2023年河南南陽市第一中學高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷數(shù)學試卷（含答案解析）

2023高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應(yīng)位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應(yīng)的答題區(qū)內(nèi)。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．設(shè)F為雙曲線C：（a>0，b>0）的右焦點，O為坐標原點，以O(shè)F為直徑的圓與圓x2+y2=a2交于P、Q兩點．若|PQ|=|OF|，則C的離心率為A． B．C．2 D．2．各項都是正數(shù)的等比數(shù)列的公比，且成等差數(shù)列，則的值為()A． B．C． D．或3．已知冪函數(shù)的圖象過點，且，，，則，，的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．4．已知等邊△ABC內(nèi)接于圓：x2+y2=1，且P是圓τ上一點，則的最大值是（）A． B．1 C． D．25．公差不為零的等差數(shù)列{an}中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列{an}的公差等于()A．1 B．2 C．3 D．46．已知復(fù)數(shù)，則的虛部是（）A． B． C． D．17．已知雙曲線：的焦距為，焦點到雙曲線的漸近線的距離為，則雙曲線的漸近線方程為（）A． B． C． D．8．3本不同的語文書，2本不同的數(shù)學書，從中任意取出2本，取出的書恰好都是數(shù)學書的概率是（）A． B． C． D．9．函數(shù)的大致圖象是（）A． B．C． D．10．設(shè)雙曲線（a＞0，b＞0）的一個焦點為F（c,0）（c＞0），且離心率等于，若該雙曲線的一條漸近線被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，則該雙曲線的標準方程為（）A． B．C． D．11．過拋物線的焦點的直線與拋物線交于、兩點，且，拋物線的準線與軸交于，的面積為，則（）A． B． C． D．12．已知平面向量滿足與的夾角為，且，則實數(shù)的值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．若正三棱柱的所有棱長均為2,點為側(cè)棱上任意一點,則四棱錐的體積為__________．14．設(shè)函數(shù)，當時，記最大值為，則的最小值為______.15．設(shè)常數(shù)，如果的二項展開式中項的系數(shù)為-80，那么______.16．一次考試后，某班全班50個人數(shù)學成績的平均分為正數(shù)，若把當成一個同學的分數(shù)，與原來的50個分數(shù)一起，算出這51個分數(shù)的平均值為，則_________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知，且滿足，證明：.18．（12分）在四棱錐中，底面是邊長為2的菱形，是的中點．（1）證明：平面；（2）設(shè)是線段上的動點，當點到平面距離最大時，求三棱錐的體積．19．（12分）某工廠，兩條相互獨立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下通過日常監(jiān)控得知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品的概率分別為和.（1）從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得至少有一件合格的概率不低于，求的最小值.（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的作為的值.①已知，生產(chǎn)線的不合格產(chǎn)品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回損失元和元．若從兩條生產(chǎn)線上各隨機抽檢件產(chǎn)品，以挽回損失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計哪條生產(chǎn)線挽回的損失較多？②若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級分類后，每件分別獲利元、元、元，現(xiàn)從，生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機抽取件進行檢測，結(jié)果統(tǒng)計如下圖；用樣本的頻率分布估計總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為，求的分布列并估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值.20．（12分）在平面直角坐標系中，已知向量，，其中.（1）求的值；（2）若，且，求的值.21．（12分）已知正數(shù)x，y，z滿足xyzt（t為常數(shù)），且的最小值為，求實數(shù)t的值.22．（10分）在如圖所示的多面體中，平面平面，四邊形是邊長為2的菱形，四邊形為直角梯形，四邊形為平行四邊形，且，，（1）若分別為，的中點，求證：平面；（2）若，與平面所成角的正弦值，求二面角的余弦值．

2023學年模擬測試卷參考答案（含詳細解析）一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【答案解析】

準確畫圖，由圖形對稱性得出P點坐標，代入圓的方程得到c與a關(guān)系，可求雙曲線的離心率．【題目詳解】設(shè)與軸交于點，由對稱性可知軸，又，為以為直徑的圓的半徑，為圓心．，又點在圓上，，即．，故選A．【答案點睛】本題為圓錐曲線離心率的求解，難度適中，審題時注意半徑還是直徑，優(yōu)先考慮幾何法，避免代數(shù)法從頭至尾，運算繁瑣，準確率大大降低，雙曲線離心率問題是圓錐曲線中的重點問題，需強化練習，才能在解決此類問題時事半功倍，信手拈來．2．C【答案解析】分析：解決該題的關(guān)鍵是求得等比數(shù)列的公比，利用題中所給的條件，建立項之間的關(guān)系，從而得到公比所滿足的等量關(guān)系式，解方程即可得結(jié)果.詳解：根據(jù)題意有，即，因為數(shù)列各項都是正數(shù)，所以，而，故選C.點睛：該題應(yīng)用題的條件可以求得等比數(shù)列的公比，而待求量就是，代入即可得結(jié)果.3．A【答案解析】

根據(jù)題意求得參數(shù)，根據(jù)對數(shù)的運算性質(zhì)，以及對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.【題目詳解】依題意，得，故，故，，，則.故選：A.【答案點睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，考查推理論證能力，屬基礎(chǔ)題.4．D【答案解析】

如圖所示建立直角坐標系，設(shè)，則，計算得到答案.【題目詳解】如圖所示建立直角坐標系，則，，，設(shè)，則.當，即時等號成立.故選：.【答案點睛】本題考查了向量的計算，建立直角坐標系利用坐標計算是解題的關(guān)鍵.5．B【答案解析】

設(shè)數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關(guān)于的方程組，即求公差.【題目詳解】設(shè)數(shù)列的公差為，①.成等比數(shù)列，②，解①②可得.故選：.【答案點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎(chǔ)題.6．C【答案解析】

化簡復(fù)數(shù)，分子分母同時乘以，進而求得復(fù)數(shù)，再求出，由此得到虛部.【題目詳解】，，所以的虛部為.故選：C【答案點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)的乘法、除法運算，考查共軛復(fù)數(shù)的虛部，屬于基礎(chǔ)題.7．A【答案解析】

利用雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，求出，的關(guān)系式，然后求解雙曲線的漸近線方程．【題目詳解】雙曲線：的焦點到漸近線的距離為，可得：，可得，，則的漸近線方程為．故選A．【答案點睛】本題考查雙曲線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，構(gòu)建出的關(guān)系是解題的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中檔題.8．D【答案解析】

把5本書編號，然后用列舉法列出所有基本事件．計數(shù)后可求得概率．【題目詳解】3本不同的語文書編號為，2本不同的數(shù)學書編號為，從中任意取出2本，所有的可能為：共10個，恰好都是數(shù)學書的只有一種，∴所求概率為．故選：D.【答案點睛】本題考查古典概型，解題方法是列舉法，用列舉法寫出所有的基本事件，然后計數(shù)計算概率．9．A【答案解析】

用排除B，C；用排除；可得正確答案.【題目詳解】解：當時，，，所以，故可排除B，C；當時，，故可排除D．故選：A．【答案點睛】本題考查了函數(shù)圖象，屬基礎(chǔ)題．10．C【答案解析】

由題得，，又，聯(lián)立解方程組即可得，，進而得出雙曲線方程.【題目詳解】由題得①又該雙曲線的一條漸近線方程為，且被圓x2+y2﹣2cx＝0截得的弦長為2，所以②又③由①②③可得：，，所以雙曲線的標準方程為.故選：C【答案點睛】本題主要考查了雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，圓的方程的有關(guān)計算，考查了學生的計算能力.11．B【答案解析】

設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，由得，將直線的方程代入韋達定理，求得，結(jié)合的面積求得的值，結(jié)合焦點弦長公式可求得.【題目詳解】設(shè)點、，并設(shè)直線的方程為，將直線的方程與拋物線方程聯(lián)立，消去得，由韋達定理得，，，，，，，，可得，，拋物線的準線與軸交于，的面積為，解得，則拋物線的方程為，所以，.故選：B.【答案點睛】本題考查拋物線焦點弦長的計算，計算出拋物線的方程是解答的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中等題.12．D【答案解析】

由已知可得，結(jié)合向量數(shù)量積的運算律，建立方程，求解即可.【題目詳解】依題意得由，得即，解得.故選:.【答案點睛】本題考查向量的數(shù)量積運算，向量垂直的應(yīng)用，考查計算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【答案解析】

依題意得,再求點到平面的距離為點到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【題目詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點到平面的距離為點到直線的距離所以,所以.故答案為:【答案點睛】本題考查椎體的體積公式,考查運算能力,是基礎(chǔ)題.14．【答案解析】

易知，設(shè)，，利用絕對值不等式的性質(zhì)即可得解．【題目詳解】，設(shè)，，令，當時，，所以單調(diào)遞減令，當時，，所以單調(diào)遞增所以當時，，，則則，即故答案為：.【答案點睛】本題考查函數(shù)最值的求法，考查絕對值不等式的性質(zhì)，考查轉(zhuǎn)化思想及邏輯推理能力，屬于難題．15．【答案解析】

利用二項式定理的通項公式即可得出.【題目詳解】的二項展開式的通項公式：，令，解得.∴，解得.故答案為：-2.【答案點睛】本小題主要考查根據(jù)二項式展開式的系數(shù)求參數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.16．1【答案解析】

根據(jù)均值的定義計算．【題目詳解】由題意，∴．故答案為：1．【答案點睛】本題考查均值的概念，屬于基礎(chǔ)題．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．證明見解析【答案解析】

將化簡可得，由柯西不等式可得證明.【題目詳解】解：因為，，所以，又，所以，當且僅當時取等號.【答案點睛】本題主要考查柯西不等式的應(yīng)用，相對不難，注意已知條件的化簡及柯西不等式的靈活運用.18．（1）見解析（2）【答案解析】

（1）連接與交于，連接，證明即可得證線面平行；（2）首先證明平面(只要取中點，可證平面，從而得，同理得),因此點到直線的距離即為點到平面的距離，由平面幾何知識易得最大值，然后可計算體積．【題目詳解】（1）證明：連接與交于，連接，因為是菱形，所以為的中點，又因為為的中點，所以，因為平面平面，所以平面．（2）解：取中點，連接，因為四邊形是菱形，，且，所以，又，所以平面，又平面，所以．同理可證：，又，所以平面，所以平面平面，又平面平面，所以點到直線的距離即為點到平面的距離，過作直線的垂線段，在所有垂線段中長度最大為，因為為的中點，故點到平面的最大距離為1，此時，為的中點，即，所以，所以．【答案點睛】本題考查證明線面平行，考查求棱錐的體積，掌握面面垂直與線面垂直的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．19．(1)(2)①生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②見解析【答案解析】

(1)由題意得到關(guān)于的不等式，求解不等式得到的取值范圍即可確定其最小值；(2)①.由題意利用二項分布的期望公式和數(shù)學期望的性質(zhì)給出結(jié)論即可；②.由題意首先確定X可能的取值，然后求得相應(yīng)的概率值可得分布列，最后由分布列可得利潤的期望值.【題目詳解】（1）設(shè)從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，至少有一件合格為事件，設(shè)從，生產(chǎn)線上抽到合格品分別為事件，，則，互為獨立事件由已知有，則解得，則的最小值（2）由（1）知，生產(chǎn)線的合格率分別為和，即不合格率分別為和.①設(shè)從，生產(chǎn)線上各抽檢件產(chǎn)品，抽到不合格產(chǎn)品件數(shù)分別為，，則有，，所以，生產(chǎn)線上挽回損失的平均數(shù)分別為：，所以生產(chǎn)線上挽回的損失較多.②由已知得的可能取值為，，，用樣本估計總體，則有，，所以的分布列為所以（元）故估算估算該廠產(chǎn)量件時利潤的期望值為（元）【答案點睛】本題主要考查概率公式的應(yīng)用，二項分布的性質(zhì)與方差的求解，離散型隨機變量及其分布列的求解等知識，意在考查學生的轉(zhuǎn)化能力和計算求解能力.20．（1）（2）.【答案解析】

（1）根據(jù)，由向量，的坐標直接計算即得；（2）先求出，再根據(jù)向量平行的坐標關(guān)系解得.【題目詳解】（1）由題，向量，，則.（2），.，，整理得，化簡得，即，，，，即.【答案點睛】本題考查平面向量的坐標運算，以及向量平行，是?？碱}型.21．t＝1【答案解析】

把變形為結(jié)合基本不等式進行求解.【題目詳解】因為即，當且僅當，，時，上述等號成立，所以，即，又x，y，z＞0，所以xyzt＝1．【答案點睛】本題主要考查基本不等式的應(yīng)用，利用基本不等式求解最值時要注意轉(zhuǎn)化為適用形式，同時要關(guān)注不等號是否成立，側(cè)重考查數(shù)學運算的核心素養(yǎng).22．(1)見解析(2)【答案解析】試題分析：（1）第（1）問，轉(zhuǎn)化成證明平面,再轉(zhuǎn)化成證明和.(2)第（2）問，先利用幾何法找到與平面所成角，再根據(jù)與平面所成角的正弦值為求出再建立空間直角坐標系，求出二面角的余弦值.試題解析：（1）連接,因為四邊形為菱形，所以.因為平面平面，平面平面，平面，，所以平面.又平面，所以.因為，所以.因為，所以平面.因為分別為，的中點，所以，所以平面（2）設(shè)，由（1）得平面.由，，