五年級(jí)奧數(shù)a第五章 等差數(shù)列求和課件

金杯數(shù)學(xué)（5a）天津科學(xué)技術(shù)出版社第五章等差數(shù)列求和金杯數(shù)學(xué)（5a）嗨！知道我們今天學(xué)習(xí)什么嗎？聽(tīng)說(shuō)老師今天要給我們講解梯子。呵呵，不可能吧，梯子有什么好學(xué)的。這其中大有學(xué)問(wèn)，不信去看看……嗨！知道我們今天學(xué)習(xí)什么嗎？聽(tīng)說(shuō)老師今天要給我們講解梯子。呵梯子梯子床梯形建筑這些物體都與梯子有關(guān)系，那同學(xué)們知道梯子的特點(diǎn)嗎？梯子梯子床梯形建筑這些物體都與梯子有關(guān)系，那同學(xué)們知道梯子的梯田其實(shí)生活中有很多類似梯子的物體。梯田其實(shí)生活中有很多類似梯子的物體。蜂窩如綠線段所示：每次蜂窩向右延伸相同的距離，同時(shí)也向右下延伸相同的距離。那就是等差咯！豬豬俠真聰明啊！梯子，就是利用等差原理制作成的。今天我們要學(xué)習(xí)的新課就是等差數(shù)列。蜂窩跟梯子有什么關(guān)系？大有關(guān)系，聽(tīng)老師說(shuō)給你聽(tīng)！蜂窩如綠線段所示：每次蜂窩向右延伸相同的距離，同時(shí)也向右下延【知識(shí)領(lǐng)航】

這一節(jié)我們研究求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和。數(shù)學(xué)家高斯在10歲時(shí)計(jì)算1＋2＋3＋4＋……＋99＋100就想到了一種簡(jiǎn)便方法：1＋100=101，2＋99=101，……，這樣這個(gè)數(shù)列中共有100÷2=50個(gè)101，因此這個(gè)等差數(shù)列的和是(1＋100)×100÷2=5050。其實(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn等于這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an的和乘以項(xiàng)數(shù)n除以2。即：

Sn=(a1＋an)×n÷2(S表示等差數(shù)列前n項(xiàng)的和)

這就是等差數(shù)列的求和公式。今天我們就利用這個(gè)公式來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題?！局R(shí)領(lǐng)航】這一節(jié)我們研究求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和。數(shù)學(xué)家高【方法點(diǎn)撥

】求和公式要記牢，解決問(wèn)題用處大。首項(xiàng)末項(xiàng)乘項(xiàng)數(shù)，一定別忘除以2?！痉椒c(diǎn)撥】求和公式要記牢，【技巧感悟】例1：計(jì)算1＋2＋3＋……＋19＋20分析：在計(jì)算這個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，公差是1的等差數(shù)列的和，就可以把1＋20=21；2＋19=21；3＋18=21；……；10＋11=21，一共有20÷2個(gè)21。所以這個(gè)算式的和等于10×21=210。解：1＋2＋3＋……＋19＋20=（1＋20）×（20÷2）=21×10=210【技巧感悟】例1：計(jì)算1＋2＋3＋……＋19＋20【熱身演練】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、【熱身演練】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、例2、計(jì)算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35?！炯记筛形颉糠治觯涸谟?jì)算項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)的等差數(shù)列的和，可以先添上一個(gè)和原題相等的算式，按照相反的方向排列，3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35＋35＋31＋27＋23＋19＋15＋11＋7＋3，就可以利用配對(duì)的方法進(jìn)行計(jì)算了，3＋35=7＋31=11＋27=15＋23=19＋19=38，一共9個(gè)38。因此原算式的和：38×9÷2=171。解：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35=（3＋35）×9÷2=38×9÷2=171

小結(jié)：觀察例1、例2、，不管項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，等差數(shù)列的求和都可以用求和公式：Sn=(a1＋an)×n÷2進(jìn)行計(jì)算，所以在以后等差數(shù)列求和的過(guò)程中只有知道首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)就可以直接利用求和公式進(jìn)行計(jì)算。例2、計(jì)算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋3【熱身演練】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【熱身演練】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【技巧感悟】例3、求等差數(shù)列：9，11，13，……，205，207的和。分析：根據(jù)等差數(shù)列求和公式，要求出這個(gè)等差數(shù)列的和就必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)以及項(xiàng)數(shù)。顯然項(xiàng)數(shù)這個(gè)條件沒(méi)有直接給出，需要首先把它計(jì)算出來(lái)，根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式：n=(a－a)÷d＋1就可算出項(xiàng)數(shù)是100（也可以用通項(xiàng)公式）；再根據(jù)等差數(shù)列求和公式S=(a＋a)×n÷2求出和。解：（第一步）n=(an－a1)÷d＋1n=(207－9)÷2＋1n=198÷2＋1n=100(第二步)Sn=(an＋a1)×n÷2S100

=(9＋207)×100÷2

=216×100÷2=10800答：這個(gè)等差數(shù)列的和是10800?！炯记筛形颉坷?、求等差數(shù)列：9，11，13，……，205【熱身演練】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋13、【熱身演練】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2【技巧感悟】例4、在100到200之間，所有個(gè)位數(shù)是7的自然數(shù)之和是多少？

分析：首先要找出這些自然數(shù)，根據(jù)題意可知它們是：107，117，127，……，197，一共有10個(gè)。如果把它們一個(gè)一個(gè)加起來(lái)比較麻煩，仔細(xì)觀察就可以發(fā)現(xiàn)這10個(gè)數(shù)其實(shí)就是一個(gè)等差數(shù)列，因此利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算就十分簡(jiǎn)單。等差數(shù)列：107、117、127、137、147、157、167、177、187、197

Sn=(a1＋an)×n÷2=(107＋197)×10÷2=304×10÷2=1520解：答：滿足條件的自然數(shù)之和是1520?！炯记筛形颉坷?、在100到200之間，所有個(gè)位數(shù)是7【熱身演練】4、求所有除以4余1的兩位數(shù)的和。【熱身演練】4、求所有除以4余1的兩位數(shù)的和?！炯记筛形颉坷?、求數(shù)列：1，3，4，6，7，9，10，12，13，……，66，67，69，70的和。分析：粗略的看這個(gè)數(shù)列好象沒(méi)什么規(guī)律。但如果仔細(xì)觀察，我們就可以把這個(gè)數(shù)列分成兩個(gè)等差數(shù)列：（1）1，4，7，10，13，……，67，70；（2）3，6，9，12，15，……，63，66，69。這樣利用項(xiàng)數(shù)公式求出兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)之后，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式就能容易的算出這個(gè)數(shù)列的和是1680。解：求項(xiàng)數(shù)：(1)n=(an－a1)÷d＋1=(70－1)÷3＋1=69÷3＋1=24

求數(shù)列的和：

(1＋70)×24÷2＋(3＋69)×23÷2=71×12＋36×23=1680答：這個(gè)數(shù)列的和是1680。(2)n=(an－a1)÷d＋1=(69－3)÷3＋1=66÷3＋1=23

【技巧感悟】例5、求數(shù)列：1，3，4，6，7，9，10【熱身演練】5、求首項(xiàng)是5、末項(xiàng)是93、公差是4的等差數(shù)列的和?！緹嵘硌菥殹?、求首項(xiàng)是5、末項(xiàng)是93、公差是4的等差數(shù)列小朋友們，今天學(xué)習(xí)怎樣，知識(shí)點(diǎn)掌握了沒(méi)有?小朋友們，今天學(xué)習(xí)怎樣，知識(shí)點(diǎn)掌握了沒(méi)有?金杯數(shù)學(xué)（5a）天津科學(xué)技術(shù)出版社第五章等差數(shù)列求和金杯數(shù)學(xué)（5a）嗨！知道我們今天學(xué)習(xí)什么嗎？聽(tīng)說(shuō)老師今天要給我們講解梯子。呵呵，不可能吧，梯子有什么好學(xué)的。這其中大有學(xué)問(wèn)，不信去看看……嗨！知道我們今天學(xué)習(xí)什么嗎？聽(tīng)說(shuō)老師今天要給我們講解梯子。呵梯子梯子床梯形建筑這些物體都與梯子有關(guān)系，那同學(xué)們知道梯子的特點(diǎn)嗎？梯子梯子床梯形建筑這些物體都與梯子有關(guān)系，那同學(xué)們知道梯子的梯田其實(shí)生活中有很多類似梯子的物體。梯田其實(shí)生活中有很多類似梯子的物體。蜂窩如綠線段所示：每次蜂窩向右延伸相同的距離，同時(shí)也向右下延伸相同的距離。那就是等差咯！豬豬俠真聰明?。√葑?，就是利用等差原理制作成的。今天我們要學(xué)習(xí)的新課就是等差數(shù)列。蜂窩跟梯子有什么關(guān)系？大有關(guān)系，聽(tīng)老師說(shuō)給你聽(tīng)！蜂窩如綠線段所示：每次蜂窩向右延伸相同的距離，同時(shí)也向右下延【知識(shí)領(lǐng)航】

這一節(jié)我們研究求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和。數(shù)學(xué)家高斯在10歲時(shí)計(jì)算1＋2＋3＋4＋……＋99＋100就想到了一種簡(jiǎn)便方法：1＋100=101，2＋99=101，……，這樣這個(gè)數(shù)列中共有100÷2=50個(gè)101，因此這個(gè)等差數(shù)列的和是(1＋100)×100÷2=5050。其實(shí)等差數(shù)列前n項(xiàng)的和Sn等于這個(gè)等差數(shù)列的首項(xiàng)a1和末項(xiàng)an的和乘以項(xiàng)數(shù)n除以2。即：

Sn=(a1＋an)×n÷2(S表示等差數(shù)列前n項(xiàng)的和)

這就是等差數(shù)列的求和公式。今天我們就利用這個(gè)公式來(lái)解決一些實(shí)際問(wèn)題?！局R(shí)領(lǐng)航】這一節(jié)我們研究求等差數(shù)列前n項(xiàng)的和。數(shù)學(xué)家高【方法點(diǎn)撥

】求和公式要記牢，解決問(wèn)題用處大。首項(xiàng)末項(xiàng)乘項(xiàng)數(shù)，一定別忘除以2?！痉椒c(diǎn)撥】求和公式要記牢，【技巧感悟】例1：計(jì)算1＋2＋3＋……＋19＋20分析：在計(jì)算這個(gè)項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)，公差是1的等差數(shù)列的和，就可以把1＋20=21；2＋19=21；3＋18=21；……；10＋11=21，一共有20÷2個(gè)21。所以這個(gè)算式的和等于10×21=210。解：1＋2＋3＋……＋19＋20=（1＋20）×（20÷2）=21×10=210【技巧感悟】例1：計(jì)算1＋2＋3＋……＋19＋20【熱身演練】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、【熱身演練】1＋2＋3＋……＋47＋48＋49＋501、例2、計(jì)算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35?！炯记筛形颉糠治觯涸谟?jì)算項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)的等差數(shù)列的和，可以先添上一個(gè)和原題相等的算式，按照相反的方向排列，3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35＋35＋31＋27＋23＋19＋15＋11＋7＋3，就可以利用配對(duì)的方法進(jìn)行計(jì)算了，3＋35=7＋31=11＋27=15＋23=19＋19=38，一共9個(gè)38。因此原算式的和：38×9÷2=171。解：

3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋35=（3＋35）×9÷2=38×9÷2=171

小結(jié)：觀察例1、例2、，不管項(xiàng)數(shù)是偶數(shù)還是奇數(shù)，等差數(shù)列的求和都可以用求和公式：Sn=(a1＋an)×n÷2進(jìn)行計(jì)算，所以在以后等差數(shù)列求和的過(guò)程中只有知道首項(xiàng)、末項(xiàng)、項(xiàng)數(shù)就可以直接利用求和公式進(jìn)行計(jì)算。例2、計(jì)算3＋7＋11＋15＋19＋23＋27＋31＋3【熱身演練】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【熱身演練】11＋14＋17＋……＋101＋1042、【技巧感悟】例3、求等差數(shù)列：9，11，13，……，205，207的和。分析：根據(jù)等差數(shù)列求和公式，要求出這個(gè)等差數(shù)列的和就必須知道首項(xiàng)、末項(xiàng)以及項(xiàng)數(shù)。顯然項(xiàng)數(shù)這個(gè)條件沒(méi)有直接給出，需要首先把它計(jì)算出來(lái)，根據(jù)項(xiàng)數(shù)公式：n=(a－a)÷d＋1就可算出項(xiàng)數(shù)是100（也可以用通項(xiàng)公式）；再根據(jù)等差數(shù)列求和公式S=(a＋a)×n÷2求出和。解：（第一步）n=(an－a1)÷d＋1n=(207－9)÷2＋1n=198÷2＋1n=100(第二步)Sn=(an＋a1)×n÷2S100

=(9＋207)×100÷2

=216×100÷2=10800答：這個(gè)等差數(shù)列的和是10800?！炯记筛形颉坷?、求等差數(shù)列：9，11，13，……，205【熱身演練】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2＋13、【熱身演練】100＋99－98＋97－96＋……＋3－2【技巧感悟】例4、在100到200之間，所有個(gè)位數(shù)是7的自然數(shù)之和是多少？

分析：首先要找出這些自然數(shù)，根據(jù)題意可知它們是：107，117，127，……，197，一共有10個(gè)。如果把它們一個(gè)一個(gè)加起來(lái)比較麻煩，仔細(xì)觀察就可以發(fā)現(xiàn)這10個(gè)數(shù)其實(shí)就是一個(gè)等差數(shù)列，因此利用等差數(shù)列求和公式進(jìn)行計(jì)算就十分簡(jiǎn)單。等差數(shù)列：107、117、127、137、147、157、167、177、187、197

Sn=(a1＋an)×n÷2=(107＋197)×10÷2=304×10÷2=1520解：答：滿足條件的自然數(shù)之和是1520?！炯记筛形颉坷?、在100到200之間，所有個(gè)位數(shù)是7【熱身演練】4、求所有除以4余1的兩位數(shù)的和?！緹嵘硌菥殹?、求所有除以4余1的兩位數(shù)的和。【技巧感悟】例5、求數(shù)列：1，3，4，6，7，9，10，12，13，……，66，67，69，70的和。分析：粗