高中數(shù)學圓的一般方程能力強化提升新人教a版

2022高中數(shù)學4-1-2圓的一般方程能力強化提升新人教A版必修2一、選擇題1．兩圓x2＋y2－4x＋6y＝0和x2＋y2－6x＝0的圓心連線方程為()A．x＋y＋3＝0 B．2x－y－5＝0C．3x－y－9＝0 D．4x－3y＋7＝0[答案]C[解析]兩圓的圓心分別為(2，－3)、(3,0)，直線方程為y＝eq\f(0＋3,3－2)(x－3)即3x－y－9＝0，故選C.2．若方程x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是()A．(0，＋∞)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(1,5)，1))C．(1，＋∞)∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))D．R[答案]C[解析]D2＋E2－4F＝(λ－1)2＋4λ2－4λ解不等式得λ<eq\f(1,5)或λ>1，故選C.3．過三點A(－1,5)，B(5,5)，C(6，－2)的圓的方程是()A．x2＋y2＋4x－2y－20＝0B．x2＋y2－4x＋2y－20＝0C．x2＋y2－4x－2y－20＝0D．x2＋y2＋4x＋4y－20＝0[答案]C[解析]設圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，分別代入(－1,5)，(5,5)(6，－2)得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－D＋5E＋F＝－26,5D＋5E＋F＝－50,6D－2E＋F＝－40))，解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4,E＝－2,F＝－20))故選C.4．方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0表示的曲線是以(－2,3)為圓心，4為半徑的圓，則D、E、F的值分別為()A．4，－6,3 B．－4,6,3C．－4,6，－3 D．4，－6，－3[答案]D[解析]圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，∴－eq\f(D,2)＝－2，－eq\f(E,2)＝3，∴D＝4，E＝－6，又R＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)代入算得F＝－3.5．與圓x2＋y2－4x＋6y＋3＝0同圓心，且過(1，－1)的圓的方程是()A．x2＋y2－4x＋6y－8＝0B．x2＋y2－4x＋6y＋8＝0C．x2＋y2＋4x－6y－8＝0D．x2＋y2＋4x－6y＋8＝0[答案]B[解析]圓心為(2，－3)，半徑R＝eq\r(2－12＋－3＋12)＝eq\r(5).6．如果方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F>0)所表示的曲線關于y＝xA．D＝E B．D＝FC．F＝E D．D＝E＝F[答案]A[解析]圓心(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))在直線y＝x上，所以D＝E，故選A.7．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，半徑為eq\r(5)的圓的方程為()A．x2＋y2－2x＋4y＝0B．x2＋y2＋2x＋4y＝0C．x2＋y2＋2x－4y＝0D．x2＋y2－2x－4y＝0[答案]C[解析]令a＝0，a＝1，得方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－x－y＋1＝0，,－y＋2＝0.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1，,y＝2，))所以定點C的坐標為(－1,2)．則圓C的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5，即x2＋y2＋2x－4y＝0.8．若直線l：ax＋by＋1＝0始終平分圓M：x2＋y2＋4x＋2y＋1＝0的周長，則(a－2)2＋(b－2)2的最小值為()\r(5) B．5C．2eq\r(5) D．10[答案]B[解析]由題意，得直線l過圓心M(－2，－1)，則－2a－b＋1＝0，則b＝－2所以(a－2)2＋(b－2)2＝(a－2)2＋(－2a＋1－2)2＝5a所以(a－2)2＋(b－2)2的最小值為5.二、填空題9．圓心是(－3,4)，經(jīng)過點M(5,1)的圓的一般方程為________．[答案]x2＋y2＋6x－8y－48＝0[解析]只要求出圓的半徑即得圓的標準方程，再展開化為一般式方程．10．圓x2＋2x＋y2＝0關于y軸對稱的圓的一般方程是________．[答案]x2＋y2－2x＝0[解析]已知圓的圓心為C(－1,0)，半徑r＝1，點C關于y軸的對稱點為C′(1,0)，則已知圓關于y軸對稱的圓的方程為(x－1)2＋y2＝1，即x2＋y2－2x＝0.11．設圓x2＋y2－4x＋2y－11＝0的圓心為A，點P在圓上，則PA的中點M的軌跡方程是________．[答案]x2＋y2－4x＋2y＋1＝0[解析]設M(x，y)，A(2，－1)，則P(2x－2,2y＋1)，將P代入圓方程得：(2x－2)2＋(2y＋1)2－4(2x－2)＋2(2y＋1)－11＝0，即為：x2＋y2－4x＋2y＋1＝0.12．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點關于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________.[答案]－2[解析]由題意可知直線l：x－y＋2＝0過圓心，∴－1＋eq\f(a,2)＋2＝0，∴a＝－2.三、解答題13．判斷方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m[分析]本題可直接利用D2＋E2－4F[解析]解法一：由方程x2＋y2－4mx＋2my＋20m可知D＝－4m，E＝2m，F(xiàn)＝∴D2＋E2－4F＝16m2＋4m2－80m＋80＝20(m－2)2，因此，當m＝2時，D2＋E2－4F＝0，它表示一個點，當m≠2時，D2＋E2－4F>0，原方程表示圓的方程，此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\r(5)|m－2|.解法二：原方程可化為(x－2m)2＋(y＋m)2＝5(m－2)2，因此，當m當m≠2時，原方程表示圓的方程．此時，圓的圓心為(2m，－m)，半徑為r＝eq\r(5)|m－2|.規(guī)律總結：(1)形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義判斷D2＋E2－4F是否為正．若D2＋E2－4F>0，則方程表示圓，否則不表示圓．(2)在書寫本題結果時，易出現(xiàn)r＝eq\r(5)(m－2)的錯誤結果，導致這種錯誤的原因是沒有理解對一個數(shù)開偶次方根的結果為非負數(shù)．14．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑為eq\r(2)，求圓的一般方程．[分析]根據(jù)圓心、半徑滿足的條件列出關系式，從而求出參數(shù)D與E的值．[解析]圓心C(－eq\f(E,2)，－eq\f(E,2))，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2，①又r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20，②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又圓心在第二象限，∴－eq\f(D,2)<0即D>0，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2,E＝－4，))∴圓的方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.規(guī)律總結：在求解過程中，要注意圓心在第二象限這一限定條件，避免增解．15．自A(4,0)引圓x2＋y2＝4的割線ABC，求弦BC中點P的軌跡方程．[分析]由題目可獲取以下主要信息：①點A(4,0)是定圓外一點；②過A的直線交圓于B，C兩點．解答本題可先設出動點P的坐標(x，y)，然后由圓的幾何性質(zhì)知OP⊥BC，再利用kOP·kAP＝－1，求出P(x，y)滿足的方程．也可由圓的幾何性質(zhì)直接得出動點P與定點M(2,0)的距離恒等于定長2，然后由圓的定義直接寫出P點的軌跡方程．[解析]方法一：(直接法)設P(x，y)，連接OP，則OP⊥BC，當x≠0時，kOP·kAP＝－1，即eq\f(y,x)·eq\f(y,x－4)＝－1，即x2＋y2－4x＝0.①當x＝0時，P點坐標(0,0)是方程①的解，∴BC中點P的軌跡方程為x2＋y2－4x＝0(在已知圓內(nèi)的部分)．方法二：(定義法)由方法一知OP⊥AP，取OA中點M，則M(2,0)，|PM|＝eq\f(1,2)|OA|＝2，由圓的定義知，P的軌跡方程是(x－2)2＋y2＝4(在已知圓內(nèi)的部分)．規(guī)律總結：針對這個類型的題目，常用的方法有(1)直接法，(2)定義法，(3)代入法，其中直接法是求曲線方程最重要的方法，它可分五個步驟：①建系，②找出動點M滿足的條件，③用坐標表示此條件，④化簡，⑤驗證；定義法是指動點的軌跡滿足某種曲線的定義，然后據(jù)定義直接寫出動點的軌跡方程；代入法，它用于處理一個主動點與一個被動點問題，只需找出這兩點坐標之間的關系，然后代入主動點滿足的軌跡方程即可．16．已知圓經(jīng)過點(4,2)和(－2，－6)，該圓與兩坐標軸的四個截距之和為－2，求圓的方程．[解析]設圓的一般方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0.∵圓經(jīng)過點(4,2)和(－2，－6)，代入圓的一般方程，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4D＋2E＋F＋20＝0，①,2D＋6E－F－40＝0.②))設圓在x軸上的截