高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧

(圓滿版)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧(運(yùn)用方法)(圓滿版)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧(運(yùn)用方法)(圓滿版)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧(運(yùn)用方法)高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)經(jīng)典題型解題技巧（運(yùn)用方法）高中數(shù)學(xué)導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用是高中數(shù)學(xué)考試的必考內(nèi)容，并且是這幾年考試的熱門跟增加點(diǎn)，不論是期中·期末仍是會(huì)考·高考，都是高中數(shù)學(xué)的必考內(nèi)容之一。所以，針對(duì)這兩各部分的內(nèi)容和題型總結(jié)歸納了詳細(xì)的解題技巧和方法，希望能夠幫助到高中的同學(xué)們有更多·更好·更快的方法解決高中數(shù)學(xué)識(shí)題。好了，下邊就來解說常用邏輯用語(yǔ)的經(jīng)典解題技巧。第一·認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)見解和幾何意義導(dǎo)數(shù)見解及其幾何意義1）認(rèn)識(shí)導(dǎo)數(shù)見解的實(shí)質(zhì)背景。2）理解導(dǎo)數(shù)的幾何意義。2．導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算（1）能依據(jù)導(dǎo)數(shù)定義求函數(shù)yC(C為常數(shù)),y

x,y

x2,y

x3,y

1,y

x的導(dǎo)數(shù)。x2）能利用給出的基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法例求簡(jiǎn)單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)。3）能求簡(jiǎn)單的復(fù)合函數(shù)（僅限于形如f(axb)的復(fù)合函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)。3．導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用1）認(rèn)識(shí)函數(shù)單一性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系，能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性，會(huì)求函數(shù)的單一區(qū)間（此中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超出三次）。2）認(rèn)識(shí)函數(shù)在某點(diǎn)獲得極值的必需條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值（此中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超出三次）；會(huì)求閉區(qū)間了函數(shù)的最大值、最小值（此中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超出三次）。4．生活中的優(yōu)化問題會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)詰問題5．定積分與微積分基本定理1）認(rèn)識(shí)定積分的實(shí)質(zhì)背景，認(rèn)識(shí)定積分的基本思想，認(rèn)識(shí)定積分的見解。2）認(rèn)識(shí)微積分基本定理的含義?？偨Y(jié)：先搞清楚導(dǎo)數(shù)見解以及幾何意義，才能更好地運(yùn)用其解題技巧！第二·導(dǎo)數(shù)運(yùn)用和解題方法一、利用導(dǎo)數(shù)研究曲線的切線考情聚焦：1．利用導(dǎo)數(shù)研究曲線yf(x)的切線是導(dǎo)數(shù)的重要應(yīng)用，為近幾年各省市高考命題的熱門。2．常與函數(shù)的圖象、性質(zhì)及分析幾何知識(shí)交匯命題，多以選擇、填空題或以解答題中重點(diǎn)一步的形式出現(xiàn)，屬簡(jiǎn)單題。解題技巧：1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義函數(shù)

y

f(x)在x0處的導(dǎo)數(shù)

f(x)的幾何意義是：曲線

y

f(x)在點(diǎn)P(x0

,

f(x0))處的切線的斜率（剎時(shí)速度就是位移函數(shù)

s(t)

對(duì)時(shí)間

t的導(dǎo)數(shù)）。2．求曲線切線方程的步驟：（1）求出函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xx0的導(dǎo)數(shù)，即曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處切線的斜率；（2）在已知切點(diǎn)坐標(biāo)P(x0,f(x0))和切線斜率的條件下，求得切線方程為yy0f(x0)(xx0)。注：①當(dāng)曲線yf(x)在點(diǎn)P(x0,f(x0))處的切線平行于y軸（此時(shí)導(dǎo)數(shù)不存在）時(shí)，由切線定義可知，切線方程為xx0；②當(dāng)切點(diǎn)坐標(biāo)未知時(shí)，應(yīng)第一設(shè)出切點(diǎn)坐標(biāo)，再求解。例1：（2010·海南高考·理科T3）曲線yx在點(diǎn)1,1處x2的切線方程為（）（A）y2x1（B）y2x1（C）y2x3（D）y2x2【命題立意】此題主要察看導(dǎo)數(shù)的幾何意義，以及嫻熟運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法例進(jìn)行求解.【思路點(diǎn)撥】先求出導(dǎo)函數(shù)，解出斜率，此后依照點(diǎn)斜式求出切線方程.【規(guī)范解答】選A.因?yàn)?，所以，在點(diǎn)1,1處的切線斜率y2(x2)22，所以，切線方程為y12(x1)，即y2x1，應(yīng)選A.kyx12)2(1二、利用導(dǎo)數(shù)研究導(dǎo)數(shù)的單一性考情聚焦：1．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)單一性有力的工具，近幾年各省市高考取的單一性問題，幾乎均用它解決。2．常與函數(shù)的其余性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式或指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式察看，屬中高檔題目。解題技巧：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單一性的一般步驟。1）確立函數(shù)的定義域；2）求導(dǎo)數(shù)f(x)；3）①若求單一區(qū)間（或證明單一性），只要在函數(shù)f(x)的定義域內(nèi)解（或證明）不等式f(x)＞0或f(x)＜0。②若已知f(x)的單一性，則轉(zhuǎn)變?yōu)椴坏仁絝(x)≥0或f(x)≤0在單一區(qū)間上恒建立問題求解。2：（2010·山東高考文科·Ｔ21）已知函數(shù)f(x)lnxax1a1(aR)x（1）當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線方程；（2）當(dāng)a1時(shí)，討論f(x)的單一性.2【命題立意】此題主要察看導(dǎo)數(shù)的見解、導(dǎo)數(shù)的幾何意義和利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力.察看分類討論思想、數(shù)形聯(lián)合思想和等價(jià)變換思想.【思路點(diǎn)撥】(1)依照導(dǎo)數(shù)的幾何意義求出曲線yf(x)在點(diǎn)(2,f(2))處的切線的斜率；（2）直接利用函數(shù)與導(dǎo)數(shù)的關(guān)系討論函數(shù)的單一性,同時(shí)應(yīng)注意分類標(biāo)準(zhǔn)的選擇.【規(guī)范解答】（1）當(dāng)a1時(shí)，f(x)lnxx2(0,),所以1,xxfx2x2xx2所以，f21,即曲線yf(x)在點(diǎn)（2，f(2))處的切線斜率為1，.又f(2)ln22,所以曲線yf(x)在點(diǎn)（2，f(2))處的切線方程為y(ln22)x2,即xyln20.（2）因?yàn)閒(x)lnxax1a1,所以f'(x)1aa1ax2x1axxx2x2x(0,),令g(x)ax2x1a,x(0,),（1）當(dāng)a0時(shí)，g(x)x1,x0,,所以當(dāng)x0,1時(shí)，gx>0，此時(shí)fx0，函數(shù)fx單一遞減；當(dāng)x1,時(shí)，gx<0，此時(shí)fx0，函數(shù)fx單一遞加.（2）當(dāng)a0時(shí)，由fx0，即ax2x1a0，解得x11,x211.a①當(dāng)a1時(shí)，x1x2，gx0恒建立，此時(shí)fx0，函數(shù)fx在2（0，+∞）上單一遞減;②當(dāng)0a1時(shí)，1110，2ax0,1時(shí)，gx0,此時(shí)fx0,函數(shù)fx單一遞減x11時(shí)，gx<0,此時(shí)fx0,函數(shù)fx單一遞加1,ax11,時(shí)，gx0，此時(shí)fx0，函數(shù)fx單一遞減a③當(dāng)a0時(shí)，因?yàn)?10,ax0,1時(shí)，gx0,此時(shí)fx0,函數(shù)fx單一遞減：x1,時(shí)，gx<0,此時(shí)fx0,函數(shù)fx單一遞加.綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)fx在0,1上單一遞減;函數(shù)fx在1,上單一遞增當(dāng)a1時(shí),函數(shù)fx在0,上單一遞減2當(dāng)0a1時(shí)，函數(shù)fx在0,1上單一遞減；函數(shù)fx在1,11上2a單一遞加；函數(shù)fx在11,上單一遞減.a【方法技巧】1、分類討論的原由某些見解、性質(zhì)、法例、公式分類定義或分類給出；數(shù)的運(yùn)算：如除法運(yùn)算中除式不為零，在實(shí)數(shù)集內(nèi)偶次方根的被開方數(shù)為非負(fù)數(shù)，對(duì)數(shù)中真數(shù)與底數(shù)的要求，不等式兩邊同乘以一個(gè)正數(shù)仍是負(fù)數(shù)等；含參數(shù)的函數(shù)、方程、不等式等問題，由參數(shù)值的不同樣而致使結(jié)果發(fā)生改變；在研究幾何問題時(shí)，因?yàn)閳D形的變化(圖形地點(diǎn)不確立或形狀不確立)，惹起問題的結(jié)果有多種可能.2、分類討論的原則要有明確的分類標(biāo)準(zhǔn)；對(duì)討論對(duì)象分類時(shí)要不重復(fù)、不遺漏；當(dāng)討論的對(duì)象不單一種時(shí)，應(yīng)分層次進(jìn)行.3、分類討論的一般步驟明確討論對(duì)象，確立對(duì)象的范圍；確立一致的分類標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行合理分類，做到不重不漏；逐段逐類討論，獲得階段性結(jié)果；歸納總結(jié)，得出結(jié)論.三、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值與最值考情聚焦：1．導(dǎo)數(shù)是研究函數(shù)極值與最值問題的重要工具，幾乎是近幾年各省市高考取極值與最值問題求解的必用方法。2．常與函數(shù)的其余性質(zhì)、方程、不等式等交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、或指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題形式出現(xiàn)，屬中高檔題。解題技巧：1．利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值的一般步驟：（1）確立定義域。（2）求導(dǎo)數(shù)f(x)。（3）①或求極值，則先求方程f(x)=0的根，再查驗(yàn)f(x)在方程根左右值的符號(hào)，求出極值。（當(dāng)根中有參數(shù)時(shí)要注意分類討論）②若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)變?yōu)橐阎匠蘤(x)=0的根的大小或存在情況，從而求解。2．求函數(shù)yf(x)的極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a),f(b)比較，此中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值。例3：（2010·天津高考理科·Ｔ2１）已知函數(shù)f(x)xex(xR)（Ⅰ）求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間和極值；（Ⅱ）已知函數(shù)yg(x)的圖象與函數(shù)yf(x)的圖象對(duì)于直線x1對(duì)稱，證明當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)（III）假如x1x2，且f(x1)f(x2)，證明x1x22【命題立意】本小題主要察看導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單一性與極值等基礎(chǔ)知識(shí)，察看運(yùn)算能力及用函數(shù)思想分析解決問題的能力。【思路點(diǎn)撥】利用導(dǎo)數(shù)及函數(shù)的性質(zhì)解題。【規(guī)范解答】（Ⅰ）解：f’(x)(1x)e

x

，令f’(x)=0,解得x=1，當(dāng)x變化時(shí)，f’(x)，f(x)的變化情況以下表x(,1)1(1,)f’(x)+0-極大值[來f(x)Z源:學(xué)?？?。]網(wǎng)]所以f(x)在(,1)內(nèi)是增函數(shù)，在(1,)內(nèi)是減函數(shù)。1函數(shù)f(x)在x=1處獲得極大值f(1)且f(1)=e（Ⅱ）證明：由題意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)ex2令F(x)=f(x)-g(x),即F(x)xex(x2)ex2于是F'(x)(x1)(e2x21)ex當(dāng)x>1時(shí)，2x-2>0,從而e2x-210,又ex0,所以F’(x)>0,從而函數(shù)F（x）在[1,+∞)是增函數(shù)。又F(1)=e-1e-10，所以x>1時(shí)，有F(x)>F(1)=0,即f(x)>g(x).(Ⅲ)證明：（1）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),則x1x21.與x1x2矛盾。（2）若(x11)(x21)0,由（）及f(x1)f(x2),得x1x2.與x1x2矛盾。依照（1）（2）得(x11)(x21)0,不如設(shè)x11,x21.由（Ⅱ）可知，f(x2)>g(x2),則g(x2)=f(2-x2)，所以f(x2)>f(2-x2),從而f(x1)>f(2-x2).因?yàn)閤21，所以2x21，又由（Ⅰ）可知函數(shù)f(x)在區(qū)間（-∞，1）內(nèi)是增函數(shù)，所以x1>2x2,即x1x2>2。四、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的圖象考情聚焦：1．該考向因?yàn)槟芎芎玫鼐C合察看函數(shù)的單一性、極值（最值）、零點(diǎn)及數(shù)形聯(lián)合思想等重要考點(diǎn)，而成為近幾年高考命題專家的新寵。2．常與函數(shù)的其余性質(zhì)、方程、不等式、分析幾何知識(shí)交匯命題，且函數(shù)一般為含參數(shù)的高次、分式、指、對(duì)數(shù)式結(jié)構(gòu)，多以解答題中壓軸部分出現(xiàn)。屬于較難題。4：（2010·福建高考理科·Ｔ20）(Ⅰ)已知函數(shù)f(x)=x3-x，其圖像記為曲線C.i）求函數(shù)f(x)的單一區(qū)間；(ii)證明：若對(duì)于隨意非零實(shí)數(shù)x1，曲線C與其在點(diǎn)P1（x1,f(x1）處的切線交于另一點(diǎn)P2（x2,f(x2).曲線C與其在點(diǎn)P2處的切線交于另一點(diǎn)P3（x3f(x3)），線段P1P2,P2P3與曲線C所圍成關(guān)閉圖形的面s1積分別記為S1,S2，則s2為定值：（Ⅱ）對(duì)于一般的三次函數(shù)g（x）=ax3+bx2+cx+d(a0)，請(qǐng)給出近似(Ⅰ)(ii)的正確命題，并予以證明?！久}立意】本小題主要察看函數(shù)、導(dǎo)數(shù)、定積分等基礎(chǔ)知識(shí)，察看抽象歸納、推理論證、運(yùn)算求解能力，察看函數(shù)與方程思想、數(shù)形聯(lián)合思想、化歸轉(zhuǎn)變思想、特別與一般的思想?！舅悸伏c(diǎn)撥】第一步（1）利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單一區(qū)間，（2）利用導(dǎo)數(shù)求解切線的斜率，寫出切線方程，并利用定積分求解S1,S2及其比值；第二步利用合情推理的方法對(duì)問題進(jìn)行推行獲得有關(guān)命題，并利用平移的方法進(jìn)行證明?！疽?guī)范解答】（Ⅰ)(i)f'(x)3x21(3x1)(3x1)，令f'(x)0獲得x1或x10有33，令f'(x)1x133，所以原函數(shù)的單一遞加區(qū)間為(,1)(1,)(1,1)3和3；單一遞減區(qū)間為33；(ii)f'(x)3x21，P1(x1,x13x1)，f'(x1)3x121，所以過點(diǎn)P1的切線方程為：y3x121xx1x13x1，即y3x121x2x13xx1或x2x1

，由，故

y3x121x2x13yx3x得x3x3x121x2x13，所以2x1，從而有S12x1x33x12x2x13dxx2x11432x232x12744xx12x1xx14x12，用x2取代x1，重復(fù)上邊的計(jì)算，可2x2和S227427164得x34x2，又x22x10，S24x10，所以有S11S216。（Ⅱ）【命題】若對(duì)于隨意函數(shù)g(x)ax3bx2cxd的圖像為曲線C'，b其近似于(I)(ii)的命題為：若對(duì)隨意不等于3a的實(shí)數(shù)x1，曲線與其在點(diǎn)P1(x1,g(x1))處的切線交于另一點(diǎn)P2(x2,g(x2))，曲線C'與其在點(diǎn)P2(x2,g(x2))處的切線交于其余一點(diǎn)P3(x3,g(x3))，線段P1P2、P2P3與曲線C'S11所圍成面積為S1、S2，則S216?！咀C明】對(duì)于曲線yax3bx2cxd，不論怎樣平移，其面積值是恒定的，所以這里僅考慮yax3bx2cx的情況，y'3ax22bxc，P1(x1,ax13bx12cx1)，f'(x1)3ax122bx1c，所以過點(diǎn)P1的切線方程為：y(3ax122bx1c)x2x13bx12y(3ax122bx1c)x2x13bx12，聯(lián)立yax3bx2cx，得到：ax3bx23ax122bx1xbx122x130，化簡(jiǎn)：獲得所以P2(b2ax12b24a2x126abx1ac從而(xx1)2(axb2ax1)0a,a)同x32b2x24x1樣運(yùn)用(i)中方法便能夠獲得aS11所以S216?！痉椒记伞亢瘮?shù)導(dǎo)數(shù)的內(nèi)容在歷屆高考取主要切線方程、導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單一性、極值、最值等問題，試題還與不等式、三角函數(shù)、數(shù)列、立幾、解幾等知識(shí)的聯(lián)系，種類有交點(diǎn)個(gè)數(shù)、恒建立問題等,此中浸透并充分利用結(jié)構(gòu)函數(shù)、分類討論、轉(zhuǎn)變與化歸、數(shù)形聯(lián)合等重要的思想方法，主要察看導(dǎo)數(shù)的工具性作用。5．（2010·江西高考理科·Ｔ１２）如圖，一個(gè)正五角星薄片（其對(duì)稱軸與水面垂直）勻速地升出水面，記t時(shí)辰五角星露出水面部分的圖形面積為S(t)(S(0)0)，則導(dǎo)函數(shù)yS'(t)的圖像大概為【命題立意】此題將各知識(shí)點(diǎn)有機(jī)聯(lián)合，屬創(chuàng)新題型，主要察看對(duì)函數(shù)的圖像鑒識(shí)能力，靈巧分析問題和解決問題的能力，察看分段函數(shù)，察看分段函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，察看分類討論的數(shù)學(xué)思想，察看函數(shù)的應(yīng)用，察看平面圖形面積的計(jì)算，察看數(shù)形聯(lián)合的思想能力．【思路點(diǎn)撥】此題聯(lián)合題意及圖像的變化情況可用除去法；也可先求面積的函數(shù)，再求其導(dǎo)數(shù)，最后聯(lián)合圖像進(jìn)行判斷.【規(guī)范解答】選A．方法一：在五角星勻速上漲過程中露出的圖形部分的面積共有四段不同樣變化情況，第一段和第三段的變化趨向同樣，只有選項(xiàng)A、C符合要求，從而先除去B、D，在第二段變化中，面積的增加快度明顯較慢，表此刻導(dǎo)函數(shù)圖像中其圖像應(yīng)降落，除去選項(xiàng)C，應(yīng)選A.方法二：設(shè)正五角星的