（精解版）廣東省潮州市2022屆高三下學(xué)期二模數(shù)學(xué)試題（解析版）

潮州市2022年高考第二次模擬考試數(shù)學(xué)一、選擇題（本題共12道小題，其中1至8小題為單項選擇題，9至12小題為多項選擇題，每小題5分，共60分）（一）單項選擇題（本題共8道小題，每小題只有一個選項正確，每小題5分，共40分）1.已知集合或，則（）．A. B.C. D.或【答案】B【解析】【分析】利用補集的概念求解.【詳解】因為或，所以，故選：B2.復(fù)數(shù)（其中i為虛數(shù)單位）在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】化簡，即得解.【詳解】解：由題得，所以復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點的坐標(biāo)是.故選：B3.圍棋盒子中有多粒黑子和白子，已知從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，則從中任意取出2粒恰好是不同色的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，根據(jù)對立事件的概率公式求解即可,【詳解】圍棋盒子中有多粒黑子和白子，∵從中取出2粒都是黑子的概率為，都是白子的概率是，∴由對立事件概率計算公式得：從中任意取出2粒恰好是不同色的概率是：.故選：D.【點睛】本題主要考查對立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.4.已知一個圓柱的軸截面為正方形，且它的側(cè)面積為，則該圓柱的體積為（）．A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】設(shè)圓柱底面半徑為R，高為h，由題意列方程組求出R、h，即可求出圓柱的體積.【詳解】設(shè)圓柱底面半徑為R，高為h，設(shè)，解得，∴圓柱的體積為．故選：D5.若點P是雙曲線上一點，，分別為的左、右焦點，則“”是“”的（）．A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)雙曲線的定義和充分不必要條件的定義可得答案.【詳解】由題意可知，，，，若，則，或1（舍去），若，，或13，故“”是“”的充分不必要條件．故選：A．6.唐代詩人李頎的詩《古從軍行》開頭兩句說：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河．”詩中隱含著一個有趣的數(shù)學(xué)問題——“將軍飲馬”問題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在位置為，若將軍從點處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）．A.5 B. C.45 D.【答案】B【解析】【分析】先求出點關(guān)于直線的對稱點，則線段的長度即為最短總路程，再利用兩點間的距離公式進(jìn)行求解.【詳解】因為點關(guān)于直線的對稱點為，所以即為“將軍飲馬”的最短總路程，則“將軍飲馬”的最短總路程為．故選：B．7.已知是邊長為3的等邊三角形，三棱錐全部頂點都在表面積為的球O的球面上，則三棱錐的體積的最大值為（）．A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】求出球心到底面ABC的距離和球的半徑，從而確定三棱錐的高的最大值為3，利用椎體體積公式求出體積的最大值.【詳解】球O的半徑為R，則，解得：，由已知可得：，其中球心O到平面ABC的距離為，故三棱錐的高的最大值為3，體積最大值為．故選：C．8.已知函數(shù)，若函數(shù)的兩個零點分別在區(qū)間和內(nèi)，則實數(shù)的取值范圍為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】先作出的圖像，令，利用數(shù)形結(jié)合法求解即可【詳解】先作出的圖像，令，在區(qū)間內(nèi)時，，，得到，所以，；在區(qū)間內(nèi)時，，，得到，解得，所以，；綜上，得故選A【點睛】解題的關(guān)鍵在于先作出的圖像，并令，然后，分段討論出的范圍，屬于中檔題（二）多項選擇題（本題共4小題，每小題5分，共20分．每小題有多個選項正確，每小題全部選對得5分，部分選對得2分，錯選不得分）9.某旅游景點2021年1月至9月每月最低氣溫與最高氣溫（單位：℃）的折線圖如圖，則（）．A.1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是4月B.1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系C.1月到9月的最高氣溫與最低氣溫的差逐步減小D.1月到9月的最低氣溫的極差比最高氣溫的極差大【答案】BD【解析】【分析】由該旅游景點2019年1月至9月每月最低氣溫與最高氣溫的折線圖逐項觀察出選項可得答案.【詳解】1月到9月中，最高氣溫與最低氣溫相差最大的是1月，故A選項錯誤；1月到9月的最高氣溫與月份具有比較好的線性相關(guān)關(guān)系，故B選項正確；最高氣溫與最低氣溫的差不穩(wěn)定，故C選項錯誤；最低氣溫的極差超過35℃，最高氣溫的極差約為25℃，故D選項正確．故選：BD．10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）．A.函數(shù)的最小正周期為 B.點是圖像的一個對稱中心C.的圖像關(guān)于直線對稱 D.在區(qū)間單調(diào)遞減【答案】ACD【解析】【分析】直接作出的圖像，利用圖像法對四個選項一一判斷.【詳解】由的圖像得到的圖像如圖所示：可以得到：數(shù)的最小正周期為.故A正確；函數(shù)圖像不是中心對稱圖形，故B錯誤；的圖像關(guān)于直線對稱.故C正確；在區(qū)間單調(diào)遞減.故D正確.故選：ACD11.已知冪函數(shù)的圖象經(jīng)過點，則下列命題正確的有（）．A.函數(shù)的定義域為B.函數(shù)為非奇非偶函數(shù)C.過點且與圖象相切的直線方程為D.若，則【答案】BC【解析】【分析】先利用待定系數(shù)法求出冪函數(shù)的解析式，寫出函數(shù)的定義域、判定奇偶性，即判定選項A錯誤、選項B正確；設(shè)出切點坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義和過點求出切線方程，進(jìn)而判定選項C正確；平方作差比較大小，進(jìn)而判定選項D錯誤.【詳解】設(shè)，將點代入，得，則，即，對于A：的定義域為，即選項A錯誤；對于B：因為的定義域為，所以不具有奇偶性，即選項B正確；對于C：因為，所以，設(shè)切點坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，又因為切線過點，所以，解得，即切線方程為，即，即選項C正確；對于D：當(dāng)時，，即成立，即選項D錯誤．故選：BC．12.已如斜率為k直線l經(jīng)過拋物線的焦點且與此拋物線交于，兩點，，直線l與拋物線交于M，N兩點，且M，N兩點在y軸的兩側(cè)，現(xiàn)有下列四個命題，其中為真命題的是（）．A.為定值 B.為定值C.k的取值范圍為 D.存在實數(shù)k使得【答案】ACD【解析】【分析】設(shè)l方程為，聯(lián)立，整理得，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可判斷A、B選項．由弦長公式，得，再聯(lián)立，M，N兩點在y軸的兩側(cè)，求得，由此判斷C．設(shè)，，由弦長公式得，繼而由已知得，求解即可判斷D選項．【詳解】解：由題意可設(shè)l的方程為，聯(lián)立，得，則為定值，故A正確．又，故B不正確．，則，即，聯(lián)立，得，∵M(jìn)，N兩點在y軸的兩側(cè)，∴，且，∴．由及可得或，故k的取值范圍為，故C正確．設(shè)，，則，，則．假設(shè)存在實數(shù)k，則由，得，解得或3，故存在滿足題意．D正確．故選：ACD．二、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）13.記為等比數(shù)列的前n項和．若，，則______．【答案】【解析】【分析】由已知解出公比，根據(jù)通項公式即可求解．【詳解】設(shè)等比數(shù)列的公比為q，由已知，即，解得，所以．故答案為：14.已知，，則______．【答案】##1.4##【解析】【分析】先對兩邊平方得到，從而求出，結(jié)合，求出.【詳解】，得，，因為，所以，故．故答案為：15設(shè)，則______．【答案】9【解析】【分析】令，可求得，再根據(jù)二項式定理可求出的值，進(jìn)而求出結(jié)果.【詳解】在中，令得，，，所以，．故答案為：.16.設(shè)函數(shù)，點在圖象上，點為坐標(biāo)原點，設(shè)向量，若向量，且是與的夾角，則的最大值是______．【答案】【解析】【分析】先利用平面向量的線性運算化簡，再利用直線的斜率公式求出的表達(dá)式，再利用基本不等式求其最值.【詳解】由向量的線性運算，得，因為點在函數(shù)的圖象上，為坐標(biāo)原點，向量，是與的夾角，所以，（當(dāng)且僅當(dāng)，即時取等號），即的最大值是．故答案為：.三、解答題（本題共6道小題，第17題10分，第18～22題每小題12分，共70分）17.已知數(shù)列的前n項和為，且．（1）求數(shù)列的通項公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前n項和．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）當(dāng)時，（1），（2），（1）－（2）即得解；（2）由（1）得，再利用裂項相消法求和得解.【小問1詳解】解：當(dāng)時，，所以，當(dāng)時，（1），（2），由（1）－（2）得，即，所以是首項，公比為的等比數(shù)列，故．【小問2詳解】解：由（1）得，所以.18.已知在中，A，B，C為三個內(nèi)角，a，b，c為三邊，，．（1）求角B的大??；（2）在下列兩個條件中選擇一個作為已知，求出BC邊上的中線的長度．①的面積為；②的周長為．【答案】（1）（2）答案見解析【解析】【分析】（1）由正弦定理可得，再由和的范圍可得答案；（2）選擇（1），由（1）可得，則解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：選擇（2）：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，則周長解得，由余弦定理可得BC邊上的中線的長度．【小問1詳解】∵，則由正弦定理可得，∴，∵，∴，，∴，解得．【小問2詳解】若選擇（1），由（1）可得，即則，解得，則由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：．若選擇（2）：由（1）可得，設(shè)的外接圓半徑為R，則由正弦定理可得，，則周長，解得，則，，由余弦定理可得BC邊上的中線的長度為：．19.如圖，平面平面CEFG，四邊形CEFG中，，，點B在正方形ACDE的外部，且，，，．（1）證明：；（2）求二面角的余弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）證明平面CEFG，即得證；（2）以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，再利用向量法求解.【小問1詳解】證明：正方形ACDE中，，平面平面ABCDE，交線為CE，所以平面CEFG，又平面CEFG，所以．【小問2詳解】解：以C為坐標(biāo)原點，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，因為，，所以點B到AC的距離為1，，則，，，，，所以，．設(shè)平面BFG的法向量為，則，即，令，得．為平面CEFG的一個法向量，所以，故二面角的余弦值為．20.我國在芯片領(lǐng)域的短板有光刻機(jī)和光刻膠，某風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備投資芯片領(lǐng)域，若投資光刻機(jī)項目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為，收益率為％的概率為；若投資光刻膠項目，據(jù)預(yù)期，每年的收益率為30％的概率為0.4，收益率為％的概率為0.1，收益率為零的概率為0.5．（1）已知投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，請你從風(fēng)險角度考慮為該公司選擇一個較穩(wěn)妥的項目；（2）若該風(fēng)險投資公司準(zhǔn)備對以上你認(rèn)為較穩(wěn)妥的項目進(jìn)行投資，4年累計投資數(shù)據(jù)如下表：年份x20182019202020211234累計投資金額y（單位：億元）2356請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關(guān)于的線性回歸方程，并預(yù)測到哪一年年末，該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益預(yù)期能達(dá)到0.75億元．附：收益＝投入的資金×獲利的期望；線性回歸中，，．【答案】（1）該風(fēng)投公司投資光刻膠項目；（2）；2022年年末．【解析】【分析】（1）設(shè)投資光刻機(jī)項目和光刻膠項目的年收益分別為和，分別列出和的分布列，計算出數(shù)學(xué)期望，使期望值相等求解出的值，再計算方差即可比較；（2）根據(jù)題目所給公式先計算回歸系數(shù)和，寫出回歸直線方程，列出收益的表達(dá)式，使收益大于或等于億元，求解的取值范圍．【小問1詳解】若投資光刻機(jī)項目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.3Pp所以．若投資光刻膠項目，設(shè)收益率為，則的分布列為0.30P0.40.10.5所以．因為投資以上兩個項目，獲利的期望是一樣的，所以，所以．因為，，所以，，這說明光刻機(jī)項目和光刻膠項目獲利相等，但光刻膠項目更穩(wěn)妥．綜上所述，建議該風(fēng)投公司投資光刻膠項目．【小問2詳解】，，，，則，，故線性回歸方程為．設(shè)該公司在芯片領(lǐng)域的投資收益為Y，則，解得，故在2022年年末該投資公司在芯片領(lǐng)域的投資收益可以超過0.75億元．21.設(shè)橢圓為左右焦點,為短軸端點,長軸長為4,焦距為,且,的面積為.(Ⅰ)求橢圓的方程(Ⅱ)設(shè)動直線橢圓有且僅有一個公共點,且與直線相交于點.試探究:在坐標(biāo)平面內(nèi)是否存在定點,使得以為直徑的圓恒過點?若存在求出點的坐標(biāo),若不存在.請說明理由.【答案】（1）（2）存在定點P(1,0)【解析】【分析】（Ⅰ）由橢圓長軸長為4，焦距為2c，且b＞c，△BF1F2的面積為，列方程組，求出a，b，c，得橢圓方程．（Ⅱ）將直線l方程與橢圓方程聯(lián)立，由直線與橢圓有且只有一個公共點，求出M，由，得N（4，4k+m）．假設(shè)存在定點P滿足條件，由圖形對稱性知，點P必在x軸上．設(shè)P（x1，0），由，得（4x1﹣4）+x12﹣4x1+3＝0，由此可求出滿足條件的定點.【詳解】(1)由題意知，解得：，故橢圓C的方程是．(2)由得(4k2＋3)x2＋8kmx＋4m2－12＝0．因為動直線l與橢圓C有且只有一個公共點M(x0，y0)，所以m≠0且Δ＝0，即64k2m2－4(4k2＋3)(4m2－12)＝0，化簡得4k2－m2＋3＝0.(*)此時x0＝－＝－，y0＝kx0＋m＝，所以M(－由得N(4,4k＋m)．假設(shè)平面內(nèi)存在定點P滿足條件，由圖形對稱性知，點P必在x軸上．設(shè)P(x1,0)，則對滿足(*)式的m、k恒成立．因為＝(－，＝(4－