寒假集訓(xùn)-數(shù)學(xué)寒假作業(yè)

飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)學(xué)員寒假學(xué)習(xí)任務(wù)一覽表第一天極限的概念、性質(zhì)、四則運(yùn)算法則天數(shù) 學(xué)習(xí)任務(wù)

大綱要求

重難點(diǎn)提示

備注

是否完成1.理解極限的概念，理解函數(shù)左極限與右極限的概念以及函數(shù)極限存在與左極限、右極限之間的關(guān)系2.掌握極限的性質(zhì)及四則數(shù)列極限與子列極限關(guān) 1.函數(shù)極限存在的充要條件是系，函數(shù)極限的保號(hào)性，左極限、右極限存在且相等函數(shù)極限與數(shù)列極限的 2.使用極限四則運(yùn)算的前提是關(guān)系及四則運(yùn)算 參與運(yùn)算的極限均存在完成未完成第二天無窮小的比較運(yùn)算法則1.理解無窮小量、無窮大量的概念2.掌握無窮小量的比較方法3.會(huì)用等價(jià)無窮小量求極限高階，等價(jià)無窮小的定義，等價(jià)無窮小替換定理，八類常用的等價(jià)無窮小1.無窮小的比較實(shí)質(zhì)是趨于零速度快慢的比較2.掌握八類常用的等價(jià)無窮小的推廣，并靈活應(yīng)用完成未完成第三天0

0

的計(jì)算洛必達(dá)法則，

，

型極限

掌握用洛必達(dá)法則求未定式極限的方法0

0

，型極限的計(jì)算，洛必達(dá)法則使用的三個(gè)前0

1.

，型極限計(jì)算的套路有：0

洛必達(dá)法則，等價(jià)無窮小替換，完成未完成1

/32提條件第四天

0,

型極限的計(jì)算掌握

0,

型極限的計(jì)算套路

0,

型極限的計(jì)算套路飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)有理化處理，

公式等2.洛必達(dá)法則的第三個(gè)前提條件是求導(dǎo)后的極限存在

0,

型極限計(jì)算的套路有：完成未完成第五天0

,00

,1

型極限的計(jì)算掌握0

,00

,1

型極限的計(jì)算套路1

型極限的計(jì)算套路強(qiáng)提因式，等價(jià)無窮小替換，倒代換，有理化處理，

公式等0

,00

,1

型極限計(jì)算的套路是冪指函數(shù)的恒等變換，變成e0完成未完成第六天定理、單調(diào)有界原理1.掌握極限存在的兩個(gè)準(zhǔn)則2.會(huì)利用

定理和單調(diào)有界 原理求極限定理和單調(diào)有界原理在計(jì)算極限中的運(yùn)用型極限1.

定理求極限時(shí)，需對(duì)式子進(jìn)行適當(dāng)?shù)姆趴s；2.由遞推公式給出的數(shù)列一般先用單調(diào)有界原理判斷該數(shù)列完成未完成極限的存在性第七天 連續(xù)的定義與性質(zhì) 1.理解函數(shù)連續(xù)性的概念 1.函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的 1.判斷分段函數(shù)在分段點(diǎn)處連

□

完成2

/322.了解連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)和初等 函數(shù)的連續(xù)性3.理解閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性 質(zhì)，并會(huì)應(yīng)用這些性質(zhì)定義2.閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用2.考研中閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)易與中值定理結(jié)合考查，現(xiàn)階段了解內(nèi)容即可.飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)續(xù)性時(shí)通常需要驗(yàn)證：

□ 未完成f

(x0

0)

f

(x0

0)

f

(x0

)第八天間斷點(diǎn)類型的判斷會(huì)判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型判斷函數(shù)間斷點(diǎn)的類型函數(shù)的無定義的點(diǎn)一定是間斷點(diǎn)完成未完成第九天導(dǎo)數(shù)的定義2.了解導(dǎo)數(shù)的物理意義，并會(huì)用導(dǎo)數(shù)描述一些物理量（數(shù)一、數(shù)二）理解導(dǎo)數(shù)概念及其幾何函數(shù)在一點(diǎn)處導(dǎo)數(shù)定意義義2.平面曲線過某點(diǎn)處的切線方程和法線方程3.難點(diǎn)：靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)3.會(huì)求平面曲線的切線和的定義法線方程求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)就是計(jì)算0

型極限0完成未完成第十天微分的定義； 1.函數(shù)的可導(dǎo)性與連續(xù)性函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微三者 之間 的關(guān)系關(guān)系 2.理解微分的概念及導(dǎo)數(shù)可微之間的關(guān)系1.函數(shù)的可導(dǎo)、連續(xù)、 1.可導(dǎo)與可微的關(guān)系是等價(jià)的2.難點(diǎn)：微分的定義的 2.導(dǎo)數(shù)和微分的本質(zhì)是不同的：完成未完成3

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)與微 分的關(guān)系3.了解微分的四則運(yùn)算法則和

一階微分形式的不變性4.會(huì)求函數(shù)的微分理解導(dǎo)數(shù)是增量比的極限：微分是因變量增量的線性主部.第十一天導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則和復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則掌握基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式、導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則及復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法一定要熟記基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式；在求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時(shí)，要明白哪個(gè)是自變量，哪個(gè)是因變量。完成未完成第十二天各種函數(shù)求導(dǎo)法則1.會(huì)求分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.會(huì)求隱函數(shù)和由參數(shù)方程所確定的函數(shù)以及反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)1.分段函數(shù)的分段點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)2.隱函數(shù)的求導(dǎo)方法3.參數(shù)方程的二階導(dǎo)數(shù)4.反函數(shù)的二階導(dǎo)數(shù)在判定分段函數(shù)的分段點(diǎn)是否可導(dǎo)時(shí)，一般利用導(dǎo)數(shù)定義；隱函數(shù)的求導(dǎo)一共有3種方法（在方程兩邊直接求導(dǎo)；公式法；微分不變性）參數(shù)方程求二階導(dǎo)數(shù)的方法，掌握解題思路；反函數(shù)求二階導(dǎo)數(shù)的方法，理解導(dǎo)數(shù)即是微分的商，靈活求導(dǎo)。完成未完成第十三天高階導(dǎo)數(shù)的計(jì)算求函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)在一了解高階導(dǎo)數(shù)的概念會(huì)求簡單函數(shù)的高階導(dǎo)求n階導(dǎo)數(shù)的基本方法有：1.數(shù)學(xué)歸納法完成4

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)數(shù)點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)值；2.遞推公式法3.

用

公式和冪級(jí)數(shù)展開進(jìn)行比較求一點(diǎn)的n階導(dǎo)數(shù)等未完成第十四天導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：極值和最值理解函數(shù)的極值概念掌握用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求函數(shù)極值的方法掌握函數(shù)最大值和最小值的求法及其應(yīng)用1.函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用（證明不等式）2.函數(shù)極值的必要條件及兩個(gè)充分條件求函數(shù)f

(x)極值的一般步驟為：（1）求f

(x)；（2）求出函數(shù)f

(x)的所有駐點(diǎn)和一階導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)3.函數(shù)最值的求法（3）然后再利用判定函數(shù)極值的充分條件進(jìn)行判定完成未完成如何判定一個(gè)點(diǎn)是否為求曲線f

(x)在區(qū)間I

內(nèi)拐點(diǎn)的一般步驟為：求f(x)；令f

(x)

0

，解出這方程在區(qū)間I

內(nèi)的實(shí)根，并求出在區(qū)間完成未完成1.會(huì)用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)圖形第十五天導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：函數(shù)凹凸性、拐點(diǎn)和漸近線的凹凸性2.會(huì)求函數(shù)圖形的拐點(diǎn)以及水平、鉛直和斜漸近拐點(diǎn)的方法；曲線拐點(diǎn)的必要條件和線充分條件；3.會(huì)描繪函數(shù)的圖形三種漸近線的求法5

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)I

內(nèi)f

(x)不存在的點(diǎn)；(3)然后再利用判定拐點(diǎn)的充分條件進(jìn)行判定.1.

設(shè)

lim

xn

，

lim

yn

，

lim

zn

A

．則下列命題中正確的是

（

）.n

n

n(A)

lim(xn

yn

)

． (B)

lim(xn

zn

)

．n

nn

n

nn

n(C)

lim(x

y

)

．

(D)

lim[x

]yn

．(x2

1)50，則a

的值為2.設(shè)limx(x

1)95

(ax

1)5

8（）.（A）.

1（B）.

2（C）.

5

8（D）.均不對(duì)2017海天學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)第一天6

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)3.設(shè)數(shù)列xn

與yn

，滿足limxn

yn

0

，則下列敘述正確的是（）.n(A)

若

xn發(fā)散，則

yn

必發(fā)散． (B)

若

xn

，則

yn

必有界．(C)若xn有界，則yn

必為無窮小量n(D)若1

為無窮小量，則yn

必為無窮小量．x4.

設(shè)有數(shù)列{xn}，{yn

}，{zn

}，且{xn}為 數(shù)列，

lim

yn

0

，

lim

zn

1，則必有（n

n）.(A)

limxn

． (B)

lim

xn

yn

0

．n

n(C)存在正整數(shù)

N，當(dāng)

n＞N，有

xn

yn

． (D)

lim

xn

zn

不存在．n5.下列極限正確的是（）.(A)

limxπ

1．sin

xx(B)

lim

x

sinx

1．1x1

1x

x(C)

lim

sin

不存在．x

x(D)

lim

1．sin

xx6.

lim

fx

gx存在，

lim

fx

gx不存在，

確的是xx0

xx0（）.（A）．lim

f

x不一定存在

（B）．lim

gx不一定存在xx0

xx0（C）．lim[

f

2

(x)

g

2

(x)]必不存在

（D）．lim

f

x不存在xx0

xx07

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)n

n

1

1n7.

lim

n

答案

1.C, 2.C, 3.D, 4.D, 5.B, 6.D, 7.

11.設(shè)f

(x)2x

3x

2

，則當(dāng)x

0

時(shí)（

）.（A）.

f

(x)是x

的等價(jià)無窮?。˙）.

f

(x)是x

的同階但非等價(jià)無窮?。–）.

f

(x)比x

較低階無窮?。―）.

f

(x)比x

較高階無窮小x22.當(dāng)x

0

時(shí)，f

(x)

1

sin

1

是x(B)無窮大量．（）.(A)無窮小量．(C)有界非無窮小量．

(D)

非無窮大量．3.設(shè)y

f

(x)在x

x0

連續(xù)，且滿足f

(x)

2

(x

x0

)

o((x

x0

))(x

x0

)，則y＝

f(x)在x0

處的微分dy

x

x0

當(dāng)x

x0

時(shí)是（x

x0）的（

）.(A)等價(jià)無窮?。?(B)同階非等價(jià)無窮?。诙?

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)(C)高階無窮?。?(D)低階無窮?。畑2x04.設(shè)f

(x)滿足lim

f

x

1

，當(dāng)x→0時(shí)，lncosx2

是比xn

f

x高階的無窮小量，而xn

fx是比esin

2

x

1

高階的無窮小，整數(shù)n

等于（）.（

A

）．1 （

B）．2 （

C

）．3 （

D）．45.

當(dāng)

x

0

時(shí),與

x

等價(jià)的無窮小量是（(A)

1

e

x

. (B)

ln(1

x

)

.）(C)

1

x

1

.(D)

1

cos

x

.6.

當(dāng)

x

0

時(shí),

f

x

x

sin

x

與

g

x

x2

ln

1

bx

是等價(jià)無窮?。?/p>

）(A)

b

1

.6(C)

b

1

.3(B)

b

1

.6(D)

b

1

.37.已知當(dāng)x

0

時(shí)，f

x

3x

sin

3x

與cxk

是等價(jià)無窮小，則（）(A)

k

1,c

4

．(B)

k

3,

c

9

．2(C)

k

3,

c

9．2(D)

k

3,

c

4

．8.當(dāng)x

0

時(shí)，與x

等價(jià)的無窮小量是（）.(A)1

esinx

．(B)

ln(

x

1

x

)

．9

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)(C)

3

1

x

1． (D)1

cos

x

．33

3

x

3

1

，

sin

x

，γ＝1－cos2x

排列起來，使排在后面的是前一個(gè)的高階無窮小，確的排列次序是9.把x

0

時(shí)的無窮小量

）.（(A)

β，γ，α．(B)

γ，β，α．(C)

α，β，γ．

(D)γ，α，β．10.已知當(dāng)x

0

時(shí)，f

(x)

ex

1

ax

為x

的3階無窮小，則a

1

bx答案

1.C, 2.D, 3.B, 4.A, 5.B, 6.A, 7.C, 8.B, 9.B,，

b.10.

a

1

,

b

12

21.設(shè)x2limln(1

x)

(ax

bx2

)

2x0，則（）.（A）.

a

1，b

5/2（C）.

a

0，b

5/2（B）.

a

0，b

2（D）.

a

1，b

2第三天10

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)2.設(shè)lim

(x

1)(x

2)(x

3)(x

4)(x

5)

，則a,

的數(shù)值為(3x

2)ax（）（A）.

a

1,

1313（B）.

a

5,

（C）.

a

5,

135）.（D）.均不對(duì)3.設(shè)lim

(1

x)(1

2x)(1

3x)

a

6

，則a

的值為x0x（（A）.

1（B）.

2（C）.2（D）.

34.設(shè)lim2x0

c

ln(1

2x)

d

(1

e

x

)a

tan

x

b(1

cos

x)

2

，其中a2

c2

0

，則必有（）.（A）.

b

4d

（B）.

b

4d（C）.

a

4c（D）.

a

4cx25.已知I

limx02ax2

bx

ex2

x

1

2

，則（

）.(A)a＝5，b＝－2．(B)a＝－2，b＝5．(C)a＝2，b＝0．(D)a＝3，b＝－3．x211

/32ax2

bx

ln1

2x

x2

6.已知I

limx0

5

，則（）（A）．a(chǎn)＝－4，b＝2（B）．a(chǎn)＝4，b＝－2（C）．a(chǎn)＝3，b＝－2（D）．a(chǎn)＝－3，b＝2飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)7.設(shè)limx0ax

sin

x

c

0

，

則a

，

b

，

c

.dtx3ln(1

t

)bt8.

.21x31

x

x

e

1

x32

xlim

x09..etan

x

esin

x1

tan

x

1

sin

x

limx0x2

cos

110.

lim

xx011.limx0sin

xln(cos

x

1

x2)

tan

x

ln(1

x)答案

1.A, 2.C, 3.A, 4.C, 5.

A

, 6.B,7.

a

1,b

0,

c

1

, 8.

1

, 9.

1

,2

3

210.

0

, 11.

1,第四天12

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)x01.

lim

cot

x

1

1

x

sin

x2.22xx0

1

lim

cot

x

3.xlim[(x5

7x4

2)a

x]

b，b

0

，求a

，b

的值.x4.

lim(

1

x

1)x0

1

e

x5.

lim

x

sinx22xx

126.

l1 cos2

x)17.

limx[(x2

1)2

x]xxxx0

1

1

x

8.若lim

a

e

1

,則a

等于（）(A)0.(B)

1.(C)

2.(D)

3.1

19.

lim[]x1

sin

x

(1

x)13

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)10.

當(dāng)

x

0

時(shí)，

(x)

kx

2

與

(x)

1

x

arcsinx

cos

x

是等價(jià)無窮小，則k

=

.答案

1.1

,62.2,33.

a

1

,

b

7

,

4.5

53

,25.

2

,

6.4

,37.

不存在, 8.

C, 9.

0

,

10.342nlim

n

a

n

b

n

1.n2.1

2n

lim

n

e2

1n

3.lim()

x31

tan

x

1x0

1

sin

x4.1lim

(x

ex

)

x

x5.x)ex

1lim(x0ln(1

x)

1第五天14

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)7.16.

lim(cosx)ln(1

x2)x01lim

(tan

x)

cos

xsin

x4x1

18.

lim(x

x

1)ln

x

x答案

1.

ab

,12.

e2

, 3.

e2

, 4.

e

, 5.

e

2

1

1, 6.

e

2

, 7.

e

2

, 8.

1221

2n1.求極限lim

nn

n

nn

n

1

n2

n

2

1112.求極限lim

1

n

n

11(n2

1)2

(nn

1)

n

設(shè)

x1

1，

xn1

2xn

(n

1,

2,)

，證明{xn

}

收斂并求lim

xnn設(shè)數(shù)列xn滿足0

x1

,xn1

sin

xn

(n

1,2,)證明{xn

}收斂并求lim

xnn.第六天15

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)1

221nn15.設(shè)

x

1，

x

1

，

x

1

xn(n

1,2,)，證明{xn

}收斂并求lim

xn參考答案1.2.

1n3.

lim

xn

2n4.

lim

xn

0n5.

lim

xn

0.618x2

11

x

00

x

11

x

2，

則結(jié)論（1.設(shè)f

(x)

x2

x）正確.（A）

x

0,x

1

處間斷.（B）在x

0,x

1

連續(xù).（C）在x

0

間斷，在x

1

處連續(xù).（D）在x

0

處連續(xù)，在x

1

間斷.2.

設(shè)

f(x)，g(x)在x0

不連續(xù)，則

（

）（A）．f(x)＋g(x)在x0

不連續(xù)，f(x)·g(x)在x0

連續(xù)（B）．f(x)＋g(x)和f(x)·g(x)在x0

都不連續(xù)（C）．f(x)＋g(x)在x0

連續(xù)，f(x)·g(x)在x0

不連續(xù)（D）．f(x)＋g(x)和f(x)·g(x)在x0

連續(xù)性不定12第七天16

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)3.

設(shè)函數(shù)f

x有連續(xù)的導(dǎo)函數(shù)，f

0

0

，f

'0

b

，x

0x

0xA

f

(x)

a

sin

x若F

(x)

在

x

0

處連續(xù)，則常數(shù)

A

.2n4.設(shè)f

(x)

limnx2n1

ax

bx

1為連續(xù)函數(shù).求a

、b

.參考答案1.（C）

2.

（D）3.

b

a4.

a

1，

b

01．設(shè)函數(shù)fx, x

01

e

11,

x

01x則x＝0

是f(x)的一個(gè)()（A）．連續(xù)點(diǎn)（B）．可去間斷點(diǎn)（C）．第二類間斷點(diǎn)（D）．跳躍間斷點(diǎn)第八天17

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)2.設(shè)f(x)在(－∞，＋∞)x

0，

x

0，e

，x

0，內(nèi)有定義且lim

f

(x)

a

，g(x)

x

f

1

則（

）(A)x＝0

必是g(x)的可去間斷點(diǎn)．(B)x＝0

必是g(x)的第二類間斷點(diǎn)．(C)x＝0

必是

g(x)的連續(xù)點(diǎn)．

(D)g(x)的連續(xù)性與

a

的取值有關(guān)．3.設(shè)

f

(x)

和(x)

在(,

)

內(nèi)有定義，

f

(x)

連續(xù)且

f

(x)

0

，(x)

有間斷點(diǎn)，則(

)（A）.

[f

(x)]必有間斷點(diǎn)（B）.[(x)]2

必有間斷點(diǎn)(x)（C）.

f

[(x)]必有間斷點(diǎn)（D）.

必有間斷點(diǎn)f

(x)x

1

x(2x

)

2

cos

x4.

求函數(shù)f

(x)

sin1x2

1x

1的間斷點(diǎn)并判別類型5.設(shè)函數(shù)f

(x)sin2

x

11

sin

x

sin2

x

(

sin

x)

，且x

0

是f

(x)的可去間斷點(diǎn),求,

.參考答案1.（D）

2.

（A）3.

（D）4.x

為第一類可去間斷點(diǎn)；x

k

為第二類無窮間斷點(diǎn)2

225.

a

1

1第九天飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)1．f(x)在

x0

處存在左、右導(dǎo)數(shù)，則

f(x)在

x0

點(diǎn)(

)(A)可導(dǎo)．

(B)連續(xù)．

(C)不可導(dǎo)．(D)不連續(xù)．2.

f(0)＝0，

limx

02xf

(x2

)存在是

f(x)在

x＝0

處可導(dǎo)的(

)(A)充分非必要條件．(B)必要非充分條件．(C)充分必要條件．(D)既非充分條件又作必要條件．0,13．設(shè)函數(shù)f

x

x

1

x

1,

x＞1cos11

x，f

(x)在x＝1

處可導(dǎo)，則α

的取值為（）（A）α＜－1（B）－1≤α＜0（C）0≤α＜1（D）α≥1

04

.設(shè)

f

x

存在，求

lim

019

/320x0f

x

2x

f

x

3x5x.5.設(shè)fx

xx

1x

2x

100，求f50飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)設(shè)

y＝y(tǒng)(x)是由方程x2

y

sinx

y確定的隱函數(shù)，且

y(0)＝0，則

y''(0)＝

．曲線

y

lnx

1

x2

與直線

x＋y＝1

垂直的切線方程為

．與曲線y

22

x

相切，且與曲線在點(diǎn)(1，3)處的切線垂直，則此直線方程為

．a(chǎn)x

b,

x

2

,

x

1x

19．設(shè)函數(shù)fx

，試確定a

、b

的值，使fx在點(diǎn)x

1處可導(dǎo).參考答案1.（B）

2.

（B）

3.

（A）4.6.

-1

7.y

x8.y

2x

1589.

f

x0

5.

50!2a

2,

b

11

23x

,

x

0xx

2

sin ,

x

01.．設(shè)f

x

，則(

)（A）f(x)有間斷點(diǎn)x＝0（B）f'(x)在(－∞，＋∞)上連續(xù)第十天20

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)（C）f(x)在(－∞，＋∞)上連續(xù)，但有不可導(dǎo)點(diǎn)（D）f(x)在(－∞，＋∞)上處處可導(dǎo)，但f'(x)在(－∞，＋∞)上不連續(xù)x2．設(shè)函數(shù)f

x

gxsin

1

,

x

0且

g(0)＝g'(0)＝0，則

f(x)在點(diǎn)

x＝0

處(

)0,

x

0（A）連續(xù)但不可導(dǎo) （B）可導(dǎo)但

f'(0)≠0

（C）極限存在但不連續(xù)

（D）可微且df

x|x0

03.設(shè)函數(shù)f(x)在(a，b)內(nèi)有定義，x0

(a，b)，若當(dāng)x∈(a，b)時(shí)，恒有f

(x)

f

(x0

)(x

x0

)2

，則x

x0

必是f(x)的21

/32(

)(A)間斷點(diǎn)．

(B)連續(xù)但不可導(dǎo)點(diǎn)．

(C)可導(dǎo)點(diǎn)且

f

(x0

)

0

(D)可導(dǎo)點(diǎn)且

f

(x0

)

0

．4．設(shè)

f(x)二階可導(dǎo)，且

f'(x)＜0，f"(x)＞0，Δy＝f(x＋Δx)－f(x)，則當(dāng)

Δx＞0

時(shí)有(

)(A)Δy＞dy＞0．

(B)Δy＜dy＜0

(C)dy＞Δy＞0．

(D)dy＜Δy＜0．xα

arctan

1

，5.

設(shè)

f

(x)

x0，x

0，x

0，其導(dǎo)函數(shù)在

x＝0

處連續(xù)，則

α的取值范圍是

．6.

設(shè)方程ey

sin

t

y

1

0

確定了

y＝y(tǒng)(t)，則在

t＝0

處曲線

y(t)的切線方程是＝

．參考答案飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)1.（D）

2.（D）3.（D）4.（D）5.

α＞16.y＝ex＋122x

11.已知y

f

2x

1,

f'

x

ln

1

x

，則

x

1|

.dydx2.求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分：（I）設(shè)y

arcsin

e

x

，求y；（Ⅱ）設(shè)y

1n1

3

x

，求dy

；（Ⅲ）設(shè)y

x

1

3

3x

12

2

x

，求y

.2

n

dy3.設(shè)

y

esin

x

cos

x

2

cos

x

,

求

.dx4.設(shè)y

55x

5x2

2dy，求

.dxtan11x5.設(shè)

z

e

sin

，求

dz.x6.設(shè)y

22a

ba

b2

2a

bx

arctantan

，其中a

b

0

,求y

.答案：1.4

10ln

.9

9第十一天22

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)12.

（I）

y

2e

x1e2

x

x

.（Ⅱ）

dy

1n33x

1dx

.

x

1 3x

13x

2

（Ⅲ）

y

x

1

3

3x

12

2

x

1

2

1

.提示：這是求連乘積的導(dǎo)數(shù)，用對(duì)數(shù)求導(dǎo)法方便.因函數(shù)可取負(fù)值，先取絕對(duì)值后再取對(duì)數(shù)3.sin

2

xcosx2

cosxdy

sin

xdxe

sin

2x

2(1

cosx

1n2).1

2x

4.

y

'

y2

5(x

5) 25(x

2)

x

xtan

1

1

1

1 1

5.

dz

x2

e

x

tan

sec

cos

dxx

6.

y

1.a

bcosx第十二天23

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)1.設(shè)函數(shù)y＝y(tǒng)（x）由方程cos(xy)

x

2y2

所確定，dy

dx.2.設(shè)

y＝y(tǒng)（x）是由方程x2

y

sin

x

y確定的隱函數(shù)，且

y（0）＝0，則y0＝

.1

，則x

0，3．設(shè)

f

(x)

(1

x)x

e，x

0，

f

(x)

.

0x

et

sin

t4.已知

y

et

costd

2y，求

.dx

25.設(shè)x

y2

y

，u

(x

2

x)3/2

，求dy

.dux

0x

0xag(x)

cos

x6.已知f

(x)

，其中g(shù)(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且g(0)

1

.（1）確定a

的值，使f

(x)在x

0

點(diǎn)連續(xù)；（2）求f

(x).x0,24

/32

2

1xcos

,

x

0x

07.設(shè)φ（x）在x＝0可導(dǎo)，g

x

，令F（x）＝φ[g（x）]，求F

0.飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)答案：1.

yxx(1

x)e1

x

(1

x)ln(1

x)

，2(1

x)x

，

x

0，x

0，dx

2et

(cos

t

sin

t)3d

2y

22.

-13.

4.

25..dy

du3(2y

1)

x

2

x

(2x

1)6.

(1)a

g(0)x

2x[g(x)

sin

x

][g(x)

cos

x

]x

0x

0(2)f

(x)

1(g(0)

1)221，x

cos ,

x

0x

gx

7.

F

0

0

提示：F

x

0,

x

0第十三天25

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)3x

11.

設(shè)y

x

3

，則y(n

)

.設(shè)

y

ln(1

x2)

，則

y(5)(0)

=

.0設(shè)

f

(x)

有任意階導(dǎo)數(shù)且

f

'(x)

f

3

(x)

，則

f

(n

)

(x)

.x

24.已知f

(x)，求f

(n

)(0).1

x

25.設(shè)y

x

ln

x

，求f

(n

)(1)

.3n1

n

!n答案：1.(1)

10

(3x

1)n12.

03.

f

(n

)

(x)

(2n

1)!!

f

2n1

(x)1

11

14.

【詳解】

f

(x)

1

2

1

x2

1

x，f

(n

)(x)

1

26

/32n

!

1

(1)n

n

!2

(1

x)n

1

2

(1

x)n

1

，f

(2k

1)(0)

0,k

0,1,2,

f

2k

(0)

n

!,k

0,1,2,飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)5.f

(n)(1)

1n2

n

2!1n2n2xn

1提示：使用

高階導(dǎo)數(shù)公式f

(n

)(x)

x

(ln

x)(n

)

n(ln

x)(n

1)

x(1)n

1

(n

1)!

n(1)n

2

(n

2)!xn

xn

1(n

1)

n

(1) (n

2)!

(1) (n

2)!,xn

1

x

n1

（A）

bf

a

af

b.（C）

af

a

xf

x.（B）

abf

x

x2

f

b.（D）

abf

x

x2

f

a.2.

設(shè)函數(shù)

f

(x)

為可導(dǎo)函數(shù)，且

f

x

嚴(yán)格單調(diào)遞增，則F(x)

f(x)

f(a)

在（a，b]內(nèi)

（

）x

a（D）單調(diào)遞增.（A）有極大值. （B）有極小值. （C）單調(diào)減少.f

x3.設(shè)f（x）在x＝0的鄰域內(nèi)有定義，且f（0）＝0，limx

0

1

cos

x

2

，則

f（x）在x＝0

處

（

）（Ａ）不可導(dǎo)（B）可導(dǎo)且f'0＝0

（C）取極大值（D）不取極值第十四天1.設(shè)f

x可導(dǎo)，恒正，且0

a

x

b

時(shí)恒有f

x

xf

x，則27

/32飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)|

x

|x

04.設(shè)f

(x)有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且f＇（0）＝0，lim

f''x

1，則（）（A）

f

(x)有極大值（B）f（0）是f

(x)的極小值（C）（0，f（0））是曲線y＝

f

(x)的拐點(diǎn)（D）f（0）不是f

(x)的極值，點(diǎn)（0，f（0））也不是曲線的拐點(diǎn)1

22

2sin

x

x5.設(shè)0＜x

＜x

＜

，則

sin

x1

與

x1

之間的關(guān)系是

.設(shè)f

(x)對(duì)一切x∈（－∞，－∞）滿足方程(x

1)f

(x)

2(x

1)[f

(x)]3

1

e1x

，且

f

(x)

在

x＝a（a≠1）取得極值，則x＝a

是極

值點(diǎn).求函數(shù)y

(x

5)

3

x2

的單調(diào)性區(qū)間與極值點(diǎn)。8.設(shè)a

0

，求f

(x)1

128

/321

|

x

|

1

|

x

a

|的最大值。答案：1.

（C）2.

（D）3.

（B）4.

（B）飛躍學(xué)員寒假數(shù)學(xué)作業(yè)5.sin

x1

＞

x1sin

x2

x2x＝a是極小值點(diǎn)單調(diào)增加區(qū)間：(，0)(2，)；單調(diào)減少區(qū)間：(0，2)；極小值點(diǎn)x

2

，極大值點(diǎn)x

0.8.

f

(x)在(，+)的最大值2

a1

a.提示：f

(x)在(，)上連續(xù)且可寫成如下分段函數(shù)(1-x)2

(1

a

x)21

11

11

x

1

a

x1

12(1

x)

(1

x

a)2

，x

a.

1

1

，x

0，f

(x)