性可以用1,0表示，學(xué)生的班級(jí)可以用1,2,3來(lái)表示．②這些數(shù)值只作編號(hào)使用，并沒(méi)有大小和運(yùn)算意義．③分類變量是相對(duì)于數(shù)值變量來(lái)說(shuō)的．但要注意到：?jiǎn)栴}:為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?解法一：

比較經(jīng)常鍛煉的學(xué)生在女生和男生的比率.問(wèn)題:為了有針對(duì)性地提高學(xué)生體育鍛煉的積極性,某中學(xué)需要了解性別因素是否對(duì)本校學(xué)生體育鍛煉的經(jīng)常性有影響，為此對(duì)學(xué)生是否經(jīng)常鍛煉的情況進(jìn)行了普查.全校生的普查數(shù)據(jù)如下:523名女生中有331名經(jīng)常鍛煉；601名男生中有473名經(jīng)常鍛煉.你能利用這些數(shù)據(jù),說(shuō)明該校女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面是否存在差異嗎?

男生經(jīng)常鍛煉的比率比女生高出15.4個(gè)百分點(diǎn),所以該校的女生和男生在體育鍛煉的經(jīng)常性方面有差異,而且男生更經(jīng)常鍛煉.解法二：

對(duì)于Ω中的每一名學(xué)生，分別令性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性沒(méi)有影響：性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響：合計(jì)男生（X=1）女生（X=0）經(jīng)常（Y=1）不經(jīng)常（Y=0）合計(jì)鍛煉性別

由

可以作出判斷，在該校的學(xué)生中，性別對(duì)體育鍛煉的經(jīng)常性有影響,男生更經(jīng)常性的鍛煉.

在上面問(wèn)題的兩種解答中，使用了學(xué)校全部學(xué)生的調(diào)查數(shù)據(jù)，利用這些數(shù)據(jù)能夠完全確定解答問(wèn)題所需的比率和條件概率.然而,對(duì)于大多數(shù)實(shí)際問(wèn)題，我們無(wú)法獲得所關(guān)心的全部對(duì)象的數(shù)據(jù)，因此無(wú)法準(zhǔn)確計(jì)算出有關(guān)的比率或條件概率.

在這種情況下，上述古典概型和條件概率的觀點(diǎn)為我們提供了一個(gè)解決問(wèn)題的思路.比較簡(jiǎn)單的做法是利用隨機(jī)抽樣獲得一定數(shù)量的樣本數(shù)據(jù)，再利用隨機(jī)事件發(fā)生的頻率穩(wěn)定于概率的原理對(duì)問(wèn)題答案作出推斷.（用樣本估計(jì)總體）在實(shí)踐中,由于保存原始數(shù)據(jù)的成本較高,人們經(jīng)常按研究問(wèn)題的需要,將數(shù)據(jù)分類統(tǒng)計(jì),并做成表格加以保存,我們將上表這種形式的數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)表稱為2×2列聯(lián)表.表格直觀呈現(xiàn)了成對(duì)分類變量數(shù)據(jù)的交叉分類頻數(shù)。分類變量X和Y的抽樣數(shù)據(jù)的2×2列聯(lián)表：

以上表為例,2×2列聯(lián)包含了X和Y的如下信息:最后一行的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{Y=0}和{Y=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

最后一列的前兩個(gè)數(shù)分別是事件{X=0}和{X=1}中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);中間的四個(gè)格中的數(shù)是表格的核心部分,給出了事件{X=x,Y=y}(x,y=0,1)中樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù);

右下角格中的數(shù)是樣本空間中樣本點(diǎn)的總數(shù).班級(jí)鍛煉合計(jì)80分及80分以上80分以下實(shí)驗(yàn)班321850對(duì)照班24m50合計(jì)5644n練習(xí)：某校為了檢驗(yàn)高中數(shù)學(xué)新課程改革的成果，在兩個(gè)班進(jìn)行教學(xué)方式的對(duì)比試驗(yàn)，兩個(gè)月后進(jìn)行了一次檢測(cè)，試驗(yàn)班與對(duì)照班成績(jī)統(tǒng)計(jì)如2×2列聯(lián)表所示（單位∶人），則其中m=________________,n=__________________.例1：

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.解：用Ω表示兩所學(xué)校的全體學(xué)生構(gòu)成的集合.考慮以Ω為樣本空間的古典概型.對(duì)于Ω中每一名學(xué)生，定義分類變量X和Y如下：合計(jì)乙校(X=1)甲校(X=0)優(yōu)秀(Y=1)不優(yōu)秀(Y=0)合計(jì)數(shù)學(xué)成績(jī)學(xué)校

例1：

為比較甲、乙兩所學(xué)校學(xué)生的數(shù)學(xué)水平，采用簡(jiǎn)單隨機(jī)抽樣的方法抽取88名學(xué)生.通過(guò)測(cè)驗(yàn)得到了如下數(shù)據(jù):甲校43名學(xué)生中有10名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀；乙校45名學(xué)生中有7名數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀.試分析兩校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率之間是否存在差異.因此,甲校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為：乙校學(xué)生中數(shù)學(xué)成績(jī)不優(yōu)秀和數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率分別為：可以用等高堆積條形圖直觀地展示上述計(jì)算結(jié)果：通過(guò)比較發(fā)現(xiàn),兩個(gè)學(xué)校學(xué)生抽樣數(shù)據(jù)中數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的頻率存在差異，甲校的頻率明顯高于乙校的頻率.依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率.

因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.

依據(jù)頻率穩(wěn)定于概率的原理，我們可以推斷：P(Y=1|X=0)>P(Y=1|X=1).也就是說(shuō)，如果從甲校和乙校各隨機(jī)選取一名學(xué)生，那么甲校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率大于乙校學(xué)生數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀的概率，因此，可以認(rèn)為兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異，甲校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率比乙校學(xué)生的高.

反思一個(gè)現(xiàn)象：

學(xué)生提出：“我很有能力，我只是沒(méi)有考上一個(gè)好的大學(xué)，而那些好的企業(yè)卻只去名校招聘，這是不是不公平？”

結(jié)合剛才例題的啟發(fā)，嘗試從一個(gè)企業(yè)的角度去想想，為什么他們“更偏向于去好學(xué)校招聘”。

反思2：你認(rèn)為“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這一結(jié)論是否有可能是錯(cuò)誤的？有可能

“兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率存在差異”這個(gè)結(jié)論是根據(jù)兩個(gè)頻率間存在差異推斷出來(lái)的.有可能出現(xiàn)這種情況：在隨機(jī)抽取的這個(gè)樣本中，兩個(gè)頻率間確實(shí)存在差異，但兩校學(xué)生的數(shù)學(xué)成績(jī)優(yōu)秀率實(shí)際上是沒(méi)有差別的.對(duì)于隨機(jī)樣本而言，因?yàn)轭l率具有隨機(jī)性，頻率與概率之間存在誤差，所以我們的推斷可能犯錯(cuò)誤，而且在樣本容量較小時(shí)，犯錯(cuò)誤的可能性會(huì)較大.因此，需要找到一種更為合理的推斷方法，同時(shí)也希望能對(duì)出現(xiàn)錯(cuò)誤推斷的概率有一定的控制或估算.后面我們將討論犯這種錯(cuò)誤的概率大小問(wèn)題.練習(xí)：（多選）下圖是調(diào)查某地區(qū)男女中學(xué)生喜歡理科的等高堆積條形圖，陰影部分表示喜歡理科的百分比，從圖中可以看出（

）A.性別與喜歡理科無(wú)關(guān)B.女生中喜歡理科的比為80%C.男生比女生喜歡理科的可能性大些D.男生不喜歡理科的比為40%課本P127練習(xí)4假設(shè)在本小節(jié)"問(wèn)題"中，只是隨機(jī)抽取了44名學(xué)生，按照性別和體育鍛煉情況整理為如下的列聯(lián)表∶（單位：人）（1）據(jù)此推斷性別因素是否影響學(xué)生鍛煉的經(jīng)常性;（2）說(shuō)明你的推斷結(jié)論是否可能犯錯(cuò)，并解釋原因.性別鍛煉合計(jì)不經(jīng)常經(jīng)常女生51520男生61824合計(jì)113344練習(xí)：某學(xué)校對(duì)高三學(xué)生作一項(xiàng)調(diào)查后發(fā)現(xiàn)∶在平時(shí)的模擬考試中，性格內(nèi)向的426名學(xué)生中有332名在考前心情緊張，性格外向的594名學(xué)生中有213名在考前心情緊張.請(qǐng)作出考前心情緊張與性格情況的列聯(lián)表.練習(xí)：在一項(xiàng)有關(guān)醫(yī)療保健的社會(huì)調(diào)查中，發(fā)現(xiàn)調(diào)查的男性為530人，女性為670人，其中男性中喜歡吃甜食的為117人，女性中喜歡吃甜食的為492人，請(qǐng)作出性別與喜歡吃甜食的列聯(lián)表。

作業(yè)：課本P135習(xí)題8.35兩個(gè)分類變量之間關(guān)聯(lián)關(guān)系的定性分析的方法：(1)頻率分析法：通過(guò)對(duì)樣本的每個(gè)分類變量的不同類別事件發(fā)生的頻率大小進(jìn)行比較來(lái)分析分類變量之間是否有關(guān)聯(lián)關(guān)系.

如可以通過(guò)列聯(lián)表中