第十一課時(shí)平面向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示

匠心文檔，專屬精選。第十一課時(shí)平面向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示教課目的：掌握兩個(gè)向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示方法，掌握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)條件，能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示解決相關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問題.教課要點(diǎn)：平面向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示.教課難點(diǎn)：向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示的應(yīng)用.教課過程：.課題引入上一節(jié)我們學(xué)習(xí)了平面向量的數(shù)目積，并對(duì)向量已能用坐標(biāo)表示，假如已知兩個(gè)非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，如何用a和b的坐標(biāo)表示a·b呢?這是我們這一節(jié)將要研究的問題..講解新課第一我們推導(dǎo)平面向量的數(shù)目積坐標(biāo)表示：記a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2ja·b＝(x1i＋y1j)(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y1j2＝x1x2＋y1y21.平面向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示：已知a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a·b＝x1x2＋y1y22.兩向量垂直的坐標(biāo)表示：設(shè)a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)則a⊥ba·b＝0x1x2＋y1y2＝0［例1］已知a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)，則a與b的夾角是多少?剖析：為求a與b夾角，需先求a·b及｜a｜｜b｜，再聯(lián)合夾角θ的范圍確立其值.解：由a＝(1，3)，b＝(3＋1，3－1)有a·b＝3＋1＋3(3－1)＝4，｜a｜＝2，｜b｜＝22.記a與b的夾角為θ，則cosθ＝a·b2｜a｜｜b｜＝2又∵0≤θ≤，∴θ＝π4評(píng)論：已知三角形函數(shù)值求角時(shí)，應(yīng)著重角的范圍確實(shí)定.［例2］已知a＝(3，4)，b＝(4，3)，求x，y的值使(xa＋yb)⊥a，且｜xa＋yb｜＝1.剖析：這里兩個(gè)條件相互限制，注意表現(xiàn)方程組思想.解：由a＝(3，4)，b＝(4，3)，有xa＋yb＝(3x＋4y，4x＋3y)又(xa＋yb)⊥a(xa＋yb)·a＝03(3x＋4y)＋4(4x＋3y)＝0即25x＋24y＝0①又｜xa＋yb｜＝1｜xa＋yb｜2＝1匠心教育文檔系列1匠心文檔，專屬精選。(3x＋4y)2＋(4x＋3y)2＝1整理得：25x2＋48xy＋25y2＝1即x(25x＋24y)＋24xy＋25y2＝1②由①②有24xy＋25y2＝1③將①變形代入③可得：5y＝±7再代入①得：x＝2435x2424x∴35或35y55y77→→［例3］在△ABC中，AB＝(1，1)，AC＝(2，k)，若△ABC中有一個(gè)角為直角，務(wù)實(shí)數(shù)k的值.解：若→→A＝90°，則AB·AC＝0，∴1×2＋1×k＝0，即k＝－2若B＝→→→→→90°，則AB·BC＝0，又BC＝AC－AB＝(2，k)－(1，1)＝(1，k－1)即得：1＋(k－1)＝0，∴k＝0→→若C＝90°，則AC·BC＝0，即2＋k(k－1)＝0，而k2－k＋2＝0無實(shí)根，因此不存在實(shí)數(shù)k使C＝90°綜上所述，k＝－2或k＝0時(shí)，△ABC內(nèi)有一內(nèi)角是直角.評(píng)論：此題條件中無明確指出哪個(gè)角是直角，因此需分狀況議論.議論要注意分類的全面性，同時(shí)要注意坐標(biāo)運(yùn)算的正確性.［例4］已知：O為原點(diǎn)，A(a，0)，B(0，a)，a為正常數(shù)，點(diǎn)→P在線段AB上，且AP＝→→→tAB(0≤t≤1)，則OA·OP的最大值是多少?→→→→解：設(shè)P(x，y)，則AP＝(x－a，y)，AB＝(－a，a)，由AP＝tAB可有：xaatxaaty，解得ataty→→＝(a，0)，∴OP＝(a－at，at)，又OA匠心教育文檔系列2匠心文檔，專屬精選?！郞A·OP＝a2－a2t∵a＞0，可得－a2＜0，又0≤t≤1，→∴當(dāng)t＝0時(shí)，OA·OP＝a2－a2t，有最大值a2.［例5］已知｜a｜＝3，｜b｜＝2，a，b夾角為60°，m為什么值時(shí)兩向量3a＋5b與ma－3b相互垂直？解法：(3a＋5b)·(ma－3b)＝3m｜a｜2－9a·b＋5ma·b－15｜b｜2＝27m＋(5m－9)×3×2cos60°－15×4＝42m－87＝08729∴m＝42＝14時(shí)，(3a＋5b)⊥(ma－3b).Ⅲ.講堂練習(xí)課本P82練習(xí)1～8..課時(shí)小結(jié)經(jīng)過本節(jié)學(xué)習(xí)，要求大家掌握兩個(gè)向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示方法，掌握兩個(gè)向量垂直的坐標(biāo)形式條件，能運(yùn)用兩個(gè)向量的數(shù)目積的坐標(biāo)表示解決相關(guān)長(zhǎng)度、角度、垂直等幾何問題.Ⅴ.課后作業(yè)課本P83習(xí)題6，8，9，10匠心教育文檔系列3匠心文檔，專屬精選。平面向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示1．在已知a＝(x，y），b＝(－y，x)，則a，b之間的關(guān)系為（）A.平行B.不平行不垂直C.a⊥bD.以上均不對(duì)2．已知a＝（－4，3），b＝(5，6），則3|a|2－4a·b為（）A.63B.83C.23D.573．若a＝（－3，4），b＝(2，－1），若（a－xb)⊥（a－b)，則x等于（）777A.－23B.2C.－3D.－44．若a＝（λ，2），b＝(－3，5），a與b的夾角為鈍角，則λ的取值范圍為（）1010A.（3，+∞）B.［3，+∞）C.（－∞，10D.（－∞，103）3］5．已知a＝（－2，1），b＝（－2，－3），則a在b方向上的投影為（）1313A.－13B.13C.0D.16．已知向量c與向量a＝（3，－1）和b＝（1，3）的夾角相等，c的模為2，則c＝.7．若a＝（3，4），b＝(1，2）且a·b＝10，則b在a上的投影為.8．設(shè)a＝（x，y)，b＝(x，y)有以下命題：11`2`2①|(zhì)a|＝x12＋y12②b2＝x22＋y22③a·b＝x1x`2＋y1y`2④a⊥bx1x`2＋y1y`2＝0，其中假命題的序號(hào)為.9．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），（1）求證：→→AB⊥AD；（2）若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).匠心教育文檔系列4匠心文檔，專屬精選。10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，當(dāng)k取何值時(shí)，t有最小值？最小值為多少？11．設(shè)向量a，b知足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.匠心教育文檔系列5匠心文檔，專屬精選。平面向量數(shù)目積的坐標(biāo)表示答案1．C2．B3．C4．A5．B6．(3＋1，3－13＋11－3)7．28．②22)或(－，229．已知A（2，1），B（3，2），D（－1，4），→→；（2）若四邊形ABCD為矩形，求點(diǎn)C的坐標(biāo).（1）求證：AB⊥AD→→（1）證明：∵AB＝（1，1），AD＝（－3，3）→→→→∴AB·AD＝1×3＋1×(－3)＝0，∴AB⊥AD.（2）解：∵ABCD為矩形，設(shè)C（x，y），→→∴AB＝DC，（1，1）＝（x+1，y－4)∴x＝0，y＝5，∴C（0，5）.10．已知a＝（3，－2），b＝(k，k）（k∈R)，t＝|a－b|，當(dāng)k取何值時(shí)，t有最小值？最小值為多少？解：∵a－b＝(3－k，－2－k)∴t＝|a－b|＝（3－k）2＋（－2－k）2＝2k2－2k＋13＝2（k－1）2＋2522∴當(dāng)k＝1時(shí)，t取最小值，最小值為5222.11．設(shè)向量a，b知足|a|＝|b|＝1及|3a－2b|＝3，求|3a＋b|的值.解：a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2),|a|＝|b|＝1，∴x12＋y12＝1，x22＋y22＝1①3a－2b＝3(x1，y1)－2(x2，y2)＝(3x1－2x2，3y1－2y2),又|3a－2b|＝3,(3x1－2x2)