-初中數(shù)學(xué)競賽定理大全

歐（Euler）垂重、外歐拉線外心重心心與重距一九圓任意三角形三邊的點，高的垂及三頂點垂心間線段的中點，共九個點共圓，這個圓稱為三角形的九點圓；其圓心為三角形外心與垂心所連線段的中其半徑等于三角形外接半徑的一半。費馬：P△內(nèi)一點，當(dāng)∠＝BPC∠＝120°時，＋PBPC值最，

點稱為△的爾點海（）式塞（Ceva）理在△ABC中，過△ABC的頂點作相交于一點P的直線，分別交邊、CAAB與點D、、F則(BD/DC)(CE/EA)(AF/FB)＝；其逆真。密爾Miquel）點若AE、AFED、四條直線相交于A、B、C、D、、F六點，構(gòu)成四個三角形，它們是△ABF、AED、BCE、DCF，則這四個三角形的外接圓共點，個點稱為密格爾點。葛剛Gergonne）點:△ABC的內(nèi)切圓分別切邊AB、、CA于點D、E、F，則AEBF、CD三線共點，這個點稱為葛剛點。西松Simson）線：知P為外接，PD⊥BC，PEACPF⊥AB，DEF為垂則EF三共做西摩線黃分：條段(AB)分兩線，使其中較大線(AC)是原線段(AB)與較小段(的例項為黃金割帕斯Pappus）理已點A1A2A3在直線l1上，知B、B、B3直l2上，且A1B2與AB1于X，A1B與AB1交點YAB3A3B2交點Z則XYZ點線笛格）定：ABC△，AA'BB'、CC'三線相交于O，BC與B'C'、CAC'A'、AB與A'B'分別點X、Y、Z，則X、、Z三共其亦摩萊（Morley）三角：ABC內(nèi)的三分BC、CAAB點、、DEF正角為萊角。帕斯卡（Paskal）定理：知內(nèi)六形ABCDEF的邊AB、DE延長線交點G，BC延線點H，CD、點K，HK點線托密Ptolemy）理中ABCD＋·BC＝AC·22斯?fàn)枺⊿tewart）理設(shè)P△邊BC上一點BP：＝n：m，則·(AB)＋n·(AC)＝m·(BP)＋n·(PC)（m＋n）(AP)梅勞定：在△

ABC

中，若

BC、

CA

、

AB

或其延線上被同一直線截于點X、Y、Z，則(BX/XC)·(CY/YA)·(AZ/ZB)＝阿羅尼斯Apollonius）一動點P與兩定點AB的距離之比等于定比m:n，則P的軌跡，是以定比m:n內(nèi)分和外分定線段的兩個分點的連線為直徑的圓，這個圓被稱阿波羅尼斯，稱“氏圓。布美塔Brahmagupta）定：在圓接邊形

ABCD中AC⊥BD對角線的交點P向一作垂線，其延長線必平分對邊。12123廣股理在任一三角形中，銳角對的平方，等兩夾邊之平和，去某夾和另一夾邊此邊上影射乘積的倍．鈍角對的平方，等兩夾邊的平和加上某邊與另夾邊在此邊延上的影射乘的兩倍加原

：做一件事情，完成它有N類辦法，在第一類辦法中有M1種不同的方法，在第二類辦法中有M2不同的方法，?，在第N辦法中有M(N)種不同的方法，那么完成這件事情共有M1+M2+?種不同的方法。比如說：從北到上海有種方法可以直接到達(dá)上海，：火車：飛機(jī)：輪船

kkk

，那么從北京-海的方法N=

k+k+k乘原

：做一件事，完成它需要分成n個步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2不同的方法，??，做第n有mn不同的方法.那么完成這件事共有N=m1·m2·m3?mn種不同的方法正定在一個三角形中，各邊和它所對角的

正的比相等。即a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R2R在同一個三角形中是恒量，是此三角形外接圓的直徑）這一定理對于任意三角形，都有a/sinA=b/sinB=c/sinC=2RR三角形接圓半徑）余定：對于任意三角形，任何一邊的平方等其他兩邊方的減去兩與們夾的弦兩積若邊為a,b,三為A,B,C，則足性質(zhì)：a

2=b+c2

·Ab2=a+c2·CosBc

2=a+b2

·CosCCosC=(a

2+b2

)/2abCosB=(a2+c2-b2)/2acCosA=(c+b-a)/2bc解幾的本1、點間距離：A(xy),B(x,則AB()2

2

y)21

22、行線間距離：lAx1

l:02則：

d

C1A2注意點：x，對應(yīng)項系數(shù)應(yīng)相等。1122121121211211211122121121211211212123、到直線的距離,yl:By0則P到l的距離為

AxA24、線與圓錐曲線相交的弦長公式：

F(x,y)消ax

0，務(wù)必注0.若l與曲線交于A(xy),B()122則：x)2

25、A(xy),B(x)，（x，在直線AB上，且分有向線段AB所成122的比則

xxyy

別地時AB中點且

x12yy變形后

yy1或1y226、直線l的斜率為k，直線l的斜率為k，則l到l的角適用范圍：k，k都存在且kk1，

t11若l與l的夾角

k2

]2注意l到l的角，指從按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到所成的角，范l到l的夾角：指l、l相交所成的銳角或直角。（2）ll時，夾角、到角=。2（3）當(dāng)l與l中有一條不存在斜率時，畫圖，求到角或夾角。111111127、1）傾斜；b角；直線l與平夾，]；2（4）l與l的夾角]其中l(wèi)//l時夾2二面(0,；l到l的8、線的傾斜斜率k的關(guān)系a)每一條直線都有傾斜但不一定有斜率。b)若直線存在斜率k，而傾斜角則k=tan9、線l與直線l的的平行與垂直121121122121121122（1若l1，l2均存在斜率且不重合：①1//l2k1=k2②l12k12=1（2）lAxBy0,11若A、A、、B都不為零

l:22①l//l

C1C22

；②l2A12+B1B2=0l與l相交l與l重合

2C11C22

；注意：若A或B中含有字母，應(yīng)注意討論字母0的情況。10、直線方程的五種形式名稱方程斜截式：y=kx+b

注意點應(yīng)分①斜率不存在②斜率存在點斜式：

yy(x)

（1斜率不存在：x

yy(x)兩點式：截距式：一般式：

x11x221xyaBy

（2）斜率在時為其中l(wèi)交x軸(，交y軸b)當(dāng)直線l在坐標(biāo)軸上，截距相等時應(yīng)分：（1截距=0設(shè)y=kx（）截距=a設(shè)xa即x+y=（其中A、B不同時為零）11、直線0與()y)2r2的位置關(guān)系有三種1211（221211（22若

Bb2

，dr相離d相切dr相交13、圓錐曲線定義、標(biāo)準(zhǔn)方程及性質(zhì)（一）橢圓定義Ⅰ：若F，是兩定點P為動點，且PFPFaFF21

為常數(shù)）則P點的軌跡是橢圓。定義Ⅱ：若F為定點l為定直線，動P到F的距離與到定直線l的距離之比為常數(shù)e（0<e<1P點的軌跡是橢圓。2y2標(biāo)準(zhǔn)方程：2b2(a義域：{x}值域{y}長軸長=2軸長=2b焦距：2c準(zhǔn)線方程：

a焦半徑

：

PF(1

a2c

)

，

PF(2

a2c

)

，

PF2aPF2

，PF等注意涉及焦半徑①用點P坐標(biāo)表示，②第一定義注意圖中線段的幾何特征：A，A122Ba，AB等等頂1222點與準(zhǔn)線距離、焦點與準(zhǔn)線距離分別a,有關(guān)。．．．．．．．．．．．12．．．．．．．．．．．12（F中經(jīng)常利用余弦定理、三角形面積公將有關(guān)線段PF2

、PF

2c，有關(guān)PF結(jié)合起來，建立PF+PF、PF2

PF等關(guān)系（3橢圓上的點有時常用到三角換元：

cos

；（4注意題目中橢圓的焦點在軸上還是在軸上，請補充當(dāng)焦點在y軸上時，其相應(yīng)的性質(zhì)。二、雙曲線（一）定義：Ⅰ若F，是兩定點，PF2aFFa為常數(shù)2則動點P的軌跡是雙曲線。Ⅱ若動點P到定點F與定直線l的距離之比是常數(shù)（e>1動點P的軌跡是雙曲線。（二）圖形：（三）性質(zhì)方程：

2yx(a0)(ab0)2b22b2定義域{xax}；

值域為R；實軸長=虛軸長=2b焦距：2c準(zhǔn)線方程：

a：22a，a12、：22a，a12、焦半徑

PF(x)PF(cc

，

PFPF2a2

；注意圖中線段的幾何特征：，AFBF221頂點到準(zhǔn)線的距離：a

a2或；焦點到準(zhǔn)線的距離ccac或ccc

;兩準(zhǔn)線間的距離=

2（2若雙曲線方程為

2y2x22漸近線方程：022b2

yx若漸近線方程為

xy0雙曲線可設(shè)ab2y2若雙曲線與

yy有公共漸近線，可設(shè)為b2a，焦點在x軸上，焦點在y軸上）特別地當(dāng)時離心率e2兩漸近線互相垂直，分別為y=x，此時雙曲線為等軸雙曲線，可設(shè)為2y注意F中結(jié)合定義PFPFa與余弦定cosF，22將有關(guān)線段PF二、拋物線

、

PF和角結(jié)合起來。2定義：到定點F與定直線的距離相等的點的軌跡是拋物線。即：到定點F的距離與到定直線l的距離之比是常數(shù)