一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)

一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)xxx公司一元二次不等式及其解法知識(shí)梳理及典型練習(xí)題(含答案)文件編號(hào)：文件日期：修訂次數(shù)：第1.0次更改批準(zhǔn)審核制定方案設(shè)計(jì)，管理制度一元二次不等式及其解法1.一元一次不等式解法任何一個(gè)一元一次不等式經(jīng)過不等式的同解變形后，都可以化為ax＞b(a≠0)的形式.當(dāng)a＞0時(shí)，解集為；當(dāng)a＜0時(shí)，解集為.2.一元二次不等式及其解法(1)我們把只含有一個(gè)未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2的不等式，稱為__________不等式.(2)使某個(gè)一元二次不等式成立的x的值叫做這個(gè)一元二次不等式的解，一元二次不等式所有的解組成的集合叫做一元二次不等式的________.(3)一元二次不等式的解：函數(shù)與不等式Δ＞0Δ＝0Δ＜0二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的圖象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根有兩相異實(shí)根x1，x2(x1＜x2)有兩相等實(shí)根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)無(wú)實(shí)根ax2＋bx＋c＞0(a＞0)的解集①②Rax2＋bx＋c＜0(a＞0)的解集{x|x1＜x＜x2}?③3.分式不等式解法(1)化分式不等式為標(biāo)準(zhǔn)型.方法：移項(xiàng)，通分，右邊化為0，左邊化為eq\f(f（x）,g（x）)的形式.(2)將分式不等式轉(zhuǎn)化為整式不等式求解，如：eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(\f(f（x）,g（x）)＞0))?f(x)g(x)＞0；eq\f(f（x）,g（x）)＜0?f(x)g(x)＜0；eq\f(f（x）,g（x）)≥0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≥0，,g（x）≠0；))eq\f(f（x）,g（x）)≤0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（x）g（x）≤0，,g（x）≠0.))(eq\a\vs4\al(2014·課標(biāo)Ⅰ))已知集合A＝{x|x2－2x－3≥0}，B＝{x|－2≤x＜2}，則A∩B＝()A.[－2，－1] B.[－1，2)C.[－1，1] D.[1，2)解：∵A＝{x|x≥3或x≤－1}，B＝{x|－2≤x＜2}，∴A∩B＝{x|－2≤x≤－1}＝[－2，－1].故選A.設(shè)f(x)＝x2＋bx＋1且f(－1)＝f(3)，則f(x)>0的解集為()A.{x|x∈R} B.{x|x≠1，x∈R}C.{x|x≥1} D.{x|x≤1}解：f(－1)＝1－b＋1＝2－b，f(3)＝9＋3b＋1＝10＋3b，由f(－1)＝f(3)，得2－b＝10＋3b，解出b＝－2，代入原函數(shù)，f(x)>0即x2－2x＋1>0，x的取值范圍是x≠1.故選B.已知－eq\f(1,2)<eq\f(1,x)<2，則x的取值范圍是()A.－2<x<0或0<x<eq\f(1,2) B.－eq\f(1,2)<x<2<－eq\f(1,2)或x>2 <－2或x>eq\f(1,2)解：當(dāng)x>0時(shí)，x>eq\f(1,2)；當(dāng)x<0時(shí)，x<－2.所以x的取值范圍是x<－2或x>eq\f(1,2)，故選D.不等式eq\f(1－2x,x＋1)＞0的解集是.解：不等式eq\f(1－2x,x＋1)>0等價(jià)于(1－2x)(x＋1)＞0，也就是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(x＋1)＜0，所以－1＜x＜eq\f(1,2).故填eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－1＜x＜\f(1,2)，x∈R)).(eq\a\vs4\al(2014·武漢調(diào)研))若一元二次不等式2kx2＋kx－eq\f(3,8)＜0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則k的取值范圍為________.解：顯然k≠0.若k＞0，則只須(2x2＋x)max＜eq\f(3,8k)，解得k∈?；若k＜0，則只須eq\f(3,8k)＜(2x2＋x)min，解得k∈(－3，0).故k的取值范圍是(－3，0).故填(－3，0).類型一一元一次不等式的解法已知關(guān)于x的不等式(a＋b)x＋2a－3b＜0的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，求關(guān)于x的不等式(a－3b)x＋b－2a＞0的解集.解：由(a＋b)x＜3b－2a的解集為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,3)))，得a＋b＞0，且eq\f(3b－2a,a＋b)＝－eq\f(1,3)，從而a＝2b，則a＋b＝3b＞0，即b＞0，將a＝2b代入(a－3b)x＋b－2a＞0，得－bx－3b＞0，x＜－3，故所求解集為(－∞，－3).點(diǎn)撥：一般地，一元一次不等式都可以化為ax＞b(a≠0)的形式.挖掘隱含條件a＋b＞0且eq\f(3b－2a,a＋b)＝－eq\f(1,3)是解本題的關(guān)鍵.解關(guān)于x的不等式：(m2－4)x＜m＋2.解：(1)當(dāng)m2－4＝0即m＝－2或m＝2時(shí)，①當(dāng)m＝－2時(shí)，原不等式的解集為?，不符合②當(dāng)m＝2時(shí)，原不等式的解集為R,符合(2)當(dāng)m2－4＞0即m＜－2或m＞2時(shí)，x＜eq\f(1,m－2).(3)當(dāng)m2－4＜0即－2＜m＜2時(shí)，x＞eq\f(1,m－2).類型二一元二次不等式的解法解下列不等式：(1)x2－7x＋12＞0;(2)－x2－2x＋3≥0；(3)x2－2x＋1＜0;(4)x2－2x＋2＞0.解：(1){x|x＜3或x＞4}.(2){x|－3≤x≤1}.(3)?.(4)因?yàn)棣ぃ?，可得原不等式的解集為R.(eq\a\vs4\al(2013·金華十校聯(lián)考))已知函數(shù)f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－x＋1，x＜0，,x－1，x≥0，))則不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1的解集是()A.{x|－1≤x≤eq\r(2)－1}B.{x|x≤1}C.{x|x≤eq\r(2)－1}D.{x|－eq\r(2)－1≤x≤eq\r(2)－1}解：由題意得不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1等價(jià)于①eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1＜0，,x＋（x＋1）[－（x＋1）＋1]≤1))或②eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＋1≥0，,x＋（x＋1）[（x＋1）－1]≤1，))解不等式組①得x＜－1；解不等式組②得－1≤x≤eq\r(2)－1.故原不等式的解集是{x|x≤eq\r(2)－1}.故選C.類型三二次不等式、二次函數(shù)及二次方程的關(guān)系已知關(guān)于x的不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，求實(shí)數(shù)b，c的值.解：∵不等式x2－bx＋c≤0的解集是{x|－5≤x≤1}，∴x1＝－5，x2＝1是x2－bx＋c＝0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，∴由韋達(dá)定理知eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－5＋1＝b，,－5×1＝c，))∴eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－4，,c＝－5.))已知不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，求不等式cx2－bx＋a＞0的解集.解：∵不等式ax2＋bx＋c＞0的解集為{x|2＜x＜3}，∴a＜0，且2和3是方程ax2＋bx＋c＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(b,a)＝2＋3，,\f(c,a)＝2×3，,a＜0.))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(b＝－5a，,c＝6a，,a＜0.))代入不等式cx2－bx＋a＞0，得6ax2＋5ax＋a>0(a＜0).即6x2＋5x＋1＜0，∴所求不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|－\f(1,2)＜x＜－\f(1,3))).類型四含有參數(shù)的一元二次不等式解關(guān)于x的不等式：mx2－(m＋1)x＋1＜0.解：(1)m＝0時(shí)，不等式為－(x－1)＜0，得x－1＞0，不等式的解集為{x|x＞1}；(2)當(dāng)m≠0時(shí)，不等式為meq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＜0.①當(dāng)m＜0，不等式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＞0，∵eq\f(1,m)＜1，∴不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x＜\f(1,m)或x＞1)).②當(dāng)m＞0，不等式為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,m)))(x－1)＜0.(Ⅰ)若eq\f(1,m)＜1即m＞1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,m)＜x＜1))；(Ⅱ)若eq\f(1,m)＞1即0＜m＜1時(shí)，不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|1＜x＜\f(1,m)))；(Ⅲ)若eq\f(1,m)＝1即m＝1時(shí)，不等式的解集為?.點(diǎn)撥：當(dāng)x2的系數(shù)是參數(shù)時(shí)，首先對(duì)它是否為零進(jìn)行討論，確定其是一次不等式還是二次不等式，即對(duì)m≠0與m＝0進(jìn)行討論，這是第一層次；第二層次：x2的系數(shù)正負(fù)(不等號(hào)方向)的不確定性，對(duì)m＜0與m＞0進(jìn)行討論；第三層次：eq\f(1,m)與1大小的不確定性，對(duì)m＜1、m＞1與m＝1進(jìn)行討論.解關(guān)于x的不等式ax2－2≥2x－ax(a∈R).解：不等式整理為ax2＋(a－2)x－2≥0，當(dāng)a＝0時(shí)，解集為(－∞，－1].當(dāng)a≠0時(shí)，ax2＋(a－2)x－2＝0的兩根為－1，eq\f(2,a)，所以當(dāng)a＞0時(shí)，解集為(－∞，－1]∪eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，＋∞))；當(dāng)－2＜a＜0時(shí)，解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(2,a)，－1))；當(dāng)a＝－2時(shí)，解集為{x|x＝－1}；當(dāng)a＜－2時(shí)，解集為eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－1，\f(2,a))).類型五分式不等式的解法(1)解不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤1.解：eq\f(x－1,2x＋1)≤1?eq\f(x－1,2x＋1)－1≤0?eq\f(－x－2,2x＋1)≤0?eq\f(x＋2,2x＋1)≥0.得{xx＞－eq\f(1,2)或x≤－2}.※(2)不等式eq\f(x－2,x2＋3x＋2)＞0的解集是.解：eq\f(x－2,x2＋3x＋2)＞0?eq\f(x－2,（x＋2）（x＋1）)＞0?(x－2)(x＋2)(x＋1)＞0，數(shù)軸標(biāo)根得{x|－2＜x＜－1或x＞2}，故填{x|－2＜x＜－1或x＞2}.點(diǎn)撥：分式不等式可以先轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單的高次不等式，再利用數(shù)軸標(biāo)根法寫出不等式的解集，如果該不等式有等號(hào)，則要注意分式的分母不能為零.※用“數(shù)軸標(biāo)根法”解不等式的步驟：(1)移項(xiàng)：使得右端為0(注意：一定要保證x的最高次冪的項(xiàng)的系數(shù)為正數(shù)).(2)求根：就是求出不等式所對(duì)應(yīng)的方程的所有根..(3)標(biāo)根：在數(shù)軸上按從左到右(由小到大)依次標(biāo)出各根(不需標(biāo)出準(zhǔn)確位置，只需標(biāo)出相對(duì)位置即可).(4)畫穿根線：從數(shù)軸“最右根”的右上方向左下方畫線，穿過此根，再往左上方穿過“次右根”，一上一下依次穿過各根,“奇穿偶不穿”來(lái)記憶.(5)寫出不等式的解集：若不等號(hào)為“＞”，則取數(shù)軸上方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等號(hào)為“＜”，則取數(shù)軸下方穿根線以內(nèi)的范圍；若不等式中含有“＝”號(hào)，寫解集時(shí)要考慮分母不能為零.(1)若集合A＝{x|－1≤2x＋1≤3}，B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(x－2,x)≤0))，則A∩B＝()A.{x|－1≤x＜0} B.{x|0＜x≤1}C.{x|0≤x≤2} D.{x|0≤x≤1}解：易知A＝{x|－1≤x≤1}，B集合就是不等式組eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x（x－2）≤0，,x≠0))的解集，求出B＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|0＜x≤2))，所以A∩B＝{x|0＜x≤1}.故選B.(2)不等式eq\f(x－1,2x＋1)≤0的解集為()\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)，1))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(－∞，－\f(1,2)))∪[1，＋∞)解：eq\f(x－1,2x＋1)≤0?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（x－1）（2x＋1）≤0，,2x＋1≠0))得－eq\f(1,2)<x≤1.故選A.類型六和一元二次不等式有關(guān)的恒成立問題(1)若不等式x2＋ax＋1≥0對(duì)于一切x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))成立，則a的最小值為()B.－2C.－eq\f(5,2)D.－3解：不等式可化為ax≥－x2－1，由于x∈eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))，∴a≥－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x))).∵f(x)＝eq\b\lc\(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,x)))在eq\b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\co1(0，\f(1,2)))上是減函數(shù)，∴eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－x－\f(1,x)))eq\s\do7(max)＝－eq\f(5,2).∴a≥－eq\f(5,2).(2)已知對(duì)于任意的a∈[－1，1]，函數(shù)f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a的值總大于0，則x的取值范圍是()＜x＜3 ＜1或x＞3＜x＜2 ＜1或x＞2解：記g(a)＝(x－2)a＋x2－4x＋4，a∈[－1，1]，依題意，只須eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(g（1）＞0，,g（－1）＞0))?eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－3x＋2＞0，,x2－5x＋6＞0))?x＜1或x＞3，故選B.點(diǎn)撥：對(duì)于參數(shù)變化的情形，大多利用參變量轉(zhuǎn)換法，即參數(shù)轉(zhuǎn)換為變量；變量轉(zhuǎn)換為參數(shù)，把關(guān)于x的二次不等式轉(zhuǎn)換為關(guān)于a的一次不等式，化繁為簡(jiǎn)，然后再利用一次函數(shù)的單調(diào)性，求出x的取值范圍.對(duì)于滿足|a|≤2的所有實(shí)數(shù)a，求使不等式x2＋ax＋1＞2x＋a成立的x的取值范圍.解：原不等式轉(zhuǎn)化為(x－1)a＋x2－2x＋1＞0，設(shè)f(a)＝(x－1)a＋x2－2x＋1，則f(a)在[－2，2]上恒大于0，故有：eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（－2）＞0，,f（2）＞0))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x2－4x＋3＞0，,x2－1＞0))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＞3或x＜1，,x＞1或x＜－1.))∴x＜－1或x＞3.類型七二次方程根的討論若方程2ax2－x－1＝0在(0，1)內(nèi)有且僅有一解，則a的取值范圍是()<－1 >1C.－1<a<1 ≤a<1解法一：令f(x)＝2ax2－x－1，則f(0)·f(1)＜0，即－1×(2a－2)＜0，解得a＞1.解法二：當(dāng)a＝0時(shí)，x＝－1，不合題意，故排除C，D；當(dāng)a＝－2時(shí)，方程可化為4x2＋x＋1＝0，而Δ＝1－16＜0，無(wú)實(shí)根，故a＝－2不適合，排除A.故選B.1.不等式eq\f(x－2,x＋1)≤0的解集是()A.(－∞，－1)∪(－1，2] B.[－1，2]C.(－∞，－1)∪[2，＋∞) D.(－1，2]解：eq\f(x－2,x＋1)≤0?eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋1))eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－2))≤0，且x≠－1，即x∈(－1，2]，故選D.2.關(guān)于x的不等式(mx－1)(x－2)＞0，若此不等式的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|\f(1,m)＜x＜2))，則m的取值范圍是()＞0 ＜m＜2＞eq\f(1,2) <0解：由不等式的解集形式知m＜0.故選D.3.(eq\a\vs4\al(2013·安徽))已知一元二次不等式f(x)<0的解集為eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－1或x>\f(1,2)))，則f(10x)>0的解集為()A.{x|x<－1或x>lg2} B.{x|－1<x<lg2}C.{x|x>－lg2} D.{x|x<－lg2}解：可設(shè)f(x)＝a(x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))(a<0)，由f(10x)>0可得(10x＋1)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(10x－\f(1,2)))<0，從而10x<eq\f(1,2)，解得x<－lg2，故選D.4.(eq\a\vs4\al(2013·陜西))在如圖所示的銳角三角形空地中，欲建一個(gè)面積不小于300m2的內(nèi)接矩形花園(陰影部分)，則其邊長(zhǎng)x(單位：m)的取值范圍是()A.[15，20] B.[12，25]C.[10，30] D.[20，30]解：設(shè)矩形的另一邊為ym，依題意得eq\f(x,40)＝eq\f(40－y,40)，即y＝40－x，所以x(40－x)≥300，解得10≤x≤30.故選C.5.若關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a>0在(1，4)內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()<－12 >－4>－12 <－4解：關(guān)于x的不等式2x2－8x－4－a＞0在(1，4)內(nèi)有解，即a＜2x2－8x－4在(1，4)內(nèi)有解，令f(x)＝2x2－8x－4＝2(x－2)2－12，當(dāng)x＝2時(shí)，f(x)取最小值f(2)＝－12；當(dāng)x＝4時(shí)，f(4)＝2(4－2)2－12＝－4，所以在(1，4)上，－12≤f(x)＜－4.要使a＜f(x)有解，則a＜－4.故選D.6.若不等式x2－kx＋k－1>0對(duì)x∈(1，2)恒成立，則實(shí)數(shù)k的取值范圍是____________.解：∵x∈(1，2)，∴x－1>0.則x2－kx＋k－1＝(x－1)(x＋1－k)>0，等價(jià)于x＋1－k>0，即k<x＋1恒成立，由于2<x＋1<3，所以只要k≤2即可.故填(－∞，2].7.(eq\a\vs4\al(2014·江蘇))已知函數(shù)f(x)＝x2＋mx－1，若對(duì)于任意x∈[m，m＋1]，都有f(x)＜0成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是________.解：由題可得f(x)＜0對(duì)于x∈[m，m＋1]恒成立，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(f（m）＝2m2－1＜0，,f（m＋1）＝2m2＋3m＜0，))解得－eq\f(\r(2),2)＜m＜0.故填eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(2),2)，0)).