高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件

無窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：①級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，②把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，③級(jí)數(shù)求和問題。無窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)1重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier展開式；難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開，級(jí)數(shù)求和；基本要求①掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪2④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)⑥熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂3一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面4二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和部分和數(shù)列二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)52.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:6余項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．余項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角7觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推8第次分叉：周長為面積為第次分叉：周長為面積為9于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，10解

收斂

發(fā)散解收斂發(fā)散11

發(fā)散

發(fā)散

綜上發(fā)散發(fā)散綜上12解解13三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),結(jié)論:14證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)15證明注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散證明注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.收斂發(fā)散16事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)若記則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為記的部分和為的部分和記為則由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，必定存在存在未必存在事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)若記則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為記的部分和為的17四、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:證明四、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:證明18注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;發(fā)散2.必要19討論討論202項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.21由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以為高就是圖中n個(gè)矩形的面積之和即故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩22五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題23思考題解答能．由柯西審斂原理即知．思考題解答能．由柯西審斂原理即知．24觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推2511262227332844295530練習(xí)題練習(xí)題31高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件32練習(xí)題答案練習(xí)題答案33常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散性，如果級(jí)數(shù)是收斂的，就可以對(duì)它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)，在一般情況下，直接考察級(jí)數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級(jí)數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級(jí)數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)來討論常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散34一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這種級(jí)數(shù)非常重要，以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這種級(jí)353.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界36不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).37解由圖可知解由圖可知38重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).39比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁?，而這種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有404.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都41證明由比較審斂法的推論,得證.證明由比較審斂法的推論,得證.42高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件43解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.44證明證明45收斂發(fā)散收斂發(fā)散46比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成——即通項(xiàng)來判定其斂散性兩點(diǎn)注意:比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成——即47高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件48解解49比值審斂法失效,改用比較審斂法比值審斂法失效,改用比較審斂法50例5解由于不存在，檢比法失效而對(duì)由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂例5解由于不存在，檢比法失效而對(duì)由檢比法得51例6解由檢比法得級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散例6解由檢比法得52檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級(jí)數(shù)發(fā)散檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級(jí)數(shù)發(fā)散53證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂54由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散55級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)收斂.56二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)57證明證明58滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.59解原級(jí)數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？解原級(jí)數(shù)收斂.證明un單調(diào)減的方法？？？60三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任61上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)62解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于63定理設(shè)有級(jí)數(shù)則絕對(duì)收斂發(fā)散可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如定理設(shè)有級(jí)數(shù)則絕對(duì)收斂發(fā)散可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也64注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因?yàn)闄z比法與檢根法審定級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出65四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審1.2.4.充要條件5.比66思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.67練習(xí)題練習(xí)題68高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件69高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件70練習(xí)題答案練習(xí)題答案711、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課72常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件732、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別（等價(jià)無窮小）2、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂743、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理絕對(duì)收斂，條件收斂附：正項(xiàng)級(jí)數(shù)與任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂程序3、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz75發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散發(fā)散NYYNN改用它法Y收斂收斂發(fā)散收斂發(fā)散76N發(fā)散YY收斂N用檢比法用比較法用L—準(zhǔn)則或考察部分和NNY條件收斂N發(fā)散YY收斂N用比較法用77例1求極限解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)由檢比法收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得二、典型例題例1求極限解考察正項(xiàng)級(jí)數(shù)由檢比法收斂由級(jí)數(shù)收斂的必要條件得二78例2設(shè)試證發(fā)散證不妨設(shè)a>0

由極限保號(hào)性知由于故由比較法的極限形式得發(fā)散例3若都發(fā)散則A必發(fā)散B必發(fā)散C必發(fā)散D以上說法都不對(duì)例2設(shè)79例3解例3解80根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．解從而有根據(jù)級(jí)數(shù)收斂的必要條件，原級(jí)數(shù)發(fā)散．解從而有81原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．原級(jí)數(shù)收斂；原級(jí)數(shù)發(fā)散；原級(jí)數(shù)也發(fā)散．82例4解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．由萊布尼茨定理：例4解即原級(jí)數(shù)非絕對(duì)收斂．由萊布尼茨定理：83所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．所以此交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂，故原級(jí)數(shù)是條件收斂．84都收斂且例5設(shè)試證收斂證由知因都收斂故正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂再由比較審斂法知正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂而即可表為兩個(gè)收斂級(jí)數(shù)之和故收斂都收斂且例5設(shè)試證收斂證85例6設(shè)且若收斂則也收斂證由題設(shè)知而收斂由比較法得收斂Cauchy積分審斂法設(shè)單調(diào)減少則與同斂散例7例6設(shè)且若收斂86證由f(x)單調(diào)減少知即故與同斂散例8設(shè)是單調(diào)增加且有界的正數(shù)數(shù)列試證明收斂證由f(x)單調(diào)減少知即故與同斂散例8設(shè)是單調(diào)增加87證記則且而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知存在即收斂進(jìn)而收斂由比較法得收斂證記則且而正項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和又單調(diào)增加且有界故由單調(diào)有界原理知88設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級(jí)數(shù)發(fā)散考察的斂散性證記由單調(diào)減少故由單調(diào)有界原理知存在且若由Leibniz審斂法得交錯(cuò)級(jí)數(shù)收斂與題設(shè)矛盾由檢根法知收斂例9設(shè)正數(shù)數(shù)列單調(diào)減少，級(jí)數(shù)發(fā)散考察的斂散性89已知證明⑴⑵⑶由知對(duì)有證⑴例10已知證明⑴⑵⑶由知對(duì)有證⑴例1090而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散而收斂故由比較法知收斂⑵由知有而發(fā)散故由比較法知發(fā)散91⑶如但⑶如但92討論的斂散性解對(duì)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散分情況說明例11討論的斂散性解對(duì)級(jí)數(shù)收斂絕對(duì)收斂發(fā)散發(fā)散分情況說明例1193級(jí)數(shù)成為收斂發(fā)散級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂條件收斂級(jí)數(shù)成為收斂發(fā)散級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂條件收斂94例12對(duì)的值，研究一般項(xiàng)為的級(jí)數(shù)的斂散性解由于當(dāng)n充分大時(shí)，定號(hào)故級(jí)數(shù)從某一項(xiàng)以后可視為交錯(cuò)級(jí)數(shù)總有級(jí)數(shù)發(fā)散例12對(duì)的值，研究一般項(xiàng)為的級(jí)數(shù)的斂散性解由于當(dāng)n95非增地趨于0由Leibniz審斂法知收斂但而發(fā)散故由比較法的極限形式發(fā)散非增地趨于0由Leibniz審斂法知96條件收斂級(jí)數(shù)顯然收斂條件收斂級(jí)數(shù)顯然收斂97正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使收斂必須但在一般項(xiàng)趨于0的級(jí)數(shù)中為什么有的收斂有的卻發(fā)散，因此從原則上講，比較法是基礎(chǔ)，更重要更基本，但其極限形式（包括極限審斂法）則更能說明問題的實(shí)質(zhì)，使用起來也更有效的階問題的實(shí)質(zhì)是級(jí)數(shù)收斂與否取決于關(guān)于常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂正項(xiàng)級(jí)數(shù)由級(jí)數(shù)收斂的必要條件要使98和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所論級(jí)數(shù)與某一幾何級(jí)數(shù)作比較，雖然使用起來較方便但都會(huì)遇到“失效”的情況。這一結(jié)論將許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性判定注①比較法、比較法的極限形式、檢比法、檢根法、積分審斂法，只能對(duì)正項(xiàng)級(jí)數(shù)方可使用的一種估計(jì)和作為變化快慢得到檢比法和檢根法，檢比法和檢根法的實(shí)質(zhì)是把所99②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準(zhǔn)則也是充分條件而非必要條件④通項(xiàng)中含等常用檢比法⑤通項(xiàng)中含有以n為指數(shù)冪的因子時(shí)常用檢根法⑥使用比較法的極限形式時(shí)，關(guān)鍵在于找出與同階或等價(jià)的無窮小如記則⑦當(dāng)所討論的級(jí)數(shù)中含有參數(shù)時(shí)，一般都要對(duì)參數(shù)的取值加以討論②檢比法、檢根法只是充分條件而非必要條件③L—準(zhǔn)則也是充分條1001.定義:冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1.定義:冪級(jí)數(shù)一、函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的一般概念1012.收斂點(diǎn)與收斂域:3.和函數(shù):2.收斂點(diǎn)與收斂域:3.和函數(shù):102(定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)注意(x在收斂域上)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)在某點(diǎn)x的收斂問題,實(shí)質(zhì)上是數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂問題.(定義域是?)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的部分和余項(xiàng)注意(x在收斂域上)函數(shù)103解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.解由達(dá)朗貝爾判別法原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.原級(jí)數(shù)發(fā)散.104收斂;發(fā)散;二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:收斂;發(fā)散;二、冪級(jí)數(shù)及其收斂性1.定義:1052.收斂性:2.收斂性:106證明證明107由(1)結(jié)論幾何說明發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域收斂區(qū)域這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性由(1)結(jié)論幾何說明發(fā)散區(qū)域發(fā)散區(qū)域收斂區(qū)域這是冪級(jí)數(shù)收斂的108推論定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.推論定義:正數(shù)R稱為冪級(jí)數(shù)的收斂半徑.109稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，收斂域

=

收斂區(qū)間

+

收斂的端點(diǎn)可能是規(guī)定問題如何求冪級(jí)數(shù)的收斂半徑?稱為冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間，收斂域=收斂區(qū)間+收斂的端點(diǎn)可110證明證明111由比值審斂法,由比值審斂法,112定理證畢.定理證畢.113①若在x0處收斂則②在x0處發(fā)散若則③若在x0處條件收斂則這是冪級(jí)數(shù)收斂的特性注利用該定理求收斂半徑要求所有的或只有有限個(gè)①若在x0處收斂則②在x0處發(fā)散若則③114例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散例2求下列冪級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間:解該級(jí)數(shù)收斂該級(jí)數(shù)發(fā)散115高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件116發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].發(fā)散收斂故收斂區(qū)間為(0,1].117如缺項(xiàng)，則必不存在，但冪級(jí)數(shù)并不是沒有收斂半徑，此時(shí)不能套用定理，可考慮直接用比值法或根值法求收斂半徑例3已知冪級(jí)數(shù)的收斂半徑R=1求的收斂半徑解任取由收斂知注：如缺項(xiàng)，則必不存在，但冪級(jí)數(shù)并不是沒有收斂半徑，此時(shí)不能套用118由檢比法易得收斂故由比較審斂法知在故收斂半徑內(nèi)絕對(duì)收斂注意收斂半徑為1，并不意味著`由檢比法易得收斂故由比較119三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中三、冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算1.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):(1)加減法(其中120(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級(jí)數(shù)的收斂區(qū)間小得多)(2)乘法(其中(3)除法(相除后的收斂區(qū)間比原來兩級(jí)數(shù)1212.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收斂半徑不變)2.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):(收斂半徑不變)122(收斂半徑不變)解(收斂半徑不變)解123兩邊積分得兩邊積分得124例5求和函數(shù)解收斂域?yàn)橛泟t并求的和例5求和函數(shù)解收斂域?yàn)橛泟t并求125故故故故126常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)常用已知和函數(shù)的冪級(jí)數(shù)127記住幾個(gè)常見級(jí)數(shù)的和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的一種重要方法冪級(jí)數(shù)法或Abel法記住幾個(gè)常見級(jí)數(shù)的和常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)求和的一種重要方法冪級(jí)數(shù)法或A128四、小結(jié)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:2.冪級(jí)數(shù)的收斂性:收斂半徑R3.冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算:分析運(yùn)算性質(zhì)思考題冪級(jí)數(shù)逐項(xiàng)求導(dǎo)后，收斂半徑不變，那么它的收斂域是否也不變？四、小結(jié)1.函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的概念:2.冪級(jí)數(shù)的收斂性:收斂半徑R129思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是思考題解答不一定.例它們的收斂半徑都是1,但它們的收斂域各是130練習(xí)題練習(xí)題131高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件132練習(xí)題答案練習(xí)題答案133函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)

由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了一個(gè)和函數(shù)，因此我們就有可能利用冪級(jí)數(shù)來表示函數(shù)。如果一個(gè)函數(shù)已經(jīng)表示為冪級(jí)數(shù)，那末該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、積分等問題就迎刃而解。函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)由于冪級(jí)數(shù)在收斂域內(nèi)確定了134一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)問題:1.如果能展開,是什么?2.展開式是否唯一?3.在什么條件下才能展開成冪級(jí)數(shù)?一、泰勒級(jí)數(shù)上節(jié)例題存在冪級(jí)數(shù)在其收斂域內(nèi)以f(x)為和函數(shù)135證明證明136逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,逐項(xiàng)求導(dǎo)任意次,得泰勒系數(shù)泰勒系數(shù)是唯一的,137問題泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義問題泰勒級(jí)數(shù)在收斂區(qū)間是否收斂于f(x)?不一定.定義138在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),在x=0點(diǎn)任意可導(dǎo),139證明必要性證明必要性140充分性充分性141證明證明142二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:二、函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)1.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:143例1解由于M的任意性,即得例1解由于M的任意性,即得144例2解例2解145例3解例3解146高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件147兩邊積分得兩邊積分得148即注意:牛頓二項(xiàng)式展開式即注意:牛頓二項(xiàng)式展開式149雙階乘雙階乘1502.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分,復(fù)合等方法,求展開式.例如2.間接法根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,151例4例4152解解153三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條件;3.函數(shù)展開成泰勒級(jí)數(shù)的方法.思考題什么叫冪級(jí)數(shù)的間接展開法？三、小結(jié)1.如何求函數(shù)的泰勒級(jí)數(shù);2.泰勒級(jí)數(shù)收斂于函數(shù)的條154思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)算或逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)積分等辦法,求出給定函數(shù)展開式的方法稱之.思考題解答從已知的展開式出發(fā),通過變量代換、四則運(yùn)155練習(xí)題練習(xí)題156練習(xí)題答案練習(xí)題答案157高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件158冪級(jí)數(shù)習(xí)題課冪級(jí)數(shù)習(xí)題課159一、主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R收斂域Taylor級(jí)數(shù)Taylor展開式一、主要內(nèi)容函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)收斂半徑R收斂域Taylor級(jí)數(shù)160１．冪級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂性對(duì)總存在正數(shù)Ｒ使得１．冪級(jí)數(shù)(1)定義(2)收斂性對(duì)總存在正數(shù)Ｒ使得161Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區(qū)間注①形如的級(jí)數(shù)，求收斂域的收斂半徑Ｒ－－原級(jí)數(shù)的收斂點(diǎn)應(yīng)先求出Ｒ－－收斂半徑（－Ｒ，Ｒ）－－收斂區(qū)間注①形如的級(jí)數(shù)，求收斂162－－原級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)再研究②用公式求收斂半徑應(yīng)是的系數(shù)，否則可作代換或直接利用檢比法或檢根法來確定③求出收斂半徑后必須用常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法判定端點(diǎn)處的斂散性的點(diǎn)的斂散性－－原級(jí)數(shù)的發(fā)散點(diǎn)再研究②用公式求收斂半徑應(yīng)是的系數(shù)，否則163(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì):和函數(shù)連續(xù)，逐項(xiàng)微分，逐項(xiàng)積分收斂半徑不變(3)冪級(jí)數(shù)的運(yùn)算a.代數(shù)運(yùn)算性質(zhì):b.和函數(shù)的分析運(yùn)算性質(zhì)164⑷冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)利用幾個(gè)已知的展開式，如通過某些簡單運(yùn)算而求得?。蓛蓚€(gè)冪級(jí)數(shù)的和，差，積，商ⅱ．作變量代換ⅲ．求導(dǎo)或積分通項(xiàng)形如先微后積通項(xiàng)形如先積后微⑷冪級(jí)數(shù)求和函數(shù)利用幾個(gè)已知的展開式，如通過某些簡單運(yùn)算而求165步驟：①求收斂域②對(duì)進(jìn)行運(yùn)算保留所有的運(yùn)算記號(hào)的運(yùn)算結(jié)果要具體算出化成易求和的形式③再進(jìn)行上述運(yùn)算的逆運(yùn)算得步驟：①求收斂域②對(duì)進(jìn)行運(yùn)算保留所有的運(yùn)算記號(hào)的運(yùn)算結(jié)果要具166２．冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯一性(４)展開方法a.直接法(泰勒級(jí)數(shù)法)步驟:２．冪級(jí)數(shù)展開式(1)定義(2)充要條件(3)唯167根據(jù)唯一性,利用常見展開式,通過變量代換,四則運(yùn)算,恒等變形,逐項(xiàng)求導(dǎo),逐項(xiàng)積分等方法,求展開式.b.間接法(５)常見函數(shù)展開式(６)應(yīng)用歐拉公式根據(jù)唯一性,168的展開式，并且要十分熟悉幾何級(jí)數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系２．求函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，必須相應(yīng)地寫出展開式成立的范圍，３．對(duì)于不同類型的函數(shù)注意采用不同的展開方法和步驟有理分式－－化部分分式，利用幾何級(jí)數(shù)展開反三角函數(shù)或?qū)?shù)函數(shù)－－先展開其導(dǎo)數(shù)，再逐項(xiàng)積分，但此時(shí)必須注意積分的下限注１．幾個(gè)基本初等函數(shù)須直接展開，其它函數(shù)應(yīng)盡量采用間接展開，但間接展開法必須牢記

的展開式，并且要十分熟悉幾何級(jí)數(shù)及函數(shù)間的微分關(guān)系２．求函數(shù)169二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級(jí)數(shù)成為二、典型例題例１求收斂域解收斂半徑收斂半徑若則原級(jí)數(shù)成為170由于收斂原級(jí)數(shù)成為發(fā)散故收斂域?yàn)槿魟t收斂收斂發(fā)散收斂由于收斂原級(jí)數(shù)成為發(fā)散故收斂域?yàn)槿魟t收斂收斂發(fā)散收斂171原級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂收斂絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)成為原級(jí)數(shù)成為絕對(duì)收斂收斂絕對(duì)收斂原級(jí)數(shù)收斂原級(jí)數(shù)成為172收斂原級(jí)數(shù)收斂故收斂域?yàn)榻馐諗坑蚶睬蠛秃瘮?shù)

收斂原級(jí)數(shù)收斂故收斂域?yàn)榻馐諗坑蚶睬蠛秃瘮?shù)

173令積分求導(dǎo)令積分求導(dǎo)174令求導(dǎo)積分故注意先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先積后微，收斂域可能收縮令求導(dǎo)積分故注意先微后積，收斂域可能擴(kuò)張先積后微，收斂域可能175例３求級(jí)數(shù)和解考慮冪級(jí)數(shù)由乘以

x

求導(dǎo)再乘以x再求導(dǎo)例３求級(jí)數(shù)和解考慮冪級(jí)數(shù)由乘以x求導(dǎo)再乘以x再求導(dǎo)176例４解兩邊逐項(xiàng)積分例４解兩邊逐項(xiàng)積分177例５解例５解178高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件179或或180積分例６解積分例６解181高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件182求的冪級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑并求解由于收斂半徑為且例7設(shè)求的冪級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑并求解由于收斂半徑為且例7設(shè)183例8設(shè)求解一由Leibniz公式令得由得例8設(shè)求解一由Leibniz公式令得由得184解二故解二故185Fourier級(jí)數(shù)前面兩節(jié)我們討論了一般項(xiàng)是非負(fù)整數(shù)次冪的冪函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)------冪級(jí)數(shù)，給出了冪級(jí)數(shù)的收斂半徑和收斂域的求法，討論了函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的條件及函數(shù)展開為冪級(jí)數(shù)的直接展開法、間接展開法。從本節(jié)開始我們來討論一般項(xiàng)是三角函數(shù)的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)------三角級(jí)數(shù)，重點(diǎn)討論如何把函數(shù)展開為三角級(jí)數(shù)的問題，它的重要應(yīng)用之一是對(duì)周期信號(hào)進(jìn)行頻譜分析，是學(xué)習(xí)積分變換的基礎(chǔ)，也可利用三角級(jí)數(shù)展開式求出某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和Fourier級(jí)數(shù)前面兩節(jié)我們討論了一般項(xiàng)是186一、問題的提出在自然科學(xué)與工程技術(shù)問題中，常會(huì)遇到周期現(xiàn)象具有周期現(xiàn)象的量，每經(jīng)過時(shí)間

T

后所取的值就重復(fù)出現(xiàn)，這樣的量在數(shù)學(xué)上可表示成時(shí)間t的周期函數(shù)

f(t+T)=f(t)正弦函數(shù)是一類比較簡單的周期函數(shù)，而且是應(yīng)用十分廣泛的一類周期函數(shù)。如在簡諧振動(dòng)和正弦電路電流分析中常遇到正弦型函數(shù)但是在實(shí)際問題中，除了正弦函數(shù)外，還會(huì)遇到非正弦周期函數(shù)，它們反映了較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)一、問題的提出在自然科學(xué)與工程技術(shù)問題中，常187非正弦型周期函數(shù)：巨形波如何深入地研究非正弦型周期函數(shù)呢？聯(lián)系到前面介紹過的用函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式表示和討論函數(shù)，我們也想將周期函數(shù)展開成簡單的周期函數(shù)如正弦函數(shù)組成的級(jí)數(shù)不同頻率的正弦波逐個(gè)疊加非正弦型周期函數(shù)：巨形波如何深入地研究非正弦型周期188高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件189高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件190高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件191以電路計(jì)算為例，往往將以T為周期的函數(shù)化成一系列不同頻率的正弦量之和。將周期函數(shù)按上述方式展開，其物理意義是很明確的，這就是把一個(gè)比較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)看成一系列不同頻率的簡諧振動(dòng)的疊加以電路計(jì)算為例，往往將以T為周期的函數(shù)化成192二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級(jí)數(shù)諧波分析三角級(jí)數(shù)2.三角函數(shù)系的正交性三角函數(shù)系二、三角級(jí)數(shù)三角函數(shù)系的正交性1.三角級(jí)數(shù)諧波分析三角級(jí)193高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件194三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)問題:1.若能展開,是什么?2.展開的條件是什么?1.傅里葉系數(shù)三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)問題:1.若能展開,195高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件196傅里葉系數(shù)傅里葉系數(shù)197傅里葉級(jí)數(shù)問題:傅里葉級(jí)數(shù)問題:198以上我們是在f(x)可以展開成三角級(jí)數(shù)并可以逐項(xiàng)積分的前提下討論問題的，下面我們撇開這個(gè)前提只要公式中的積分都存在，就可以定出系數(shù)并可唯一地寫出f(x)的F-----級(jí)數(shù)至于這個(gè)級(jí)數(shù)是否收斂，如收斂是否收斂到f(x)的問題，有以下定理以上我們是在f(x)可以展開成三角級(jí)數(shù)并1992.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)2.狄利克雷(Dirichlet)充分條件(收斂定理)200注意:函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成冪級(jí)數(shù)的條件低的多.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.注意:函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成冪級(jí)數(shù)的條件低的多.201和函數(shù)圖象為和函數(shù)圖象為202所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為203展開步驟①驗(yàn)證f(x)滿足Dirichlet條件，并確定f(x)的所有間斷點(diǎn)，可作圖，結(jié)合圖形進(jìn)行分析、判斷②根據(jù)公式計(jì)算Fourier系數(shù)③寫出Fourier級(jí)數(shù)展開式，并注明展開式的成立范圍注求Fourier系數(shù)一般要用分部積分法，有時(shí)甚至要多次分部積分，較麻煩且容易出錯(cuò)，此外，某些an,bn需要單獨(dú)計(jì)算，容易忽略而導(dǎo)致錯(cuò)誤展開步驟①驗(yàn)證f(x)滿足Dir204求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，主要的工作是計(jì)算Fourier系數(shù)，利用函數(shù)的奇偶性可簡化Fourier系數(shù)計(jì)算，當(dāng)f(x)是奇函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級(jí)數(shù)展開式是只含有正弦項(xiàng)而沒有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)的正弦級(jí)數(shù)求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，主要的工作是計(jì)205當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier級(jí)數(shù)展開式是只含有常數(shù)項(xiàng)和余弦項(xiàng)而沒有正弦項(xiàng)的余弦級(jí)數(shù)當(dāng)f(x)是偶函數(shù)時(shí)此時(shí)其Fourier206例2f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為解f(x)如右圖所示滿足收斂定理的條件例2f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式為解f(x207例3試求其Fourier級(jí)數(shù)的和函數(shù)解例3試求其Fourier級(jí)數(shù)的和函數(shù)解208f(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級(jí)數(shù)處處收斂于f(x)本身f(x)在整個(gè)數(shù)軸上連續(xù)，其Fourier級(jí)數(shù)處處收209四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分條件；4.非周期函數(shù)的傅氏展開式；5.傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近四、小結(jié)1.基本概念；2.傅里葉系數(shù)；3.狄利克雷充分4.非210思考題思考題211思考題解答思考題解答212高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件213傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近傅氏級(jí)數(shù)的意義——整體逼近214高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件215高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件216高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件217高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件218高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件219高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件220高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件221高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件222高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件223高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件224高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件225高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件226高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件227Fourier級(jí)數(shù)習(xí)題課Fourier級(jí)數(shù)習(xí)題課228常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一般項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收斂半徑R泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函數(shù)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)傅氏展開式傅氏級(jí)數(shù)泰勒級(jí)數(shù)滿足狄氏條件在收斂級(jí)數(shù)與數(shù)條件下相互轉(zhuǎn)化一、主要內(nèi)容常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)一正冪級(jí)數(shù)三角級(jí)數(shù)收泰勒展開式數(shù)或函數(shù)函229一、主要內(nèi)容1。Fourier級(jí)數(shù)Fourier系數(shù)一、主要內(nèi)容1。Fourier級(jí)數(shù)Fourier2302。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)在一個(gè)周期內(nèi)①連續(xù)或只有有限個(gè)第一類間斷點(diǎn)②只有有限個(gè)極值點(diǎn)則Fourier級(jí)數(shù)收斂，且2。收斂定理（Dirichlet充分條件）f(x)2313。周期為2L的函數(shù)展開為Fourier級(jí)數(shù)3。周期為2L的函數(shù)展開為232若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有簡化的計(jì)算公式偶函數(shù)奇函數(shù)4。非周期函數(shù)的展開上有定義的函數(shù)f(

x)若f(x)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則有簡化的計(jì)算公233先在整個(gè)數(shù)軸上作周期延拓，將延拓后的函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)，最后限制自變量的取值范圍，即得f(

x)的

Fourier級(jí)數(shù)展開式上有定義的函數(shù)f(

x)奇延拓——-展開成正弦級(jí)數(shù)（收斂域一般不包含端點(diǎn)）偶延拓——展開成余弦級(jí)數(shù)（收斂域一定包含端點(diǎn)）先在整個(gè)數(shù)軸上作周期延拓，將延拓后的函數(shù)上有定2345。強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)這部分內(nèi)容所涉及到的問題，類型不多，有求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，討論其和函數(shù)，證明三角等式，求某些數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和。解法也比較固定首先是求出Fourier系數(shù)，寫出Fourier

級(jí)數(shù)，然后根據(jù)Dirichlet充分條件討論其和函數(shù)⑴記住Fourier系數(shù)公式。Fourier系數(shù)的計(jì)算須不止一次地使用分部積分公式，要小心⑵掌握Dirichlet收斂定理的內(nèi)容5。強(qiáng)調(diào)幾點(diǎn)這部分內(nèi)容所涉及到的問題，類型不多235⑶求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，必須注明展開式的成立范圍——即連續(xù)區(qū)間，也即只要去掉間斷點(diǎn)⑷注意函數(shù)的奇偶性、周期性⑸注意函數(shù)的定義域，是否需要延拓?zé)o論是奇延拓還是偶延拓，在計(jì)算展開式的系數(shù)時(shí)只用到

f(

x)在[0,l]上的值，所以在解題過程中并不需要具體作出延拓函數(shù)F(x)，而只須指明采用哪一種延拓方式即可⑶求函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)展開式，必須注明展⑷注意函數(shù)236Fourier

級(jí)數(shù)收斂定理Fourier系數(shù)其它展開正弦、余弦級(jí)數(shù)求和函數(shù)的表達(dá)式、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的和Fourier收斂定理Fourier系數(shù)其它展開正237二、典型例題例1解二、典型例題例1解238同理同理239解關(guān)鍵是寫出f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式易見f(x)是奇函數(shù)解關(guān)鍵是寫出f(x)在一個(gè)周期內(nèi)的表達(dá)式易240高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件241解此題是定義在的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)為此首先對(duì)f(x)作奇延拓在作正弦展開依收斂定理當(dāng)x是連續(xù)點(diǎn)時(shí)s(x)=f(x)當(dāng)x是間斷點(diǎn)時(shí)解此題是定義在的函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)為此首先對(duì)f(x242只須注意端點(diǎn)處的情況只須注意端點(diǎn)處的情況243例4已知f(x)在[-1,1]上的Fourier級(jí)數(shù)為該級(jí)數(shù)的和函數(shù)為s(x)則As(1)=1s(2)=4Bs(1)=0.5s(2)=4Cs(1)=0.5s(2)=0Ds(1)=1s(2)=0例4已知f(x)在[-1,1244解對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓解對(duì)f(x)進(jìn)行偶延拓245令x=0得令x=0得246高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件247證明本例實(shí)則是將函數(shù)f(

x)展開成Fourier級(jí)數(shù)先展開成余弦級(jí)數(shù)，須進(jìn)行偶延拓證明本例實(shí)則是將函數(shù)f(x)展開成Fourier248高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件249再展開成余弦級(jí)數(shù)，須進(jìn)行奇延拓再展開成余弦級(jí)數(shù)，須進(jìn)行奇延拓250高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件251其它展開一、周期為2L的周期函數(shù)展開成

Fourier級(jí)數(shù)前面我們所討論的都是以展開成Fourier級(jí)數(shù)，但在科技應(yīng)用中所遇到的周期函數(shù)大都是以T為周期，因此我們需要討論如何把周期為T=2l的函數(shù)展開為Fourier級(jí)數(shù)若f(t)是以T=2l為周期的函數(shù)，在[-l,l)上滿足Dirichlet條件其它展開一、周期為2L的周期函數(shù)展開成前面我們所討論的都252代入傅氏級(jí)數(shù)中定理在連續(xù)點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)本身在間斷點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于代入傅氏級(jí)數(shù)中定理在連續(xù)點(diǎn)處級(jí)數(shù)收斂于f(x)253則有則有254則有證明則有證明255高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件256解解257高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件258二、非周期函數(shù)的展開前面我們研究了周期為T=2l的函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)，其中所涉及到的函數(shù)都是定義在無限區(qū)間上，但在實(shí)際應(yīng)用中卻需要對(duì)非周期函數(shù)，或定義在有限區(qū)間上的函數(shù)展開成Fourier級(jí)數(shù)，下面我們就來討論這種情況，分兩種情形討論1。周期延拓的情形設(shè)函數(shù)f(t)在[-l,l)上滿足Dirichlet條件為了將其展開為Fourier級(jí)數(shù)，需要將f(t)在[-l,l)以外進(jìn)行周期性延拓，也就是作一個(gè)周期二、非周期函數(shù)的展開前面我們研究了周期為T259為l的函數(shù)F(t)使得F(t)在[-l,l)上與f(t)恒等，將F(t)展開成Fourier級(jí)數(shù)而在[-l,l)的連續(xù)點(diǎn)處，有若t0是[-l,l)內(nèi)的間斷點(diǎn)，則在該點(diǎn)處，級(jí)數(shù)收斂于為l的函數(shù)F(t)使得F(t)260需要注意的是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，雖然對(duì)f(t)來說，在左端點(diǎn)右連續(xù)，右端點(diǎn)左連續(xù)，但延拓成F(t)以后，在就不一定連續(xù)，由收斂定理，級(jí)數(shù)收斂于因此若f(t)在[-l,l)上左端點(diǎn)的右極限等于右端點(diǎn)的左極限，即需要注意的是區(qū)間的兩個(gè)端點(diǎn)，雖然對(duì)f(261展開式在此時(shí)Fourier級(jí)數(shù)的收斂域包括區(qū)間的端點(diǎn)，否則Fourier級(jí)數(shù)的收斂域不包括區(qū)間的端點(diǎn)應(yīng)該指出，這里所要展開的是f(t)要得到的是第二個(gè)級(jí)數(shù)，在實(shí)際計(jì)算中并不需要得到第一個(gè)級(jí)數(shù)，雖然兩個(gè)展開式形式上完全相同，但它們的收斂域不同，F(xiàn)(t)是延拓到整個(gè)數(shù)軸上的情形，而

f(t)的展開式只局限于[-l,l]，因此在討論f(t)的展開式的收斂域時(shí)，不要擴(kuò)展到f(t)的定義域之外展開式在此時(shí)Fourier級(jí)數(shù)的收斂域包括區(qū)間的端點(diǎn)262解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開式在收斂于.解所給函數(shù)滿足狄利克雷充分條件.拓廣的周期函263高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件264所求函數(shù)的傅氏展開式為所求函數(shù)的傅氏展開式為265利用傅氏展開式求級(jí)數(shù)的和利用傅氏展開式求級(jí)數(shù)的和266高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件267解解268高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件269另解另解2702。正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)定義非周期函數(shù)的周期性開拓如果函數(shù)f(t)只是定義在[0,l]上，且在[0,l]上滿足Dirichlet條件，需要展開成Fourier級(jí)數(shù)，就要先在[-l,0）上補(bǔ)充2。正弦級(jí)數(shù)和余弦級(jí)數(shù)定義非周期函數(shù)的周期性開拓如271定義，或者說構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(t)使得在區(qū)間[0,l]上有F(t)=f(t)然后按照周期延拓的方法將F(t)展開成Fourier級(jí)數(shù)，當(dāng)限制自變量在[0,l]上時(shí)，就得到f(t)的Fourier展開式從理論上講，構(gòu)造函數(shù)F(t)時(shí)，所補(bǔ)充的在[-l,0）上有定義的函數(shù)可以任意給出，只要它滿足Dirichlet條件，但往往由于所給函數(shù)的不同會(huì)使得計(jì)算變得煩瑣，因此在實(shí)際應(yīng)用中常采用偶延拓和奇延拓的方法定義，或者說構(gòu)造一個(gè)新函數(shù)F(t)使得在區(qū)間272則有如下兩種情況奇延拓:則有如下兩種情況奇延拓:273偶延拓:偶延拓:274解(1)求正弦級(jí)數(shù).解(1)求正弦級(jí)數(shù).275高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件276(2)求余弦級(jí)數(shù).(2)求余弦級(jí)數(shù).277高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件278一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)偶延拓的收斂域包括端點(diǎn)三、小結(jié)1以2L為周期的傅氏系數(shù);2利用變量代換求傅氏展開式;3求傅氏展開式的步驟;（1）.畫圖形驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(收斂域,奇偶性);（2）.求出傅氏系數(shù);（3）.寫出傅氏級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于一般而言，奇延拓的收斂域不包括端點(diǎn)三、小結(jié)1以2L為周2794非周期函數(shù)的展開奇函數(shù)和偶函數(shù)的傅氏系數(shù);正弦級(jí)數(shù)與余弦級(jí)數(shù);非周期函數(shù)的周期性延拓;5、需澄清的幾個(gè)問題.(誤認(rèn)為以下三情況正確)a.只有周期函數(shù)才能展成傅氏級(jí)數(shù);4非周期函數(shù)的展開5、需澄清的幾個(gè)問題.(誤認(rèn)為以下三280習(xí)題課習(xí)題課281一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)基本公式求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)微分關(guān)系高階微分一、主要內(nèi)容導(dǎo)數(shù)基本公式求導(dǎo)法則高階導(dǎo)數(shù)微分關(guān)2821、導(dǎo)數(shù)的定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)的充要條件2、基本導(dǎo)數(shù)公式（常數(shù)和基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式）常、反、對(duì)、冪、指、三、雙曲——18個(gè)公式3、求導(dǎo)法則1、導(dǎo)數(shù)的定義單側(cè)導(dǎo)數(shù)左導(dǎo)數(shù)，右導(dǎo)數(shù)，可導(dǎo)的充要條件2、基本283(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法則(3)復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則——注意不要漏層(4)對(duì)數(shù)求導(dǎo)法——注意適用范圍(5)隱函數(shù)求導(dǎo)法則——注意y的函數(shù)的求導(dǎo)(6)參變量函數(shù)的求導(dǎo)法則——注意不要漏乘4、高階導(dǎo)數(shù)(二階和二階以上的導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階導(dǎo)數(shù))方法：逐階求導(dǎo)(1)函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則(2)反函數(shù)的求導(dǎo)法2845、微分的定義微分的實(shí)質(zhì)6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系7、微分的求法基本初等函數(shù)的微分公式8、微分的基本法則函數(shù)和、差、積、商的微分法則微分形式的不變性——復(fù)合函數(shù)的微分法則5、微分的定義微分的實(shí)質(zhì)6、導(dǎo)數(shù)與微分的關(guān)系7、微分的求法285二、典型例題例1解例2二、典型例題例1解例2286解例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①解例3求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)①287②②288③解③解289第二個(gè)方程兩邊對(duì)t

求導(dǎo)得④第二個(gè)方程兩邊對(duì)t求導(dǎo)得④2902001個(gè)例4A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.非充分非必要2001個(gè)例4A.充分必要B.充分非必要C.必要非充分D.非291證一則證一則292高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件293證二證二294例5設(shè)確定了求解兩邊對(duì)x求導(dǎo)得例5設(shè)確定了求解兩邊對(duì)x求導(dǎo)得295例6解分析:不能用公式求導(dǎo).例6解分析:不能用公式求導(dǎo).296例7解例7解297例8設(shè)在x=a處連續(xù)，討論①②③在x=a處的可導(dǎo)性解①在x=a處可導(dǎo)②例8設(shè)在x=a處連續(xù)，討論①②③在x=a處的298在x=a處不可導(dǎo)在x=a處可導(dǎo)在x=a處不可導(dǎo)在x=a處可導(dǎo)299③在x=a處可導(dǎo)例9在什么條件下，函數(shù)①②③④③在x=a處可導(dǎo)例9在什么條件下，函數(shù)①②③④300解首先注意到①是初等函數(shù)，連續(xù)因此要使②要使解首先注意到①是初等函數(shù)，連續(xù)因此要使②要使301存在此時(shí)③要使存在此時(shí)③要使302④要使存在此時(shí)注通過本例，我們可以進(jìn)一步加深對(duì)連續(xù)和可導(dǎo)的關(guān)系的認(rèn)識(shí)。函數(shù)從連續(xù)到可導(dǎo)再到導(dǎo)數(shù)連續(xù)，再到二階可導(dǎo)，所要求的條件逐步加強(qiáng)。④要使存在此時(shí)注通過本例，我們可以進(jìn)一步加深對(duì)連續(xù)和303例10解一聯(lián)立解得解二聯(lián)立方程組例10解一聯(lián)立解得解二聯(lián)立方程組304兩邊對(duì)x求導(dǎo)解得例11兩邊對(duì)x求導(dǎo)解得例11305證在中令有再由得注意到存在證在中令有再由得注意到存在306例12設(shè)對(duì)所有的x，有證明證兩邊同除以得例12設(shè)對(duì)所有的x，有證明證兩邊同除以得307由由夾逼定理得由由夾逼定理得308例13證不妨設(shè)觀察下圖xyoy=f(x)ab例13證不妨設(shè)觀察下圖xyoy=f(x)ab309由及函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知使當(dāng)由及函數(shù)極限的保號(hào)性質(zhì)可知使當(dāng)310由于f(x)在[x1,x2]上連續(xù)故由零點(diǎn)定理知使例14選擇常數(shù)a,b,c，使函數(shù)二次可微證依題設(shè)知由于f(x)在[x1,x2]上連續(xù)故由零點(diǎn)定理311是一多項(xiàng)式，也是二次可微因此要想使F(x)二次可微，只須使其在x=x0處二次可微F(x)在x0處連續(xù)F(x)在x0處可導(dǎo)F(x)在x0處二階導(dǎo)數(shù)存在由F(x)在x0處連續(xù)是一多項(xiàng)式，也是二次可微因此要想使F(x)二次可微，只須使其312其次由F(x)在x0處可導(dǎo)此時(shí)最后由F(x)在x0處二次可導(dǎo)其次由F(x)在x0處可導(dǎo)此時(shí)最后由F(x)在x0處二次可導(dǎo)313高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件314無窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)為是微積分的一個(gè)不可缺少的部分，是高等數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容，同時(shí)也是有力的數(shù)學(xué)工具，在表示函數(shù)、研究函數(shù)性質(zhì)等方面有巨大作用，在自然科學(xué)和工程技術(shù)領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用本章主要內(nèi)容包括常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)和兩類重要的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)——冪級(jí)數(shù)和三角級(jí)數(shù)，主要圍繞三個(gè)問題展開討論：①級(jí)數(shù)的收斂性判定問題，②把已知函數(shù)表示成級(jí)數(shù)問題，③級(jí)數(shù)求和問題。無窮級(jí)數(shù)從18世紀(jì)以來，無窮級(jí)數(shù)就被認(rèn)315重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪級(jí)數(shù)展開式，函數(shù)的Fourier展開式；難點(diǎn)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，函數(shù)展開成冪級(jí)數(shù)的直接法和間接法，F(xiàn)ourier展開，級(jí)數(shù)求和；基本要求①掌握級(jí)數(shù)斂散性概念和性質(zhì)②掌握正項(xiàng)級(jí)數(shù)的比較審斂法、檢比法、檢根法③掌握交錯(cuò)級(jí)數(shù)的Leibniz審斂法重點(diǎn)級(jí)數(shù)的斂散性，常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法，冪級(jí)數(shù)的收斂域，函數(shù)的冪316④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂半徑和收斂區(qū)間，會(huì)求簡單的冪級(jí)數(shù)的和函數(shù)⑥熟記五個(gè)基本初等函數(shù)的Taylor級(jí)數(shù)展開式及其收斂半徑⑦掌握Fourier級(jí)數(shù)概念，會(huì)熟練地求出各種形式的Fourier系數(shù)⑧掌握奇、偶函數(shù)的Fourier級(jí)數(shù)的特點(diǎn)及如何將函數(shù)展開成正弦級(jí)數(shù)或余弦級(jí)數(shù)④掌握絕對(duì)收斂和條件收斂概念⑤掌握冪級(jí)數(shù)及主要性質(zhì)，會(huì)求收斂317一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面積正形的面積一、問題的提出1.計(jì)算圓的面積正六邊形的面積正十二邊形的面318二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)的部分和部分和數(shù)列二、級(jí)數(shù)的概念1.級(jí)數(shù)的定義:一般項(xiàng)(常數(shù)項(xiàng))無窮級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)3192.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:2.級(jí)數(shù)的收斂與發(fā)散:320余項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角形，然后在每條邊上對(duì)稱的產(chǎn)生邊長為原邊長的1/3的小正三角形．如此類推在每條凸邊上都做類似的操作，我們就得到了面積有限而周長無限的圖形——“Koch雪花”．余項(xiàng)無窮級(jí)數(shù)收斂性舉例：Koch雪花.做法：先給定一個(gè)正三角321觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推322第次分叉：周長為面積為第次分叉：周長為面積為323于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，而面積有界．于是有雪花的面積存在極限（收斂）．結(jié)論：雪花的周長是無界的，324解

收斂

發(fā)散解收斂發(fā)散325

發(fā)散

發(fā)散

綜上發(fā)散發(fā)散綜上326解解327三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),斂散性不變.結(jié)論:收斂級(jí)數(shù)可以逐項(xiàng)相加與逐項(xiàng)相減.三、基本性質(zhì)結(jié)論:級(jí)數(shù)的每一項(xiàng)同乘一個(gè)不為零的常數(shù),結(jié)論:328證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)數(shù)的斂散性.證明類似地可以證明在級(jí)數(shù)前面加上有限項(xiàng)不影響級(jí)329證明注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.

收斂

發(fā)散證明注意收斂級(jí)數(shù)去括弧后所成的級(jí)數(shù)不一定收斂.收斂發(fā)散330事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)若記則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為記的部分和為的部分和記為則由數(shù)列和子數(shù)列的關(guān)系知存在，必定存在存在未必存在事實(shí)上，對(duì)級(jí)數(shù)任意加括號(hào)若記則加括號(hào)后級(jí)數(shù)成為記的部分和為的331四、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:證明四、收斂的必要條件級(jí)數(shù)收斂的必要條件:證明332注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;

發(fā)散2.必要條件不充分.注意1.如果級(jí)數(shù)的一般項(xiàng)不趨于零,則級(jí)數(shù)發(fā)散;發(fā)散2.必要333討論討論3342項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.2項(xiàng)2項(xiàng)4項(xiàng)8項(xiàng)項(xiàng)由性質(zhì)4推論,調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散.335由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩形面積把每一項(xiàng)看成是以為高就是圖中n個(gè)矩形的面積之和即故調(diào)和級(jí)數(shù)發(fā)散調(diào)和級(jí)數(shù)的部分和由定積分的幾何意義這塊面積顯然大于定積分以1為底的的矩336五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題五、小結(jié)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)的基本概念基本審斂法思考題337思考題解答能．由柯西審斂原理即知．思考題解答能．由柯西審斂原理即知．338觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推觀察雪花分形過程第一次分叉：依次類推3391134022341333424434355344練習(xí)題練習(xí)題345高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件346練習(xí)題答案練習(xí)題答案347常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散性，如果級(jí)數(shù)是收斂的，就可以對(duì)它進(jìn)行某些運(yùn)算，并設(shè)法求出它的和或和的近似值但是除了少數(shù)幾個(gè)特殊的級(jí)數(shù)，在一般情況下，直接考察級(jí)數(shù)的部分和是否有極限是很困難的，因而直接由定義來判定級(jí)數(shù)的斂散性往往不可行，這就要借助一些間接的方法來判定級(jí)數(shù)的斂散性，這些方法稱為審斂法對(duì)常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)將分為正項(xiàng)級(jí)數(shù)和任意項(xiàng)級(jí)數(shù)來討論常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法在研究級(jí)數(shù)時(shí)，中心問題是判定級(jí)數(shù)的斂散348一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這種級(jí)數(shù)非常重要，以后我們將會(huì)看到許多級(jí)數(shù)的斂散性判定問題都可歸結(jié)為正項(xiàng)級(jí)數(shù)的收斂性問題2.正項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂的充要條件:部分和數(shù)列為單調(diào)增加數(shù)列.定理一、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法1.定義:這種級(jí)數(shù)稱為正項(xiàng)級(jí)數(shù).這種級(jí)3493.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界3.比較審斂法證明即部分和數(shù)列有界350不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).不是有界數(shù)列定理證畢.比較審斂法的不便:須有參考級(jí)數(shù).351解由圖可知解由圖可知352重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).重要參考級(jí)數(shù):幾何級(jí)數(shù),P-級(jí)數(shù),調(diào)和級(jí)數(shù).353比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有許多不便，因?yàn)樗枰⒍ɡ硭蟮牟坏仁剑@種不等式常常不易建立，為此介紹在應(yīng)用上更為方便的極限形式的比較審斂法證明比較審斂法是一基本方法，雖然有用，但應(yīng)用起來卻有3544.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都是正項(xiàng)級(jí)數(shù),如果則(1)當(dāng)時(shí),二級(jí)數(shù)有相同的斂散性;(2)當(dāng)時(shí)，若收斂,則收斂;(3)當(dāng)時(shí),若?￥=1nnv發(fā)散,則?￥=1nnu發(fā)散;4.比較審斂法的極限形式:設(shè)?￥=1nnu與?￥=1nnv都355證明由比較審斂法的推論,得證.證明由比較審斂法的推論,得證.356高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件357解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.解原級(jí)數(shù)發(fā)散.故原級(jí)數(shù)收斂.358證明證明359收斂發(fā)散收斂發(fā)散360比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成——即通項(xiàng)來判定其斂散性兩點(diǎn)注意:比值審斂法的優(yōu)點(diǎn):不必找參考級(jí)數(shù).直接從級(jí)數(shù)本身的構(gòu)成——即361高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件362解解363比值審斂法失效,改用比較審斂法比值審斂法失效,改用比較審斂法364例5解由于不存在，檢比法失效而對(duì)由檢比法得收斂故由比較審斂法知收斂例5解由于不存在，檢比法失效而對(duì)由檢比法得365例6解由檢比法得級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)發(fā)散例6解由檢比法得366檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級(jí)數(shù)發(fā)散檢比法失效，但即后項(xiàng)大于前項(xiàng)故級(jí)數(shù)發(fā)散367證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂證明取則由知由收斂及比較審斂法得收斂收斂368由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散由知故不趨于0發(fā)散不能判定如都有但收斂發(fā)散369級(jí)數(shù)收斂.級(jí)數(shù)收斂.370二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:

正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù).二、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法定義:正、負(fù)項(xiàng)相間的級(jí)數(shù)稱為交錯(cuò)級(jí)數(shù)371證明證明372滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.滿足收斂的兩個(gè)條件,定理證畢.373解原級(jí)數(shù)收斂.證明

un

單調(diào)減的方法？？？解原級(jí)數(shù)收斂.證明un單調(diào)減的方法？？？374三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任意項(xiàng)級(jí)數(shù).證明三、絕對(duì)收斂與條件收斂定義:正項(xiàng)和負(fù)項(xiàng)任意出現(xiàn)的級(jí)數(shù)稱為任375上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)上定理的作用：任意項(xiàng)級(jí)數(shù)正項(xiàng)級(jí)數(shù)376解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于判定任意項(xiàng)級(jí)數(shù)的斂散性可得到如下定理解故由定理知原級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂.將正項(xiàng)級(jí)數(shù)的檢比法和檢根法應(yīng)用于377定理設(shè)有級(jí)數(shù)則絕對(duì)收斂發(fā)散可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也可能發(fā)散如定理設(shè)有級(jí)數(shù)則絕對(duì)收斂發(fā)散可能絕對(duì)收斂，可能條件收斂，也378注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出發(fā)散如發(fā)散但收斂如果發(fā)散是由檢比法和檢根法而審定則必定發(fā)散這是因?yàn)闄z比法與檢根法審定級(jí)數(shù)發(fā)散的原因是通項(xiàng)不趨向于0由注意一般而言，由發(fā)散，并不能推出379四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);四、小結(jié)正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)審1.2.4.充要條件5.比380思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.反之不成立.例如：收斂,發(fā)散.思考題思考題解答由比較審斂法知收斂.381練習(xí)題練習(xí)題382高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件383高等數(shù)學(xué)-第十二章-無窮級(jí)數(shù)課件384練習(xí)題答案練習(xí)題答案3851、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂一、主要內(nèi)容1、常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)收斂級(jí)數(shù)的基本性質(zhì)級(jí)數(shù)收斂的必要條件:習(xí)題課386常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件5.比較法6.比值法7.根值法4.絕對(duì)收斂5.交錯(cuò)級(jí)數(shù)(萊布尼茨定理)3.按基本性質(zhì);一般項(xiàng)級(jí)數(shù)4.絕對(duì)收斂常數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)審斂法正項(xiàng)級(jí)數(shù)任意項(xiàng)級(jí)數(shù)1.2.4.充要條件3872、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂法的極限形式是同階無窮小特別（等價(jià)無窮?。?、正項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法(1)比較審斂法(2)比較審斂3883、交錯(cuò)級(jí)數(shù)及其審斂法4、任意項(xiàng)級(jí)數(shù)及其審斂法Leibniz定理