06至浙江省高等數(shù)學(xué)競(jìng)賽工科類試題

2006浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競(jìng)賽試題一、計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1、計(jì)算.解:。2、求解:..3、求解:..4、求過解:令則且與曲面的所有切平面皆垂直的平面方程.,,令所求平面方程為:,在曲面則上取一點(diǎn)上取一點(diǎn),則切平面的法向量為,在曲面,則切平面的法向量為,則.解得:即所求平面方程為:.二、(15分)設(shè),問有幾個(gè)實(shí)根?并說明理由.解:當(dāng),當(dāng),且的增長(zhǎng)速度要比來得快!所以無實(shí)根.三、(滿分20分)求中的系數(shù).解:當(dāng)時(shí),故中的系數(shù)為.四、(20分)計(jì)算,其中是球面與平面的交線.解：而,,,故.五、(20分)設(shè)為非負(fù)實(shí)數(shù),試證:的充分必要條件為.證明：必要性由于,則,.充分性;要證明,不等式顯然成立;,只需證明:,這里,若即只需證明:,而,故只要說明:,即,當(dāng)時(shí),顯然成立;時(shí),也成立,即時(shí),假設(shè)當(dāng)當(dāng);.六、(15分)求最小的實(shí)數(shù),使得滿足解:的連續(xù)函數(shù)都有.,取,顯然,而,取而,顯然,,故最小的實(shí)數(shù).2007浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競(jìng)賽試題(解答)一.計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1、求解:.。2、求解:..3、求的值,使解:.被積函數(shù)是奇函數(shù),要積分為零,當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對(duì)稱,即:,解得:.4、計(jì)算.解:,其中如右圖.5、計(jì)算解:,其中為圓柱面.被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱,二、(20分)設(shè),,求:(1);(2).解:(1),;(2)(圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長(zhǎng)為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，若在軸正向上，求：重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點(diǎn)（1）通過，兩點(diǎn)的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（2）此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點(diǎn)垂直于軸的平面所圍成的立體體積.解::旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點(diǎn)則的坐標(biāo)為：，化簡(jiǎn)得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.四、(20分)求函數(shù)值.,在的最大值、最小解：由于具有輪換對(duì)稱性,令,或解得駐點(diǎn):或?qū)?,在圓周令上,由條件極值得:解得:,,,,,,,,,,;在圓周令上,由條件極值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級(jí)數(shù)數(shù).的系數(shù)滿足,,,求此冪級(jí)數(shù)的和函證明：而,即:一階非齊次線性微分方程---常數(shù)變易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解為:,由于,解得,故的和函數(shù).六、(15分)已知(1)證明:二階可導(dǎo),且,,,.(2)若,證明.證明:(1)要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù),,,故是凹函數(shù),即證.(2),即:.2008浙江省高等數(shù)學(xué)(微積分)競(jìng)賽試題(解答)(一.計(jì)算題1、求解:.。2、計(jì)算解:.。法二：，令。3、設(shè)，求.解:,則，則被積函數(shù)是奇函數(shù),要積分為零,當(dāng)且僅當(dāng)積分區(qū)間對(duì)稱,即:,解得:.4、計(jì)算.解:,其中如右圖.5、計(jì)算解:,其中為圓柱面.被積函數(shù)關(guān)于是奇函數(shù),積分區(qū)域關(guān)于對(duì)稱,二、(20分)設(shè),,求:(1);(2).解:(1),;(2)(圖來說明積分上下).三、(滿分20分)有一張邊長(zhǎng)為的正方形紙(如圖),、分別為、的中點(diǎn)，為的中點(diǎn)，現(xiàn)將紙卷成圓柱形，使與重合，與重合，若在軸正向上，求：重合，并將圓柱垂直放在平面上，且與原點(diǎn)（3）通過，兩點(diǎn)的直線繞軸旋轉(zhuǎn)所得的旋轉(zhuǎn)曲面方程；（4）此旋轉(zhuǎn)曲面、平面和過點(diǎn)垂直于軸的平面所圍成的立體體積.解::旋轉(zhuǎn)曲面上任意取一點(diǎn)則的坐標(biāo)為：，化簡(jiǎn)得：所求的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：，（2），故過垂直軸的平面方程為：令，解得在坐標(biāo)面上的曲線方程為：，圖中所求的旋轉(zhuǎn)體的體積為：.四、(20分)求函數(shù)值.,在的最大值、最小解：由于具有輪換對(duì)稱性,令,或解得駐點(diǎn):或?qū)?,在圓周令上,由條件極值得:解得:,,,,,,,,,,;在圓周令上,由條件極值得:解得:,,,,,,,,,,;,在的最大值為,最小值為.五、(15分)設(shè)冪級(jí)數(shù)數(shù).的系數(shù)滿足,,,求此冪級(jí)數(shù)的和函證明：而,即:一階非齊次線性微分方程---常數(shù)變易法,求的通解:,令代入得:,即:故的通解為:,由于,解得,故的和函數(shù).法二：，同學(xué)們自行完成。六、(15分)已知(3)證明:二階可導(dǎo),且,,,.(4)若,證明.證明:(1)要證明,只需證明,也即說明是凹函數(shù),,,故是凹函數(shù),即證.(2),即:.2009年浙江省高等數(shù)學(xué)（微積分）競(jìng)賽試題一、計(jì)算題（每小題12分，滿分60分）1.求極限解=====2．計(jì)算不定積分解==3．設(shè)，求解=4．設(shè)，，求此曲線的拐點(diǎn)解，，令當(dāng)當(dāng)?shù)脮r(shí)，，時(shí)，，，當(dāng)時(shí)，因此拐點(diǎn)為5．已知極限，求常數(shù)的值解===1于是，由，得另解＝1二、（滿分20分）設(shè)，證明：當(dāng)時(shí)，證設(shè)則由，且，，知當(dāng)時(shí)，。又設(shè)則，所以從而,,不等式得證.三、（滿分20分）設(shè)，求的最小值，故當(dāng)證當(dāng)時(shí)，，，，時(shí)單調(diào)增加；當(dāng)當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)單調(diào)減少；時(shí)，，=。由故得。當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，是的極小值點(diǎn)，又=，故的最小值為四、（滿分20分）=五、（滿分15分）設(shè)，證明：（1）為偶函數(shù)；（2）證（1）（2）=六、（滿分15分）設(shè)為連續(xù)函數(shù)，且，證明在上方程有唯一解證設(shè)則，在上連續(xù)，在，當(dāng)內(nèi)可導(dǎo)，時(shí)，，是方程的解；當(dāng)又時(shí)，，由零點(diǎn)定理，得至少存在一點(diǎn)使，即方程至少有一解。，故在上嚴(yán)格單調(diào)遞增，因此在上方程有唯一解2010浙江省大學(xué)生高等數(shù)競(jìng)賽試題（工科類）一、計(jì)算題（每小題14分，滿分70分）1．求極限2．計(jì)算3．設(shè)為銳角三角形,求的最大值和最小值。4．已知分段光滑的簡(jiǎn)單閉曲線（約當(dāng)曲線）落在平面：上，設(shè)在上圍成的面積為A,求,其中的方向成右手系。5．設(shè)連續(xù)，滿足,求的值。二、（滿分20分）定義數(shù)列如下：，求。三、（滿分20分）設(shè)有圓盤隨著時(shí)間t的變化，圓盤中心沿曲線向空間移動(dòng)，且圓盤面的法向與L的切向一致。若圓盤半徑r(t)隨時(shí)間改變，有，求在時(shí)間段內(nèi)圓盤所掃過的空