自動(dòng)控制理論第二十六講課件

第七章非線性系統(tǒng)的分析主要內(nèi)容第一節(jié)

非線性系統(tǒng)的基本概念

第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析第三節(jié)非線性系統(tǒng)的相平面分析第四節(jié)非線性系統(tǒng)的一種線性近似表示—描述函數(shù)第五節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)第六節(jié)分析非線性系統(tǒng)的諧波函數(shù)法第七節(jié)非線性環(huán)節(jié)的串并聯(lián)及系統(tǒng)的變換第八節(jié)用對(duì)數(shù)幅相頻率特性分析非線性系統(tǒng)第九節(jié)利用非線性特性改善線性系統(tǒng)的性能第十節(jié)非線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)第七章非線性系統(tǒng)的分析主要內(nèi)容2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2第一節(jié)非線性系統(tǒng)的基本概念線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中至少有一個(gè)非線性元件，輸入輸出間不具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非本質(zhì)非線性:

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性

用小偏差線性化方法不能解決的非線性一、非線性系統(tǒng)基本概念第一節(jié)非線性系統(tǒng)的基本概念線性控制系統(tǒng)：非線性控制系統(tǒng)：二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。輸入輸出

放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。1、飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響（1）使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利。（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)。各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。（2）減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，具有減弱動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振蕩傾向。輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)輸出輸入3、間隙特性特征：元件開始運(yùn)動(dòng)克服間隙輸出隨輸入線性變化元件反向運(yùn)動(dòng)(保持在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化瞬間的輸出值)克服間隙輸出隨輸入線性變化。輸入輸出之間具有多值關(guān)系齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動(dòng)特性變壞自持振蕩。輸出輸入3、間隙特性特征：輸入輸出之間具有多值關(guān)系齒輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入4、繼電器特性理想繼電器

具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。5、非線性增益液壓控制閥圓形窗口；階梯形窗口；分段斜面；大偏差時(shí)，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時(shí)，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。輸出輸入輸出輸入6、滯環(huán)特性鐵磁部件的元件電液伺服閥中的力矩馬達(dá)非單值非線性輸出輸入輸出輸入6、滯環(huán)特性鐵磁部件的元件電三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)１、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)的影響非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過(guò)程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)１、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)的影非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)在某輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)過(guò)程為單調(diào)衰減，而在另一輸入信號(hào)作用下則為衰減振蕩，非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)在某輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號(hào)的大小、初始條件有關(guān)2、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響（1）當(dāng)初始條件xo＜1時(shí),1－xo＞0,上式具有負(fù)的特征根,其暫態(tài)過(guò)程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)xo=1時(shí),1-xo=0,上式的特征根為零,其暫態(tài)過(guò)程為一常量。（3）當(dāng)xo＞1時(shí),1-xo＜0,上式的特征根為正值,系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號(hào)的大小、初始條件有關(guān)2

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。即可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定，而在另一個(gè)初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)3、非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩在沒有外作用時(shí),有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過(guò)程物理上可實(shí)現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩；線性系統(tǒng)只有兩種工作模式：要么發(fā)散，要么收斂；非線性系統(tǒng)有收斂、發(fā)散和自持振蕩三種狀態(tài)。4、頻率響應(yīng)畸變當(dāng)非線性輸入的信號(hào)為正弦作用時(shí)，由于非線性其輸出將不再是正弦信號(hào)，而包含有各種諧波分量，發(fā)生非線性畸變。3、非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩在沒有外作用四、非線性系統(tǒng)的分析方法1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多；2）分析線性系統(tǒng)的分析方法不能直接用于分析非線性系統(tǒng)；3）非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但迄今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；4）相平面法、描述函數(shù)法和李亞譜諾夫第二方法是分析非線性系統(tǒng)的三種基本方法。四、非線性系統(tǒng)的分析方法1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比線性系統(tǒng)復(fù)雜得第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析1、相平面、相軌跡和平衡點(diǎn)的基本概念

描述二階系統(tǒng)的二階微分方程可以用兩個(gè)一階微分方程來(lái)表示。由于我們感興趣的是系統(tǒng)本身的特征，可以令：即：一、相平面分析的基本概念第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析1、相平面、相軌相軌跡由于

和都是時(shí)間t的函數(shù)，因此當(dāng)t取特定值時(shí)，在

平面上(相平面）對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)t連續(xù)變化時(shí)，將在相平面留下一條軌跡——相軌跡或相平面圖。平衡點(diǎn)如果對(duì)于所有的滿足則稱為t0時(shí)刻的一個(gè)平衡點(diǎn)。橫坐標(biāo)：縱坐標(biāo)：狀態(tài)平面相平面的狀態(tài)平面稱為相平面相軌跡由于和2、相軌跡的幾個(gè)性質(zhì)1）相軌跡上每一個(gè)點(diǎn)都有確定的斜率設(shè)二階系統(tǒng)為該式稱為相軌跡方程，相軌跡上每一點(diǎn)的斜率都滿足該方程?；颍?、相軌跡的幾個(gè)性質(zhì)1）相軌跡上每一個(gè)點(diǎn)都有確定的斜率設(shè)二階2）相軌跡的奇點(diǎn)在相軌跡上滿足條件為不定式的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。該點(diǎn)處相軌跡的斜率為一個(gè)不確定值，因此有無(wú)數(shù)多條相軌跡通過(guò)該點(diǎn)，他們的斜率各不相同。

每個(gè)初始條件出發(fā)都會(huì)有一條相軌跡，不同初始條件出發(fā)的相軌跡不會(huì)相交。2）相軌跡的奇點(diǎn)在相軌跡上滿足條件為不定式的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。該點(diǎn)3）相軌跡正交于軸

軸上所有點(diǎn)，總為0，這些點(diǎn)上相軌跡斜率為∞，表示相軌跡與該軸正交。相平面的上半平面相軌跡向右運(yùn)動(dòng)，相平面的下半平面相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向確定3）相軌跡正交于軸軸上所有點(diǎn)，總為0，這些點(diǎn)上二、二階線性系統(tǒng)的特征線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。令：系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為（0，0）系統(tǒng)的奇點(diǎn)為（0，0）二、二階線性系統(tǒng)的特征線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：1、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。1、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡3、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。3、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原4、負(fù)欠阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。4、負(fù)欠阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。5、負(fù)過(guò)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見到。6、是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)軸系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)

特征根根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2特征根根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)三、二階非線性系統(tǒng)的特征二階非線性系統(tǒng)自治系統(tǒng)（零輸入）情況下，其數(shù)學(xué)描述可寫為：根據(jù)泰勒定理，將f1和f2在平衡點(diǎn)附近進(jìn)行小范圍線性化得到的線性化方程為：1、二階非線性系統(tǒng)的線性化處理三、二階非線性系統(tǒng)的特征二階非線性系統(tǒng)自治系統(tǒng)2、線性化系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的相軌跡特征線性化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)X1=0,x2=0非線性系統(tǒng)的平衡點(diǎn)X1=0,x2=0穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定的節(jié)點(diǎn)鞍點(diǎn)鞍點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)不穩(wěn)定的焦點(diǎn)中心點(diǎn)中心點(diǎn)或其它2、線性化系統(tǒng)與非線性系統(tǒng)的相軌跡特征線性化系統(tǒng)的平衡點(diǎn)非線【例】范德波爾方程令平衡點(diǎn)為[0，0]小范圍線性化方程為比較【例】范德波爾方程令平衡點(diǎn)為[0，0]小范圍線性化方程為比較范德波爾方程的相軌跡存在一條封閉的曲線---稱為極限環(huán)（或奇線）非線性系統(tǒng)的線性化方法能提供有用的結(jié)果，但有局限性。（原因：忽略了高次項(xiàng)，在有些情況下高次項(xiàng)可能正是確定相軌跡形狀的決定因素）范德波爾方程的相軌跡存在一條封閉的曲線---稱為極限環(huán)（或奇極限環(huán)分為穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和半穩(wěn)定三種。(1)穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi)的相軌跡發(fā)散至極限環(huán)，環(huán)內(nèi)是不穩(wěn)定區(qū)；環(huán)外相軌跡收斂至極限環(huán)，環(huán)外是穩(wěn)定區(qū)域。任何微小的擾動(dòng)使系統(tǒng)狀態(tài)離開極限環(huán)后，最終仍會(huì)回到這個(gè)極限環(huán)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)表現(xiàn)為自振蕩。穩(wěn)定的極限環(huán)極限環(huán)分為穩(wěn)定的、不穩(wěn)定的和半穩(wěn)定三種。(1)穩(wěn)定的極限環(huán)(2)不穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi)相軌跡收斂至環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，環(huán)內(nèi)是穩(wěn)定的區(qū)域；環(huán)外相軌跡發(fā)散至無(wú)窮遠(yuǎn)處，環(huán)外是不穩(wěn)定區(qū)域。極限環(huán)表示的周期運(yùn)動(dòng)不穩(wěn)定，微小的擾動(dòng)，不是使系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)收斂于環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)，就是使系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)發(fā)散至無(wú)窮。

(2)不穩(wěn)定的極限環(huán)環(huán)內(nèi)相軌跡收斂至環(huán)內(nèi)的(3)半穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)、外都是穩(wěn)定區(qū)，極限環(huán)表示的周期運(yùn)動(dòng)是穩(wěn)定的，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)將收斂至環(huán)內(nèi)的奇點(diǎn)。

內(nèi)、外都是不穩(wěn)定區(qū)域，極限環(huán)表示的周期運(yùn)動(dòng)是不穩(wěn)定的，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)最終發(fā)散至無(wú)窮處。

極限環(huán)是控制系統(tǒng)不希望出現(xiàn)的情況，非線性系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容就是要分析極限環(huán)產(chǎn)生的條件，并尋找出消除極限環(huán)的方法。(3)半穩(wěn)定極限環(huán)內(nèi)、外都是穩(wěn)定區(qū)，極限環(huán)表第七章非線性系統(tǒng)的分析主要內(nèi)容第一節(jié)

非線性系統(tǒng)的基本概念

第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析第三節(jié)非線性系統(tǒng)的相平面分析第四節(jié)非線性系統(tǒng)的一種線性近似表示—描述函數(shù)第五節(jié)典型非線性環(huán)節(jié)的描述函數(shù)第六節(jié)分析非線性系統(tǒng)的諧波函數(shù)法第七節(jié)非線性環(huán)節(jié)的串并聯(lián)及系統(tǒng)的變換第八節(jié)用對(duì)數(shù)幅相頻率特性分析非線性系統(tǒng)第九節(jié)利用非線性特性改善線性系統(tǒng)的性能第十節(jié)非線性系統(tǒng)的計(jì)算機(jī)仿真2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)第七章非線性系統(tǒng)的分析主要內(nèi)容2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2學(xué)時(shí)2第一節(jié)非線性系統(tǒng)的基本概念線性控制系統(tǒng)：

由線性元件組成，輸入輸出間具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非線性控制系統(tǒng)：

系統(tǒng)中至少有一個(gè)非線性元件，輸入輸出間不具有疊加性和均勻性性質(zhì)。非本質(zhì)非線性:

能夠用小偏差線性化方法進(jìn)行線性化處理的非線性。本質(zhì)非線性

用小偏差線性化方法不能解決的非線性一、非線性系統(tǒng)基本概念第一節(jié)非線性系統(tǒng)的基本概念線性控制系統(tǒng)：非線性控制系統(tǒng)：二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)不再隨輸入信號(hào)變化而保持恒定。輸入輸出

放大器的飽和輸出特性、磁飽和、元件的行程限制、功率限制等等。1、飽和特性飽和特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響（1）使系統(tǒng)開環(huán)增益下降，對(duì)動(dòng)態(tài)響應(yīng)的平穩(wěn)性有利。（2）使系統(tǒng)的快速性和穩(wěn)態(tài)跟蹤精度下降二、典型非線性特性特征：當(dāng)輸入信號(hào)超出其線性范圍后，輸出信號(hào)輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)在零位附近變化時(shí)，系統(tǒng)沒有輸出。當(dāng)輸入信號(hào)大于某一數(shù)值時(shí)才有輸出，且與輸入呈線性關(guān)。各類液壓閥的正重疊量；系統(tǒng)的庫(kù)倫摩擦；測(cè)量變送裝置的不靈敏區(qū)；調(diào)節(jié)器和執(zhí)行機(jī)構(gòu)的死區(qū)；彈簧預(yù)緊力；等等。死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：（1）增大了系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，降低了定位精度。（2）減小了系統(tǒng)的開環(huán)增益，提高了系統(tǒng)的平穩(wěn)性，具有減弱動(dòng)態(tài)響應(yīng)的振蕩傾向。輸入輸出2、死區(qū)特性（不靈敏區(qū)特性）特征：當(dāng)輸入信號(hào)輸出輸入3、間隙特性特征：元件開始運(yùn)動(dòng)克服間隙輸出隨輸入線性變化元件反向運(yùn)動(dòng)(保持在運(yùn)動(dòng)方向發(fā)生變化瞬間的輸出值)克服間隙輸出隨輸入線性變化。輸入輸出之間具有多值關(guān)系齒輪傳動(dòng)中的齒隙液壓傳動(dòng)中的油隙死區(qū)特性對(duì)系統(tǒng)性能的影響：間隙輸出相位滯后，減小穩(wěn)定性裕量，動(dòng)特性變壞自持振蕩。輸出輸入3、間隙特性特征：輸入輸出之間具有多值關(guān)系齒輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出輸入4、繼電器特性理想繼電器

具有飽和死區(qū)的單值繼電器具有滯環(huán)的繼電器具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器包含有死區(qū)、飽和、滯環(huán)特性輸入輸出輸出輸入輸出輸入輸出具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式具有死區(qū)和滯環(huán)的繼電器的數(shù)學(xué)表達(dá)式輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。5、非線性增益液壓控制閥圓形窗口；階梯形窗口；分段斜面；大偏差時(shí)，具有較大增益加快系統(tǒng)響應(yīng)。小偏差時(shí)，具有較小增益提高零位附近的系統(tǒng)穩(wěn)定性。輸入輸出在不同輸入幅值下，元件或環(huán)節(jié)具有不同的增益。輸出輸入輸出輸入6、滯環(huán)特性鐵磁部件的元件電液伺服閥中的力矩馬達(dá)非單值非線性輸出輸入輸出輸入6、滯環(huán)特性鐵磁部件的元件電三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)１、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)的影響非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)某一初始條件下的響應(yīng)過(guò)程為單調(diào)衰減，而在另一初始條件下則為衰減振蕩，三、非線性系統(tǒng)的特點(diǎn)１、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)響應(yīng)的影非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)在某輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)過(guò)程為單調(diào)衰減，而在另一輸入信號(hào)作用下則為衰減振蕩，非線性系統(tǒng)可能會(huì)出現(xiàn)在某輸入信號(hào)作用下的響應(yīng)系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號(hào)的大小、初始條件有關(guān)2、初始條件和輸入量對(duì)非線性系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響（1）當(dāng)初始條件xo＜1時(shí),1－xo＞0,上式具有負(fù)的特征根,其暫態(tài)過(guò)程按指數(shù)規(guī)律衰減,該系統(tǒng)穩(wěn)定。（2）當(dāng)xo=1時(shí),1-xo=0,上式的特征根為零,其暫態(tài)過(guò)程為一常量。（3）當(dāng)xo＞1時(shí),1-xo＜0,上式的特征根為正值,系統(tǒng)暫態(tài)過(guò)程指數(shù)規(guī)律發(fā)散,系統(tǒng)不穩(wěn)定。系統(tǒng)的穩(wěn)定性與輸入信號(hào)的大小、初始條件有關(guān)2

非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)有關(guān)，還與輸入信號(hào)及初始條件有關(guān)。即可能在某個(gè)初始條件下穩(wěn)定，而在另一個(gè)初始條件下系統(tǒng)可能不穩(wěn)定。非線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性不僅與系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和參數(shù)3、非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩在沒有外作用時(shí),有可能產(chǎn)生頻率和振幅一定的穩(wěn)定周期性響應(yīng)。該周期響應(yīng)過(guò)程物理上可實(shí)現(xiàn)并可保持,通常將其稱為自持振蕩或自振蕩；線性系統(tǒng)只有兩種工作模式：要么發(fā)散，要么收斂；非線性系統(tǒng)有收斂、發(fā)散和自持振蕩三種狀態(tài)。4、頻率響應(yīng)畸變當(dāng)非線性輸入的信號(hào)為正弦作用時(shí)，由于非線性其輸出將不再是正弦信號(hào)，而包含有各種諧波分量，發(fā)生非線性畸變。3、非線性系統(tǒng)可以產(chǎn)生自持振蕩在沒有外作用四、非線性系統(tǒng)的分析方法1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比線性系統(tǒng)復(fù)雜得多；2）分析線性系統(tǒng)的分析方法不能直接用于分析非線性系統(tǒng)；3）非線性系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是非線性微分方程；但迄今為止非線性微分方程沒有成熟的解法；4）相平面法、描述函數(shù)法和李亞譜諾夫第二方法是分析非線性系統(tǒng)的三種基本方法。四、非線性系統(tǒng)的分析方法1）非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)比線性系統(tǒng)復(fù)雜得第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析1、相平面、相軌跡和平衡點(diǎn)的基本概念

描述二階系統(tǒng)的二階微分方程可以用兩個(gè)一階微分方程來(lái)表示。由于我們感興趣的是系統(tǒng)本身的特征，可以令：即：一、相平面分析的基本概念第二節(jié)二階線性和非線性系統(tǒng)的相平面分析1、相平面、相軌相軌跡由于

和都是時(shí)間t的函數(shù)，因此當(dāng)t取特定值時(shí)，在

平面上(相平面）對(duì)應(yīng)一個(gè)點(diǎn)。當(dāng)t連續(xù)變化時(shí)，將在相平面留下一條軌跡——相軌跡或相平面圖。平衡點(diǎn)如果對(duì)于所有的滿足則稱為t0時(shí)刻的一個(gè)平衡點(diǎn)。橫坐標(biāo)：縱坐標(biāo)：狀態(tài)平面相平面的狀態(tài)平面稱為相平面相軌跡由于和2、相軌跡的幾個(gè)性質(zhì)1）相軌跡上每一個(gè)點(diǎn)都有確定的斜率設(shè)二階系統(tǒng)為該式稱為相軌跡方程，相軌跡上每一點(diǎn)的斜率都滿足該方程?；颍?、相軌跡的幾個(gè)性質(zhì)1）相軌跡上每一個(gè)點(diǎn)都有確定的斜率設(shè)二階2）相軌跡的奇點(diǎn)在相軌跡上滿足條件為不定式的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。該點(diǎn)處相軌跡的斜率為一個(gè)不確定值，因此有無(wú)數(shù)多條相軌跡通過(guò)該點(diǎn)，他們的斜率各不相同。

每個(gè)初始條件出發(fā)都會(huì)有一條相軌跡，不同初始條件出發(fā)的相軌跡不會(huì)相交。2）相軌跡的奇點(diǎn)在相軌跡上滿足條件為不定式的點(diǎn)稱為奇點(diǎn)。該點(diǎn)3）相軌跡正交于軸

軸上所有點(diǎn)，總為0，這些點(diǎn)上相軌跡斜率為∞，表示相軌跡與該軸正交。相平面的上半平面相軌跡向右運(yùn)動(dòng)，相平面的下半平面相軌跡向左運(yùn)動(dòng)。4）相軌跡的運(yùn)動(dòng)方向確定3）相軌跡正交于軸軸上所有點(diǎn)，總為0，這些點(diǎn)上二、二階線性系統(tǒng)的特征線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：根據(jù)奇點(diǎn)附近相軌跡的特征，可判斷系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)。令：系統(tǒng)的平衡點(diǎn)為（0，0）系統(tǒng)的奇點(diǎn)為（0，0）二、二階線性系統(tǒng)的特征線性二階系統(tǒng)的齊次微分方程為：1、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢圓，每個(gè)橢圓代表一個(gè)簡(jiǎn)諧運(yùn)動(dòng)。這樣的奇點(diǎn)稱為中心點(diǎn)。1、無(wú)阻尼運(yùn)動(dòng)二階系統(tǒng)的相平面圖是一族同心橢2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡是對(duì)數(shù)螺旋線，收斂于原點(diǎn)。奇點(diǎn)稱為穩(wěn)定焦點(diǎn)。2、欠阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是衰減振蕩。相軌跡3、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原點(diǎn)。相軌跡是趨于原點(diǎn)的拋物線，原點(diǎn)是奇點(diǎn)，稱為穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。3、過(guò)阻尼運(yùn)動(dòng)系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是非周期地趨向于原4、負(fù)欠阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡是以原點(diǎn)出發(fā)的螺旋線，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定焦點(diǎn)。4、負(fù)欠阻尼系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散振蕩。相軌跡系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出發(fā)的發(fā)散型拋物線。原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)。5、負(fù)過(guò)阻尼系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)是非周期發(fā)散運(yùn)動(dòng)。相軌跡是由原點(diǎn)出系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)，類似的奇點(diǎn)在非線性系統(tǒng)中也常見到。6、是對(duì)稱于原點(diǎn)的實(shí)軸系統(tǒng)的自由運(yùn)動(dòng)是發(fā)散運(yùn)動(dòng)，原點(diǎn)處的奇點(diǎn)稱為鞍點(diǎn)。以上6種奇點(diǎn)

特征根根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)不穩(wěn)定焦點(diǎn)鞍點(diǎn)

λ1j0

λ2j0λ2λ1j0λ1λ2特征根根與相軌跡j0j0j0穩(wěn)定節(jié)點(diǎn)穩(wěn)定焦點(diǎn)中心點(diǎn)不穩(wěn)定節(jié)三、二階非線性系統(tǒng)的特征