第1課矩陣的初等變換課件

線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)中，主要討論一般方程組的求解問題為此，引入了行列式、矩陣、向量等概念這些概念非常重要，成為了其他學(xué)科的基本工具線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)這門課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2、培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯思維能力線性代數(shù)這門課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科技大、清華等）同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》及配套輔導(dǎo)書）參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫字母記之。定義

實(shí)矩陣:

元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,實(shí)矩陣:元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。稱為列矩陣或m

維列向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。(4)只有一列的矩陣(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對(duì)角矩陣。記作(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O。(6)矩陣(定義設(shè)，如果(此時(shí)稱A與B是同型矩陣)且則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？定義設(shè)稱矩陣的下面三種變換為初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義稱矩陣的下面三種變換為初等行變換矩陣的初等變換舉例

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1矩陣的初等變換舉例15-1-11-21-1

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第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。

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1c3+c1三種初等變換都是可逆的。注：矩陣間的初等變換不能用等號(hào)第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表”)書P5定義4行階梯形矩陣初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（3）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3)+(4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上

只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡(jiǎn)形。行階梯形不唯一，行最簡(jiǎn)形唯一。書P6定理1.1.1定理例1只用初等行變換必化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左?；A梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左。(等價(jià)關(guān)系)定義

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作。等價(jià)滿足：自反性：(2)對(duì)稱性：(3)傳遞性：(等價(jià)關(guān)系)定義如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成§3

解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(1)為非齊次線性方程組若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

則稱(2)為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（或(1)的導(dǎo)出組）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(1)為非齊次系數(shù)矩陣增廣矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣解線性方程組例1解線性方程組例1下列三種變換稱為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)

k乘某個(gè)方程；（3）某個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上去。下列三種變換稱為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元過程結(jié)束，以下過程稱為“回代過程”。(3)×(-1/2)消元過程結(jié)束，以下過程稱為“回代過程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過程就是繼續(xù)化成行最簡(jiǎn)階梯形的過程。(1)－(2)原方程組的解為：所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？解：同解方程組最后一個(gè)方程0=-2是矛盾方程，所以方程組無解。例3特點(diǎn)解：同解方程組最后一個(gè)方程0=-2是矛盾方程，所以方程組無例4求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)階梯形:例4求解齊次線性方程組解對(duì)系數(shù)矩陣A施行初等行變換化為最簡(jiǎn)寫出等價(jià)方程組并移項(xiàng):有何特點(diǎn)？寫出等價(jià)方程組并移項(xiàng):有何特點(diǎn)？令寫出參數(shù)形式的通解通解其中為任意實(shí)數(shù)。我們已經(jīng)初步掌握了線性方程組的求解過程，比較上述三個(gè)例題，可得線性方程組解的簡(jiǎn)要判別，書P12-15，我們將在后面的章節(jié)中學(xué)習(xí)。令寫出參數(shù)形式的通解通解其中為任意實(shí)數(shù)。我們已經(jīng)初步掌握了線線性方程組有解的理論總結(jié)線性方程組有解的理論總結(jié)線性方程組進(jìn)行初等行變換同解方程組為：（1.3）其中方程組中方程“0=0”表示恒等式。線性方程組進(jìn)行初等行變換同解方程組為：（1.3）其中方程組中由方程組（1.3）可以看出：（1）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）無解，從而原方程組（1.1）無解；由方程組（1.3）可以看出：（1）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）無解（2）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）有解，故方程組（1.1）也有解，并且此時(shí)1）當(dāng)r=n時(shí)，方程組（1.3）為：由于，由“回代過程”知此方程組有唯一解，故方程組（1.1）有唯一解。（2）當(dāng)時(shí)，方程組（1.3）有解，故方程組（1.1）也有解，2）當(dāng)r<n時(shí)，方程組（1.1）有無窮多解，(1.4)稱為自由未知量，一組值，給定自由未知量代入（1.4）可唯一得出的一組值，這樣得到的的一組值就是方程組（1.1）的一個(gè)解。2）當(dāng)r<n時(shí)，方程組（1.1）有無窮多解，(1.4由于自由未知量的取值是任意的，所以方程組（1.1）有無窮多解。由于自由未知量的取值是任意的，所以方程組（1.1）有無窮多解作業(yè)p161、（1）（3）2、（2）作業(yè)p161、（1）（3）2、（2）線性代數(shù)線性代數(shù)線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)中，主要討論一般方程組的求解問題為此，引入了行列式、矩陣、向量等概念這些概念非常重要，成為了其他學(xué)科的基本工具線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介初等代數(shù)課程中，介紹了二階、三階方程組的求解線性代數(shù)這門課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2、培養(yǎng)抽象思維能力、邏輯思維能力線性代數(shù)這門課程有兩大作用1、掌握幾種重要的數(shù)學(xué)概念、方法2參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科技大、清華等）同濟(jì)大學(xué)《線性代數(shù)》及配套輔導(dǎo)書）參考資料胡建華：線性代數(shù)解題指導(dǎo)考研復(fù)習(xí)資料(華中科為表示它是一個(gè)整體，總是加一個(gè)括號(hào)，并用大寫字母記之。定義

實(shí)矩陣:

元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)實(shí)矩陣,是一個(gè)復(fù)矩陣,實(shí)矩陣:元素是實(shí)數(shù)復(fù)矩陣：元素是復(fù)數(shù)例如：是一個(gè)(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。

(2)行數(shù)與列數(shù)都等于n的矩陣A，稱為n階方陣或n階矩陣。

(3)只有一行的矩陣稱為行矩陣或n

維行向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。稱為列矩陣或m

維列向量。ai稱為A的第i個(gè)分量。(4)只有一列的矩陣(1)1×1的矩陣就是一個(gè)數(shù)。(2)行數(shù)(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O

。(6)矩陣(約定未寫出元素全為零)稱為單位矩陣。(7)矩陣稱為對(duì)角矩陣。記作(5)元素全為零的矩陣稱為零矩陣，記為O。(6)矩陣(定義設(shè)，如果(此時(shí)稱A與B是同型矩陣)且則稱A與B相等，記作A=B。問：與相等嗎？定義設(shè)稱矩陣的下面三種變換為初等行變換(1)交換矩陣的某兩行，記為(2)以不等于０的數(shù)乘矩陣的某一行，記為(3)把矩陣的某一行乘上一個(gè)數(shù)加到另一行上，記為類似定義三種初等列變換以上六種變換統(tǒng)稱為矩陣的初等變換定義稱矩陣的下面三種變換為初等行變換矩陣的初等變換舉例

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1矩陣的初等變換舉例15-1-11-21-1

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第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。

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1c3+c1三種初等變換都是可逆的。注：矩陣間的初等變換不能用等號(hào)第i行的k倍加到第j行記為rj+kri。初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也有類似的結(jié)果…逆變換逆變換逆變換初等變換的逆變換仍為初等變換,且變換類型相同．初等列變換也初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最簡(jiǎn)形就是所謂的最簡(jiǎn)單的“代表”)書P5定義4行階梯形矩陣初等變換的作用？定義行階梯形矩陣及行最簡(jiǎn)(階梯)形矩陣(行最行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上只有一行；（3）每個(gè)臺(tái)階上第一個(gè)元素不為零。行階梯形矩陣：行最簡(jiǎn)階梯形(1)(2)(3)+(4)臺(tái)階上的第一個(gè)元素為1,且其所在列其它元素全為零。行最簡(jiǎn)階梯形矩陣（1）臺(tái)階左下方元素全為零；（2）每個(gè)臺(tái)階上

只用初等行變換必能將矩陣化為行階梯形，從而再化為行最簡(jiǎn)形。行階梯形不唯一，行最簡(jiǎn)形唯一。書P6定理1.1.1定理例1只用初等行變換必化階梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左?；A梯形：從上到下，從左到右,化最簡(jiǎn)形：從下向上，從右到左。(等價(jià)關(guān)系)定義

如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成矩陣B，就稱矩陣A與B等價(jià)，記作。等價(jià)滿足：自反性：(2)對(duì)稱性：(3)傳遞性：(等價(jià)關(guān)系)定義如果矩陣A經(jīng)過有限次初等變換變成§3

解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方程組⑴是否有解？⑵若有解，解是否唯一？⑶如何求出所有的解？§3解線性方程組的消元法討論有n個(gè)未知數(shù)m個(gè)方程的線性方若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(1)為非齊次線性方程組若B=(b1,b2,…，bm)T＝O，即：

則稱(2)為(1)對(duì)應(yīng)的齊次線性方程組（或(1)的導(dǎo)出組）若B=(b1,b2,…,bm)T≠O，則稱(1)為非齊次系數(shù)矩陣增廣矩陣系數(shù)矩陣增廣矩陣解線性方程組例1解線性方程組例1下列三種變換稱為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置；（2）用一個(gè)非零數(shù)

k乘某個(gè)方程；（3）某個(gè)方程的常數(shù)倍加到另一個(gè)方程上去。下列三種變換稱為方程組的三種同解變換：（1）兩個(gè)方程互換位置解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1解線性方程組解互換(1)與(2)的位置得例1(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(2)-(1)×2,(3)-(1)×4(3)-(2)(3)×(-1/2)消元過程結(jié)束，以下過程稱為“回代過程”。(3)×(-1/2)消元過程結(jié)束，以下過程稱為“回代過程”(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2(2)×(-1/3)(1)-(3)×2，(2)+(3)×2所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階梯形矩陣，回代過程就是繼續(xù)化成行最簡(jiǎn)階梯形的過程。(1)－(2)原方程組的解為：所以，消元法增廣矩陣的初等行變換消元過程就是增廣矩陣化為行階解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?解線性方程組解：增廣矩陣?yán)?即則原方程組的解為有何特點(diǎn)？即則原方程組的解為有何特