模糊數(shù)學(xué)第一講課件

模糊數(shù)學(xué)與灰色系統(tǒng)

分析方法及應(yīng)用Email：tmxk_1985@模糊數(shù)學(xué)與灰色系統(tǒng)

分析方法及應(yīng)用11.1模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論兩類自然現(xiàn)象的描述：A.1+1=2B.水的溫度達到100攝氏度就會沸騰C.光的速度是30萬公里/秒D.某人是個高個子（身高多少為高個子）E.今天下的是中雨（雨量多少為中雨）F.包頭氣候干燥（什么樣的氣候是干燥的氣候）G.創(chuàng)維電視機質(zhì)量很好（怎么樣的質(zhì)量才是好）1.1模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論兩類自然現(xiàn)象的描述：2模糊數(shù)學(xué)與概率論（隨機現(xiàn)象）區(qū)別：

隨機現(xiàn)象的不確定性是指事件本身的定義和范疇是確定的情況下，事件發(fā)生的結(jié)果是不確定的。如骰子下落出現(xiàn)的點數(shù)是1~6，這是確定的，但是具體是幾點我們不知道，帶有隨機性。

模糊數(shù)學(xué)與概率論（隨機現(xiàn)象）區(qū)別：3

模糊現(xiàn)象的不確定性是指事件發(fā)生的結(jié)果是確定的，而事件本身的定義和范疇是不確定的。如人的身高是可以度量的，但是這個高度是否屬于高個子是不確定的，帶有模糊性。模糊現(xiàn)象的不確定性是指事件發(fā)生的結(jié)果是確定4模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用：

模糊（Fuzzy）數(shù)學(xué)理論是由美國加利福利亞大學(xué)控制理論專家扎德（L.A.Zadeh）教授于1965年提出，至今已經(jīng)在原有的基礎(chǔ)上派生出了模糊拓?fù)洹⒛：龍D論、模糊概率、模糊邏輯等分支學(xué)科。我國模糊數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用也取得了很好的成績，很多的成果處于世界領(lǐng)先水平。并創(chuàng)辦了《模糊數(shù)學(xué)》、《模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)》等學(xué)術(shù)期刊。至今，模糊理論已經(jīng)在軍事、醫(yī)療、地礦、生物、天氣預(yù)報、信息處理、人工智能等領(lǐng)域展開了應(yīng)用。但是該領(lǐng)域的理論系統(tǒng)體系還遠遠沒有成熟，具有巨大的發(fā)展空間。模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用：51.2模糊集合的概念描述普通集合可以用特征函數(shù)，

特征函數(shù)是論域U到{0，1}上的映射，又可寫成：

它確定了集合有哪些元素，所以稱之為集合A的特征函數(shù)。1.2模糊集合的概念描述普通集合可以用特征函數(shù)，6顯然有顯然有7定義：論域U到[0,1]的任一映射都確定了U上的一個模糊集：其中稱為的隸屬函數(shù)，稱為x的隸屬度。定義：論域U到[0,1]的任一映射8隸屬度表示x屬于的程度：A.越接近0，表示x屬于的程度越小；B.越接近1，表示x屬于的程度越大；C.越接近0.5，表示x屬于的程度越模糊。隸屬度表示x屬于的程度：9

U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合類，記為F(U)，顯然有其中P(U)是U的冪集。（由論域U的所有子集所組成的集合稱為U的冪集，記為）U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合類，記為F(U)，顯然10模糊集合的表示：A.向量表示法B.扎德（Zadeh）記號表示法

C.序偶表示法

D.無限集的表示

模糊集合的表示：B.扎德（Zadeh）記號表示法C.11那么扎德表示：bcde例1：表示“圓糊糊的物體”a那么扎德表示：bcde例1：表示“圓糊糊的物體”a12向量表示：序偶表示：向量表示：序偶表示：13例2：以年齡為論域U=[0,100],兩個模糊子集和，表示“年老”和“年輕”，隸屬函數(shù)為：

例2：以年齡為論域U=[0,100],兩個模糊子集14則模糊子集和可以表示為：0.512550100年齡則模糊子集和可以表示為：0.51255010151.3模糊子集的基本運算：1. 包含2.真包含3.相等4.并運算5.交運算6.逆運算7.若，則8.若，則

1.3模糊子集的基本運算：1. 包含16模糊集合的并、交、補集合模糊集合的并、交、補集合171.交換律2.結(jié)合律3.分配律

4.對偶律(德.摩根)5.復(fù)原律模糊子集的基本運算性質(zhì)：

1.交換律模糊子集的基本運算性質(zhì)：186.冪等律7.同一律8.吸收律6.冪等律7.同一律8.吸收律19例3：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}是一個5人組成的集合，表示“高個子”的集合，表示“胖子”的集合，例3：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}是一個5人組成的集20則“或高或胖”則“又高又胖”則“不高”則“或高或胖”則“又高又胖”則“不高”211.4隸屬函數(shù)的確定方法例證法：該方法主要是通過從模糊集合中已知的有限個元素的隸屬度來估計其隸屬函數(shù)的方法。例如是高山的集合，然后選擇具有代表性的高度值，通過各種方法確定其隸屬度（如2000米海拔隸屬度為0.3，3000米海拔隸屬度為0.5，4000米海拔隸屬度為0.8等等）。以此類推就可以估算出隸屬度函數(shù)的離散形式。

該方法直觀而簡單，適用于隸屬函數(shù)簡單并且集合元素較少的情形。1.4隸屬函數(shù)的確定方法例證法：222.相對比較法①建立模糊集合的相對比較級②建立相對矩陣，③取矩陣中每行的最小值作為每行對應(yīng)元素的的隸屬度，即

2.相對比較法①建立模糊集合的相對比較級23例4：定義為“好好學(xué)習(xí)”，是論域U={小明（a），小王（b），小李（c）}上的模糊集合。1.通過調(diào)查兩兩比較得到相對比較級如下：2.建立相對矩陣3.計算隸屬函數(shù)例4：定義為“好好學(xué)習(xí)”，是論域U={小明（a），小王（243.對比比較法①建立模糊集合的相對比較級②建立相對矩陣③通過以下方法確定各個元素的隸屬度：3.對比比較法①建立模糊集合的相對比較級251.通過比較兩兩比較數(shù)據(jù)庫之間性能的好壞，建立相對矩陣如下：2.通過公式計算每一個元素的隸屬度：例5：定義為“數(shù)據(jù)庫性能好”，是論域U={Oracle(a)，DB2(b)，SOLServer(c)，Mysql(d)}上的模糊集合。確定隸屬函數(shù)過程如下1.通過比較兩兩比較數(shù)據(jù)庫之間性能的好壞，建立相對矩陣如下：264.模糊統(tǒng)計法

該方法就是通過反復(fù)做隨機實驗。當(dāng)實驗的次數(shù)趨向于無窮大的時候，事件屬于該集合的次數(shù)就趨于一個穩(wěn)定值，該值和定義次數(shù)之比就是事物的隸屬度。該方法與統(tǒng)計中確定事物概率的思想是相似的。4.模糊統(tǒng)計法該方法就是通過反復(fù)做隨機實驗。當(dāng)27模糊數(shù)學(xué)第一講課件28例6：設(shè)是“年輕人”的模糊集合，通過社會調(diào)查得出“27歲”的統(tǒng)計結(jié)果如下：實驗次數(shù)102030405060708090100110120129隸屬次數(shù)61423313947536268768895101隸屬頻率0.60.70.770.780.780.780.760.780.760.760.750.790.78從以上統(tǒng)計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，“27歲”對模糊集合“年輕人”的隸屬度大致集中在0.78左右。于是可以認(rèn)為，以此類推，可以得出模糊集合中的所有元素的隸屬度。例6：設(shè)是“年輕人”的模糊集合，通過社會調(diào)查得出“229模糊數(shù)學(xué)第一講課件305.概率論方法例7：設(shè)U=(0,3)代表身高的變化區(qū)段，=“矮個子”，=“中等個”，=“高個子”。是和的分界點。是和的分界點。首先可以借助概率統(tǒng)計的方法確定和的分布：。對于任意可以建立如下的隸屬函數(shù)：

5.概率論方法例7：設(shè)U=(0,3)代表身高的311.5常用模糊集合的隸屬函數(shù)1.三角形隸屬函數(shù)a1bc01.5常用模糊集合的隸屬函數(shù)1.三角形隸屬函數(shù)a1bc0322.降半梯形隸屬函數(shù)a1b02.降半梯形隸屬函數(shù)a1b0333.升半梯形分布a1b03.升半梯形分布a1b0344.梯形分布a1b0cd4.梯形分布a1b0cd35例8：河水污染可以通過水中酚的含量來確定水質(zhì)等級：級別123酚含量0.0010.0020.01對于一級和二級水，可以通過三角形隸屬函數(shù)來確定，三級水可以借助升半梯形隸屬函數(shù)確定。這里我們主要借助MATLAB模糊工具箱建立隸屬度函數(shù)（membershipfunction）。

例8：河水污染可以通過水中酚的含量來確定水質(zhì)等級：級別1236一級和二級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.01];Y1=trimf(X,[0,0.001,0.002]);subplot(121),plot(X,Y1);Y2=trimf(X,[0.001,0.002,0.01]);subplot(122),plot(X,Y2);一級和二級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.37模糊數(shù)學(xué)第一講課件38三級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.015];Z1=trapmf(X,[0.002,0.01,0.1,0.2]);subplot(121),plot(X,Z1);三級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.01539MATLAB中的有關(guān)隸屬度函數(shù)語法

1.高斯型隸屬函數(shù)：y=gaussmf（x，[sig，c]）其中：sig=std（x）c=mean（x）分別表示x的方差和均值,x表示論域范圍。高斯型隸屬函數(shù)的運用需要檢驗數(shù)據(jù)是否服從正態(tài)分布：h=lillietest（x），若h=0，則表明數(shù)據(jù)是正態(tài)分布的。MATLAB中的有關(guān)隸屬度函數(shù)語法1.高斯型隸屬函數(shù)：402.三角形隸屬函數(shù)

y=trimf(x,[a,b,c])x表示論域范圍，a<b<c，隸屬函數(shù)要求在x=b點的隸屬度為1，在x=a，x=c點點隸屬度為0。3.梯形隸屬函數(shù)y=trapmf(x,[a,b,c,d])x表示論域范圍，a,b,c,d用于指定梯形隸屬函數(shù)的的形狀，要求2.三角形隸屬函數(shù)y=trimf(x,[a,b,c414.Z型隸屬函數(shù)y=zmf（x，[a，b]）Z型函數(shù)是基于樣條插值的函數(shù)，a，b分別表示插值的起點和終點。a<b時，曲線在（a，b）內(nèi)是光滑的樣條曲線，在a的左邊為1，在b的右邊為0。a>b時，曲線為0～1上的階梯函數(shù)，跳躍點是（a+b）/2。4.Z型隸屬函數(shù)y=zmf（x，[a，b]）425.S型隸屬函數(shù)

y=smf（x，[a，b]）S型函數(shù)是基于樣條插值的函數(shù)，a，b分別表示插值的起點和終點。a<b時，曲線在（a，b）內(nèi)是光滑的樣條曲線，在a的左邊為0，在b的右邊為1。a>b時，曲線為0～1上的階梯函數(shù)，跳躍點是（a+b）/2。對于相同輸入?yún)?shù)的S型和Z型隸屬函數(shù)，其函數(shù)圖像是對稱的。5.S型隸屬函數(shù)y=smf（x，[a，b]）43A=[0:0.1:10];Y=zmf(A,[3,7]);subplot(121);plot(A,Y);X=smf(A,[3,7]);subplot(122);plot(A,X)A=[0:0.1:10];Y=zmf(A,[3,7]);su441.6模糊集的截集設(shè)，對于任意，有則稱為的（或者水平集），稱為閥值或者置信水平。注：的是一個普通集合，他是通過對模糊集的截取得到的。

1.6模糊集的截集設(shè)，對于任意45性質(zhì)：1.2.設(shè)，且，則。3.

性質(zhì)：1.46模糊數(shù)學(xué)第一講課件47模糊數(shù)學(xué)與灰色系統(tǒng)

分析方法及應(yīng)用Email：tmxk_1985@模糊數(shù)學(xué)與灰色系統(tǒng)

分析方法及應(yīng)用481.1模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論兩類自然現(xiàn)象的描述：A.1+1=2B.水的溫度達到100攝氏度就會沸騰C.光的速度是30萬公里/秒D.某人是個高個子（身高多少為高個子）E.今天下的是中雨（雨量多少為中雨）F.包頭氣候干燥（什么樣的氣候是干燥的氣候）G.創(chuàng)維電視機質(zhì)量很好（怎么樣的質(zhì)量才是好）1.1模糊數(shù)學(xué)導(dǎo)論兩類自然現(xiàn)象的描述：49模糊數(shù)學(xué)與概率論（隨機現(xiàn)象）區(qū)別：

隨機現(xiàn)象的不確定性是指事件本身的定義和范疇是確定的情況下，事件發(fā)生的結(jié)果是不確定的。如骰子下落出現(xiàn)的點數(shù)是1~6，這是確定的，但是具體是幾點我們不知道，帶有隨機性。

模糊數(shù)學(xué)與概率論（隨機現(xiàn)象）區(qū)別：50

模糊現(xiàn)象的不確定性是指事件發(fā)生的結(jié)果是確定的，而事件本身的定義和范疇是不確定的。如人的身高是可以度量的，但是這個高度是否屬于高個子是不確定的，帶有模糊性。模糊現(xiàn)象的不確定性是指事件發(fā)生的結(jié)果是確定51模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用：

模糊（Fuzzy）數(shù)學(xué)理論是由美國加利福利亞大學(xué)控制理論專家扎德（L.A.Zadeh）教授于1965年提出，至今已經(jīng)在原有的基礎(chǔ)上派生出了模糊拓?fù)?、模糊圖論、模糊概率、模糊邏輯等分支學(xué)科。我國模糊數(shù)學(xué)的研究與應(yīng)用也取得了很好的成績，很多的成果處于世界領(lǐng)先水平。并創(chuàng)辦了《模糊數(shù)學(xué)》、《模糊系統(tǒng)與數(shù)學(xué)》等學(xué)術(shù)期刊。至今，模糊理論已經(jīng)在軍事、醫(yī)療、地礦、生物、天氣預(yù)報、信息處理、人工智能等領(lǐng)域展開了應(yīng)用。但是該領(lǐng)域的理論系統(tǒng)體系還遠遠沒有成熟，具有巨大的發(fā)展空間。模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展與應(yīng)用：521.2模糊集合的概念描述普通集合可以用特征函數(shù)，

特征函數(shù)是論域U到{0，1}上的映射，又可寫成：

它確定了集合有哪些元素，所以稱之為集合A的特征函數(shù)。1.2模糊集合的概念描述普通集合可以用特征函數(shù)，53顯然有顯然有54定義：論域U到[0,1]的任一映射都確定了U上的一個模糊集：其中稱為的隸屬函數(shù)，稱為x的隸屬度。定義：論域U到[0,1]的任一映射55隸屬度表示x屬于的程度：A.越接近0，表示x屬于的程度越??；B.越接近1，表示x屬于的程度越大；C.越接近0.5，表示x屬于的程度越模糊。隸屬度表示x屬于的程度：56

U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合類，記為F(U)，顯然有其中P(U)是U的冪集。（由論域U的所有子集所組成的集合稱為U的冪集，記為）U上的全體模糊子集構(gòu)成的集合類，記為F(U)，顯然57模糊集合的表示：A.向量表示法B.扎德（Zadeh）記號表示法

C.序偶表示法

D.無限集的表示

模糊集合的表示：B.扎德（Zadeh）記號表示法C.58那么扎德表示：bcde例1：表示“圓糊糊的物體”a那么扎德表示：bcde例1：表示“圓糊糊的物體”a59向量表示：序偶表示：向量表示：序偶表示：60例2：以年齡為論域U=[0,100],兩個模糊子集和，表示“年老”和“年輕”，隸屬函數(shù)為：

例2：以年齡為論域U=[0,100],兩個模糊子集61則模糊子集和可以表示為：0.512550100年齡則模糊子集和可以表示為：0.51255010621.3模糊子集的基本運算：1. 包含2.真包含3.相等4.并運算5.交運算6.逆運算7.若，則8.若，則

1.3模糊子集的基本運算：1. 包含63模糊集合的并、交、補集合模糊集合的并、交、補集合641.交換律2.結(jié)合律3.分配律

4.對偶律(德.摩根)5.復(fù)原律模糊子集的基本運算性質(zhì)：

1.交換律模糊子集的基本運算性質(zhì)：656.冪等律7.同一律8.吸收律6.冪等律7.同一律8.吸收律66例3：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}是一個5人組成的集合，表示“高個子”的集合，表示“胖子”的集合，例3：設(shè)論域U={a,b,c,d,e}是一個5人組成的集67則“或高或胖”則“又高又胖”則“不高”則“或高或胖”則“又高又胖”則“不高”681.4隸屬函數(shù)的確定方法例證法：該方法主要是通過從模糊集合中已知的有限個元素的隸屬度來估計其隸屬函數(shù)的方法。例如是高山的集合，然后選擇具有代表性的高度值，通過各種方法確定其隸屬度（如2000米海拔隸屬度為0.3，3000米海拔隸屬度為0.5，4000米海拔隸屬度為0.8等等）。以此類推就可以估算出隸屬度函數(shù)的離散形式。

該方法直觀而簡單，適用于隸屬函數(shù)簡單并且集合元素較少的情形。1.4隸屬函數(shù)的確定方法例證法：692.相對比較法①建立模糊集合的相對比較級②建立相對矩陣，③取矩陣中每行的最小值作為每行對應(yīng)元素的的隸屬度，即

2.相對比較法①建立模糊集合的相對比較級70例4：定義為“好好學(xué)習(xí)”，是論域U={小明（a），小王（b），小李（c）}上的模糊集合。1.通過調(diào)查兩兩比較得到相對比較級如下：2.建立相對矩陣3.計算隸屬函數(shù)例4：定義為“好好學(xué)習(xí)”，是論域U={小明（a），小王（713.對比比較法①建立模糊集合的相對比較級②建立相對矩陣③通過以下方法確定各個元素的隸屬度：3.對比比較法①建立模糊集合的相對比較級721.通過比較兩兩比較數(shù)據(jù)庫之間性能的好壞，建立相對矩陣如下：2.通過公式計算每一個元素的隸屬度：例5：定義為“數(shù)據(jù)庫性能好”，是論域U={Oracle(a)，DB2(b)，SOLServer(c)，Mysql(d)}上的模糊集合。確定隸屬函數(shù)過程如下1.通過比較兩兩比較數(shù)據(jù)庫之間性能的好壞，建立相對矩陣如下：734.模糊統(tǒng)計法

該方法就是通過反復(fù)做隨機實驗。當(dāng)實驗的次數(shù)趨向于無窮大的時候，事件屬于該集合的次數(shù)就趨于一個穩(wěn)定值，該值和定義次數(shù)之比就是事物的隸屬度。該方法與統(tǒng)計中確定事物概率的思想是相似的。4.模糊統(tǒng)計法該方法就是通過反復(fù)做隨機實驗。當(dāng)74模糊數(shù)學(xué)第一講課件75例6：設(shè)是“年輕人”的模糊集合，通過社會調(diào)查得出“27歲”的統(tǒng)計結(jié)果如下：實驗次數(shù)102030405060708090100110120129隸屬次數(shù)61423313947536268768895101隸屬頻率0.60.70.770.780.780.780.760.780.760.760.750.790.78從以上統(tǒng)計結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，“27歲”對模糊集合“年輕人”的隸屬度大致集中在0.78左右。于是可以認(rèn)為，以此類推，可以得出模糊集合中的所有元素的隸屬度。例6：設(shè)是“年輕人”的模糊集合，通過社會調(diào)查得出“276模糊數(shù)學(xué)第一講課件775.概率論方法例7：設(shè)U=(0,3)代表身高的變化區(qū)段，=“矮個子”，=“中等個”，=“高個子”。是和的分界點。是和的分界點。首先可以借助概率統(tǒng)計的方法確定和的分布：。對于任意可以建立如下的隸屬函數(shù)：

5.概率論方法例7：設(shè)U=(0,3)代表身高的781.5常用模糊集合的隸屬函數(shù)1.三角形隸屬函數(shù)a1bc01.5常用模糊集合的隸屬函數(shù)1.三角形隸屬函數(shù)a1bc0792.降半梯形隸屬函數(shù)a1b02.降半梯形隸屬函數(shù)a1b0803.升半梯形分布a1b03.升半梯形分布a1b0814.梯形分布a1b0cd4.梯形分布a1b0cd82例8：河水污染可以通過水中酚的含量來確定水質(zhì)等級：級別123酚含量0.0010.0020.01對于一級和二級水，可以通過三角形隸屬函數(shù)來確定，三級水可以借助升半梯形隸屬函數(shù)確定。這里我們主要借助MATLAB模糊工具箱建立隸屬度函數(shù)（membershipfunction）。

例8：河水污染可以通過水中酚的含量來確定水質(zhì)等級：級別1283一級和二級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.01];Y1=trimf(X,[0,0.001,0.002]);subplot(121),plot(X,Y1);Y2=trimf(X,[0.001,0.002,0.01]);subplot(122),plot(X,Y2);一級和二級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.84模糊數(shù)學(xué)第一講課件85三級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.015];Z1=trapmf(X,[0.002,0.01,0.1,0.2]);subplot(121),plot(X,Z1);三級水的MATLAB語句：X=[0:0.0001:0.01586MATLAB中的有關(guān)隸屬度函數(shù)語法

1.高斯型隸屬函數(shù)：y=gaussmf（x，[sig，c]）