等差數(shù)列的前n項(xiàng)和說課稿課件

等差數(shù)列的前n項(xiàng)和說課稿等差數(shù)列的前n項(xiàng)和說課稿1■■■■■■■■■■■■■■一、教材分析二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況目標(biāo)分析六、教學(xué)重難點(diǎn)四、教與學(xué)的方法分析五、教學(xué)目標(biāo)三、設(shè)計(jì)思想內(nèi)容■■■■■■■■■■■■■■一、教材分析二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況目標(biāo)2教材分析學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的．本節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及該公式的應(yīng)用等．本節(jié)的地位等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見,因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題.同時(shí),求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題．教材滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法公式的推導(dǎo),讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法，公式的運(yùn)用讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的思想方法和整體代入的思想方法．教材分析學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)3學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已有知識(shí)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì),對(duì)高斯算法也有所了解,已有了函數(shù)的初步知識(shí)．難點(diǎn)的確定

學(xué)生對(duì)高斯算法有所了解，為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)，但高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離,如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的的難點(diǎn).滲透函數(shù)思想的根據(jù)

從學(xué)生已有函數(shù)知識(shí)出發(fā)，在教學(xué)中運(yùn)用通項(xiàng)公式與求和公式解題時(shí)，可適當(dāng)滲透函數(shù)思想.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已有知識(shí)4設(shè)計(jì)思想理論依據(jù)根據(jù)建構(gòu)主義理論，讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu).設(shè)計(jì)思想理論依據(jù)5教與學(xué)的方法分析

在教學(xué)過程中,從介紹高斯的算法開始,探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法.通過設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般的問題,層層鋪墊,組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路。并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí),通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式,讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，以期達(dá)到高效大容量的目的.為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展,還設(shè)計(jì)了選做題和探索題,進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的能力,達(dá)到了分層教學(xué)的目的.教與學(xué)的方法分析在教學(xué)過程中,從介紹高斯6教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握解倒序相加法的原理，掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．2.從公式的推導(dǎo)過程中,體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法,滲透函數(shù)思想與方程(組)思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、分析、分類討論、反思的能力，提高學(xué)生推理能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)．3.通過有趣的歷史故事，具體的實(shí)際問題構(gòu)建“倒序相加”的模型，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究熱情，體驗(yàn)問題驅(qū)動(dòng)的科學(xué)學(xué)習(xí)方法，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信．教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握解倒7

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及應(yīng)用

難點(diǎn)：是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)“倒序相加”思想的獲得及靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些具體問題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：8（3）等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列即：an-an-1=d（2）等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=am+(m-n)dm.n∈N﹡n＞m≥1（4）公差

d=an-an-1若a、b、c成等差數(shù)列，則2b=a+c

教學(xué)過程（3）等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的定義9問題1：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一,陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題1：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝10

著名數(shù)學(xué)家高斯的一個(gè)小故事在高斯10歲的時(shí)候，他的老師出了一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+4+…+100=？在別的同學(xué)都在忙著計(jì)算的時(shí)候，高斯很快得出了正確答案，你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎？

高斯(Gauss,C.F.,1777年～1855年）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家（1+100)+(2+99)+(3+98)+···+（50+51）=50×101=5050著名數(shù)學(xué)家高斯的一個(gè)小故事高斯(Gau11等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：設(shè){an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和用Sn表示.即Sn=a1+a2+a3+···+an則:1+2+3+···+100表示S100S100=1+2+3+···+100等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：設(shè){an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和12從高斯的（1+100)+(2+99)+···+（50+51）

首尾配對(duì)相加導(dǎo)出倒序相加

設(shè)S100=1+2+3+···+99+100則S100=100+99+98+···+2+1故2S100=(1+100)+(2+99)+···+（99+2）+(100+1)=(1+100)×100

S100=由此猜想等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和sn為：

sn==從高斯的（1+100)+(2+99)+···+（50+51）13高斯的算法其實(shí)給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法---倒序相加法以字母代替數(shù)來探究設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

Sn=a1

+a2

+a3

+…+an-2

+an-1

+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a3

+a2

+a1兩式對(duì)應(yīng)相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1）+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1）在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq

故a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…∴2Sn=n(a1+an)高斯的算法其實(shí)給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法---倒序相加法14探究發(fā)現(xiàn)方法2：如何根據(jù)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d來推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式sn?探究發(fā)現(xiàn)方法2：如何根據(jù)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d15

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

記一記幫助我記公式啦等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式16

根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

(1)a1=5,an=95,n=10（2)a1=100,d=-2,n=50

解：（1）sn=

=500（2）sn=50×100+=2550熱身練習(xí)

根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和17

Sn=Sn=na1+

例1:如圖

超市一個(gè)堆放鉛筆的V形架，最下面第一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放．最上面一層放120支S求這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？

分析：由題意知，這個(gè)V形架上共120層鉛筆，各層的鉛筆數(shù)自下上成等差數(shù)列,記為{an}，a1=1,an=120,n=120,d=1.代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求得結(jié)果應(yīng)用提升解：依題知，各層鉛筆數(shù)自下而上成等差數(shù)列，設(shè)為{an}則a1=1,an=120,n=120,d=1代入公式得

Sn=

=7260

答：這個(gè)V形架上共放了7260支鉛筆Sn=例1:如圖超18

例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2，…前多少項(xiàng)和是54?

分析:等差數(shù)列首項(xiàng)為-10,前n項(xiàng)和為54,由前幾項(xiàng)可知公差為4,依前n項(xiàng)和公式可得關(guān)于n的方程,解之可得n.

解:設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=-10,前n項(xiàng)和Sn=54,公差d=4,代入公式得-10n+×4=54

整理得n2-6n-27=0解得n1=9n2=-3(舍去）故該等差數(shù)列前9項(xiàng)和是54.等差數(shù)列中由前幾項(xiàng)可確定首項(xiàng)、公差，再代入前n項(xiàng)和公式第二公式可得關(guān)于n的二次方程，求解時(shí)應(yīng)注意n為正整數(shù)能力提升例2中通項(xiàng)公式an

與n及前n項(xiàng)和公式Sn與n的函數(shù)關(guān)系？想一想評(píng)注例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2，…前多少項(xiàng)和19nSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入認(rèn)識(shí)nanOan=4n-14Sn=2n2-12nnSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入認(rèn)識(shí)nanOa20等差數(shù)列5，4，3，2，···，多少項(xiàng)和是-30？解:設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和Sn=-30,公差d=-1代入公式得5n+×（-1）=-30

整理得n2-11n-60=0

解得n1=15n2=-4(舍去）

故該等差數(shù)列前15項(xiàng)和是-30.做一做等差數(shù)列5，4，3，2，···，多少項(xiàng)和是-30？解:21

例3:已知在等差數(shù)列{an}中，d=20,n=37,sn=629,求:a1及an

=629………………①

a1+(37-1)×20=an…………..……②由以上兩式聯(lián)立求解方程組得a1=-343

an=377

解：由題意得:例3:已知在等差數(shù)列{an}中，22

例4:(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a99=200.求S101?

(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a15+a12+a9+a6=20,求S20?分析:等差數(shù)列中已知某幾項(xiàng)和，求前n項(xiàng)和，充分利用通項(xiàng)或等差數(shù)列性質(zhì)(如若m+n=p+q則am+an=ap+aq）進(jìn)行整體代換

解:(1)法一:∵a3+a99=200∴a3+a99=2a1+100d即a1+50d=100∴S101=101a1+=101(a1+50d)=10100

法二:a3+a99=a1+a101=200∴

S101(2)方法一：∵1+20=6+15=9+12∴

a1+a20=a6+a15=a9+a2∵a15+a12+a9+a6=20∴a1+a20=10

∴S20=100

已知等差數(shù)列若干項(xiàng)和,求前n項(xiàng)和是常見題型,方法靈活,利用通項(xiàng)公式或等差數(shù)列性質(zhì)進(jìn)行整體代換是基本方法評(píng)注：=10100方法二同（1）題方法一例4:(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a99=200.23

利用sn,判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列

例5：根據(jù)數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式,判斷下列數(shù)列是否為等差數(shù)列

(1)sn=2n2–n(2)sn=2n2–n+1解：(1)當(dāng)n>1時(shí)，an=sn-sn-1

=2n2–n-[2(n-1)2–(n-)]=4n-3當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2×12-1=1也滿足上式則:an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4(常數(shù))∴{an}是等差數(shù)列(2)當(dāng)n>1時(shí)，an=sn-sn-1

=2n2–n+1-[2(n-1)2–(n-)+1]

=4n-3當(dāng)n=1時(shí)，a1=s1=2×12-1+1=2不滿足上式則:當(dāng)n>2時(shí)，an-an-1=4n-3-[4(n-1)-3]=4而當(dāng)n=2時(shí)an-an-1=a2-a1=5-2=3≠4∴{an}不是等差數(shù)列

利用sn,判斷一個(gè)數(shù)列是否為等差數(shù)列

例5：根據(jù)數(shù)列24

(1)一種求和方法--倒序相加法.(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的兩個(gè)公式.

(3)已知等差數(shù)列中首項(xiàng)、公差、末項(xiàng)、前n項(xiàng)和中某幾項(xiàng)求他量。

回顧與小結(jié)回顧與小結(jié)251.閱讀教材P42到P44，復(fù)習(xí)數(shù)列、等差數(shù)列定義、數(shù)列圖像、二次函數(shù)圖像.2.書面作業(yè)：P132習(xí)題3.3第1,2,3,4題.3.課外練習(xí)：已知等差數(shù)列16，14，12，10，…(1)前多少項(xiàng)的和為72？(2)前多少項(xiàng)的和為0？(3)前多少項(xiàng)的和最大？練習(xí)與作業(yè)1.閱讀教材P42到P44，復(fù)習(xí)數(shù)列、等差數(shù)列定義、數(shù)列圖像26謝謝謝謝27等差數(shù)列的前n項(xiàng)和說課稿等差數(shù)列的前n項(xiàng)和說課稿28■■■■■■■■■■■■■■一、教材分析二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況目標(biāo)分析六、教學(xué)重難點(diǎn)四、教與學(xué)的方法分析五、教學(xué)目標(biāo)三、設(shè)計(jì)思想內(nèi)容■■■■■■■■■■■■■■一、教材分析二、學(xué)生學(xué)習(xí)情況目標(biāo)29教材分析學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的定義和性質(zhì)的基礎(chǔ)上來學(xué)習(xí)的．本節(jié)學(xué)習(xí)的主要內(nèi)容本節(jié)課主要研究如何應(yīng)用倒序相加法求等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式以及該公式的應(yīng)用等．本節(jié)的地位等差數(shù)列在現(xiàn)實(shí)生活中比較常見,因此等差數(shù)列求和就成為我們?cè)趯?shí)際生活中經(jīng)常遇到的一類問題.同時(shí),求數(shù)列前n項(xiàng)和也是數(shù)列研究的基本問題．教材滲透的主要數(shù)學(xué)思想方法公式的推導(dǎo),讓學(xué)生進(jìn)一步掌握從特殊到一般的研究問題方法，公式的運(yùn)用讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)的思想方法和整體代入的思想方法．教材分析學(xué)生已有知識(shí)基礎(chǔ)30學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已有知識(shí)

學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及基本性質(zhì),對(duì)高斯算法也有所了解,已有了函數(shù)的初步知識(shí)．難點(diǎn)的確定

學(xué)生對(duì)高斯算法有所了解，為倒序相加法的教學(xué)提供了基礎(chǔ)，但高斯的算法與一般的等差數(shù)列求和還有一定的距離,如何從首尾配對(duì)法引出倒序相加法,這是學(xué)生學(xué)習(xí)的的難點(diǎn).滲透函數(shù)思想的根據(jù)

從學(xué)生已有函數(shù)知識(shí)出發(fā)，在教學(xué)中運(yùn)用通項(xiàng)公式與求和公式解題時(shí)，可適當(dāng)滲透函數(shù)思想.學(xué)生學(xué)習(xí)情況分析學(xué)生已有知識(shí)31設(shè)計(jì)思想理論依據(jù)根據(jù)建構(gòu)主義理論，讓學(xué)生在具體的問題情境中經(jīng)歷知識(shí)的形成和發(fā)展，讓學(xué)生利用自己的原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中相關(guān)的知識(shí)與經(jīng)驗(yàn),自主地在教師的引導(dǎo)下促進(jìn)對(duì)新知識(shí)的建構(gòu).設(shè)計(jì)思想理論依據(jù)32教與學(xué)的方法分析

在教學(xué)過程中,從介紹高斯的算法開始,探究這種方法如何推廣到一般等差數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法.通過設(shè)計(jì)一些從簡(jiǎn)單到復(fù)雜,從特殊到一般的問題,層層鋪墊,組織和啟發(fā)學(xué)生獲得公式的推導(dǎo)思路。并且充分引導(dǎo)學(xué)生展開自主、合作、探究學(xué)習(xí),通過生生互動(dòng)和師生互動(dòng)等形式,讓學(xué)生在問題解決中學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)，以期達(dá)到高效大容量的目的.為了促進(jìn)成績(jī)優(yōu)秀學(xué)生的發(fā)展,還設(shè)計(jì)了選做題和探索題,進(jìn)一步培養(yǎng)優(yōu)秀生用函數(shù)觀點(diǎn)分析、解決問題的能力,達(dá)到了分層教學(xué)的目的.教與學(xué)的方法分析在教學(xué)過程中,從介紹高斯33教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握解倒序相加法的原理，掌握并能熟練運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式．2.從公式的推導(dǎo)過程中,體驗(yàn)從特殊到一般的研究方法,滲透函數(shù)思想與方程(組)思想,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、分析、分類討論、反思的能力，提高學(xué)生推理能力，增強(qiáng)學(xué)生應(yīng)用意識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生合作交流、獨(dú)立思考等良好的個(gè)性品質(zhì)．3.通過有趣的歷史故事，具體的實(shí)際問題構(gòu)建“倒序相加”的模型，激發(fā)學(xué)生的求知欲望和探究熱情，體驗(yàn)問題驅(qū)動(dòng)的科學(xué)學(xué)習(xí)方法，樹立學(xué)生求真的勇氣和自信．教學(xué)目標(biāo)

1.理解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過程，掌握解倒34

教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：

重點(diǎn)：等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)及應(yīng)用

難點(diǎn)：是等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式推導(dǎo)“倒序相加”思想的獲得及靈活運(yùn)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式解決一些具體問題．教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)：35（3）等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的定義一般地，如果一個(gè)數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個(gè)常數(shù)，那么這個(gè)數(shù)列就叫做等差數(shù)列即：an-an-1=d（2）等差數(shù)列通項(xiàng)公式an=am+(m-n)dm.n∈N﹡n＞m≥1（4）公差

d=an-an-1若a、b、c成等差數(shù)列，則2b=a+c

教學(xué)過程（3）等差數(shù)列的性質(zhì)：（1）等差數(shù)列的定義36問題1：

泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝國(guó)皇帝沙杰罕為紀(jì)念其愛妃所建，她宏偉壯觀，純白大理石砌建而成的主體建筑叫人心醉神迷，成為世界七大奇跡之一,陵寢以寶石鑲飾，圖案之細(xì)致令人叫絕傳說陵寢中有一個(gè)三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲飾而成，共有100層（見左圖），奢靡之程度，可見一斑你知道這個(gè)圖案一共花了多少寶石嗎？問題1：泰姬陵坐落于印度古都阿格，是十七世紀(jì)莫臥兒帝37

著名數(shù)學(xué)家高斯的一個(gè)小故事在高斯10歲的時(shí)候，他的老師出了一道數(shù)學(xué)題：1+2+3+4+…+100=？在別的同學(xué)都在忙著計(jì)算的時(shí)候，高斯很快得出了正確答案，你知道高斯是怎么計(jì)算的嗎？

高斯(Gauss,C.F.,1777年～1855年）德國(guó)著名數(shù)學(xué)家（1+100)+(2+99)+(3+98)+···+（50+51）=50×101=5050著名數(shù)學(xué)家高斯的一個(gè)小故事高斯(Gau38等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：設(shè){an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和用Sn表示.即Sn=a1+a2+a3+···+an則:1+2+3+···+100表示S100S100=1+2+3+···+100等差數(shù)列前n項(xiàng)和的定義：設(shè){an}為等差數(shù)列，它的前n項(xiàng)和39從高斯的（1+100)+(2+99)+···+（50+51）

首尾配對(duì)相加導(dǎo)出倒序相加

設(shè)S100=1+2+3+···+99+100則S100=100+99+98+···+2+1故2S100=(1+100)+(2+99)+···+（99+2）+(100+1)=(1+100)×100

S100=由此猜想等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和sn為：

sn==從高斯的（1+100)+(2+99)+···+（50+51）40高斯的算法其實(shí)給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法---倒序相加法以字母代替數(shù)來探究設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn

Sn=a1

+a2

+a3

+…+an-2

+an-1

+an

Sn=an+an-1+an-2+…+a3

+a2

+a1兩式對(duì)應(yīng)相加得2Sn=(a1+an)+(a2+an-1）+(a3+an-2)+…+(an-2+a3)+(an-1+a2)+(an+a1）在等差數(shù)列{an}中,若m+n=p+q,則am+an=ap+aq

故a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…∴2Sn=n(a1+an)高斯的算法其實(shí)給出了求等差數(shù)列前n項(xiàng)和的方法---倒序相加法41探究發(fā)現(xiàn)方法2：如何根據(jù)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d來推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式sn?探究發(fā)現(xiàn)方法2：如何根據(jù)等差數(shù)列an=a1+(n-1)d42

等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式

記一記幫助我記公式啦等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式43

根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn

(1)a1=5,an=95,n=10（2)a1=100,d=-2,n=50

解：（1）sn=

=500（2）sn=50×100+=2550熱身練習(xí)

根據(jù)下列條件,求出等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和44

Sn=Sn=na1+

例1:如圖

超市一個(gè)堆放鉛筆的V形架，最下面第一層放一支鉛筆，往上每一層都比它下面多放一支，就這樣一層一層地往上放．最上面一層放120支S求這個(gè)V形架上共放著多少支鉛筆？

分析：由題意知，這個(gè)V形架上共120層鉛筆，各層的鉛筆數(shù)自下上成等差數(shù)列,記為{an}，a1=1,an=120,n=120,d=1.代入等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式可求得結(jié)果應(yīng)用提升解：依題知，各層鉛筆數(shù)自下而上成等差數(shù)列，設(shè)為{an}則a1=1,an=120,n=120,d=1代入公式得

Sn=

=7260

答：這個(gè)V形架上共放了7260支鉛筆Sn=例1:如圖超45

例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2，…前多少項(xiàng)和是54?

分析:等差數(shù)列首項(xiàng)為-10,前n項(xiàng)和為54,由前幾項(xiàng)可知公差為4,依前n項(xiàng)和公式可得關(guān)于n的方程,解之可得n.

解:設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=-10,前n項(xiàng)和Sn=54,公差d=4,代入公式得-10n+×4=54

整理得n2-6n-27=0解得n1=9n2=-3(舍去）故該等差數(shù)列前9項(xiàng)和是54.等差數(shù)列中由前幾項(xiàng)可確定首項(xiàng)、公差，再代入前n項(xiàng)和公式第二公式可得關(guān)于n的二次方程，求解時(shí)應(yīng)注意n為正整數(shù)能力提升例2中通項(xiàng)公式an

與n及前n項(xiàng)和公式Sn與n的函數(shù)關(guān)系？想一想評(píng)注例2:等差數(shù)列-10,-6,-2,2，…前多少項(xiàng)和46nSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入認(rèn)識(shí)nanOan=4n-14Sn=2n2-12nnSnO6an=f(n)、Sn=f(n)的深入認(rèn)識(shí)nanOa47等差數(shù)列5，4，3，2，···，多少項(xiàng)和是-30？解:設(shè)等差數(shù)列{an}首項(xiàng)a1=5,前n項(xiàng)和Sn=-30,公差d=-1代入公式得5n+×（-1）=-30

整理得n2-11n-60=0

解得n1=15n2=-4(舍去）

故該等差數(shù)列前15項(xiàng)和是-30.做一做等差數(shù)列5，4，3，2，···，多少項(xiàng)和是-30？解:48

例3:已知在等差數(shù)列{an}中，d=20,n=37,sn=629,求:a1及an

=629………………①

a1+(37-1)×20=an…………..……②由以上兩式聯(lián)立求解方程組得a1=-343

an=377

解：由題意得:例3:已知在等差數(shù)列{an}中，49

例4:(1)在等差數(shù)列{an}中,已知a3+a99=200.求S101?

(2)在等差數(shù)列{an}中,已知a15+a12+a9+a6=20,求S20?分析:等差數(shù)列中已知某幾項(xiàng)和，求前n項(xiàng)和，充分利用通項(xiàng)或等差數(shù)列性質(zhì)(如若m+n=p+q則am+an=ap+aq）進(jìn)行整體代換

解:(1)法一:∵a3+a99=200∴a3+a99=2a1+100d即a1+50d=100∴S101=101a1+=101(a1+50d)=10100

法二:a3+a99=a1+a101=200∴

S101(2)方法一：∵1+20=6+15=9+12∴

a1+a20=a6+a15=a9+a