高數(shù)分階精講精練上講義

高等數(shù)學（上）分階精講精練講義主講：楊超概 第一章函數(shù)極限連 第二章一元函數(shù)微分 第三章一元函數(shù)積分 第四章常微分方程與差分方 三、：微

方程

積 分

學

第一章函數(shù)極限連續(xù)一、考綱要求

§1.1二、考點精講1、定義：稱f：DR為一個函數(shù)（其中DRn②當n2DN2、函數(shù)的二要素：D（Df；②對應法則注1：定義域是集合，不要寫成不等式（最好將其寫成區(qū)間或區(qū)間的并注2：二要素的用途：①函數(shù)與符號無關(guān)：②用于判斷兩個函數(shù)是否為同一3、1yf2F（x，yyf注1：相關(guān)結(jié)論（隱函數(shù)存在定理：F(x,y)P0(x0y0的某鄰域內(nèi)具f(x0y00Fy(x0y00F(x，y)0P0的某領(lǐng)域內(nèi)恒能確定唯一的一個具有連續(xù)導數(shù)（或偏導數(shù)）yf(Xy0f(x0注2：相關(guān)方法（隱函數(shù)求導法：在等式兩邊求導數(shù)（或偏導數(shù)3yf(uu(x)yf注：DfR，具體判斷時，可以將u(xyf(uyf((x再看其定義域是否為空集。若空，則不4、反函數(shù)：yf(x的逆 （即yf(x)xf1(y)yf1(x)）注：并非任意一個函數(shù)都有反函數(shù)，當且僅當yf(x)一一對應時才有反函數(shù)。相關(guān)結(jié)論（反函數(shù)存在定理：yf(x連續(xù)，單增（減，則其反函數(shù)存在，且連yf(x與反函數(shù)yf1(xxoyyx對稱。t5f(xlimF（x,t（x有關(guān)而與t無關(guān)t6yfDf'Df（在做題過程中，一定要注意避免導函數(shù)定義域的擴大7、變限積分函數(shù)：

(aa

f(t)dt；

2((

f(x,x相關(guān)結(jié)論：①若f(x)在[a,b]上可積，則a f(t)dt在[a,b]上連續(xù)；②若在[a,b]連續(xù)，則F(x)xf(t)dt在區(qū)間[a,b]中可導，且dxf(t)dtf(x)x dx（f(txf(t連續(xù)推論f(x在[ab上連續(xù)，(x)在[ab可導，則dx)f(t)dtf((x))dxx8、參數(shù)方程y

,（t為參數(shù) 相關(guān)方法（參數(shù)方程求導法 xr結(jié)論（直角坐標與極坐標的關(guān)系yrsin

rx2x2 相關(guān)結(jié)論（計算二重積分Df(xy)dxdyD1f(rcosrsinl、單調(diào)性：①若x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1)f(x2f(x)在(a,b上單調(diào)遞增（或單調(diào)遞減x1x2abx1x2f(x1f(x2)(或f(x1f(x2f(x)在(ab上單調(diào)不減（或單調(diào)不增）相關(guān)結(jié)論：f(x單調(diào)不減（不增）f(x)0(f(x)f(x單調(diào)遞增（遞減）f(x)0(f(x)0)f(x)02、有界性：Mf(xM,(xDf(xmf(x)m,(xD)f(xf(xff(xM，使f(x) 局部有界；③有界是可積的必要條件（即：可積一定有界，反之不然3、奇偶性：f(xf(xf(xf(xf(xf(x為奇函數(shù)；奇函數(shù)與奇函數(shù)、偶函數(shù)與偶函數(shù)的乘積為偶函數(shù)；③在(a,a)上有定義的任f(xf(xf(xf(xa相關(guān)結(jié)論：f(x為可積的奇函數(shù)，則af(x)dx0a f(x為可積的偶函數(shù)，則af(x)dx20f(x)dx ③若f(x)為一般可積函數(shù)，則af(x)dx0[f(xf(x)]dx。 4、周期性：若T0f(xTf(xf(x是以T結(jié)論：若Tf(x的周期，那么kTf(x的周期（k0）T為周期的連續(xù)函數(shù)，則

f(x)dx

f ⑴水平漸進線：

f(xc1yc1f(xf(x)c2yc2f(x⑵垂直漸進線：0000

f(x)xx0f(xf(x)xx0f(xf a,(a0)且lim[f(x)ax]b，則yaxb

limf(x)aa0limf(xaxbyax

注：斜漸近線最多有兩條，并且如果在（或）方向有水平漸近線，那么在該方向就不會有斜漸近線。（即：同一函數(shù)的水平漸近線和斜漸近線最多有2）相關(guān)結(jié)論：fx)0,(x(a,bf(x(ab為凹（上凹／下凸）fx0,(x(a,bf(x(ab為凸（下凹／上凸）的。注：l、基本初等函數(shù)及其性質(zhì)（1）常函數(shù)ycD性質(zhì)：①不增不減；②有界；|f(x||c|M平漸近線yc；⑥沒有凹凸性（2）冪函數(shù)yx注：①定義域與有關(guān)；②性質(zhì)一般也與（3）指數(shù)函數(shù)yax(a0且a1)(xRyaa三角函數(shù)10正弦函數(shù):ysinx；20ycos 40余切函數(shù):ycot 60余割函數(shù):ycsc [1,1],R[, 220yarccosx,(Df1,1Rf0, (,),R(, 240yarcotx,(Df,Rf0,1：反三角函數(shù)不是三角函數(shù)的反函數(shù)（yarcsinxysinx的反函數(shù)；2：必須嚴格屬于上述六類函數(shù)之一，才屬于基本初等函數(shù)。ysin2xyxxx

!5LL(Q)R(QQQ

三、實用題型及例題分類2x,xg(xx2x0

x2,xf(xxx0gf(x（ 2 2 （A）2 x （B）2 x 2 2x2,x （C）2 x （D）2x,x f(lnx)

ln(1 ，計算ff(x)

xsinxecosx,x是（ f(x）x.tanx.esinxf(x是（ 函數(shù)f(x) 在下列哪個區(qū)間內(nèi)有界（x(x1)(x （B） （D）(2,f(xF(xf(x的原函數(shù)，則（F(xf(x的一個原函數(shù)，MNMN”,則必有（）F(x)是偶函數(shù)f(x)是奇函 （B）F(x)是奇函數(shù)f(x)是偶函6.f(xyf(x，yf(x的圖形為（F(x)是周期函數(shù)6.f(xyf(x，yf(x的圖形為（f(x在（）內(nèi)連續(xù)，其導函數(shù)的圖形，則f(x)有（）設f(x)，g(x) 于零的可導函數(shù)，且f(x)g(x)f(x)g(x)0,則當ax時，有（（A）f(x)g(b)f （B）f(x)g(a)f(a)g(x)f(x)g(x)f （D）f(x)g(x)ff(x在區(qū)間(1,1f(xf(1f(11,則（（A）在(1,1)和(1,1內(nèi)均有f(x)（B）在(1,1)和(1,1f(x（C）在(1,1)f(xx在(1,1f(x在(1,1內(nèi)f(xx在(1,1內(nèi)f(x)f(xf(0)0,則存在0f(x)在(0,)內(nèi)單調(diào)增 （B）f(x)在(,0)內(nèi)單調(diào)減（C）對任意的x(0,)有f(x)f （D）對任意的x(,0)有f(x)f tf(x是周期為2的連續(xù)函數(shù)，證明G(x)0[2f(t是周期為2

f一、考綱要求

§1.2極限二、考點精講1：不能離開自變量的變化過程談函數(shù)的極限1：對于數(shù)列anA為一個常數(shù)，若0N,使當nN時，有|anA|則稱在naA為極限，記作lima x定義2：對于函數(shù)yf(x)，設A為一個常數(shù)，若0，X，使當x |f(xA|

f(x)3：yf(x)A為一個常數(shù)，若0X1xX1|f(xA|

f(x)4：yf(x)A為一個常數(shù)，若0X2，使當|x|X2|f(xA|，則稱

f(x)5：yf(xA為一個常數(shù)，若0，0，使當0|xx0|時，有|f(xA|x

f(x)時，有|f(xA|，則稱limf(x)0x0時，有|f(xA|xx0

f(x)x

f(x)Af(x)Axx0

f(x)Af(xAxx0

f(x)f(x)3（

f(x)A為例）x0附近的y值全部落在寬為21、唯一性定理：若limf(x2、局部有界性定理：若limf(xf(x3、局部保號性定理若

f(x)A()0f(x)(0)0推論：若limf(x存在，且f(x)(0)0在局部成立，則limf(x)()

1、四則運算：若limf(x)Alimg(x)B則lim[f(xg(x)]A limf(xg(xABlim[f(x)AB x[] 推論：①若limf(x與lim[f(xg(x均存在，則limg(x x②若limf(x與limf(xg(x均存在，且limf(x)0則limg(x x注：①若limf(xlimg(x不存在，則limf(xg(x x ②若limf(x與limg(x均不存在，則limf(xg(xx x ③若limf(x與limf(xg(x均存在，且limf(x)0則limg(xx x2、復合運算法則：yf(u在u點連續(xù)(ulimg(x)), xx

f[g(x)]f(u0)f[limx1、單調(diào)有界準則（原理）：單調(diào)有界數(shù)列必2 準則（原理：若f(x)f(x)f(x)在局部成立，且limf(x)A1limf2x)A，則limf(x 注

x[]①limsinx ②lim(11)xe 1、基本形式：

3、洛必達法則：定理1x

f(x)0limg(x)0，x

f'①f(x)與g(x)在局部可導 ②lim （Axg則limf(x)limf' x口 x口g'定理2：若x

f(x)limg(x)x

f'①f(x)與g(x)在局部可導 ②lim （Axg則limf(x)limf' x口 x口g'(x) 1：

型 2：當分子分母在局部不可導時不能用洛必達法則（特別地對于數(shù)列極限不能直接用f'注3：當lim xg注4：對其它未定型極限應先化成

型 10對于0

0型（型20對于

0

0（型 30對于1型、00型、0型對數(shù)恒等 lim[f(x)]g(x)elimg(x)lnf(

0型（型 x

5：在使用洛必達法則的過程中應盡可能地與代數(shù)變形、變量代（替）換、重要1、概念：若limf(x0f(xx時為無窮小（量若limf(xf(xx時為無窮大（量注1：無窮大（?。┝渴侵敢蜃兞坎皇亲宰?：不能離開自變量的變化過程談無窮小與無窮大注3：無窮大量一定是變量（函數(shù)反之不然2、性質(zhì)：在自變量同一變化過程中，有：1、看限個無窮大量的和、差、商未必是無窮大量（但積例外。2、無窮個無窮小量的和差積商未必是無窮小量。3f(x0g(x①若

f0f(xg(x)f

x[]②若limf(x)，則稱f(xg(x)③若limf(x)c(c0)f(xg(xx[]f④若x[]

1f(xg(x

f(x)~4、幾個與無窮小量相關(guān)的結(jié)論limf(xAf(xA(x，其中(x為無窮小量（x f 推論1若 A，且lim 0，則limf( f推論2若 B0，且limf(x)0,則limf yf(x連續(xù)y為無窮小量（x0）yf(xxf f(x)，

g

則

f(x)limf1，x xg1 1．等價無窮小代換的實質(zhì)是分子分母同除以等價的函12注3.當x0時，常見的等價無窮小量有：sin x，arcsin x，tan x12arctan x，ln(1 x，ex x，1cos

，(1

f(xxx0f(x00，則

是與x00f(xxx0可導，則ydyxx是比x0（八）用極限考查曲線的漸近線（見 中漸近性的有關(guān)內(nèi)容三、實用題型及例題歸類“對任意給定的0,1)N，當nNxna2”是數(shù)列xn收斂于a的（） x，總有(x)f(x)g(x)，且lim[g(x(x0則limf(x)（ 設{an}，{bn}，{cn}均為非負數(shù)，且liman0，limbn 則必有（ （A）anbn對任意n成 （B）bncn對任意n成 x2x1ex1的極限） （B）等于5．下列各式中正確的是（（A）lim(11)x（B）lim(11)x 1)x （D）x1x xx0

是（x 方法一利用四則運算法則求x2x2

3x1 x2x11limlg100x方法三利用左右極限求 2e sinxx求x0 x1x1x f(x

12

x(3x2 5x limx x2設a為非零常數(shù)，lim(xa)xe2a，則a xx1lim(tanx)cosxsinx方法五利用準則(3x2 lim

5x x設函數(shù)s(x) |cost|dtx（1）nnxn1)時，證明2nS(x2(n1)（2）求 3sinxx2cos limxln(1x01cos1cos[xff(x連續(xù)，且

1則f(0) x0(ex21)f計算

ex2e22coslimxlnlim[sinxsin(sinx)]sin lim(1cosx)xln(1tan sin4 x0sin2

cos2 x2ln11xlimx

exe2x...enx xxaxbsin )sintsinxtxsinx方法八利用公式1、求極限limcotx 12、求極限

xxsinx0x2ex3、求極限limcosxe 方法九利用導數(shù)定義求f(xx0f(0)0，求

f(tx)fx設a2， 1(a1)，（n1,2,...),證明lima存在并求出其值n nn①證明：對任意的正整數(shù)n，都有 ln(11)1成立 ②設an1

ln

n (n )數(shù)列an收斂 1cosn11cosn1cosn

...nn sin sin求 n nnn n

sinn 題型四比較無窮小的階f(x2x3x2x0（A）f(x)與x是等價無窮小 （B）f(x)與x是同階但非等價無窮小（C）f(x)是比x較高階的無窮小 （D）f(x)是比x較低階的無窮小11（A）

1cosxx

（D）xtan1 x（A）1e （B） 1 x

x0

2dt，

2x0 tdt，x

xsin (A),, (B),, (C),,. (D),limxax9，求常數(shù)xxf(x在(,可導，且

f(x)elimxc)xlim[f(xf(x1，求cxx ln(1x)(axbx2設

25（A）a1,b2（C）a0,bsin

（B）a0,b（D）a1,b若x0ex

(cosxb)5,則a ，b 3確定常數(shù)a,b,c的值，使limaxsin c,c 3xln1

x0f(x3sinxsin3x與是cxk等價無窮小，則（（A）k1,c （B）k1,c（C）k3,c （D）k3,c1題型六曲線的漸近1x0yxx 注：本題正確答案為Asinlimxsin1 xt1limsint x

xt yx

y

x2

一、考綱要求

§1.3連續(xù)二、考點精講1、點連續(xù)的定義：定義1：若x定義2：若00

f(x)f(x0f(xx0f(xx0f(xf(x0f(xx0limf(xf(x0f(xx000 （2）limy0（其中yf(x0xf（xx

f(xf(xx0

f(x存在，值

f(x)f(x0特例1：可去間斷點——左右極限都存在且相等的間斷點特例2：跳躍間斷點——左右極限都存在且不等的間斷1：無窮間斷點——左右極限中至少有一個為無窮大特例2：振蕩間斷點——左右極限至少有一個振蕩l：f(x在(a,bf(x在(a,b2：f(x在(a,bxaf(x在[a,b連續(xù)3：f(x在(a,bxbf(x在(a,bl、最值定理：f(x在[a,bf(x在[a,b2、有界性定理：f(x在[a,bf(x)在[a,b３、介值定理：f(x在[a,bMmax{f(xmminf 則[mM]，必存在[abf()1：介值定理和積分中值定理中存在的[ab，而微分中值定理中的a4、零點定理：f(x在[a,bf(af(b0f(x在(a,b中至少存在一個1f(x)0xx0f(x（三、實用題型及例題歸類

f(x)sin

在x0處連續(xù)，則常數(shù)a與b應滿足的關(guān)系 x題型二函數(shù)的連續(xù)性與可導|xsin1,x|x已知函數(shù)f(x) ，則f(x)在點x0處（ x（A）極限不存在．（B）極限存在但不連續(xù)．（C）連續(xù)但不可導．（D）f

x0g(xf(xx0（ x f(x),x

題型三函數(shù)的間斷xx設F(x) 其中f(x)在x0處可導，f'(0)0，f(0)f(0),xx0F(x的（ f(),x設f(x)在(,)內(nèi)有定義，且limf(x)a,g(x) ,x則（A)x0g(x)的第一類間斷點．(B)x0g(x)x0g(x)x

g(x)x0處的連續(xù)性與af(xsinx的可去間斷點的個數(shù)為（ 個f(x)1

xtan(x4在區(qū)間(0,2f(x

ln(1ax3xarcsin6eaxx2axx

xxx x af(xx0ax0f(x題型四關(guān)于f(x在[a，bacdbk1k20[abf(x在[abg(x)0 [abaf(x)g(x)dxf()af(x在閉區(qū)間[ab上連續(xù)，則至少存在一點[abb得af(x)dxf()(bbf(x在(abx1x2xn(a,b(abf()1[f(x)f(x)f(x)] 且f(x)1。證明在(0,1)x使f(x)x.f(x在[0,1上連續(xù)，在(0,1f(0)0,f(1)證明：存在0,1)f(1證明方程xasinxb(a0b0至少有一個不大于abf(x在閉區(qū)間[abf(x)0,xf(t)dt dt0在開區(qū)間(ab內(nèi)的根有 bf 證明方程lnx

1cos2xdx在區(qū)間(0,)當af(x2x39x212xa恰有兩個不同的零點（ 若3a25b0x52ax33bx4c0（ 1（C）有三個不同實根 注：4、5題，老師沒有講，請同學自己動手做一下，答案都是B.1設當x0時，方程kx 1有且僅有一個解，求k的取值范圍第二章一元函數(shù)微分學一、考綱要求

§2.1導數(shù)與二、考點概述與解1（1）f

)

f(x0x)f(x0f

)

f(x)f(x0x0

f(x0xf(x0f(xx 左導數(shù)：f(x)limf(x0xf(x0)（此極限存在稱為左可導 右導數(shù)：f(x) f(x0x)f(x0)（此極限存在稱為右可導 f(xxx0f(xxx0f(x0)f(x02、導函數(shù)：f(x

f(x0x)f(x0 3f(x)在ab可導：f(x)在ab內(nèi)每一點都可②f(x)在a,b可導：f(x)在a,b內(nèi)每一點都可導， f(x在(a,bf(x在(a,bf(bf(x在[abf(x在(a,bf(af(b4、導數(shù)的實際意f(x0k注：f(xxx0yf(xxx0物理意義s(t0(t0(t0a(t0經(jīng)濟意義：導數(shù)濟量f(x0)的絕對增加量。5、可導與連續(xù)的關(guān)系注：函數(shù)f(x)xx0處連續(xù)，但不可導。1、用定義求導2、用公式求導（1）四則運算求導公式：(fg)fg;(fg)fg ffgfg g（2）f[(x)])f[(x（3）反函數(shù)求導公式：[f1(x)]

10(c) 20(x)x 30(ax)axha40(logx) ;

70(tanx)sec2x 80(cotx)csc2 90(secx)secxtan11100(cscx)cscxcot 110(arcsinx) 120(arccosx11130(arctanx) 1

140(arccotx) 1 x5、參數(shù)方程求導法dx(t)h(t，其中y注1：參數(shù)方程求導數(shù)的最終結(jié)果允許用參數(shù)t注2：對參數(shù)方程求二階導數(shù)時，千萬不可將(t),(t)對t分別求二階導數(shù)后進行比值d2 dh(t) ] [h(t)] dx 6、積分函數(shù)求導法dxaf(t)dtf

注：使用上述公式的前提條件是ft是連續(xù)函數(shù)，且被積函數(shù)中不含xdx2：d

2(

f(t)dtf[(x)](x)f[(x)]1d ( 1d x x g(x)f(t)dt f(t)dtg(x)f

dx 7、高階導數(shù)的計算法

10c(n)0,(n

20(xm)(n)

m30(sinx)(n)sm(xn2

xmn,m40(cosx)(n)cos(xn 2 50(ax)(n)axlnn

60(ln

(1)n1(nn70（萊布尼茨公式）[f(xg(x)](n)Ckf(x)(kk01設yf(x0xf(x0，若存在常數(shù)A，使得yAxo(x),f0xx0Axf(xxx0點的微分，記作dy|xx0，dy|xxAx.01：微分dy|xx0也稱為y2：若x0，則ydy|xxo是xf(x00時，dy|x0是xf(x00dy|xx是x002ay|xxf(x0)xf(x003、可微與可導、連續(xù)、有極限間等概念之間的關(guān)系： 4.xf(u)du（無論u是自變量還是中間變量）5、微分的四則運算法則：d[f(x)g(x)]df(x)d[f(x).g(x)]g(x)df(x)fdf(x)g(x)df(x)f g2三、實用題型及例題歸類x2f(x)2f(x3已知f(x)在x0處可導，且f(0)0,則lim （A）2f' （B）f' （C）f' （D）設函數(shù)f(x)(ex1)(e2x (enxn)，其中n為正整數(shù)，則f'(0) （A）(1)n1(n （B）(1)n(n （C） （D）(1)nf(xxa（ 1fa存 Blimf(a2h)f(aAlimhf h h Climf(ah)f(ah)存 Dlimf(a)f(ah)存 f(0)0f(xx0可導的充要條件為（Alim1f(1cosh)存在 (B)lim1f(1eh)存在h0Climh0

f(hsinh

h0(Dlim1f(2hf(hh0f(h2設函數(shù)f(x)在x0處連續(xù)，且lim 1，則（ f(0)0且f(0)存 (B)f(0)1且f(0)存(C)f(0)0且f(0)存 Df(0)1且f(0)存f(xx0處連續(xù)，下列命題錯誤的是（f若

f(0)若

f(x)fx

f(0)若若

f(xf(0xf(xf(xf(0xf(xxa處可導，則函數(shù)|f(x|xa處不可導的充分條件是（f(a0f(a(Cf(a0且f(a

f(a0且f(a(D)f(a)0且f(a)f(xf(x，且在(,0f(x0f(x0f(x在內(nèi)有（f(x)0,f(x) (B)f(x)0,f(x)(C)f(x)0,f(x) (D)f(x)0,f(x)f(xx2x2|x3x|的不可導點的個數(shù)是（ f(x3x3x2|x|,f(n0存在的最高階數(shù)n為（ yy

xx

，則y 22x32x3設f(x)

若x

)g(0)1,g(0)1.（1）求f f(x)在(,)上的連續(xù)性函數(shù)yy(x)由方程sin(x2y2)exxy20所確定，則dy f(x連續(xù)，則dxtf(x2t2dt（dx (B)xf(x2

2xf(x2x12t

2xf(x2

d2設函數(shù)yy(x)由參數(shù)方程 12lnt (t1)所確定，求dx2 ufxf(xf(x)]2，則當n2正整數(shù)時，fxn階導數(shù)f(nx是（） (C)[f (D)n![f112x

，則y(n)(0) f(x)x2ln(1xx0處的nf(n0)(n設yf(lnx)ef(x)，其中f可微，則dy ysinf(x2其中f

一、考綱要求

§2.2中值定理二、考點概述與解讀（一）費馬引理：x0f(xf(x0（二）羅爾中值定理：f(x在[a，b]上連續(xù)，在(a,bf(a)f(b)(a,bf()該定理的逆否fx0在a,b內(nèi)沒有實fx0，則fx0a,b上至多只有一個實根推廣fx0在a,b內(nèi)有且m個實根，則fx0在a,bm1個根例：求方程2xx21根的個數(shù)（三）拉格朗日中值定理：f(x在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，則(a,b使f()f(bf(a)b（四）柯西中值定理：f(xg(x在[ab上連續(xù)，在(abx(a,bg(x0，則(a,b)f(bf(a)f(g(b)

g(（五）中值定理：設f(x)在a的某個鄰域u(a)內(nèi)有直到n1接導數(shù)，則x存在介于ax之間的點f(x)f(a)f(a)(xa)f(a)(xa)2f(n)(a)(xa)n

f(n1)(

(n

(x

f(x（六）f(x在[abf(a三、實用題型及例題歸類

f(b，則(a,bf(使得（）f(b)f(a)f()(ba),af(b)f(x1)f()(bx1),x1f(x2)f(x1)f()(x2x1),x1x2f(x2)f(a)f()(x2a),ax2f(x在閉區(qū)間[ab上有定義，在開區(qū)間(ab內(nèi)可導，則（（A）f(a)f(b)0時，存在(a,b),f()（B）對任何(a,b),有l(wèi)im[f(xf(（C）f(a)f(b時，存在(a,bf(（D）存在(a,b，使f(bf(a)f()(by2x的麥克勞林公式中xn項的系數(shù) 題型二關(guān)于（一）僅含一階導數(shù)的等式問b1.（改進的積分中值定理）f(x在[ab連續(xù)求證(a,b，使得af(x)f()(bb設f(x)在[a,b]上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)可導， bf(x)dxfba求證：在(ab內(nèi)至少存在一點f(f(x在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)f(0f(1f(23f(3)1.求證：必存在(0,3f(f(xg(x在[ab連續(xù)，在(abf(a)f(b)0g(x)(a,bf()g()f()g(1f(x在[0,1f(1)22xf0求證：存在(0,1f(f(212f(x在[0,1]上連續(xù)，在(0,1f(133e1xf0證明：至少存在一點(0,1)，使得f()2f(f(x在[0,1上連續(xù)，在(0,1f(0)1

f(1)0，1f(f((2（2）對任意實數(shù)，必存在(0,f(f( f(x)dx0 f(xcosxdx0.,試證：在(0,內(nèi)至少存在兩個不同的點1,2f(1)f(2f(x)在[ab上連續(xù)，在(abbf(b)af證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點使 b

f()f(f(x在ab上連續(xù)，在(abf(xf()eb試證：存在，(a,b)

f）

ba

f2x（1）在(a,bf(x)

x在(a,b內(nèi)存在點

b2 2baf

f(在(a,b內(nèi)存在與（2）中相異的點f()(b2a22bfaf(x在[0,1]上連續(xù)，在(0,1f(0)0,f(11．存在(0,1使得f()1；（二）含有高階導數(shù)的等式問f(x在[0,3]上連續(xù)，在(0,3)22f(0)0f(x)dxf(2)f(3)2f(x在區(qū)間[aa](a0)f(0)證明在[aa上至少存在一點使a3f()3af一、考綱要求

§2.3導數(shù)的應（f(x)0f(xf(x0f(x是凸的二、考點概述與解讀1、求切線與法線：yf(x0f(x0xx00 法線：yf(x) (xx),(f(x)0 f(x02、求邊際與彈性 邊際：Mydx

彈性：xy2：特殊規(guī)定：需求彈性|xdyy3、判斷函數(shù)的單調(diào)性1、x(a,b)時，f(x)0(0),則f(x)在(b內(nèi)單調(diào)不減（不增）2、x(a,bf(x0(0),f(x0f(x(0,b內(nèi)單調(diào)遞增（遞減4、證明不等方法一、直接使用中值定理；方法二、利用單調(diào)性；方法三、利用極值或最值； 5、證明恒等式定理：f(x可導，則f(x)cf(x6、求極值（點）與最值（點：f(x00x0f(xf(x00x0f(x的極大值注：當fx0時，f(x)的極值點須另行判定。2（極值存在的一階充分條件）x0f(xf(xx0點當f(xx0的左右鄰域內(nèi)不變號時，則x0不是f(x)的極值點7、曲線的凹凸性及其拐凸yf(x的上方。 1：凹凸性是一個整體概念，而不是局部概念，只能在某個區(qū)間研 2：拐點是曲線上的點，由兩個坐標組成，不能只寫橫坐標（注意填空題結(jié)論：10x(a,bf(x0(0)yf(x在（0，b）內(nèi)為凹（凸020f(x具有二階連續(xù)導數(shù)，且(x,f(x0yf(x的拐點，則f(x0030f(x0f(x0，則(x,f(xyf(x 8、作出函數(shù)的圖像：步驟1：f(x)的幾何特性10f(x)的定義域、周期性、奇偶性（用定義做20f(x)的單調(diào)性，極值點與極值（用導數(shù)做30f(x)的凹凸性及其拐點（用二階導數(shù)做40f(x)的漸近線（用極限做2：列表3：9、研究方程根的存在性及其個數(shù)： f2x0f1 10tantan211fxfx,02 |y 11、求曲率、曲率半徑及曲率圓：（1）曲率：

[1(y)2（3）曲率圓(x)2y)2R2（曲率中心(,)在凹側(cè)的法線上）三、實用題型及例題歸類題型一關(guān)于切線與法線f(x在(,4，又yf(x在點(5f(5處的切線的斜率為（

f(1)f(1x)1,（A）1/x1t2曲線yt3

（B） 在t2處的切線方程 題型 x

（D）f(x在(,F(x0(x2tf(t)dt，試證：若f(x)單調(diào)不增，則F(x)單調(diào)不減．設在[0,1f(x0f(0)、f(1)、f(1)f(0)f(0)f(1)的大小順序是（(A)f(1)f(0)f(1)f(0) (B)f(1)f(1)f(0)/f(0)(C)f(1)f(0)f(1)f(0) (D)f(1)f(0)f(1/)f(0)設x(0,1),證明：(1)(1x)ln2(1x)x2:(2) 1 1 證明：當0ab時bsinb2cosbbasina2cosa。設bae證明ab。設

f(x)1f(x0f(xxf(x在(0,1上具有二階導數(shù)，且滿足條件|f(x|a|f(x|b，其中ab2f(xf(0)0,

f1，則（|xAf(0)f(xAf(0)f(x(C)(0,f(0yf(x(Df(0)f(x(0,f(0yf(xyf(xy2y4y0f(x)Of(x00fx0（ yx1)(x2)2x3)3(x4)4的拐點是（（A（1，0） （B（2，0） （C（3 （D（4，0）xf(x)

0yx1)e

第三章一元函數(shù)積分學§3.1不定積一、考綱要求二、考點概述與解讀1、定義：F(xf(xF(xf(x(二)不定積l、定義：f(xf(x的不定積分，記作f2f(x)dxF(xC（F(x)

f 2df(x)dxf 3、df(x)dxf1f(x)dxf(x) 0dx

kdxkxxdx

1dxlnxCahlnaC(a0a1（特別地exdxexCcosxdxsinx(8)sec2xdxtanxC;(10)secxtanxdxsecxC;

sinxdxcosx(9)csc2xdxcotxcscxcotxdxcscx1 dxarcsinxC; 1 dxarctan1 1lnxdxxlnxxCcotxdxln|sinx|C

tanxdxln|cosx|secxdx secxtan cscxdxln|cscxcotx|

arcsinxa2 x2 1ln|ax| ln|xx2x2a2 ax2x注：ex2,ex2,sinx,tanx, x 1、分解f(x)dx[k1f1(x)k2f2(x)]dxk1f1(x)dxk2f22、換元法f(x)dxg[(x)(x)dxg[(x)]d(x)G[(x)](2x)1 1 2x(2x)1例 dx

dx

dx

dx

1

exe

1

9x

x(1令x(tf(x)dxf[(t)](t)dtG(t)CG[1(x)] 2：使用第二類換元法時常用的變量代換有：根式代換、三角代換，倒代換 arctan 例： a2x2dx；x2(1x2)dx；xx2a23f(x)g(x)dxf(x)dg(x)f(x)g(xg(x)f③對指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)的乘積積分時，將二者中任意一個放在微分號d的后面均可，④當要把f(x)g(x)dx變形成f(x)dgx再使用分部積分時：g(x

exex4、有理函數(shù)積分2x4x3x 5x x例 x3 dx；x23x2；x24x5；x23xdx；x24x dx (x2x2)(x x5、三角函數(shù)有理式積分法：利用萬能代換公式（令t例：sin2xcos2xdx；sin2xcos3xdx

2 sin4

dx；

sinx8cosx2sinx3cos6、簡單無理函數(shù)積分法：——去根號（用三角代換或根式代換三、實用題型及例題§3.2定積分與反常積分一、考綱要求二、考點概述與解讀nbf(x)dx

f()x(max{x1、定義：

02、幾何意義f(x0時，定積分在幾何上代表以區(qū)間[a,bf(x為曲邊的3、定積分的存在性可積（定積分存在）的必要條件：f(x在[a,b可積，則f(x在[a,b可積的充分條件：①閉區(qū)間[a,bf(x在[a,b②閉區(qū)間[a,b]上至多有可列個間斷點的有界函數(shù)一定可積③閉區(qū)間[a,b]上單調(diào)有界函數(shù)一定可積1 af(x)dxaf(u)du（積分的值與積分變量用什么字母表示無關(guān)b②af(x)dxba③af(x)dxa ④線性性[k1f1xk2f2x)]dxk1f1x)dxk2f2 ⑤可加性：bf(x)dxcf(x)dxbfxdx（ 2、估值性f(x在[a,bf(x)0(0)

bfxdx0(0) 1、f(xg(x在[a,bf(x)g(xaf(x)dxa b2f(x在[a,b上可積，且mf(x)M(ba)ma(x)dx(bb 絕對值不等式：bfxdxbf 茲不等式：[bf(x)g(x)dx]2bf2xdxbg2 bb1（改進的積分中值定理f(x在[a,b連續(xù)，則abbaf(x)dxf()(bb 號，則[ab]af(x)g(x)dxf()a 4、變上限積分函數(shù)的連續(xù)性與可導性xf(x在[a,baf(t)dt在[a,b上連續(xù)（變上限積分一定連續(xù)x②若f(x在[a,b連續(xù)，則f(t)dt在[a,b上可導，且x

f(t)dt]fx x1、牛頓一萊布尼茨公式f(x在[a,bF(xf(xbf(x)dxF(b)F(a)F(x) 2、換元積分法：(1)bfa

令xxb af

令xt1a f 1af[(t)]( a 1：對定積分換元時，一般不必還原，但必須同時將積分的上下限改變 2：用換元積分法計算定積分時所做的變量替換在相應的區(qū)間上必須為單調(diào)函數(shù)3bf(x)g(x)dx

f(x)g(x)|b

bgxfxdx（盡量不要寫中問過程aa aa4、奇偶性與周期性的利用af(x在(aa為奇函數(shù)，則af(x)dxf(x在(aa為偶函數(shù)，則af(x)dx2aff(x為一般函數(shù)，則

f(x)dx

f(x)0f

dx [f(x)fa fx是以TaTf(x)dxTf 5、幾個有用的積分公 2f(sinx)dx2f(cos2f(sinx)dx2f(cos 2 f(sinx)dx22f(sinx)dx22f(cos (n1n為偶2sinnxdx2cosnxdx

(n

nl、求平面圖形面 d|f1(y)g1(y)|SDa|f(xg(x)|dx

S1r2b

|(t)|

x（其 ，t

ydx

ybf2x)dxyVdf1y)]2

xk旋轉(zhuǎn)：Vd(kf1y))2c

b3、求已知平行截面面積 的體積：VaSb(dx)24、求平面曲線的弧長：(dx)21f1fx2b11

[r()]2[r()]2[(t)]2(t)]2dt，其中xy5、求旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積：Sb2f 1[f(x)]2ab6、求變力作的功：WaFbb gxfa8f(x

f(x)dxbaab b 1、無窮區(qū)間上的反常積分 f(x)x fbf(x)dxlimbf(x)dx;f(x)dxaf(x)dx f a

注：f(x)dxlimaf2、函數(shù)的反常積分（瑕積分limfxf(x在[a,b連續(xù)，則bf(x)dxlimbf 0

f(x)f(x在(a,b

f(x)dxlim

fxa

若

f(x)，其中c[abf(x在[ac)(c,b] bf(x)dxcf(x)dxbf

bf(x)dxlim[cf(x)dx f3、幾個常見的反常積分

① x

1p,p (a②a

dx1p,p aa0x

,p (a22 0

dx 2

e2dx04、反常積分審斂法1(比較審斂法)：f(xg(x在[a,連續(xù)，且0f(x)g(x) g(x)dx收斂時，

f(x)dx

f(x)dx發(fā)散時， g(x)dx發(fā)p1，使得limxpf(x)A（常數(shù)）f(x)dx

xpf(xB（正數(shù)或無窮）時，f(x)dx發(fā)散a3（極限審斂法2）f(x在(a,b非負、連續(xù)，且

f(x)當p(0,1limxapf(x)A（常數(shù)）bf(x)dx 當p1lim(xapf(x)B（常數(shù)或無窮）bf(x)dx 三、實用題型及例題歸類

(n )n ) ) 12nnnn

(D)2ln2(1

n

(C)211n(1 1lim (ni1j1(ni)(nj

1dx (B)1dx 01x1y2 01x1

1dx

1dx 01x1y2sfxIt0

f s0,t0,I f(xsinx x

xf(x)dx 2

f(x函數(shù)在區(qū)間0,aaxf0等于(曲邊梯形ABCD面積 (B)梯形ABCD 1若f(x) 1f(x)dx，則1

1f 11 1f(x在區(qū)間[1,3]Fxxf(t)dt的圖形為(0xyf(x在區(qū)間[3,2],[2,3]上的圖形分別是直徑為1的上下半圓周，在區(qū)間2,00,2上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周。xF(x)0f(t)dt，則下列結(jié)論正確的是(F(3)3F4(C)F(3)3F4

F(3)5F4(D)F(3)5F41.0

22xxdx 2 2(xsinx)2

xdx 111(11

)2dx 112

2x1dx

21exdx 31 1cos2xdx 1ln17.

dx (2

ln

1e2xdx 02max(1,x2)dx

f(x

，求3f 2ex,x 1x2ff(22f(20及0f(x)dx1如圖，曲線Cyf(x

直線l1與l2分別是曲線C在點(00)與(3,2)處的切線，其交點為(2,4)．設函數(shù)f(x)具有三階連續(xù)導數(shù)，計算定積分3(x2x)f0下列廣義積分收斂的是()(A)lnx

x x

exln

下列結(jié)論中正確的是((

x(x

x(x

0x(x

0x(x x(x

發(fā)散， 收 (D) 收斂， 0x(x x(x 0x( 3.12

2|xx21110

設f(x)連續(xù)，則dxtf(x2t2)dt dxdxsin(xt)2dt dx xg(x)x

f(u)duf(x)

(x2 0x2

g(x)在區(qū)間(0,2)內(nèi)() 3

(x 1x(A)(B)遞 x2x3 1xxf(x

0x

F(x1f(t)dtf(x)

xx2|sintx(If(x是以（II）f(xf(x在(0,f(1)

2 1f(u)dut1f(u)dux1f(u)du，求f(x題型五關(guān)于積分的證明設f(x)、g(x)在區(qū)間[aa](a0)上連續(xù)，g(x)為偶函數(shù)，且f(x)滿足條件f(xf(xA(A af(x)g(x)dxA0(Ⅱ)利用(1)的結(jié)論計算定積分2

sinxarctan

1e tan 設I1 dx,I2 dx，則( 0tan(A)I1>I2 (B)1>I1>I (C)I2>I1 (D)1>I2> (n1, (II)記un

0

(n1,2,，求極限limunsin M

cos4xdx，N 2(sin2xcos4 P2

(x2sin3xcos4x)dx，則有(b(A)NP (B)MP (C)NM (D)PMb設在[abf(x)0,f(x)0,f(x)0

f(x)dx，

f(b)(ba)S1f(af(b)](ba則( (A)S1S2 (B)S2S1 (C)S3S1 (D)S2S3f(xg(x)在[0，1f(x)g(x，則對任何c0,1),( (A)1f(t)dt1 (B)1f(t)dt1 (C)cf(t)dtc (D)cf(t)dtxsin

dtlnxx的范圍為()( (B)(1,/ (C)(/2, (D)(F(xx2esintsintdtF(xx f(xg(x)在[0，1f(0)0f(x)0g(x 證明：對任何a[0,1，有ag(x)f(x)dx1f(x)g(x)dxf f(x在[0，1]上連續(xù)且遞減，證明：當010f(x)dx0f函數(shù)y x

1x1x22

（二）幾何類問題(位于曲線yxex(0x)下方，x軸上方圖形的面積 yx(x1)(2xx20x(x1)(22 0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2 0x(x1)(2x)dx1x(x1)(2 20x(x1)(22C和Cy1(1exyex的圖像，過點(0,1的曲線 和ly．記C1C2與lx所圍圖形的面積為S1xC2C3與ly所圍圖形的面積為S2y．如S1xS2y求曲線C3xy1OC3x (/

Ax2y22xyxAx2旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)yln(1x2上相應于0x12x1求擺線ytsin

一拱(0t2求心形線ra(1cos的全長，其中a0exe曲線y 與直線x0,xt(t0)及y0圍成一曲邊梯形該曲邊梯形繞x(I)求S(t)的值 V tF第四章常微分方程與差分方程§4.1微分方程的概念及一階微分方程一、考綱要求二、考點概述與解讀（一）l.可分離變量的微分方程及其解法：①方程形式： f(x)g(y)或M(x)N(y)dyM(x)N ①方程形式

dy

f(yxy

②求解思路：令u，知yux ux

yp(xy②通解公式：yepx)dx(q(x)epx)dxdxdyP(xyQ(xyn：其中n0,n②求解思路：yndyy1nP(xzy1ndz1nyndydz1n)P(x)z1 ze(1n)P(x)dx((1n)Q(x)e(1n)P(x)xdxy1ne(1n)P(x)dx((1n)Q(x)e(1n)P(x)dxdx ①方程形式：P(x,y)dxQ(x,y)dy0,其 0P(xy)dx0Q(xy)dy 微分方程(1ex)yyex滿足 1的特解 微分方程(y x2y2)dxxdy0(x0)滿足 0的特解 x微分方程cosxyysinx1的通解

2x

y的通解 微分方程(x3xy2)dx(x2yy3)dy0的通解 微分方程xyyy(lnxlny)的通解 y

f(x是方程y2y4y0的一個解，若f(x00f(x00則函f(x yf(xyyesinx0f(x0)0,f(xx (B)某個鄰域內(nèi)單調(diào)減 (D)取得極大y1y2yp(xyq(x)y1y2是該方程的解，y1y2是該方程對應的齊次(A)1, (B)1, (C)2, (D)2, fx，使它滿足f(x2xf(t)dt0fxf(x3xft)dte2xf f(t)

f12x2y