方差公式的應(yīng)用

方差公式的應(yīng)用方差公式在數(shù)學(xué)解題中有著極其廣闊的應(yīng)用價(jià)值。然而由于統(tǒng)計(jì)初步列入中學(xué)數(shù)學(xué)時(shí)間不長，因而有關(guān)方差公式在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用資料甚少，故給學(xué)生一種錯(cuò)覺，好像學(xué)了方差公式僅僅是為了統(tǒng)計(jì)計(jì)算而已，別無它用。為延伸教材內(nèi)容，緊跟素質(zhì)教育和新課程改革的步伐，筆者就八個(gè)方面的應(yīng)用介紹如下：TOC\o"1-5"\h\z若亍為一組數(shù)據(jù)X，尤，尤…尤的平均數(shù)，S2為這組數(shù)據(jù)的方差，則有123nS2=—[(x—X)2+(X—X)2+,??+(X—X)2]=—[X2+x2+???+x2)—nx2]n12nn12n由方差定義公式，顯然有S2>0，當(dāng)且僅當(dāng)X=X=...=X時(shí)S2=0求值例1.已知實(shí)數(shù)x、y、z滿足Jx+3J=6<1>試求X2y+z的[x+3y—2xy+2z2=0<2>值。解：<1>一<2>得：xy=z2+3<3><1>2得：x2+(3y)2=36-6xy<4>將<3>代入<4>得：X2+(3y)2=18-6z2，把x，3y視為一組數(shù)據(jù)，由方差公式，得S2=![X2+(3y)2—2X(^1!^)2]=.1(18—6z2—1x62)=—3z22222因?yàn)镾2>0，所以-3z2>0，所以z=0，所以S2=0，所以x=3y代入<1>得x=3,y=1所以X2y+z=32=9解方程例2.解方程4(vx+\：y—1+x/z—2)=x+y+z+9解■:設(shè)\偵=a，—1=b，tz—2=c，貝Vx=a2，y=b2+1，z=c2+2原方程可化為4(a+b+c)=a2+b2+c2+12所以a2+b2+c2=4(a+b+c)一12由方差公式，得a、b、c的方差為:S2=3[(a2+b2+c2)—3(a+b+c)2]=3[4(a+b+c)—12—3(a+b+c)2]=—9(a+b由方差公式，得a、b、c的方差為:因?yàn)镾2>0，所以(a+b+c-6)2<0，所以a+b+c=6，所以S2=0，從而a=b=c=2故x=4,y=5,z=6，經(jīng)檢驗(yàn)x=4,y=5,z=6是原方程的解。解方程組例3.解關(guān)于實(shí)數(shù)x、y、z的方程組解：由<1>礙2x+(3y+3)=16-例3.解關(guān)于實(shí)數(shù)x、y、z的方程組解：由<1>礙2x+(3y+3)=16-z(2x)2+(3y+3)2=—z2—4z+104由方差公式，得2x，3y+3的方差為:2x+3y+z=13<1>4x2+9y2+z2-2x+15y+3z=82<2><1>+<2>，得S2=|[(2x)2+(3y+3)-?(2x+3y+3)]=|[(-z2-4+104^一(去6-=-z2-4)因?yàn)镾2>0，所以--(z-4)2>0，所以(z-4)2=0，所以z=4，所以S2=0，4所以2x=3y+3把z=4,2x=3y+3代入<1>得y=1，從而x=3,4.證明不等式所以x=3,y=1，z=4例4.已知x+y+z=a，求證：x2+y2+z2>3a2證明：設(shè)x2+y2+z2=w，由方差公式，得x、y、S2=3[(x2+y2+z2)-3(x+y+z)2]=3(w-3a2)因?yàn)镾2>0，所以3(w-3a2)>0，的方差為證明等式例5.已知實(shí)數(shù)a、b、c滿足a=6-b，c2=ab-9，求證：a=b證明：由已知得a+b=6，a2+b2=36一2ab=36一2(c2+9)=18一2c2由方差公式，得實(shí)數(shù)a、S2=—[(a2+b2)—(a+b)-=[(—8c-2-)X2&c-2222因?yàn)镾2>0，所以-c2>0，求字母的取值范圍所以c=0，所以S2b的方差為=0，則a=b例6.設(shè)實(shí)數(shù)a、b、c滿足a2—bc一8a+7=0〈b2+c2+bc一6a+6=01>則a的取值范2>圍是.解：<1>+<2>得b2+c2=-a2+14a-13<2>—<1>得(b+c)2=(a一1)2由方差公式得b、C的方差為S2=![(b2+c2)-!(b+c)2]TOC\o"1-5"\h\z2213=一[(-a2+14a-13)-(a-1)2]=-—(a2-10a+9)24因?yàn)镾2>0，所以-|(a2-10a+9)>0，所以a2-10a+9<0，解得1<a<9求最值例7.實(shí)數(shù)X、y滿足4x2-5xy+4y2=5，設(shè)S=x2+y2，則上=。Smax解：設(shè)x2+y2=t，由方差公式得X、y的方程TOC\o"1-5"\h\zS2=1[(x2+y2)-2(岑)2]=1[(x2+y2)一用+2母+二j=(X+y)-^=①222244因?yàn)?x2一5xy+4y2=5，所以5xy=4(x2+y2)一5,/t-81+2所以xy=4(x2+y2)-1=11-1，代入①，得S2=—=-3t+10>055420所以3t-10<0，所以t<四，即S=10，所以上=-13max3S10判斷三角形形狀例8.設(shè)AABC的三邊a、b、c滿足：b+c=8，bc=a2-12a+52，試問AABC是什么三角形(按邊分類)？并證明你的結(jié)論。解：AABC為等腰三角形，證明如下：由已知得b2+c2=64-2bc=-2a2+24a-40由方差公式得b、c的方差為s2=-l[(b2+c2)-I(b+c)2]22=—[(-2a2+24a-40)-』x82]=-(a-6)2>022因?yàn)镾2>0，所以-(a-6)2>0，所以a=6，所以S2=0，所以b=c=4故AABC是以a為底，以b、C為腰的等腰三角形。練習(xí)：已知AABC的三邊a、b、c滿足(1)a>b>c;(2)2b=a+c;(3)b是正整數(shù)；(4)a2+b2+c2=84，求b的值。已知x+"z=1，求證:實(shí)數(shù)a、b、c、d滿足a+b+c+d=10，a2+b2+c2+d2=28，求a值范圍。x+y+z=3解方程組L2+y2+z2=3X5+y5+z5=3設(shè)X，X，X…尤都是正整數(shù)，且滿足X+X1+X=95，則X2+X2+...+X2的1231912191219最大值為設(shè)m、n、p為正實(shí)數(shù)，且m2+n2=p2，求一'的最小值。m