向量知識(shí)點(diǎn)歸納

向量知識(shí)點(diǎn)的歸納一、知識(shí)梳理：（1）本章要點(diǎn)梳理：1、向量加法的幾何意義：起點(diǎn)相同時(shí)適用平行四邊形法則（對(duì)角線），首尾相接適用“蛇形法則”，特別注意：SKIPIF1<0表示△ABC的邊BC的中線向量。向量減法的幾何意義：起點(diǎn)相同適用三角形法則，（終點(diǎn)連結(jié)而成的向量，指向被減向量），SKIPIF1<0表示A、B兩點(diǎn)間的距離；以SKIPIF1<0、SKIPIF1<0為鄰邊的平行四邊形的兩條對(duì)角線分別表示向量SKIPIF1<0+SKIPIF1<0、SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）?！?、理解單位向量、平行向量、垂直向量的意義。與非零向量SKIPIF1<0同向的單位向量SKIPIF1<0，叫做SKIPIF1<0的單位向量。而SKIPIF1<0都與SKIPIF1<0共線（與SKIPIF1<0反向的單位向量為-SKIPIF1<0）?！?、兩向量所成的角指的是兩向量方向所成的角；兩向量數(shù)量積SKIPIF1<0；其中SKIPIF1<0可視為向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影。4、向量運(yùn)算中特別注意SKIPIF1<0的應(yīng)用。研究向量的模常常先轉(zhuǎn)化為模平方再進(jìn)行向量運(yùn)算。另外，有關(guān)向量的運(yùn)算也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法來(lái)求解，有些題目就可以由作圖得解。5、向量的坐標(biāo)運(yùn)算是高考中的熱點(diǎn)內(nèi)容，向量的坐標(biāo)形式實(shí)質(zhì)上是其分解形式SKIPIF1<0的“簡(jiǎn)記”。其中SKIPIF1<0分別表示與SKIPIF1<0軸、SKIPIF1<0軸正方向同向的單位向量。6、利用向量求角時(shí)，要注意范圍。兩向量所成角的范圍是SKIPIF1<0。特別注意：SKIPIF1<0不能等同于SKIPIF1<0所成角是銳角，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0同向時(shí)也滿足SKIPIF1<0；同樣的道理，SKIPIF1<0不能等同于SKIPIF1<0所成角是鈍角，因?yàn)楫?dāng)SKIPIF1<0反向時(shí)也滿足SKIPIF1<0。［例］SKIPIF1<0是過(guò)拋物線SKIPIF1<0焦點(diǎn)的直線，它與拋物線交于A、B兩點(diǎn)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，則△ABO是（）A、銳角三角形；B、直角三角形；C、鈍角三角形；D、不確定與P值有關(guān).分析：由直線SKIPIF1<0過(guò)焦點(diǎn)SKIPIF1<0，設(shè)其方程為SKIPIF1<0，聯(lián)立得：SKIPIF1<0，即：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0=SKIPIF1<0.則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0一定是鈍角.選C.7.直線l的向量參數(shù)方程式：A、P、B三點(diǎn)共線則SKIPIF1<08.關(guān)注向量運(yùn)算與三角函數(shù)綜合是高考中的常見(jiàn)題型.［例］已知向量SKIPIF1<0.設(shè)SKIPIF1<0.（1）若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值；（2）若函數(shù)SKIPIF1<0的圖像按向量SKIPIF1<0平移后得到函數(shù)SKIPIF1<0的圖像，求實(shí)數(shù)SKIPIF1<0的值.解析：（1）SKIPIF1<0，易得SKIPIF1<0.（2）函數(shù)SKIPIF1<0是由函數(shù)SKIPIF1<0的圖像向左平移SKIPIF1<0，再把所得圖像向上平移1個(gè)單位而得，所以SKIPIF1<0.二、易錯(cuò)、易混、易忘點(diǎn)梳理：【易錯(cuò)點(diǎn)1】涉及向量的有關(guān)概念、運(yùn)算律的理解與應(yīng)用，易產(chǎn)生概念性錯(cuò)誤。例1.下列命題：①SKIPIF1<0②SKIPIF1<0③ |SKIPIF1<0·SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0|·|SKIPIF1<0|④若SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0則SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0⑤SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，則存在唯一實(shí)數(shù)λ，使SKIPIF1<0⑥若SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0⑦設(shè)SKIPIF1<0是平面內(nèi)兩向量，則對(duì)于平面內(nèi)任何一向量SKIPIF1<0，都存在唯一一組實(shí)數(shù)x、y，使SKIPIF1<0成立。⑧若|SKIPIF1<0+SKIPIF1<0|=|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|則SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0。⑨SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0，則SKIPIF1<0=SKIPIF1<0或SKIPIF1<0=SKIPIF1<0。其中真命題的個(gè)數(shù)為（） A．1 B．2 解析：①正確。根據(jù)向量模的計(jì)算SKIPIF1<0判斷。②錯(cuò)誤，向量的數(shù)量積的運(yùn)算不滿足交換律,這是因?yàn)楦鶕?jù)數(shù)量積和數(shù)乘的定義SKIPIF1<0表示和向量SKIPIF1<0共線的向量，同理SKIPIF1<0表示和向量SKIPIF1<0共線的向量，顯然向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0不一定是共線向量，故SKIPIF1<0不一定成立。③錯(cuò)誤。應(yīng)為SKIPIF1<0④錯(cuò)誤。注意零向量和任意向量平行,非零向量的平行性才具有傳遞性。⑤錯(cuò)誤。應(yīng)加條件“非零向量SKIPIF1<0”。⑥錯(cuò)誤。向量不滿足消去律。根據(jù)數(shù)量的幾何意義，只需向量SKIPIF1<0和向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0方向的投影相等即可，作圖易知滿足條件的向量有無(wú)數(shù)多個(gè)。⑦錯(cuò)誤。注意平面向量的基本定理的前提有向量SKIPIF1<0是不共線的向量即一組基底。⑧正確。條件表示以兩向量為鄰邊的平行四邊形的對(duì)角線相等，即四邊形為矩形。故SKIPIF1<0·SKIPIF1<0=0。⑨錯(cuò)誤。只需兩向量垂直即可。答案：B【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】在利用向量的有關(guān)概念及運(yùn)算律判斷或解題時(shí)，一定要明確概念或定理成立的前提條件和依據(jù)向量的運(yùn)算律解答，要明確向量的運(yùn)算和實(shí)數(shù)的運(yùn)算的相同和不同之處。一般地已知ａ，ｂ，с和實(shí)數(shù)λ，則向量的數(shù)量積滿足下列運(yùn)算律：①ａ·ｂ＝ｂ·ａ(交換律)②（λａ）·ｂ＝λ（ａ·ｂ）＝ａ·（λｂ）(數(shù)乘結(jié)合律)③(ａ＋ｂ)·с＝ａ·с＋ｂ·с(分配律)說(shuō)明：（1）一般地，(ａ·ｂ)с≠ａ（ｂ·с）（2）有如下常用性質(zhì)：ａ２＝｜ａ｜２，（ａ＋ｂ）（с＋ｄ）＝ａ·с＋ａ·ｄ＋ｂ·с＋ｂ·ｄ，(ａ＋ｂ)２＝ａ２＋２ａ·ｂ＋ｂ２【練習(xí)】設(shè)a、b、c是任意的非零平面向量,且相互不共線,則①（a·b）c－（c·a）b=0②|a|－|b|<|a－b|③（b·c）a－（c·a）b不與c垂直④（3a+2b）（3a－2b）=9|a|2－4|b|2中，是真命題的有（）A.①②B.②③C.③④D.②④答案：D【易錯(cuò)點(diǎn)2】利用向量的加法、減法、數(shù)量積等運(yùn)算的幾何意義解題時(shí)，數(shù)形結(jié)合的意識(shí)不夠，忽視隱含條件。例2.四邊形ABCD中，SKIPIF1<0＝ａ，SKIPIF1<0＝ｂ，SKIPIF1<0＝с，SKIPIF1<0＝ｄ，且ａ·ｂ＝ｂ·с＝с·ｄ＝ｄ·ａ，試問(wèn)四邊形ABCD是什么圖形?【易錯(cuò)點(diǎn)分析】四邊形的形狀由邊角關(guān)系確定，關(guān)鍵是由題設(shè)條件演變、推算該四邊形的邊角量，易忽視如下兩點(diǎn)：（1）在四邊形中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是順次首尾相接向量，則其和向量是零向量，即ａ＋ｂ＋с＋ｄ＝0，應(yīng)注意這一隱含條件應(yīng)用；(2)由已知條件產(chǎn)生數(shù)量積的關(guān)鍵是構(gòu)造數(shù)量積，因?yàn)閿?shù)量積的定義式中含有邊、角兩種關(guān)系。解：四邊形ABCD是矩形，這是因?yàn)橐环矫妫河桑幔猓悖洌?得ａ＋ｂ＝－（с＋ｄ），即(ａ＋ｂ)２＝（с＋ｄ）2即｜ａ｜２＋２ａ·ｂ＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋２с·ｄ＋｜ｄ｜２由于ａ·ｂ＝с·ｄ，∴｜ａ｜２＋｜ｂ｜２＝｜с｜２＋｜ｄ｜２①同理有｜ａ｜２＋｜ｄ｜２＝｜с｜２＋｜ｂ｜２②由①②可得｜ａ｜＝｜с｜，且｜ｂ｜＝｜ｄ｜即四邊形ABCD兩組對(duì)邊分別相等∴四邊形ABCD是平行四邊形.另一方面，由ａ·ｂ＝ｂ·с，有ｂ（ａ－с）＝０，而由平行四邊形ABCD可得ａ＝－с，代入上式得ｂ·(2ａ)＝０即ａ·ｂ＝０，∴ａ⊥ｂ也即AB⊥BC。綜上所述，四邊形ABCD是矩形.【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】向量是高考的一個(gè)亮點(diǎn)，因?yàn)橄蛄恐R(shí)，向量觀點(diǎn)在數(shù)學(xué)、物理等學(xué)科的很多分支有著廣泛的應(yīng)用，而它具有代數(shù)形式和幾何形式的“雙重身份”能融數(shù)形于一體，能與中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的許多主干知識(shí)綜合，形成知識(shí)交匯點(diǎn)，所以高考中應(yīng)引起足夠的重視?；谶@一點(diǎn)解決向量有關(guān)問(wèn)題時(shí)要樹(shù)立起數(shù)形結(jié)合，以形助數(shù)的解題思路。例如很多重要結(jié)論都可用這種思想直觀得到：（1）向量形式的平行四邊形定理：2（｜SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0+｜SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0）=｜SKIPIF1<0－SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0+｜SKIPIF1<0+SKIPIF1<0｜SKIPIF1<0（2）向量形式的三角形不等式：｜｜SKIPIF1<0｜-｜SKIPIF1<0｜｜≤｜SKIPIF1<0±SKIPIF1<0｜≤｜SKIPIF1<0｜+｜SKIPIF1<0｜(試問(wèn)：取等號(hào)的條件是什么?)等有用的結(jié)論?！揪毩?xí)】（1）點(diǎn)O是SKIPIF1<0所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，則點(diǎn)O是SKIPIF1<0的（）（A）三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)（B）三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)（C）三條中線的交點(diǎn) （D）三條高的交點(diǎn)（2）SKIPIF1<0的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點(diǎn)為H，SKIPIF1<0，則實(shí)數(shù)m=答案：（1）D（2）m=1【易錯(cuò)點(diǎn)3】忽視向量積定義中對(duì)兩向量夾角的定義。例3.已知SKIPIF1<0中,SKIPIF1<0,求SKIPIF1<0.(答案:-20)【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】高中階段涉及角的概念不少,在學(xué)習(xí)過(guò)程中要明確它們的概念及取值范圍,如直線的傾斜角的取值范圍是SKIPIF1<0，兩向量的夾角的范圍是SKIPIF1<0，注意向量的夾角是否為三角形內(nèi)角?！疽族e(cuò)點(diǎn)4】向量數(shù)積性質(zhì)的應(yīng)用。例4.已知a、b都是非零向量，且a+3b與7a-5b垂直，a-4b與7a-2b垂直，求a與b的夾角。解析：本題應(yīng)依據(jù)兩向量夾角公式樹(shù)立整體求解的思想。答案：60°?！局R(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】利用向量的數(shù)量積的重要性質(zhì)結(jié)合向量的坐標(biāo)運(yùn)算可解決涉及長(zhǎng)度、角度、垂直等解析幾何、立體幾何、代數(shù)等問(wèn)題，要熟記并靈活應(yīng)用如下性質(zhì)：設(shè)ａ與ｂ都是非零向量，①ａ與ｂ的數(shù)量積的幾何意義是向量ａ在向量ｂ方向的單位向量正射影的數(shù)量②ａ⊥ｂSKIPIF1<0ａ·ｂ＝０③ａ·ａ＝｜ａ｜２或｜ａ｜＝SKIPIF1<0④ｃｏｓθ＝SKIPIF1<0⑤｜ａ·ｂ｜≤｜ａ｜·｜ｂ｜【練習(xí)】（1）已知向量SKIPIF1<0若SKIPIF1<0則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為（）A．30°B．60°C．120° D．150°答案：C（注意SKIPIF1<0）（2已知向量SKIPIF1<0≠SKIPIF1<0，|SKIPIF1<0|＝1，對(duì)任意t∈R，恒有|SKIPIF1<0－tSKIPIF1<0|≥|SKIPIF1<0－SKIPIF1<0|，則（）(A)SKIPIF1<0⊥SKIPIF1<0(B)SKIPIF1<0⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)(C)SKIPIF1<0⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)(D)(SKIPIF1<0＋SKIPIF1<0)⊥(SKIPIF1<0－SKIPIF1<0)答案：C【易錯(cuò)點(diǎn)5】向量與三角函數(shù)求值、運(yùn)算的交匯例5、SKIPIF1<0，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ1，SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為θ2，且SKIPIF1<0的值.【易錯(cuò)點(diǎn)分析】此題在解答過(guò)程中，學(xué)生要將向量的夾角運(yùn)算與三角變換結(jié)合起來(lái)，注意在用已知角表示兩組向量的夾角的過(guò)程中，易忽視角的范圍而導(dǎo)致錯(cuò)誤結(jié)論。解析：SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0故有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0因SKIPIF1<0，從而SKIPIF1<0【知識(shí)點(diǎn)歸類(lèi)點(diǎn)拔】當(dāng)今高考數(shù)學(xué)命題注重知識(shí)的整體性和綜合性，重視知識(shí)的交匯性，向量是新課程新增內(nèi)容，具體代數(shù)與幾何形式的雙重身份。它是新舊知識(shí)的一個(gè)重要的交匯點(diǎn)，成為聯(lián)系這些知識(shí)的橋梁，因此，向量與三角的交匯是當(dāng)今高考命題的必然趨勢(shì)。高考對(duì)三角的考查常常以向量知識(shí)為載體，結(jié)合向量的夾角、向量的垂直、向量的?；蛳蛄康倪\(yùn)算來(lái)進(jìn)行考查學(xué)生綜合運(yùn)用知識(shí)解決問(wèn)題的能力?！疽族e(cuò)點(diǎn)6】向量與解三角形的交匯例6.ΔABC內(nèi)接于以O(shè)為圓心，1為半徑的圓，且3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)。①求數(shù)量積，eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)，eq\o(\s\up6(→),OB)·eq\o(\s\up6(→),OC)，eq\o(\s\up6(→),OC)·eq\o(\s\up6(→),OA)；②求ΔABC的面積?！舅季S分析】第1由題意可知3eq\o(\s\up6(→),OA)、4eq\o(\s\up6(→),OB)、5eq\o(\s\up6(→),OC)三向量的模，故根據(jù)數(shù)量積的定義及運(yùn)算律將一向量移項(xiàng)平方即可。第2問(wèn)據(jù)題意可將已知三角形分割成三個(gè)小三角形利用正弦理解答。解析：①∵|eq\o(\s\up6(→),OA)|=|eq\o(\s\up6(→),OB)|=|eq\o(\s\up6(→),OC)|=1由3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=eq\o(\s\up6(→),0)得：3eq\o(\s\up6(→),OA)＋4eq\o(\s\up6(→),OB)=－5eq\o(\s\up6(→),OC)兩邊平方得：9eq\o(\s\up6(→),OA)2＋24eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)＋16eq\o(\s\up6(→),OB)2=25eq\o(\s\up6(→),OC)2∴eq\o(\s\up6(→),OA)·eq\o(\s\up6(→),OB)=0同理：由4eq\o(\s\up6(→),OB)＋5eq\o(\s\up6(→),OC)=－3eq\o(\s\up6(→),OA)求得eq\o(\s\up6(→