小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)課件

小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)和數(shù)的運算

整數(shù)與自然數(shù)

整數(shù)：自然數(shù)和0都是整數(shù)。

自然數(shù)：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

計數(shù)單位

：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進(jìn)制計數(shù)法。

數(shù)位

：計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

數(shù)的整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。

數(shù)和數(shù)的運算整數(shù)與自然數(shù)

整數(shù)：自然數(shù)和0都是整數(shù)。被2、3、5、7、9、11、13整除被2整除的數(shù)：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。被5整除的數(shù)：個位上是0或者5的數(shù)能被5整除。被3或9整除的數(shù)：一個數(shù)各位上的數(shù)的和，能被3（或9）整除，這個數(shù)就能被3（或9）整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

例如：93、84、12能被3整除；738、153、1242、35685等能被9整除。被7整除的數(shù)：

方法1、（適用于數(shù)字位數(shù)少時）一個數(shù)割去末位數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0），那么，原來的這個數(shù)就一定能被7整除。例如：判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。方法2、（適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上）一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，如果能被7整除，那么，這個多位數(shù)就一定能被7整除。如：判斷數(shù)280679末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問題。如：283679的末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判斷383357能不能被13整除．這個數(shù)的未三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是383，這兩個數(shù)的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數(shù)。例如，判斷456669能不能被7整除，456669-420000=36669，只要32669能被7整除即可。對32669可繼續(xù)，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49當(dāng)然被7整除，所以456669能被7整除。被2、3、5、7、9、11、13整除被2整除的數(shù)：個位上被2、3、5、7、9、11、13整除被11整除的數(shù)：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外，還可以把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除。例如：判斷491678能不能被11整除?！嫖粩?shù)字的和9+6+8=23，—→偶位數(shù)位的和4+1+7=12

23-12=11,491678能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。被13整除的數(shù)：除了前面講的被7整除的方法二適用于13之外，還可以把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。例如：判斷1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。倍數(shù)與約數(shù)如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。

3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。

被2、3、5、7、9、11、13整除被11整除的數(shù)：除了偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。偶數(shù)：能被2整除的數(shù)。0是偶數(shù)。奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。性質(zhì)：1奇數(shù)≠偶數(shù)．2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．3.奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．4.奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個偶數(shù)之和為偶數(shù)．5.若干個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．6.如果若干個整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個因子都是奇數(shù)；如果若干個整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個因子是偶數(shù)．7.如果兩個整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)一定是一奇一偶．8.兩個整數(shù)的和與差的奇偶性相同．9.奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。）合數(shù)的質(zhì)因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)自然數(shù)按能否被2整除的特征可分分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：把28分解質(zhì)因數(shù)：28=2×2×7互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。公倍數(shù)、最小公倍數(shù)定義：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)例1．兩個質(zhì)數(shù)的和是33，求這兩個質(zhì)數(shù)的積。解答：兩個質(zhì)數(shù)的和是33，而33是奇數(shù)，必為一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之和．因為偶質(zhì)數(shù)只有2，另一個質(zhì)數(shù)只能為33-2=31，所以2與31的積為62。例2．用1，2，4，5，8中的三個數(shù)字組成最大的三位質(zhì)數(shù)。

解答：因為個位數(shù)字是2，4，5，8的三位數(shù)必能被2或5整除，所以個位數(shù)字只能是1．將個位數(shù)字是1的三位數(shù)從大到小逐個試驗：851=23×27，851不是質(zhì)數(shù)；841=29×29，841不是質(zhì)數(shù)；821不能被2至29的任何一個質(zhì)數(shù)整除，所以821是所求的最大的三位質(zhì)數(shù)。例3．有四個人，他們的年齡一個比一個大一歲，他們的年齡的乘積等于43680，求這四個人的年齡。解答：因為這四個人的年齡的乘積等于43680，所以這四個人的年齡是43680的約數(shù)．先將43680分解質(zhì)因數(shù)：43680=25×3×5×7×13=13×（2×7）×（3×5）×24=13×14×15×16所以這四個人的年齡分別是13，14，15，16．質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（二）4．求8400有多少個約數(shù)？

解答：因為8400=24×3×52×7，所以8400的約數(shù)個數(shù)為：（4＋1）×（1+1）×（2+1）×（1+1）=60個5．求有18個約數(shù)的最小自然數(shù)？解答：因為18=18×1=2×9=3×6=2×3×3，要使所求數(shù)最小，這個數(shù)為A=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3為互不相同的質(zhì)數(shù)，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22×32×5=180，即有18個約數(shù)的最小自然數(shù)為180。6．三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù)。解答：設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別為a、b、c，則abc＝11（a＋b＋c）所以a、b、c中必有一個是11，不妨設(shè)是c=11，則上式變?yōu)閍b=a＋b＋11變形，得ab-a-b＝11a（b-1）-（b-1）-1＝11（b-1）（a-1）=12=12×1=2×6=3×4當(dāng)b-1=12，a-1=1時，b=13，a=2；當(dāng)b-1=2，a-1=6時，b=3，a=7；當(dāng)b-1=3，a-1=4時，b=4，a=5．所以這三個質(zhì)數(shù)為2，11，13或3，7，11．質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（二）4．求8400有多少個約數(shù)？質(zhì)數(shù)應(yīng)用（一）例1：兩個質(zhì)數(shù)的積是46，求這兩個質(zhì)數(shù)的和。分析：兩個質(zhì)數(shù)的積是46，46是偶數(shù)，只能是一個奇質(zhì)數(shù)與一個偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，因此很容易得出另外的質(zhì)數(shù)，從而問題得以解決。解：因為46是偶數(shù)，因此它必是一個奇質(zhì)數(shù)與一個偶質(zhì)數(shù)的積，而偶質(zhì)數(shù)只有2，另一個質(zhì)數(shù)為46÷2=23，所以2與23的和是25。例2：用2，3，4，5中的三個數(shù)能組成哪些三位質(zhì)數(shù)？分析：首先考慮個位是幾，如果個位數(shù)字是2或4，這樣的三位數(shù)必能被2整除，因此這樣的三位數(shù)不會是質(zhì)數(shù)，如果個位數(shù)字是5，這樣的三位數(shù)必能被5整除，這樣的三位數(shù)也不會是質(zhì)數(shù)，所以個位數(shù)字只能是3，再由剩下的三個數(shù)字組成百位、十位，得出個位數(shù)字是3的三位數(shù)為243，423，253，523，453，543，最后根據(jù)質(zhì)數(shù)的判斷方法，得到所求的質(zhì)數(shù)。解:如果組成的三位數(shù)的個位數(shù)字是2,4,5時，這個數(shù)必能被2或5整除，因此個位數(shù)字能是3，而個位數(shù)字是3的三位數(shù)有243，423，253，523，453，543，其中243，423，453，543均能被3整除，253能被11整除，，所以只有523是質(zhì)數(shù)。

質(zhì)數(shù)應(yīng)用（一）例1：兩個質(zhì)數(shù)的積是46，求這兩個質(zhì)數(shù)的和。質(zhì)數(shù)應(yīng)用（二）判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7這四個質(zhì)數(shù)去試除，如果沒有一個能整除它，這個數(shù)一定是質(zhì)數(shù)，否則不是質(zhì)數(shù)。判斷97是不是質(zhì)數(shù)，因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，因此97是質(zhì)數(shù)，為什么不必去試除比97小的所有的質(zhì)數(shù)呢？因為97不能被2，3，5，7中的任何一個整除，它就一定不能被4，6，8，9，10等數(shù)（分別為2，3，5的倍數(shù)）整除，又因為，如果用11或大于11的質(zhì)數(shù)去試除，97÷11=8……9，97÷13=7……6，其商為8、7，比除數(shù)還小，都已試除過，因此判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7去試除。判斷200以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5，7，11，13，17這七個質(zhì)數(shù)去試除；判斷300以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需用20以內(nèi)的八個質(zhì)數(shù)去試除；判斷500以內(nèi)的質(zhì)數(shù)，只需要2到23的質(zhì)數(shù)去試除，其余可用類似的方法推出，同學(xué)們可以思考一下1000以內(nèi)的質(zhì)數(shù)如何判斷？例：將40，44，45，63，65，78，99，105這八個數(shù)平分成兩組，使每組四個數(shù)的乘積相等。

分析：如果采用觀察，計算調(diào)整的方法是比較麻煩的，要使兩組數(shù)的乘積相等，只有兩組數(shù)中的質(zhì)因數(shù)相同，而且質(zhì)因數(shù)的個數(shù)也相同，就可以了，所以從這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)入手，根據(jù)質(zhì)因數(shù)的個數(shù)，進(jìn)行適當(dāng)?shù)拇钆?，使能找出問題的答案。解：將八個數(shù)分析質(zhì)因數(shù)：

40=23×544=22×11

45=32×563=32×7

65=5×1378=2×3×13

99=32×11105=3×5×7這八個數(shù)分解質(zhì)因數(shù)后一共有6個2，8個3，4個5，2個7，2個11，2個13。因此，這八個數(shù)被分成兩組后，每一組應(yīng)含有3個2，4個3，2個5，1個7，1個11，1個13，這樣可以得到兩組分別為：40，63，65，99和44，45，78，105。質(zhì)數(shù)應(yīng)用（二）判斷100以內(nèi)的數(shù)是否是質(zhì)數(shù)，只需用2，3，5質(zhì)數(shù)應(yīng)用（三）一個大于1的整數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解式中每個質(zhì)因數(shù)的個數(shù)加1的連乘積。用數(shù)字式子表示為：如果A分解質(zhì)因數(shù)為：A=a1r1×a2r2×…×anrn

則A的全體約數(shù)的個數(shù)為：

（r1+1）×（r2+1）×…×（rn+1）

例：有30個約數(shù)的最小自然數(shù)是多少？

分析：設(shè)所求的數(shù)為A，則A有30個約數(shù)，因為30=30×1=2×15=3×10=5×6=2×3×5，要使A最小，一般使A的質(zhì)因數(shù)的冪指數(shù)盡可能小，質(zhì)因數(shù)的個數(shù)盡可能少，所以A必為下列形式：

A=a1×a22×a34

其中a1，a2，a3為互不相同的質(zhì)數(shù)。

要使A最小，a1，a2，a3應(yīng)盡可能小，顯然a3=2，a2=3，a1=5，這樣

A=24×32×51=720解：因為30=30×1=15×2=10×3=6×5=5×3×2，而且題中要求有30個約數(shù)的最小的數(shù)，所以這個數(shù)是能表示為A=a1×a22×a34，其中a1，a2，a3為互不相等的質(zhì)數(shù)，為了使A最小，a3=2，a2=3，a1=5，所以A=24×32×51=720。

質(zhì)數(shù)應(yīng)用（三）一個大于1的整數(shù)的約數(shù)個數(shù)，等于它的質(zhì)因數(shù)分解小數(shù)小數(shù)的意義：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份……得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾……可以用小數(shù)表示。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

在小數(shù)里，每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。小數(shù)的分類

:純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如：0.25、0.368都是純小數(shù)。

帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。例如：3.25、5.26都是帶小數(shù)。有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。例如：41.7、25.3、0.23都是有限小數(shù)。無限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無限的小數(shù)，叫做無限小數(shù)。例如：4.33……3.1415926……無限不循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無規(guī)律且位數(shù)無限，這樣的小數(shù)叫做無限不循環(huán)小數(shù)。例如：∏

循環(huán)小數(shù)：一個數(shù)的小數(shù)部分，有一個數(shù)字或者幾個數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。例如：3.555……0.0333……12.109109……

一個循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。例如：3.99……的循環(huán)節(jié)是“9”，0.5454……的循環(huán)節(jié)是“54”。

純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。例如：3.111……0.5656……

混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。3.1222……0.03333……寫循環(huán)小數(shù)的時候，為了簡便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫出一個循環(huán)節(jié)，并在這個循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點一個圓點。如果循環(huán)節(jié)只有一個數(shù)字，就只在它的上面點一個點。小數(shù)小數(shù)的意義：把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。分母：表示把單位“1”平均分成多少份；分子：表示有這樣的多少份。把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。分類：真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

約分和通分：把一個分?jǐn)?shù)化成同它相等但是分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

分子分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡分?jǐn)?shù)。

把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

百分?jǐn)?shù)：表示一個數(shù)是另一個數(shù)的百分之幾的數(shù)叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用“%”來表示。百分號是表示百分?jǐn)?shù)的符號。數(shù)的改寫

：

1.準(zhǔn)確數(shù)：在實際生活中，為了計數(shù)的簡便，可以把一個較大的數(shù)改寫成以萬或億為單位的數(shù)。改寫后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。例如把1254300000改寫成以萬做單位的數(shù)是125430萬；改寫成以億做單位的數(shù)12.543億。2.近似數(shù)：根據(jù)實際需要，我們還可以把一個較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個近似數(shù)來表示。例如：1302490015省略億后面的尾數(shù)是13億。

3.四舍五入法：要省略的尾數(shù)的最高位上的數(shù)是4或者比4小，就把尾數(shù)去掉；如果尾數(shù)的最高位上的數(shù)是5或者比5大，就把尾數(shù)舍去，并向它的前一位進(jìn)1。例如：省略345900萬后面的尾數(shù)約是35萬。省略4725097420億后面的尾數(shù)約是47億。

分?jǐn)?shù)分?jǐn)?shù)：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份數(shù)的互化數(shù)的互化：

一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5以外的質(zhì)因數(shù)，這個分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。例如:分母可以化成2×3×5，其中有2、5以外的質(zhì)因數(shù)，就不可能化成有限小數(shù)。而的分母只能化成2×2×5，就可化成有限小數(shù)。小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)。百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)。數(shù)的互化數(shù)的互化：一個最簡分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，有關(guān)數(shù)的例題（一）例1、0，1，54，208，4500都是（

）數(shù)，也都是（

）數(shù)。例2、分?jǐn)?shù)的單位是1/8的最大真分?jǐn)?shù)是（

），它至少再添上（

）個這樣的分?jǐn)?shù)單位就成了假分?jǐn)?shù)。例3、一個數(shù)由三個6和三個0組成，如果這個數(shù)只讀出兩個零，那么這個數(shù)是（

）。

（1）606060

（2）660006

（3）600606

（4）660600例4、3.3時是（

）

（1）3小時30分

（2）3小時18分

（3）3小時3分例5、在9.9的末尾添上一個0，原數(shù)的計數(shù)單位就（

）。（1）擴(kuò)大10倍

（2）不變（3）縮小10倍例6、找規(guī)律填數(shù)。（1）1、2、4、（

）、16、（）、64（2）有一列數(shù)，2、5、8、11、14、……問104在這列數(shù)中是第（

）個數(shù)。例7、一個正方形的邊長是一個奇數(shù)，這個正方形的周長一定是（

）

（1）質(zhì)數(shù)（2）奇數(shù)（3）偶數(shù)有關(guān)數(shù)的例題（一）例1、0，1，54，208，4500都是（有關(guān)數(shù)的例題（二）例8、8和5是（

）

（1）互質(zhì)數(shù)

（2）質(zhì)數(shù)（3）質(zhì)因數(shù)例9、6是36和48的（

）

（1）約數(shù)

（2）公約數(shù)（3）最大公約數(shù)例10、如果a、b都是自然數(shù)，并且a÷b=4,那么數(shù)a和數(shù)b的最大公約數(shù)是（

）。（1）4

（2）a（3）b例11、如果用a表示自然數(shù)，那么偶數(shù)可以表示為（

）（1）a+2

(2)2a

(3)a-1(4)2a-1例12、一個能被9、12、15整除的最小數(shù)是（

）

（1）3

（2）90

（3）180例13、一個數(shù)被6、7、8除都余1，這個數(shù)最小是（

）。例14、有9、7、2、1、0五個數(shù)字，用其中的四個數(shù)字，組成能同時被2、3、5整除的最小的四位數(shù)是（

）。例15、兩個奇數(shù)的和（

）（1）是奇數(shù)（2）是偶數(shù)（3）可能是奇數(shù)，也可能是偶數(shù)例|16、一個合數(shù)至少有（

）個約數(shù)。

（1）1

（2）2

（3）3一次數(shù)學(xué)競賽，結(jié)果學(xué)生中1/7獲得一等獎，1/3獲得二等獎，1/2獲得三等獎，其余獲紀(jì)念獎。已知參加這次競賽的學(xué)生不滿50人，問獲紀(jì)念獎的有多少人？有關(guān)數(shù)的例題（二）例8、8和5是（

）

（1）互質(zhì)數(shù)的整除、約分和通分1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法。短除法是豎式除法的簡化形式。它的計算特征是只寫出除數(shù)和商，省略除法的一些筆算過程。例如：

2.求幾個數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的的最大公約數(shù)。

3.求幾個數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個積就是這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)。4.約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡分?jǐn)?shù)為止。5.通分的方法：先求出原來的幾個分?jǐn)?shù)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

數(shù)的整除、約分和通分1.把一個合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)，通常用短除法數(shù)性質(zhì)、規(guī)律與運算性質(zhì)：（一）商不變的規(guī)律

：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時擴(kuò)大或者同時縮小相同的倍，商不變。（二）小數(shù)的性質(zhì)：1、在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

2、小數(shù)點位置的移動引起小數(shù)大小的變化。（三）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。四則運算：1、加法：把兩個數(shù)合并成一個數(shù)的運算叫做加法。

加數(shù)+加數(shù)=和

一個加數(shù)=和－另一個加數(shù)

2、減法：已知兩個加數(shù)的和與其中的一個加數(shù)，求另一個加數(shù)的運算叫做減法。

加法和減法互為逆運算。

3、乘法：求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算叫做乘法。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0.

1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個因數(shù)×一個因數(shù)=積

一個因數(shù)=積÷另一個因數(shù)

4、除法：已知兩個因數(shù)的積與其中一個因數(shù)，求另一個因數(shù)的運算叫做除法。

乘法和除法互為逆運算。

在除法里，0不能做除數(shù)。

被除數(shù)÷除數(shù)=商

除數(shù)=被除數(shù)÷商

被除數(shù)=商×除數(shù)

乘積是1的兩個數(shù)叫做互為倒數(shù)。分?jǐn)?shù)除法的計算法則:甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

數(shù)性質(zhì)、規(guī)律與運算性質(zhì)：（一）商不變的規(guī)律

：在除法里，被除運算的應(yīng)用（一）總價=單價×數(shù)量

路程=速度×?xí)r間工作總量=工作時間×工效總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

（一）平均數(shù)問題：

總數(shù)量除以總份數(shù)。（二）歸一問題1、一次歸一問題：用一步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“單歸一?！?/p>

兩次歸一問題，用兩步運算就能求出“單一量”的歸一問題。又稱“雙歸一。”

正歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計算結(jié)果的歸一問題。

反歸一問題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計算結(jié)果的歸一問題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。2、數(shù)量關(guān)系式：單一量×份數(shù)=總數(shù)量（正歸一）；總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）。例：一個織布工人，在七月份織布4774米，照這樣計算，織布6930米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。6930÷（4774÷31）=45（天）歸總問題：例：修一條水渠，原計劃每天修800米，6天修完。實際4天修完，每天修了多少米？

分析：因為要求出每天修的長度，就必須先求出水渠的長度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問題”不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問題是先求出總量，再求單一量。800×6÷4=1200（米）

運算的應(yīng)用（一）總價=單價×數(shù)量

運算的應(yīng)用（二）行程問題

解題關(guān)鍵及規(guī)律：（1）同時同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。

（2）同時相向而行：相遇路程=速度和×?xí)r間

（3）同時同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時間=路程÷速度差。（4）同時同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。例：甲在乙的后面28千米，兩人同時同向而行，甲每小時行16千米，乙每小時行9千米，甲幾小時追上乙？

分析：甲每小時比乙多行（16-9）千米，也就是甲每小時可以追近乙（16-9）千米，這是速度差。已知甲在乙的后面28千米（追擊路程），28千米里包含著幾個（16-9）千米，也就是追擊所需要的時間。列式28÷（16-9）=4（小時）

復(fù)雜的行程問題

1.自行車隊出發(fā)12分鐘后，通信員騎摩托車去追他們，在距出發(fā)地點9千米處追上了自行車隊，然后通訊員立即返回出發(fā)點，到后又返回去追上了自行車隊，再追上時，恰好離出發(fā)點18千米，求自行車隊和摩托車的速度？

分析：比較復(fù)雜的行程問題，關(guān)鍵在于找到新的突破口，本題中給出了兩次追擊的路程，這就是突破口。

解答：從第一次追上到第二次追上的過程中，自行車隊進(jìn)了18－9=9（千米），而摩托車行進(jìn)了：18+9=27（千米），由此可知摩托車速度是自行車隊的3倍，那么第一次追及開始時，自行車領(lǐng)先距離為：6÷12=0.5(千米/分)，摩托車速度為：0.5×3=1.5(千米/分)。

評注：在行程問題中，條件與條件之間有密切關(guān)系，充分利用所有已知條件及由這些條件推導(dǎo)出的條件非常重要，而要掌握所有條件首先就需要把整個行程的過程弄清楚。運算的應(yīng)用（二）行程問題2、某解放軍隊伍長450米，以每秒1.5米的速度前進(jìn)，一戰(zhàn)士以每秒3米的速度從排尾到排頭并立即返回排尾，那么這需要多少時間？

分析：本題是與排頭的追及問題和與排尾的相遇問題的結(jié)合。

解答：追排頭用時為：450÷（3－1.5）=300(秒)，回排尾用時為：450÷（3＋1.5）=100(秒)，其用時400秒。

評注：隊伍行進(jìn)問題一般都可以歸為追及或相遇問題。

3、學(xué)校組織春游，同學(xué)們下午一點出發(fā)，走了一段平路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七點回到學(xué)校，已知他們步行速度，平路為4千米/小時，上山為3千米/小時，下山為6千米/小時，問他們一共走了多少路？分析：往返路程可以分為四段，兩段平路，一段上山，一段下山，求路程，我們就需要各段的行進(jìn)時間。解答：設(shè)同學(xué)們下山用時為t，由于上、下山路程相等，下山速度是上山的2倍，因此上山時間為2t，兩段平路一共用時（6－3t）小時，總路程為：t×6＋2t×3＋(6－3t)×4=24(千米)，即他們一共走了24千米。評注：本題從條件的數(shù)量上并不足夠確定平路及山路的長度，因為上、下山平均速度與平路速度相同，因此才能求得總路程。2、某解放軍隊伍長450米，以每秒1.5米的速度前進(jìn)，一戰(zhàn)士植樹問題解題關(guān)鍵：解答植樹問題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹還是沿周長植樹，然后按基本公式進(jìn)行計算。

解題規(guī)律：沿線段植樹

棵樹=段數(shù)+1；棵樹=總路程÷株距+1；株距=總路程÷（棵樹-1）；總路程=株距×（棵樹-1）例1、有一條公路全長500米，從頭至尾每隔5米種一棵松樹。可種松樹多少棵？解：500÷5+1=101棵例2、在一條長150米的大路兩旁各栽一行樹，起點和終點都栽，一共栽了102棵。每相鄰兩棵樹之間的距離相等。相鄰兩棵樹之間的距離有多少米？解：150÷(102÷2-1)=3米例3、從校門口到街口，一共插有30面紅旗，相鄰兩面紅旗相隔6米。從校門口到街口長多少米？解：6×(30-1)=174米沿周長植樹

棵樹=總路程÷株距；株距=總路程÷棵樹；總路程=株距×棵樹。例4、在一個周長為600米的池塘周圍植樹，每隔10米栽一棵楊樹，在相鄰兩棵楊樹之間每隔2米栽1棵柳樹。楊樹和柳樹各栽了多少棵？解：楊樹：600÷10=60棵柳樹：(10÷2-1)×60=240棵

植樹問題植樹問題應(yīng)用例5：大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花圃的周長。他倆的起點和走的方向完全相同。小明的平均步長54厘米，爸爸平均步長72厘米。由于兩人的腳印有重合，并且他們走了一圈后都回到起點，這時雪地上只有留下60個腳印。這個花圃的周長是多少米？分析：留下的腳印相當(dāng)于種樹。假設(shè)這個花圃的長是x米，那么爸爸留下的腳印是x÷72個，小明留下的腳印是x÷54個，他們重合的腳印應(yīng)該是72與54的最小公倍數(shù)216處，即有重合的腳印有x÷216個，從而得解。解：例6：一個湖泊周圍長1800米，沿湖泊周圍每隔3米栽一棵柳樹，每兩棵柳樹中間栽一棵桃樹，湖泊周圍各栽了多少棵柳樹和桃樹？分析：這是一道周圍栽樹的問題，根據(jù)公式，柳樹應(yīng)該是1800÷3棵，桃樹是每兩棵柳樹中間種一棵，株距應(yīng)該是3米，所以同上。解：柳樹：桃樹：例7：在某淡水湖四周筑成周長為8040米的大堤，堤上每隔8米栽柳樹一棵，然后在相鄰兩棵樹之間每隔2米栽桃樹一棵，應(yīng)準(zhǔn)備桃樹多少棵?

x÷54x÷72x÷216=60＋－解得x=2160米。1800÷3=600棵1800÷3=600棵植樹問題應(yīng)用例5：大雪后的一天，小明和爸爸共同步測一個圓形花分析：這道植樹題就把我們所說的線路兩端不植樹和封閉性植樹問題結(jié)合在一起。其實這道題你只要拆解開來分析一就很容易做出來。即栽柳樹8040÷8棵，也就是大堤被柳樹分成1005段。又在兩相鄰柳樹之間的堤，被分為2米一段，共分為：8÷2=4(段)。在兩柳樹之間栽桃樹，由于兩端不需要再栽桃樹了，所以，桃樹的棵樹比段數(shù)少1，也就是相鄰兩棵柳樹之間栽桃樹4-1=3(棵)。因而，在整個大堤上共準(zhǔn)備栽桃樹為：3X1005=3015(棵)。例8：廣場上的大鐘6時敲6下,15秒敲完,12時敲響12下,需要用多長時間?分析：這是有植樹問題延伸出來的敲鐘問題。解決這類題時，我們一定不要掉入陷阱中。敲6下鐘，中間隔了6-1=5個間隔，相當(dāng)于兩端植樹;所以，一個間隔需要的秒數(shù)為15÷5=3秒;那么，敲12下的間隔為12-1=11個，所以，敲12時需要11×3=33(秒)解：一個時間間隔所需的時間為：15÷（6-1）=3秒，12時12下所用時間應(yīng)為：3×（12-1）=33秒。分析：這道植樹題就把我們所說的線路兩端不植樹和封閉性植樹問題分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用（一）分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對應(yīng)的實際數(shù)量。

分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。已知一個數(shù)的幾分之幾（或百分之幾),求這個數(shù)。特征：已知一個實際數(shù)量和它相對應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗種子數(shù)×100%小麥的出粉率=面粉的重量/小麥的重量×100%產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%

職工的出勤率=實際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100%工程問題：

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運用公式。數(shù)量關(guān)系式：

工作總量=工作效率×工作時間

工作效率=工作總量÷工作時間

工作時間=工作總量÷工作效率

工作總量÷工作效率和=合作時間

繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。

應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營業(yè)額、應(yīng)納稅所得額…）的比率叫做稅率。

存入銀行的錢叫做本金。

取款時銀行多支付的錢叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×?xí)r間

本利總額=本金×（1+利率×?xí)r間）分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用（一）分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個數(shù)，分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用（二）例1、春節(jié)后，一件大衣降價出售。如果按原價降價10%，仍可盈利60元；如果降價20%，就要虧損80元。這件大衣的進(jìn)價是多少元？分析：按原價降價10%意思是按原價的90%出售，如果降價20%意思是按原價的80%出售?？墒抢麧檯s從盈利60元到虧損80元，雙差140元。這140元不就是從按原價的90%降到80%中的降的10%造成的嗎，即原價的10%是140元。所以原價為：（80+60）÷〔(1-10%)-(1-20%)〕=140÷0.1=1400元所以進(jìn)價為：1400*（1-10%）-60=1260-60=1200元例2、修一段公路，甲隊單獨修15天完成，甲、乙兩隊合修要6天完成．乙隊單獨修要多少天完成？分析：把工作總量這段路看作單位“1”，甲隊每天修這段路的，甲、乙兩隊每天共修這段路的。從而可以求出乙隊的工作效率為（－）。已知工作量“1”和乙的工作效率就可以求出乙隊單獨修需要的時間．

答：乙隊單獨修要10天完成．分?jǐn)?shù)乘、除法應(yīng)用（二）例1、春節(jié)后，一件大衣降價出售。如果按例3、一項工程，甲單獨做要8天完成，乙單獨做要12天完成．如果甲先做了3天后，再由甲、乙兩隊合做，還要幾天完成？分析：把這項工程看作單位“1”，甲、乙的工作效率分別是和。剩下的工作量是（1一×3），要求剩下的工作量甲乙合作做幾天完成，就是用剩下的工作總量除以甲乙兩人的工作效率的和。答：再由甲、乙兩隊合做，還要3天完成。

練習(xí)：1、水結(jié)成冰后，體積增加了1/10，當(dāng)冰融成水后，體積減少幾分之幾呢？

2、某車間原來有男工人數(shù)是女工人數(shù)的5/4，后來又調(diào)來2名女工，現(xiàn)在男工人數(shù)是女工人數(shù)的6/5。這個車間現(xiàn)在擁有多少名男工人？例4、陳大娘在1999年5月1日那天把1000元存入了銀行，到2002年5月1日取出時本金和稅后利息共1064.8元，該儲種的年率利是多少？（當(dāng)時利息稅按利息的20％繳納）練習(xí)：王芳的媽媽3年前買的某種金融債券，其年利率是2.89％，到期時共得本金和利息54335元。3年前，王芳的媽媽買了多少元的金融債券？例3、一項工程，甲單獨做要8天完成，乙單獨做要12天完成．如度量衡長度：1毫米＝1000微米

；1厘米＝10毫米

；1分米＝10厘米

；1米＝1000毫米

；1千米＝1000米

面積：就是物體所占平面的大小。對立體物體的表面的多少的測量一般稱表面積。

1平方厘米＝100平方毫米

；1平方分米=100平方厘米

；

1平方米＝100平方分米

；1公頃＝10000平方米

；

1平方公里＝100公頃

體積：就是物體所占空間的大小。

容積：箱子、油桶、倉庫等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

體積單位

：1立方米=1000立方分米;1立方分米=1000立方厘米

容積單位

:

1升=1000毫升;1升=1立方米;1毫升=1立方厘米

質(zhì)量：就是表示表示物體有多重。

一噸=1000千克

*1千克=1000克時間：

1年=365天

平年

：一年=366天

閏年

：一、三、五、七、八、十、十二是大月

大月有31天

，四、六、九、十一是小月

，小月有30天

；平年2月有28天，閏年2月有29天

。

1天=24小時

，1小時=60分

，一分=60秒；1元=10角

，1角=10分

度量衡長度：1毫米＝1000微米

；1厘米＝10代數(shù)初步知識運算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律:(a+b)+c=a+(b+c)乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律:(ab)c=a(bc)

乘法分配律:(a+b)c=ac+bc例：25×（4+8）=25×4+25×8

30×5+30=30×(5+1)減法的性質(zhì):a-(b+c)=a-b-c

簡易方程

方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。注意方程是等式，又含有未知數(shù)，兩者缺一不可。

方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

解方程

：求方程的解的過程叫做解方程。代數(shù)初步知識運算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a比和比例比:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

“：”是比號，讀作“比”。比號前面的數(shù)叫做比的前項，比號后面的數(shù)叫做比的后項。比的前項除以后項所得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項相當(dāng)于被除數(shù)，后項相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。比的后項不能是零。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項相當(dāng)于分子，后項相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

比的性質(zhì):比的前項和后項同時乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個最簡比，即前、后項是互質(zhì)的數(shù)。

圖上距離:實際距離=比例尺，

要求會求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實際距離；已知實際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來表示和地面上相對應(yīng)的實際距離。

把一個數(shù)量按照一定的比來進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

比例

：表示兩個比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個數(shù)，叫做比例的項。

兩端的兩項叫做外項，中間的兩項叫做內(nèi)項。

比例的性質(zhì)

在比例里，兩個外項的積等于兩個兩個內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

解比例

：根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個數(shù)比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫做解比例。3正比例和反比例

：兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表示y/x=k(一定）

成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對應(yīng)的兩個數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表示x×y=k(一定)

比和比例比:兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比。

“：”是比號，比和比例例題：1、把一塊長與寬比為5：3的長方形土地，用1：500的比例尺畫在圖紙上，得到的長方形的周長是32厘米。這一長方形土地的實際面積是多少平方米？2、甲乙兩筐蘋果的重量比是5：4，如果從甲筐拿出20千克放入乙筐，那么兩筐蘋果的重量比是1：2，甲乙兩筐原來各裝蘋果多少千克？一列火車從甲站開往乙站，用2小時行了280千米，從乙站開往丙站5小時行了700千米。A：分別求出火車從甲站到乙站，從乙站到丙站的速度。

B：火車行駛的路程和所用的時間成什么比例？

C：用等式把題目里的數(shù)量關(guān)系表示出來。3、甲乙兩輛汽車同時從兩個城市相對開出，經(jīng)過3小時兩車在距離中點18千米處相遇，這時甲車與乙車所行駛的路程比是2：3，甲車與乙車每小時各行多少千米？4、三個連續(xù)奇數(shù)的和是129，其中最大的那個奇數(shù)（

），將它分解質(zhì)因數(shù)是（）。5、一個圓柱的側(cè)面展形圖是一個正方形,這個圓柱的底面直徑與高的比是(

)。6、如果y=15x,

x和y成(

)比例；如果y=15/x,

x和y成(

)比例。比和比例例題：1、把一塊長與寬比為5：3的長方形土地，用1幾何的初步知識直線

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫無數(shù)條，過兩點只能畫一條直線。

射線

射線只有一個端點；長度無限。

線段

線段有兩個端點，它是直線的一部分；長度有限；兩點的連線中，線段為最短。平行線

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長度都相等。

垂線

兩條直線相交成直角時，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點叫做垂足。從直線外一點到這條直線所畫的垂線的長叫做這點到直線的距離。

（1）從一點引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個點叫做角的頂點，這兩條射線叫做角的邊。

（2）角的分類

銳角：小于90°的角叫做銳角。直角：等于90°的角叫做直角。

鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

平角：角的兩邊成一條直線，這時所組成的角叫做平角。平角180°。周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。例1：1周角=()平角=()直角=()度2、任意一個三角形中至少有幾個銳角？正確的是()

A．1個B．2個C．3個3、在一個三角形中，最多有

個鈍角，最多有

個直角，最多有

個銳角。4、2時整，時針和分針成()角；6時整，時針和分針成()角；3時整，時針和分針成()角。B243601136018090幾何的初步知識直線

直線沒有端點；長度無限；過一點可以畫平面圖形1、長方形：

特征：對邊相等，4個角都是直角的四邊形。有兩條對稱軸。

c=2(a+b)s=ab

2、正方形：特征：

四條邊都相等，四個角都是直角的四邊形。有4條對稱軸。

c=4as=a23、三角形：特征

：由三條線段圍成的圖形。內(nèi)角和是180度。三角形具有穩(wěn)定性。三角形有三條高。

s=ah/24、分類

：按角分

銳角三角形：三個角都是銳角。

直角三角形：有一個角是直角。等腰三角形的兩個銳角各為45度，它有一條對稱軸。

鈍角三角形：有一個角是鈍角。

按邊分

，不等邊三角形：三條邊長度不相等。

等腰三角形：有兩條邊長度相等；兩個底角相等；有一條對稱軸。

等邊三角形：三條邊長度都相等；三個內(nèi)角都是60度；有三條對稱軸。

平行四邊形

：

兩組對邊分別平行的四邊形。

相對的邊平行且相等。對角相等，相鄰的兩個角的度數(shù)之和為180度。平行四邊形容易變形。

計算公式

s=ah5、梯形

：只有一組對邊平行的四邊形。s=(a+b)h/2

6、圓

：平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點叫做圓心。一般用字母o表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點的線段叫做半徑。一般用r表示。

在同一個圓里，有無數(shù)條半徑，每條半徑的長度都相等。

通過圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

同一個圓里有無數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。

同一個圓里，直徑等于兩個半徑的長度，即d=2r。

圓的大小由半徑?jīng)Q定。圓有無數(shù)條對稱軸。

圍成圓的曲線的長叫做圓的周長。

把圓的周長和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。圓所占平面的大小叫做圓的面積。

環(huán)形

s=∏(R2-r2）平面圖形1、長方形：

特征：對邊相等，4個角都是直角的四平面圖形例題例1、一塊邊長是4厘米的正方形紙板，以它的對邊為直徑，剪掉兩個半圓后，剩下圖形的周長是多少厘米？分析：如圖，按題意要求的是正方形兩邊長與以邊長

為直徑園的周長，故剩下圖形的周長為4+4+∏×4例2、一個長方形的長和寬都增長厘5米后，它的面積就增加125平方厘米。原來長方形的周長是多少厘米？分析：如圖可知，設(shè)原正方形長為a,增加的面積

為5×a+5×（a+5）=125a=4故原正方

形的周長為16。例3、一個平形四邊形與一個三角形等底等高，而且平形四邊形的面積比三角形的面積大6平方厘米，三角形的面積是平方厘米。分析：因三角形與平行四邊行等底等高，所以三角形的面積是平行邊行面積的一半，又平行四邊行比三角形面積大6，故三角形面積為6。例4、如圖，在梯形ABCD中，AB=2CD，

CD=6厘米，三角形BCD的面積是24平方

厘米，求梯形ABCD的面積。例5、一個長方形，如果長增加4米，面積就增加20平方米；如果原長方形寬增加4米，面積就增加32平方米。原長方形的面積是平方米。55ABCDa平面圖形例題例1、一塊邊長是4厘米的正方形紙板，以它的對邊立體圖形（一）長方體

特征

六個面都是長方形（有時有兩個相對的面是正方形）。

相對的面面積相等，12條棱相對的4條棱長度相等。

有8個頂點。

相交于一個頂點的三條棱的長度分別叫做長、寬、高。兩個面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點叫做頂點。

把長方體放在桌面上，最多只能看到三個面。

長方體或者正方體6個面的總面積，叫做它的表面積。

s=2(ab+ah+bh)V=shV=abh

（二）正方體特征

六個面都是正方形

六個面的面積相等

12條棱，棱長都相等

有8個頂點

正方體可以看作特殊的長方體

S表=6a2v=a3（三）圓柱

圓柱的上下兩個面叫做底面。

圓柱有一個曲面叫做側(cè)面。側(cè)面展開是長方形或正方形。

圓柱兩個底面之間的距離叫做高。s側(cè)=chs表=s側(cè)+s底×2v=sh/3（四）圓錐

圓錐的底面是個圓，圓錐的側(cè)面是個曲面。從圓錐的頂點到底面圓心的距離是圓錐的高。

把圓錐的側(cè)面展開得到一個扇形。

v=sh/3=∏r2h/3

立體圖形（一）長方體

特征

六個面都是長方形（有時有立體圖形例題例1、一個長方體所有棱長的和是96厘米，它的長寬高的比是5：4：3。它的表面積（）平方厘米，體積是（）立方厘米。例2、、做一節(jié)圓柱形通風(fēng)管需多少鐵皮，是求通風(fēng)管的（）。A、側(cè)面積B、表面積C、體積例3、一個圓柱體的側(cè)面積展開后是正方形，這個圓柱體底面的直徑與高的比是（）。

A、1：2πB、1：πC、π：1例4、一個圓錐形麥堆，底面半徑是2米，高是1.5米，如果把這些小麥裝入一個圓柱形糧囤里，已知糧囤底面積是9平方米，糧囤的高是多少米？例5、邊長為1厘米的正方體，如圖這樣層層重疊放置，那么當(dāng)重疊到第5層時，這個立體圖形的表面積是多少平方厘米？分析：圖形所含塊數(shù)的規(guī)律：第1層1塊，第2層3塊，第3層6塊，第4層10塊，第5層15塊，依次增加2、3、4、5…，當(dāng)重疊到第5層時，該立體圖形的上下、左右、前后方向的表面面積都是15平方厘米，該圖形的總表面積為90立方厘米。如圖：立體圖形例題例1、一個長方體所有棱長的和是96厘米，它的長寬統(tǒng)計圖1條形統(tǒng)計圖：優(yōu)點，很容易看出各種數(shù)量的多少。

注意：畫條形統(tǒng)計圖時，直條的寬窄必須相同。

2折線統(tǒng)計圖；優(yōu)點，不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。例1、下面兩幅圖分別是表示小紅、小利兩家7月、8月和9月用電量的單式條形統(tǒng)計圖。

①看數(shù)據(jù)能比較兩家每月的用電量。②將兩幅圖合成一幅統(tǒng)計圖。解②

①小紅家7、8、9月用電情況統(tǒng)計圖②小利家7、8、9月用電情況統(tǒng)計圖統(tǒng)計圖1條形統(tǒng)計圖：優(yōu)點，很容易看出各種數(shù)量的多少。

注月份

班級九月份十月份十一月份十二月份四（1）21202425四（2）13151110例2、這是新苗小學(xué)四（1）班和四（2）班在衛(wèi)生檢查中所獲得的紅旗面數(shù)。

新苗小學(xué)四（1）、四（2）班第一學(xué)期衛(wèi)生檢查得旗情況統(tǒng)計圖回答問題：①四（1）班（

）月得到的紅旗數(shù)多，四（2）班（

）月得到的紅旗數(shù)少。②9月份四（1）班比四（2）班多（

）面。③（

）月兩班的差距最大。1212128月份

班級九月份十月份十例3、請根據(jù)下面的統(tǒng)計圖回答下列問題。

（1）（）月份收入和支出相差最小。

（2）9月份收入和支出相差（）萬元。

（3）全年實際收入（）萬元。

（4）年平均每月支出（）萬元。

（5）你還獲得了哪些信息？

例4、小明從家到學(xué)校上學(xué)，上了兩節(jié)課后到文化閱覽室讀書，然后到姥姥家看姥姥，最后回到家。問下面哪個是小明的行動曲線？

月份____收入----支出萬元1211109876543210102030405060708090100例3、請根據(jù)下面的統(tǒng)計圖回答下列問題。

（1）（）月份本講只到六年級上半學(xué)期再見第二學(xué)期預(yù)習(xí)第二學(xué)期預(yù)習(xí)小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)小升初數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)數(shù)和數(shù)的運算

整數(shù)與自然數(shù)

整數(shù)：自然數(shù)和0都是整數(shù)。

自然數(shù)：我們在數(shù)物體的時候，用來表示物體個數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。

一個物體也沒有，用0表示。0也是自然數(shù)。

計數(shù)單位

：一（個）、十、百、千、萬、十萬、百萬、千萬、億……都是計數(shù)單位。

每相鄰兩個計數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計數(shù)法叫做十進(jìn)制計數(shù)法。

數(shù)位

：計數(shù)單位按照一定的順序排列起來，它們所占的位置叫做數(shù)位。

數(shù)的整除：整數(shù)a除以整數(shù)b(b≠0），除得的商是整數(shù)而沒有余數(shù)，我們就說a能被b整除，或者說b能整除a。

如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。

數(shù)和數(shù)的運算整數(shù)與自然數(shù)

整數(shù)：自然數(shù)和0都是整數(shù)。被2、3、5、7、9、11、13整除被2整除的數(shù)：個位上是0、2、4、6、8的數(shù)能被2整除。被5整除的數(shù)：個位上是0或者5的數(shù)能被5整除。被3或9整除的數(shù)：一個數(shù)各位上的數(shù)的和，能被3（或9）整除，這個數(shù)就能被3（或9）整除。能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

例如：93、84、12能被3整除；738、153、1242、35685等能被9整除。被7整除的數(shù)：

方法1、（適用于數(shù)字位數(shù)少時）一個數(shù)割去末位數(shù)字，再從留下來的數(shù)中減去所割去數(shù)字的2倍，這樣，一次次減下去，如果最后的結(jié)果是7的倍數(shù)（包括0），那么，原來的這個數(shù)就一定能被7整除。例如：判斷133是否7的倍數(shù)的過程如下：13－3×2＝7，所以133是7的倍數(shù)；又例如判斷6139是否7的倍數(shù)的過程如下：613－9×2＝595，59－5×2＝49，所以6139是7的倍數(shù)，余類推。方法2、（適用于數(shù)字位數(shù)在三位以上）一個多位數(shù)的末三位數(shù)與末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)之差，如果能被7整除，那么，這個多位數(shù)就一定能被7整除。如：判斷數(shù)280679末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是280，679－280=399，399能被7整除，因此280679也能被7整除。此法也適用于判斷能否被11或13整除的問題。如：283679的末三位數(shù)字是679，末三位以前數(shù)字所組成的數(shù)是283，679－283=396，396能被11整除，因此，283679就一定能被11整除．如：判斷383357能不能被13整除．這個數(shù)的未三位數(shù)字是357，末三位以前的數(shù)字所組成的數(shù)是383，這兩個數(shù)的差是：383－357=26，26能被13整除，因此，383357也一定能被13整除．方法3、首位縮小法，在首位或前幾位，減于7的倍數(shù)。例如，判斷456669能不能被7整除，456669-420000=36669，只要32669能被7整除即可。對32669可繼續(xù)，32669-28000=4669，4669-4200=469，469-420=49，49當(dāng)然被7整除，所以456669能被7整除。被2、3、5、7、9、11、13整除被2整除的數(shù)：個位上被2、3、5、7、9、11、13整除被11整除的數(shù)：除了前面講的被7整除的方法二適用于11之外，還可以把一個數(shù)由右邊向左邊數(shù),將奇位上的數(shù)字與偶位上的數(shù)字分別加起來,再求它們的差,如果這個差是11的倍數(shù)(包括0),那么,原來這個數(shù)就一定能被11整除。例如：判斷491678能不能被11整除?！嫖粩?shù)字的和9+6+8=23，—→偶位數(shù)位的和4+1+7=12

23-12=11,491678能被11整除。這種方法叫“奇偶位差法”。被13整除的數(shù)：除了前面講的被7整除的方法二適用于13之外，還可以把一個整數(shù)的個位數(shù)字去掉，再從余下的數(shù)中，加上個位數(shù)的4倍，如果和是13的倍數(shù)，則原數(shù)能被13整除。如果數(shù)字仍然太大不能直接觀察出來，就重復(fù)此過程。例如：判斷1284322能不能被13整除。128432+2×4=128440，12844+0×4=12844，1284+4×4=1300，1300÷13=100所以，1284322能被13整除。倍數(shù)與約數(shù)如果數(shù)a能被數(shù)b（b≠0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。因為35能被7整除，所以35是7的倍數(shù)，7是35的約數(shù)。

一個數(shù)的約數(shù)的個數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。例如：10的約數(shù)有1、2、5、10，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是10。一個數(shù)的倍數(shù)的個數(shù)是無限的，其中最小的倍數(shù)是它本身。

3的倍數(shù)有：3、6、9、12……其中最小的倍數(shù)是3，沒有最大的倍數(shù)。

被2、3、5、7、9、11、13整除被11整除的數(shù)：除了偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)自然數(shù)按能否被2整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。偶數(shù)：能被2整除的數(shù)。0是偶數(shù)。奇數(shù)：不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。性質(zhì)：1奇數(shù)≠偶數(shù)．2.奇數(shù)±奇數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)±偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)±偶數(shù)=奇數(shù)．3.奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)．4.奇數(shù)個奇數(shù)之和是奇數(shù)；偶數(shù)個奇數(shù)之和是偶數(shù)；任意有限個偶數(shù)之和為偶數(shù)．5.若干個奇數(shù)的乘積是奇數(shù)，偶數(shù)與整數(shù)的乘積是偶數(shù)．6.如果若干個整數(shù)的乘積是奇數(shù)，那么其中每一個因子都是奇數(shù)；如果若干個整數(shù)的乘積是偶數(shù)，那么其中至少有一個因子是偶數(shù)．7.如果兩個整數(shù)的和(或差)是偶數(shù)，那么這兩個整數(shù)的奇偶性相同；如果兩個整數(shù)的和(或差)是奇數(shù)，那么這兩個整數(shù)一定是一奇一偶．8.兩個整數(shù)的和與差的奇偶性相同．9.奇數(shù)的平方除以8余1，偶數(shù)的平方是4的倍數(shù)質(zhì)數(shù)（或素數(shù)）：一個數(shù)，如果只有1和它本身兩個約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素數(shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。合數(shù)：一個數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如4、6、8、9、12都是合數(shù)。1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。（自然數(shù)按其約數(shù)的個數(shù)的不同分：質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。）合數(shù)的質(zhì)因數(shù)：每個合數(shù)都可以寫成幾個質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個質(zhì)數(shù)都是這個合數(shù)的因數(shù)，叫做這個合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5叫做15的質(zhì)因數(shù)。

偶數(shù)、奇數(shù)、質(zhì)數(shù)、合數(shù)、約數(shù)自然數(shù)按能否被2整除的特征可分分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)因數(shù)。例如：把28分解質(zhì)因數(shù)：28=2×2×7互質(zhì)數(shù)：公約數(shù)只有1的兩個數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。成為互質(zhì)關(guān)系的兩個數(shù)：1和任何自然數(shù)互質(zhì)；相鄰的兩個自然數(shù)互質(zhì)；

兩個不同的質(zhì)數(shù)互質(zhì)。當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時，這個合數(shù)和這個質(zhì)數(shù)互質(zhì)；兩個合數(shù)的公約數(shù)只有1時，這兩個合數(shù)互質(zhì)。如果幾個數(shù)中任意兩個都互質(zhì)，就說這幾個數(shù)兩兩互質(zhì)。如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個數(shù)的最大公約數(shù)。

如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。約數(shù)：幾個數(shù)公有的約數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公約數(shù)。其中最大的一個，叫做這幾個數(shù)的最大公約數(shù)，例如12的約數(shù)有1、2、3、4、6、12；18的約數(shù)有1、2、3、6、9、18。其中，1、2、3、6是12和18的公約數(shù)，6是它們的最大公約數(shù)。公倍數(shù)、最小公倍數(shù)定義：幾個數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個，叫做這幾個數(shù)的最小公倍數(shù)，如2的倍數(shù)有2、4、6、8、10、12、14、16、18……

3的倍數(shù)有3、6、9、12、15、18……其中6、12、18……是2、3的公倍數(shù)，6是它們的最小公倍數(shù)。。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個數(shù)的最小公倍數(shù)。如果兩個數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。幾個數(shù)的公約數(shù)的個數(shù)是有限的，而幾個數(shù)的公倍數(shù)的個數(shù)是無限的。分解質(zhì)因數(shù)：把一個合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來，叫做分解質(zhì)質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)例1．兩個質(zhì)數(shù)的和是33，求這兩個質(zhì)數(shù)的積。解答：兩個質(zhì)數(shù)的和是33，而33是奇數(shù)，必為一個奇數(shù)與一個偶數(shù)之和．因為偶質(zhì)數(shù)只有2，另一個質(zhì)數(shù)只能為33-2=31，所以2與31的積為62。例2．用1，2，4，5，8中的三個數(shù)字組成最大的三位質(zhì)數(shù)。

解答：因為個位數(shù)字是2，4，5，8的三位數(shù)必能被2或5整除，所以個位數(shù)字只能是1．將個位數(shù)字是1的三位數(shù)從大到小逐個試驗：851=23×27，851不是質(zhì)數(shù)；841=29×29，841不是質(zhì)數(shù)；821不能被2至29的任何一個質(zhì)數(shù)整除，所以821是所求的最大的三位質(zhì)數(shù)。例3．有四個人，他們的年齡一個比一個大一歲，他們的年齡的乘積等于43680，求這四個人的年齡。解答：因為這四個人的年齡的乘積等于43680，所以這四個人的年齡是43680的約數(shù)．先將43680分解質(zhì)因數(shù)：43680=25×3×5×7×13=13×（2×7）×（3×5）×24=13×14×15×16所以這四個人的年齡分別是13，14，15，16．質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（一）質(zhì)數(shù)合數(shù)分解質(zhì)因數(shù)質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（二）4．求8400有多少個約數(shù)？

解答：因為8400=24×3×52×7，所以8400的約數(shù)個數(shù)為：（4＋1）×（1+1）×（2+1）×（1+1）=60個5．求有18個約數(shù)的最小自然數(shù)？解答：因為18=18×1=2×9=3×6=2×3×3，要使所求數(shù)最小，這個數(shù)為A=a12×a22×a3，其中a1，a2，a3為互不相同的質(zhì)數(shù)，所以a1=2，a2=3，a3=5，A=22×32×5=180，即有18個約數(shù)的最小自然數(shù)為180。6．三個質(zhì)數(shù)的乘積恰好等于它們的和的11倍，求這三個質(zhì)數(shù)。解答：設(shè)這三個質(zhì)數(shù)分別為a、b、c，則abc＝11（a＋b＋c）所以a、b、c中必有一個是11，不妨設(shè)是c=11，則上式變?yōu)閍b=a＋b＋11變形，得ab-a-b＝11a（b-1）-（b-1）-1＝11（b-1）（a-1）=12=12×1=2×6=3×4當(dāng)b-1=12，a-1=1時，b=13，a=2；當(dāng)b-1=2，a-1=6時，b=3，a=7；當(dāng)b-1=3，a-1=4時，b=4，a=5．所以這三個質(zhì)數(shù)為2，11，13或3，7，11．質(zhì)數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用（二）4．求8400有多少個約數(shù)？質(zhì)數(shù)應(yīng)用（一）例1：兩個