為什么三棱錐體積是三棱柱的三分之一

為什么三棱錐體積是三棱柱的三分之?數(shù)學(xué)教學(xué)研究本公眾號內(nèi)容均由邵勇本?獨創(chuàng)，可以轉(zhuǎn)發(fā)，但轉(zhuǎn)載則需獲得邵勇本?的授權(quán)。每周推送兩到三篇內(nèi)容上有份量的數(shù)學(xué)?章，但在??上?爭做到深?淺出。?分鐘便可讀完，輕松學(xué)數(shù)學(xué)。我們在學(xué)校?都學(xué)習(xí)過棱柱和棱錐這些?體，其中就包括它們體積的計算公式，我們說?個棱錐的體積是同底等?的棱柱的體積的三分之?。這當然是正確的，但是，包括您在內(nèi)的我們，是不是在??問過，為什么就是三分之?？怎么不是?分之?，也不是四分之?呢？或是其他的什么分之?？我就反問過??。雖然看到過做實驗，?如???或??或?，但實驗只能給出?個感性的印象，我們還需要理論證明。我怎么也看不出來這個三分之?是怎么得到的。后來也學(xué)習(xí)了圓錐的體積是同底等?圓柱體積的三分之?。反正這個三分之?也不難記，我們就記住它了。??年過去了，我現(xiàn)在搞懂了，所以，我想在這?把這個三分之?是怎么得來的講給您聽，也許你知道，也許不知道，但相信這其中的奧妙仍然會很吸引?。請您繼續(xù)往下看，不會讓您失望的。我們畫?個三棱柱ABC-DEF，如下圖所?。注意，不要求它是“直”的，即側(cè)棱不?定與底?垂直。更不要求它是的“正”，即底?不?定是正三?形。這樣的三棱柱，它的上、下底?是全等的三?形，并且經(jīng)平移可以互相重疊；它的三個側(cè)?都是平?四邊形。接下來，我們連接DB和DC。于是，D-ABC是?個與三棱柱同底等?的三棱錐。我們要證它的體積是三棱柱體積的三分之?。若可以得證，則三棱錐體積是同底等?三棱柱體積的三分之?這?結(jié)論就成?了。這個結(jié)論是通?的，即不管這個三棱錐是什么樣?，公式都成?。這是因為我們總可以在先有?個三棱錐的情況下，構(gòu)造出?個同底等?的三棱柱，讓這個三棱柱的?條側(cè)棱就是三棱錐的?條側(cè)棱（?如上圖中的AD）。于是，三棱柱ABC-DEF就被分割成了兩部分：三棱錐D-ABC和四棱錐D-CBEF（注意，我們在表??個棱錐時，是把錐頂字母寫在前?，后?畫?短杠，再接著寫表?底?的字母）。接下來，我們連接BF，即四棱錐D-CBEF底?平?四邊形CBEF的對?線。于是，四棱錐D-CBEF可以看成是由兩個三棱錐構(gòu)成的：D-CBF和D-BEF。因為它們有相同?積的底?CBF和BEF，并且等?，所以體積相等。下?只需證明這兩個三棱錐之?與D-ABC體積相等。有兩種?法來證明，都很簡單。?法?，把三棱錐D-BEF寫成B-DEF，就相當于我們以B為頂點以DEF為底?，于是，顯然，三棱錐B-DEF與三棱錐D-ABC因等底等??體積相等。?法?是，把三棱錐D-CBF寫成B-CDF，?B-CDF與B-ACD（即D-ABC）等底等?，體積相等。最終，我們證明了這個三棱柱被分成的三個三棱錐的體積相等，?其中?個就是與三棱柱同底等?的三棱柱，所以，我們最終就證明了?個三棱錐的體積等于同底等?三棱柱的體積的三分之?。最后需要說明，任意棱錐的體積等于同底等?的棱柱的體積的三分之?，是因為我們可以把棱錐分割成?個個的三棱錐。把它們加起來即可。《數(shù)學(xué)?化?叢書》第?、?、三輯書?（叢書介紹中只含每本?冊?的書名，不含作者，我?本?本搜索，查出每本?冊?的作者，我認為作者也很重要，我購書?定要看作者。結(jié)果如下，作者陣容強?。）第?輯：《遙望星空(?)：?類怎樣開始認識太陽系》（齊民友）《遙望星空(?)：?頓·微積分·萬有引?定律的發(fā)現(xiàn)》（李?潛）《?何學(xué)在?明中所扮演的??：紀念陳省?先?的輝煌?何??》(項武義)《圓周率π漫話》（李?潛）《黃?分割漫話》（李?潛）《從趙爽弦圖談起》（李?林）《費馬?定理的證明與啟?》（周明儒）《?戰(zhàn)時期密碼決戰(zhàn)中的數(shù)學(xué)故事》（王善平張奠宙）《數(shù)學(xué)中之類?：?種富有創(chuàng)造性的推理?法》（王培甫）《連分數(shù)與歷法》（徐誠浩）第?輯：《漫話e》（李?潛）《認識博弈的納什均衡》（王則柯）《笛卡?之夢》（李?林）《奇妙的?窮》（李忠）《并不神秘的?歐?何》（李忠）《從歐拉的數(shù)學(xué)直覺談起：紀念偉?數(shù)學(xué)家歐拉誕?300周年》(周明儒)《?近?斯》（周明儒）《對稱與群》（顧沛）《同余式及其應(yīng)?》（徐誠浩）《千古第?定理：勾股定理》（蔡宗熹）第三輯：《從多?體到???》（齊民友）《統(tǒng)計知?妙》（楊虎）《圓錐截線的故事：數(shù)學(xué)與?明的?個重?篇章》(項武義)《堆球的故事》（宗傳明）《開啟航