高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】《空間向量及其線性運算》【教案匹配版】 課件

空間向量及其線性運算年級：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）主講人：學(xué)校：空間向量及其線性運算年級：高二1高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】《空間向量及其線性運算》【教案匹配版】課件2問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運算嗎？問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面3平面向量的概念空間向量的概念

追問(1)平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.平面向量的概念空間向量的概念4追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？

追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空5平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點)B(終點)a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)acb印刷體：a手寫體：平面向量的表示法空間向量的表示法(1)有6追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.7平面向量的相關(guān)概念

零向量：單位向量：相等向量：相反向量：共線向量：平面向量的相關(guān)概念零向量：單位向8平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念

模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作a＝－b；零向量：單位向量：相等向量：相反向量：平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念模為09平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念

共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念共線10問題2

在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運算.你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？問題2在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的11追問(1)

平面向量的線性運算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算？平面向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘運算.先研究它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律.追問(1)平面向量的線性運算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算？12追問(2)

平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則嗎？追問(2)平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則分13平面向量的線性運算

(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；b平面向量的線性運算(1)加、減運算：求14平面向量的線性運算

實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：平面向量的線性運算15轉(zhuǎn)化平面向量的線性運算空間向量的線性運算ab.Oα轉(zhuǎn)化平面向量的線性運算空間向量的線性運算ab.Oα16平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(1)加、減運算：求兩個空間向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；b平面向量的線性運算空間向量的線性運算(117平面向量的線性運算空間向量的線性運算

實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與空間向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：平面向量的線性運算空間向量的線性運算18追問(3)

平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間向量線性運算的運算律嗎？

追問(3)平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出19平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算(320平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(3)運算律：(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算(321追問(4)

空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異同？追問(4)空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異22平面向量的線性運算空間向量的線性運算

①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.(3)運算律：(3)運算律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算①交23追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb追問(5)如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb24追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，記則a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.追問(5)如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面25一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體對角線所表示的向量.追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以26問題3平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運算是否可以解決空間中的相關(guān)問題呢？問題3平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向27追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件

對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.追問(1)你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對28追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？如右圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.對于直線l上任意一點P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一確定的實數(shù)λ，使得=λa.也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定.追問(1)你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對29追問(2)

任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個向量呢？任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能共面，也可能不共面.ab.Oαcp如何判斷三個向量是否共面呢？

追問(2)任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，30追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有什么關(guān)系？ab.Oαpp＝xa+yb追問(3)你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向31平面向量基本定理

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.平面向量基本定理若向量32追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有什么關(guān)系嗎？ab.Oαp若p在α內(nèi)，則有p＝xa+yb；p若p＝xa+yb，則p在α內(nèi).追問(3)你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向33平面向量基本定理

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.兩個向量a，b不共線，那么向量p與向量a，b共面的充要條件是存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)，使得：

p＝xa+yb.空間向量共面的充要條件ABC平面向量基本定理若向量34問題4

如右圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作射線OA，OB，OC，OD，在四條射線上分別取點E，F(xiàn)，G，H，使.求證：E，F(xiàn)，G，H四點共面.問題4如右圖，已知平行四邊形ABCD，過平面AC外一點O作35追問(1)

如何證明E

，F(xiàn)

，G

，H四點共面？追問(2)

如何證明這三個向量共面？根據(jù)向量共面的充要條件，用表示即可.可以通過證明這四點構(gòu)成的三個向量，如共面，來證明這四點共面.追問(1)如何證明E，F(xiàn)，G，H追問(2)如何證明36追問(3)

如何實現(xiàn)上述表示？把根據(jù)三角形法則，把分別用等向量來表示；再利用已知條件，將它們轉(zhuǎn)化為用

來表示的形式.而由平行四邊形ABCD，得到，從而可以得到的關(guān)系，進一步得到的關(guān)系，最終用表示.追問(3)如何實現(xiàn)上述表示？把根據(jù)三角形法37證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以.因此，因此，共面，即

四點共面.因為，所以證明:因為四邊形ABCD是平行四邊形，所以38

選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量運算得出幾何元素的關(guān)系，是用向量解決立體幾何問題的常用方法.選擇恰當(dāng)?shù)南蛄勘硎締栴}中的幾何元素，通過向量39問題5

回顧本節(jié)課的探究過程，你學(xué)到了什么？1空間向量及線性運算(1)空間向量的概念：定義；表示法；相關(guān)概念.(2)空間向量的線性運算：加、減、數(shù)乘運算及其運算律.(3)線性運算的應(yīng)用：直線的方向向量；向量共面.2類比平面向量的研究方法類比猜想證明或轉(zhuǎn)化推廣問題5回顧本節(jié)課的探究過程，你學(xué)到了什么？1空間向40課后作業(yè)本節(jié)教材P5-P6課后練習(xí)；復(fù)習(xí)平面向量的數(shù)量積運算相關(guān)內(nèi)容.課后作業(yè)本節(jié)教材P5-P6課后練習(xí)；41空間向量及其線性運算年級：高二學(xué)科：數(shù)學(xué)（人教A版）主講人：學(xué)校：空間向量及其線性運算年級：高二42高二【數(shù)學(xué)(人教A版)】《空間向量及其線性運算》【教案匹配版】課件43問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面向量，給出空間向量的概念和線性運算嗎？問題1我們已經(jīng)學(xué)習(xí)過平面向量的概念和線性運算，你能類比平面44平面向量的概念空間向量的概念

追問(1)平面向量是什么？你能類比平面向量給出空間向量的概念嗎？

平面內(nèi)，既有大小又有方向的量，稱為平面向量，平面向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.

空間中，既有大小又有方向的量，稱為空間向量，空間向量的大小叫做向量的長度或模，記作或|a|.平面向量的概念空間向量的概念45追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空間向量的表示嗎？

追問(2)如何表示平面向量？你能類比平面向量的表示，給出空46平面向量的表示法空間向量的表示法

(1)有向線段(1)有向線段A(起點)B(終點)a(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y)(2)字母a，b，c，…(3)坐標(biāo)表示：a＝(x，y，z)acb印刷體：a手寫體：平面向量的表示法空間向量的表示法(1)有47追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.你還記得有哪些嗎？你能把這些概念推廣到空間向量中嗎？追問(3)從平面向量的概念出發(fā)，我們又學(xué)習(xí)了不少新的概念.48平面向量的相關(guān)概念

零向量：單位向量：相等向量：相反向量：共線向量：平面向量的相關(guān)概念零向量：單位向49平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念

模為0的向量，記作

0；零向量的方向任意；模為1的向量；模和方向都相同的兩個向量，記作a＝b；模相同，方向相反的兩個向量，記作a＝－b；零向量：單位向量：相等向量：相反向量：平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念模為050平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念

共線向量：方向相同或相反的兩個非零向量，叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.共線向量：若表示空間向量的有向線段所在直線平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量，記作a∥b；規(guī)定，零向量和任意向量共線.平面向量的相關(guān)概念空間向量的相關(guān)概念共線51問題2

在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的線性運算.你能類比平面向量，研究空間向量的線性運算嗎？問題2在學(xué)習(xí)完平面向量的相關(guān)概念以后，我們研究了平面向量的52追問(1)

平面向量的線性運算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算？平面向量的線性運算有加法、減法和數(shù)乘運算.先研究它們的定義及運算法則，再研究它們的運算律.追問(1)平面向量的線性運算有哪些？我們?nèi)绾窝芯窟@些運算？53追問(2)

平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則分別是什么？你能類比它們得出空間向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則嗎？追問(2)平面向量的加法、減法和數(shù)乘運算的定義及運算法則分54平面向量的線性運算

(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；b平面向量的線性運算(1)加、減運算：求55平面向量的線性運算

實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：平面向量的線性運算56轉(zhuǎn)化平面向量的線性運算空間向量的線性運算ab.Oα轉(zhuǎn)化平面向量的線性運算空間向量的線性運算ab.Oα57平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(1)加、減運算：求兩個空間向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；(1)加、減運算：求兩個平面向量的和與差的運算.法則：三角形和平行四邊形法則；b平面向量的線性運算空間向量的線性運算(158平面向量的線性運算空間向量的線性運算

實數(shù)λ與平面向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：實數(shù)λ與空間向量a的積是一個向量，記作λa，其長度和方向規(guī)定如下：①

|λa|＝|λ||a|；②若λ>0，λa與a的方向相同；

若λ<0，λa與a的方向相反；

若λ＝0，λa＝0.(2)數(shù)乘運算：平面向量的線性運算空間向量的線性運算59追問(3)

平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出空間向量線性運算的運算律嗎？

追問(3)平面向量線性運算的運算律有哪些？你能類比它們得出60平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算(361平面向量的線性運算空間向量的線性運算

(3)運算律：(3)運算律：①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算(362追問(4)

空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異同？追問(4)空間向量線性運算運算律的證明，和平面向量有哪些異63平面向量的線性運算空間向量的線性運算

①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.(3)運算律：(3)運算律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c①交換律：a+b＝b+a；②結(jié)合律：a+(b+c)

＝(a+b)

+c，

λ(μa)＝(λμ)a；③分配律：(λ+μ)a＝λa+

μa，

λ(a+b)＝λa+

λb.平面向量的線性運算空間向量的線性運算①交64追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb追問(5)如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb65追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面體ABCD－A'B'C'D'中，記則a+(b+c)

＝

(a+b

)

+c＝

所以有：a+(b+c)＝(a+b

)

+c.a，b，c.追問(5)如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb在平行六面66一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以任意點O為起點，a，b，c為鄰邊作平行六面體，則a，b，c的和等于以O(shè)為起點的平行六面體對角線所表示的向量.追問(5)

如何證明空間向量的加法結(jié)合律呢？acb一般地，對于三個不共面的向量a，b，c，以67問題3平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向量的線性運算是否可以解決空間中的相關(guān)問題呢？問題3平面向量的線性運算可以解決平面中的很多問題，空間向68追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？平面向量共線的充要條件空間向量共線的充要條件

對任意兩個平面向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.對任意兩個空間向量a，b(b≠0)，a∥b的充要條件是存在實數(shù)λ，使a＝λb

.追問(1)你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對69追問(1)

你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對于空間向量也成立嗎？如右圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量a，我們把與向量a平行的非零向量稱為直線l的方向向量.對于直線l上任意一點P，由向量共線的充要條件可知，存在唯一確定的實數(shù)λ，使得=λa.也就是說，直線可以由其上一點和它的方向向量確定.追問(1)你還記得兩個向量共線的充要條件嗎？這個充要條件對70追問(2)

任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，三個向量呢？任意兩個空間向量總是共面的，但三個空間向量既可能共面，也可能不共面.ab.Oαcp如何判斷三個向量是否共面呢？

追問(2)任意兩個空間向量都可以通過平移，移到同一平面內(nèi)，71追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有什么關(guān)系？ab.Oαpp＝xa+yb追問(3)你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向72平面向量基本定理

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(x，y)

，使得：

p＝xa+yb.平面向量基本定理若向量73追問(3)

你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向量共面有什么關(guān)系嗎？ab.Oαp若p在α內(nèi)，則有p＝xa+yb；p若p＝xa+yb，則p在α內(nèi).追問(3)你還記得平面向量基本定理的內(nèi)容嗎？它和三個空間向74平面向量基本定理

若向量a，b是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，則α內(nèi)任意一個向量p，存在唯一的有序?qū)崝?shù)對(