新高考藝術(shù)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)復(fù)習(xí)講義 考點30 周期性和對稱性（教師版含解析）

考點30周期性和對稱性知識理解知識理解一．函數(shù)的周期性1.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x)，如果存在一個非零常數(shù)T，使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的任何值時，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就稱函數(shù)f(x)為周期函數(shù)，稱T為這個函數(shù)的周期．2.最小正周期如果在周期函數(shù)f(x)的所有周期中存在一個最小的正數(shù)，那么這個最小正數(shù)就叫做f(x)的最小正周期．3．函數(shù)周期性常用結(jié)論對f(x)定義域內(nèi)任一自變量x：(1)若f(x＋a)＝－f(x)，則T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－eq\f(1,f（x）)，則T＝2a(a>0)．二．函數(shù)圖象的對稱性(1)若函數(shù)y＝f(x＋a)是偶函數(shù)，即f(a－x)＝f(a＋x)，則函數(shù)y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(2)若對于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，則y＝f(x)的圖象關(guān)于直線x＝a對稱．(3)若函數(shù)y＝f(x＋b)是奇函數(shù)，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，則函數(shù)y＝f(x)關(guān)于點(b，0)中心對稱．考向分析考向一對稱性考向分析【例1】(2021·廣東揭陽市·高三一模)已知函數(shù)定義域為，滿足，且對任意均有成立，則滿足的的取值范圍是()A． B．C． D．【答案】D【解析】因為函數(shù)滿足，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，因為對任意均有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.由對稱性可知在上單調(diào)遞增.因為，即，所以，即，解得.故選：D.【舉一反三】13(2021·浙江)已知函數(shù)，且，則下列不等式中成立的是()A． B．C． D．【答案】C【解析】由得圖象的對稱軸為，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且，所以，故選：C.2.(2019·福建師大二附中)函數(shù)在上是增函數(shù)，函數(shù)是偶函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是()A． B．C． D．【答案】B【解析】∵在上是增函數(shù)，∴在上是增函數(shù)，由函數(shù)是偶函數(shù)，知：在上是減函數(shù)，而，由，∴.故選：B考向二周期性【例2】(2021·曲靖市第二中學(xué))已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，，且，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】∵是奇函數(shù)，∴，又，∴是周期函數(shù)，周期為4．∴．故選：A．【舉一反三】1．(2021·山東聊城市)已知定義在R上的奇函數(shù)滿足，若，則()A． B． C．0 D．2【答案】B【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是周期函數(shù)，周期為4所以故選：B2．(2021·安徽合肥市·)已知是R上的奇函數(shù)且，當(dāng)時，，()A． B．2 C． D．98【答案】A【解析】，是以4為周期的函數(shù)，，是R上的奇函數(shù)，，.故選：A.3．(2021·江西南昌市)若在上是奇函數(shù)，且有，當(dāng)時，則()A．242 B．-242 C．2 D．-2【答案】D【解析】由是定義在上的奇函數(shù)，得，又時，，所以，因為對任意都有，所以4為的周期，所以故選：．考向三函數(shù)性質(zhì)的綜合運用【例3】(2021·上海松江區(qū))已知函數(shù)是定義域為R的奇函數(shù)，滿足，若，則__________．【答案】1【解析】因為，所以，所以，即函數(shù)是周期為4的周期函數(shù).所以,,,所以原式等于故答案為：【舉一反三】1．(2021·廣東高考模擬)已知f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(1+x)=A．0 B．-a C．a(chǎn) D．【答案】B【解析】因為函數(shù)f(x)所以f(x)關(guān)于直線x=1又f(x)是定義在R又由f(1+x)=所以f(x+2)=因此，函數(shù)f(x)所以f(4)=f因此f(2)+f(3)+2．(2021·安徽亳州二中)定義在上的函數(shù)滿足，且，則=__________?！敬鸢浮?1【解析】由題意知定義在上的函數(shù)滿足，得是奇函數(shù)，所以，即，賦值得，故，得周期是8，所以3.(2021·四川高考模擬)已知定義域的奇函數(shù)的圖像關(guān)于直線對稱,且當(dāng)時,,則()A． B． C． D．【答案】C【解析】∵f(x)是奇函數(shù)，且圖象關(guān)于x＝1對稱；∴f(2﹣x)＝f(x)；又0≤x≤1時，f(x)＝x3；∴．故選：B．4.(2019·永安市第一中學(xué)高考模擬)已知fx是定義在R上的奇函數(shù)，滿足f(1+x)=f(1-A．1B．0C．1D．2019【答案】B【解析】根據(jù)題意，函數(shù)f(x)滿足f(1﹣x)＝f(x+1)，則函數(shù)f(x)的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，則有f(﹣x)＝f(x+2)，又由函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，則f(﹣x)＝-f(x)，則有f(x)＝-f(x+2)，則f(x+2)=-f(x+4)，可得f(x)=f(x+4)則函數(shù)f(x)為周期為4的周期函數(shù)，又由f(1)＝1，則f(1)=f(5)=……＝f(2017)＝1，f(-1)=-f(1)=-1，則f(3)=f(7)=……=f(2019)=-1，又f(-2)=f(2)＝-f(2)，則f(2)=0，且f(0)=0，所以f(2)=f(4)＝f(6)＝f(8)＝……＝f(2018)＝0，則f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2019)＝505-505+0=0；故選：B．強化練習(xí)強化練習(xí)1．(2021·四川資陽市)定義在R上的偶函數(shù)滿足,，則()A． B． C．2 D．4【答案】C【解析】根據(jù)題意，函數(shù)滿足，則，又由為偶函數(shù)，則有，則，函數(shù)是周期為2的周期函數(shù)，故，故選：C.2．(2021·重慶九龍坡區(qū))已知函數(shù)的定義域為R且滿足，，若，則()A．6 B．0 C． D．【答案】C【解析】因為，所以的周期，因為函數(shù)的定義域為R且滿足，所以，，所以.故選：C3．(2021·沙坪壩區(qū)·重慶南開中學(xué))定義在R上的奇函數(shù)滿足，且時，，則()A．2 B．1 C．0 D．【答案】C【解析】因為定義在R上的奇函數(shù)滿足，所以所以，所以是以4為周期的周期函數(shù)所以故選：C4．(2021·河南駐馬店市·高三期末(文))已知是定義在上的奇函數(shù)，且，當(dāng)時，，則()A． B． C． D．【答案】A【解析】因為是定義在上的奇函數(shù)，所以圖象的對稱中心為，且．因為，所以圖象的對稱軸方程為，故的周期，，，從而，故選：A．5．(2021·湖北武漢市)已知定義域為的函數(shù)是奇函數(shù)，且，若在區(qū)間是減函數(shù)，則，，的大小關(guān)系是()A． B．C． D．【答案】B【解析】，由此可知函數(shù)的周期為4，函數(shù)是奇函數(shù)，，所以有：，，因為在區(qū)間是減函數(shù)，，所以，即，故選：B6．(2021·江蘇南通市)已知定義在R上的函數(shù)滿足：，，當(dāng)時，，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，則()A． B． C． D．【答案】D【解析】由已知可知，，即，所以函數(shù)是一個以4為周期的周期函數(shù)，又因為當(dāng)時，，所以，故選：D.7．(2021·江蘇揚州市·揚州中學(xué))已知函數(shù)為偶函數(shù)，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則滿足不等式的x的解集是()A． B．C． D．【答案】A【解析】因為函數(shù)為偶函數(shù)，所以的圖象關(guān)于直線對稱，因為的圖象向右平移1個單位得到的圖象，則的圖象關(guān)于直線對稱，又因為在區(qū)間，上單調(diào)遞增，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以的函數(shù)值越大，自變量與1的距離越大，的函數(shù)值越小，自變量與1的距離越小，所以不等式等價于，兩邊平方，解得，即不等式的解集為．故選：A．8．(2021·邵陽市第十一中學(xué))已知函數(shù)滿足，且，則下列結(jié)論正確的是()A． B． C． D．【答案】CD【解析】由條件，可知函數(shù)的周期，因為，則.故選：CD9．(2020·全國課時練習(xí))已知函數(shù)是周期函數(shù)，10是的一個周期，且，則________.【答案】【解析】因為10是函數(shù)的周期，所以．故答案為：．10．(2021·浙江金華市)設(shè)是定義在上的函數(shù)，對任意實數(shù)有，又當(dāng)時，，則______．【答案】【解析】由，即所以，所以是以4為周期的周期函數(shù).所以故答案為：11．(2021·上海市西南位育中學(xué))已知函數(shù)，對任意，都有(為非零實數(shù))，且當(dāng)時，，則___________.【答案】【解析】當(dāng)時，，則，對任意，都有(為非零實數(shù))，則，，由可得，，所以，函數(shù)是周期為的周期函數(shù)，因此，.故答案為：.12．(2021·陜西咸陽市·高三一模(文))若偶函數(shù)滿足，則____________．【答案】-1【解析】，是周期函數(shù)，周期，且函數(shù)是偶函數(shù)，，故答案為：13．(2021·浙江紹興市)已知函數(shù)是定義域為R的偶函數(shù)，且周期為2，當(dāng)時，，則當(dāng)時，________.【答案】【解析】當(dāng)時，，則，因為是定義域為R的偶函數(shù)，所以；當(dāng)時，，則，又的周期為2，所以；故答案為：.14．(2021·上海市楊浦高級中學(xué)已知函數(shù)，滿足，且當(dāng)時，，則_______________.【答案】【解析】由函數(shù)，滿足，即得.故答案為：2.15．(2021·福建福州三中高一期末)已知是定義在上的偶函數(shù)，且滿足，當(dāng)，，則_____________．【答案】2.5【解析】由，則周期，所以．因為函數(shù)為偶函數(shù)，則因為當(dāng)時，，所以