兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)課件

第三章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第一節(jié)引言第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動(dòng)第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)第六節(jié)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響第七節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的實(shí)際應(yīng)用第三章兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)第一節(jié)引言第一節(jié)引言兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)：用兩個(gè)獨(dú)立坐標(biāo)才能確定的系統(tǒng)振動(dòng)。第一節(jié)引言兩自由度系統(tǒng)的振動(dòng)：用兩第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動(dòng)一、系統(tǒng)振動(dòng)微分方程的建立力學(xué)模型：耦合項(xiàng)單自由度無阻尼的自由振動(dòng)的標(biāo)準(zhǔn)方程第二節(jié)兩自由度系統(tǒng)無阻尼的自由振動(dòng)一、系統(tǒng)振動(dòng)微分方二、兩自由度系統(tǒng)固有頻率與主振型解微分方程：(3-1)齊次方程組有非零解的充分必要條件是系數(shù)行列式為0二、兩自由度系統(tǒng)固有頻率與主振型解微分方程：(3-1)齊次方1.系統(tǒng)的固有頻率2.主振型

按頻率數(shù)值大小為序,數(shù)值最小的一個(gè)稱為第一階固有頻率,用來表示；把數(shù)值較大的一個(gè)稱為第二階固有頻率,用來表示。(3-1)1.系統(tǒng)的固有頻率2.主振型按頻率數(shù)值大小為序

一般情況下的系統(tǒng)振動(dòng)是兩種簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即三、兩自由度系統(tǒng)無阻尼自由振動(dòng)的通解一般情況下的系統(tǒng)振動(dòng)是兩種簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加，即三、兩自由度系統(tǒng)兩自由度與單自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性與分析方法的不同：兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)具有兩階固有頻率；兩自由度振動(dòng)系統(tǒng)引入主振型的概念，與系統(tǒng)的固有頻率一樣，是系統(tǒng)本身的物理特性與固有特性，與其初始條件無關(guān)。一般情況下系統(tǒng)的振動(dòng)是兩種主振動(dòng)的疊加，是一種復(fù)雜的非周期運(yùn)動(dòng)。當(dāng)滿足一定條件時(shí)，系統(tǒng)才作主振動(dòng)。兩自由度與單自由度系統(tǒng)振動(dòng)特性與分析方法的不同：例3-1如圖，兩自由度模型中，已知m1=m2=m=0.05kg，K1=K2=K3=K=20N/m,初始條件如下：x10=1cm,x20=-2cm,x'10=x'20=0x10=x20=1cm,x'10=x'20=0求兩種情況下系統(tǒng)的響應(yīng)。例3-1如圖，兩自由度模型中，已知m1=m2=m=0.05a）第一階主振型圖b）第二階主振型圖a）第一階主振型圖系統(tǒng)按第一階固有頻率振動(dòng),為第一階主振型。系統(tǒng)按第一階固有頻率振動(dòng),為第一階主振型。例例練習(xí)1如圖，推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。設(shè)滑輪為均質(zhì)圓盤，其質(zhì)量為m2，質(zhì)量塊質(zhì)量為m1，彈簧剛度分別為K1和K2，并假定滑輪與繩索間無相對(duì)滑動(dòng)。解：選取廣義坐標(biāo)為（），取靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)，進(jìn)行受力分析，建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：練習(xí)1如圖，推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。設(shè)滑輪為均質(zhì)系統(tǒng)的固有頻率頻率系統(tǒng)的固有頻率頻率99練習(xí)2如圖，擺長均為l，質(zhì)量均為m的單擺，上端鉸接懸掛，距懸掛點(diǎn)a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)。設(shè)彈簧原長為AB，桿重不計(jì)，系統(tǒng)作微振動(dòng)。推導(dǎo)系統(tǒng)的頻率方程并求主振型。解：1)建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程：練習(xí)2如圖，擺長均為l，質(zhì)量均為m的單擺，上端鉸接第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件例

如圖，求兩自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率及主振型。（I2=2I1）例如圖，求兩自由度扭振系統(tǒng)的固有頻率及主振型。（I2=第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立方法：牛頓運(yùn)動(dòng)定律定軸轉(zhuǎn)動(dòng)微分方程能量法一、拉氏方程的原理在理想、完整約束條件下的n個(gè)自由度系統(tǒng)，選取廣義坐標(biāo)為qj（j=1,2,···,n)，其運(yùn)動(dòng)可由如下拉格朗日方程來描述：式中，T為系統(tǒng)的動(dòng)能，為廣義速度，為與qj對(duì)應(yīng)的廣義力。第三節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立動(dòng)力學(xué)系統(tǒng)振動(dòng)模型的建立1)當(dāng)作用于系統(tǒng)的主動(dòng)力都是有勢(shì)力時(shí)（系統(tǒng)沒有能量損失時(shí)），則系統(tǒng)具有勢(shì)能U（q1,q2,···,qn)，廣義力為代入方程得：其中，L=T-U稱為拉格朗日函數(shù)。1)當(dāng)作用于系統(tǒng)的主動(dòng)力都是有勢(shì)力時(shí)（系統(tǒng)沒有能量損失時(shí)

2)當(dāng)作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力中，部分為有勢(shì)力，部分是非有勢(shì)力，廣義力Qj可分為兩部分：

2)當(dāng)作用在系統(tǒng)上的主動(dòng)力中，部分為有勢(shì)力，部分是非有當(dāng)非有勢(shì)力中包括阻尼力時(shí)：

若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D當(dāng)非有勢(shì)力中包括阻尼力時(shí)：例題：如圖所示為有阻尼的雙彈簧系統(tǒng)。試用拉氏方程建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程。例題：如圖所示為有阻尼的雙彈簧系統(tǒng)。試用拉氏方程建立系統(tǒng)的第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件解：取小車的絕對(duì)位移u1和圓柱體的絕對(duì)位移u2為廣義坐標(biāo)。例題：置于光滑平面的小車質(zhì)量m1，車上質(zhì)量為m2的圓柱體可作無滑動(dòng)的純滾動(dòng)。試建立該系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)微分方程。根據(jù)圓柱體對(duì)圓心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和純滾動(dòng)的轉(zhuǎn)角可以寫出系統(tǒng)的動(dòng)能和勢(shì)能：代入拉氏方程，得系統(tǒng)的微分方程u1u2解：取小車的絕對(duì)位移u1和圓柱體的絕對(duì)位移u2為廣義坐標(biāo)。例練習(xí)4

擺長均為l，擺錘質(zhì)量分別為m1及m2的兩單擺，在距離懸掛點(diǎn)a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)，如圖，設(shè)彈簧原長等于AB，試用拉氏方程導(dǎo)出雙擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。練習(xí)4擺長均為l，擺錘質(zhì)量分別為m1及m2的兩單擺，在第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解

設(shè)剛性桿質(zhì)量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質(zhì)心為C，其距前輪的距離為l1和l2，桿繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，取質(zhì)心C的垂直位移x及桿繞質(zhì)心的角位移θ作為廣義坐標(biāo)（x,θ），對(duì)桿進(jìn)行受力分析。第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件1111第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解

靜平衡位置彈簧未壓縮時(shí)位置設(shè)剛性桿質(zhì)量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質(zhì)心為C，其距前后輪的距離為l1和l2，桿繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I，取質(zhì)心C的垂直位移x及桿繞質(zhì)心的角位移θ作為廣義坐標(biāo)（x,θ），分析振動(dòng)規(guī)律。第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解考慮到在靜平衡位置：重力與彈簧1和2的靜彈力之和相等，而且兩彈簧對(duì)質(zhì)心的靜彈性力矩之和為零，所以有代入上式，得考慮到在靜平衡位置：重力與彈簧1和2的靜彈力之和相第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)如圖在m1和m2上分別作用有簡(jiǎn)諧激振力F1sinωt和F2sinω，取廣義坐標(biāo)為（x1,x2），以靜平衡位置作為坐標(biāo)原點(diǎn)。

運(yùn)動(dòng)微分方程為：第五節(jié)兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)如結(jié)論：

1）系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)是與簡(jiǎn)諧干擾同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)?？汕蟮霉逃蓄l率ωn1和ωn2。在（2）式中，當(dāng)頻率ω=ωn1或ω=ωn2時(shí)，振幅為無窮大，發(fā)生共振現(xiàn)象。結(jié)論：

1）系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)是與簡(jiǎn)諧干擾同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)。2）兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頻率。2）兩自由度系統(tǒng)的強(qiáng)迫振動(dòng)有兩個(gè)共振頻率。練習(xí)4如圖3-21所示：m1=m2=m，K1=K2=K3=K，m1上作用F1sinωt的外激勵(lì)力，求①系統(tǒng)的響應(yīng)；②共振時(shí)振幅比；練習(xí)4如圖3-21所示：m1=m2=m，K1=K2=K解：1）首先建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程解：1）首先建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程B1(B2)B1(B2)例：如圖一雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，其支撐點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)xs=asinωt，求系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)。例：如圖一雙質(zhì)量彈簧系統(tǒng)，其支撐點(diǎn)作簡(jiǎn)諧振動(dòng)xs=asin第六節(jié)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響第六節(jié)阻尼對(duì)強(qiáng)迫振動(dòng)的影響阻尼使共振附近的振動(dòng)振幅顯著減小。阻尼使共振附近的振動(dòng)振幅顯著減小。第六節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的實(shí)際應(yīng)用

動(dòng)力減振器主系統(tǒng)動(dòng)力減振系統(tǒng)第六節(jié)兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)理論的實(shí)際應(yīng)用動(dòng)力減振器主系統(tǒng)第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件B1(B2)B1(B2)Thankyouforyourlistening!第三章結(jié)束Thankyouforyourlistening!第

如圖所示為一均勻圓柱體沿水平直線軌道做無滑動(dòng)滾動(dòng)，又一均質(zhì)剛性桿，長3r、質(zhì)量為m，以光滑鉸鏈與圓柱體之中心連接，圓柱體的質(zhì)量為m，試用拉氏方程建立系統(tǒng)的振動(dòng)微分方程及求系統(tǒng)在平衡位置附近作微幅振動(dòng)時(shí)的固有圓頻率。解：1）建立振動(dòng)微分方程，取廣義坐標(biāo)（）動(dòng)能由兩部分組成：（1）隨質(zhì)心的平動(dòng)動(dòng)能；（2）繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)的動(dòng)能；圓柱體質(zhì)心速度：繞質(zhì)心角速度：剛性桿質(zhì)心速度：繞質(zhì)心角速度：如圖所示為一均勻圓柱體沿水平直線軌道做無滑動(dòng)滾動(dòng)任一瞬時(shí)t系統(tǒng)的動(dòng)能：設(shè)平衡位置時(shí)的勢(shì)能為零，任一瞬時(shí)t系統(tǒng)的勢(shì)能：拉氏函數(shù)：拉氏方程：任一瞬時(shí)t系統(tǒng)的動(dòng)能：設(shè)平衡位置時(shí)的勢(shì)能為零，任一瞬時(shí)t系統(tǒng)2）求系統(tǒng)的固有頻率：設(shè)振動(dòng)方程組的解為，，代入方程并令A(yù)1、A2的系數(shù)行列式為零，可得頻率方程解得固有頻率為：2）求系統(tǒng)的固有頻率：設(shè)第三章-兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)-課件系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近作微振動(dòng)時(shí)，勢(shì)能和動(dòng)能的表達(dá)式為：應(yīng)用拉氏方程建立系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)微分方程時(shí)，由上式可求得系統(tǒng)在穩(wěn)定平衡位置附近作微振動(dòng)時(shí)，勢(shì)能和動(dòng)能的表達(dá)式為：應(yīng)用二、離心擺式減振器當(dāng)干擾頻率隨轉(zhuǎn)速在很大范圍內(nèi)變動(dòng)時(shí)，必須使減振器的固有頻率能跟隨轉(zhuǎn)速自動(dòng)調(diào)節(jié)，才能有效地達(dá)到減振的目的。如圖為離心擺式減振器的原理圖。二、離心擺式減振器當(dāng)干擾頻率隨轉(zhuǎn)速在很大范圍（1）對(duì)無阻尼自由振動(dòng)（2）對(duì)于阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D（1）對(duì)無阻尼自由振動(dòng)（2）對(duì)于阻尼強(qiáng)迫振動(dòng)當(dāng)非有勢(shì)力中包括阻尼力時(shí)：

若系統(tǒng)受到線性阻尼作用，可以引入瑞利耗散函數(shù)D當(dāng)非有勢(shì)力中包括阻尼力時(shí)：例3-5擺長均為l，擺錘質(zhì)量分別為m1及m2的兩單擺，在距離懸掛點(diǎn)a處，用剛度為K的彈簧相聯(lián)，如圖，設(shè)彈簧原長等于AB，試用拉氏方程導(dǎo)出雙擺的運(yùn)動(dòng)微分方程。例3-6例3-5擺長均為l，擺錘質(zhì)量分別為m1及m2的兩單擺，在距例3-8例3-7例3-8例3-7第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解

設(shè)剛性桿質(zhì)量為m，支撐彈簧剛度為K1、K2，質(zhì)心為C，其距前輪的距離為l1和l2，桿繞質(zhì)心軸轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為Ic，取質(zhì)心C的垂直位移x及桿繞質(zhì)心的角位移θ作為廣義坐標(biāo)（x,θ），對(duì)桿進(jìn)行受力分析。第四節(jié)剛體在平面內(nèi)的振動(dòng)一、平面振動(dòng)微分方程的建立及其解二、靜力耦合與動(dòng)力耦合一般情況下無阻尼的兩自由度系統(tǒng)振動(dòng)微分方程，具有如下的形式：當(dāng)質(zhì)量矩陣的非對(duì)角線元素m12、m21不為零時(shí)，稱為慣性耦合或動(dòng)力耦合；剛度矩陣的非對(duì)角線元素不為零時(shí)稱為彈性耦合或靜力耦合。選取的廣義坐標(biāo)不同，則耦合形式不同。若選取一組特殊廣義坐標(biāo)，恰好使得微分方程中的耦合項(xiàng)完全為零，即無動(dòng)力耦合又無靜力耦合，兩個(gè)方程變成為相當(dāng)于無關(guān)的單自由度振動(dòng)方程，將給求解帶來極大方便，此坐標(biāo)稱為主坐標(biāo)。二、靜力耦合與動(dòng)力耦合當(dāng)質(zhì)量矩陣的非對(duì)角線例如圖：m1=m2=m，K1=K2=K3=K，m1上作用F1s