點直線平面之間的位置關(guān)系隨堂檢測

1．(2022·高考浙江卷)設(shè)l是直線，α，β是兩個不同的平面()A．若l∥α，l∥β，則α∥βB．若l∥α，l⊥β，則α⊥βC．若α⊥β，l⊥α，則l⊥βD．若α⊥β，l∥α，則l⊥β答案：B2．如圖是一個無蓋的正方體盒子展開后的平面圖，A、B、C是展開圖上的三點，則在正方體盒子中，∠ABC的值為()A．180° B．120°C．60° D．45°解析：選C.折疊后如圖所示，連接AB，BC，CA，則它們分別為正方形的對角線．∴△ABC為正三角形，故∠ABC＝60°.3．已知m，l是異面直必存在平面α過m且與l平行；②必存在平面β過m且與l垂直；③必存在平面γ與m，l都垂直；④必存在平面π與m，l距離都相等．其中正確的序號為________．解析：②中要求m與l垂直，③中要求m與l平行，但題中沒有這樣的已知條件，所以②③都是錯誤的．答案：①④4．長方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長為2的正方形，高為4，則點A1到截面AB1D1的距離為________．解析：利用三棱錐A1－AB1D1的體積變換：VA1－AB1D1＝VA－A1B1D1，則eq\f(1,3)×2×4＝eq\f(1,3)×6×h，h＝eq\f(4,3).答案：eq\f(4,3)5．(2022·高考遼寧卷)如圖，直三棱柱ABC－A′B′C′，∠BAC＝90°，AB＝AC＝eq\r(2)，AA′＝1，點M，N分別為A′B和B′C′的中點．(1)證明：MN∥平面A′ACC′；(2)求三棱錐A′－MNC的體積．(錐體體積公式V＝eq\f(1,3)Sh，其中S為底面面積，h為高)解：(1)證明：法一：AC′，如圖，由已知∠BAC＝90°，AB＝AC，三棱柱ABC－A′B′C′為直三棱柱，所以M為AB′的中點．又因為N為B′C′的中點，所以MN∥AC′.又MN?平面A′ACC′，AC′?平面A′ACC′，所以MN∥平面A′ACC′.法二：取A′B′的中點P，連接MP，NP，AB′，因為M，N分別為AB′與B′C′的中點，所以MP∥AA′，PN∥A′C′.所以MP∥平面A′ACC′，PN∥平面A′ACC′.又MP∩NP＝P，所以平面MPN∥平面A′ACC′.而MN?平面MPN，所以MN∥平面A′ACC′.(2)法一：連接BN，由題意知A′N⊥B′C′，平面A′B′C′∩平面B′BCC′＝B′C′，所以A′N⊥平面NBC.又A′N＝eq\f(1,2)B′C′＝1，故VA′－MNC＝VN－A′MC＝eq\f(1,2)VN－A′BC＝eq\f(1,2)VA′－NBC＝eq\f(1,6).法二：VA′－MNC＝VA′－NBC－VM－NBC＝eq\f(1,2)VA′－NBC＝eq\f(1,6).6.如圖所示，在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M是棱CC1的中點．(1)求異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值；(2)證明：平面ABM⊥平面A1B1M.解：(1)因為C1D1∥B1A1，所以∠MA1B1為異面直線A1M與C1D1所成的角．因為A1B1⊥平面BCC1B1，所以A1B1⊥B1M，即∠A1B1M＝90°.而A1B1＝1，B1M＝eq\r(B1C\o\al(2,1)＋MC\o\al(2,1))＝eq\r(2)，故tan∠MA1B1＝eq\f(B1M,A1B1)＝eq\r(2)，即異面直線A1M和C1D1所成的角的正切值為eq\r(2).(2)證明：由A1B1⊥平面BCC1B1，BM?平面BCC1B1，得A1B1⊥BM.①由(1)知，B1M＝eq\r(2)，又BM＝eq\r(BC2＋CM2)＝eq\r(2)，B1B＝2，