初三數(shù)學(xué)相似三角形典例和練習(xí)含答案解析

.6/6初三數(shù)學(xué)相似三角形〔一相似三角形是初中幾何的一個重點(diǎn),同時也是一個難點(diǎn),本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1.理解線段的比、成比例線段的概念,會根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長或兩線段的比,了解黃金分割。2.會用平行線分線段成比例定理進(jìn)行有關(guān)的計(jì)算、證明,會分線段成已知比。3.能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4.能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)內(nèi)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點(diǎn)內(nèi)容是利用判定定理證明兩個三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要內(nèi)容之一,在中考試題中時常與四邊形、圓的知識相結(jié)合構(gòu)成高分值的綜合題,題型常以填空、選擇、簡答或綜合出現(xiàn),分值一般在10%左右,有時也單獨(dú)成題,形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)?！捕匾R點(diǎn)介紹：1.比例線段的有關(guān)概念：b、d叫后項(xiàng),d叫第四比例項(xiàng),如果b=c,那么b叫做a、d的比例中項(xiàng)。把線段AB分成兩條線段AC和BC,使AC2=AB·BC,叫做把線段AB黃金分割,C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。2.比例性質(zhì)：3.平行線分線段成比例定理：①定理：三條平行線截兩條直線,所得的對應(yīng)線段成比例,如圖：l1∥l2∥l3。②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例。③定理：如果一條直線截三角形的兩邊〔或兩邊的延長線所得的對應(yīng)線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊。4.相似三角形的判定：①兩角對應(yīng)相等,兩個三角形相似②兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等,兩三角形相似③三邊對應(yīng)成比例,兩三角形相似④如果一個直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例,那么這兩個直角形相似⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊〔或兩邊的延長線相交,所構(gòu)成的三角形與原三角形相似⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對應(yīng)角相等②相似三角形的對應(yīng)邊成比例③相似三角形對應(yīng)高的比、對應(yīng)中線的比和對應(yīng)角平分線的比都等于相似比④相似三角形周長的比等于相似比⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方[典型例題]例1.〔1在比例尺是1：8000000的《中國行政區(qū)》地圖上,量得A、B兩城市的距離是7.5厘米,那么A、B兩城市的實(shí)際距離是__________千米?！?小芳的身高是1.6m,在某一時刻,她的影子長2m,此刻測得某建筑物的影長是18米,則此建筑物的高是_________解：這是兩道與比例有關(guān)的題目,都比較簡單?！?應(yīng)填600〔2應(yīng)填14.4。例2.如圖,已知DE∥BC,EF∥AB,則下列比例式錯誤的是：____________分析：故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時,一定要分清誰是截線、誰是被截例3.如圖,在等邊△ABC中,P為BC上一點(diǎn),D為AC上一點(diǎn),且∠APD=60°,解：∵△ABC是等邊三角形∴∠C=∠B=60°又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°∠APB=∠1+∠C=∠1+60°∴∠PDC=∠APB∴△PDC∽△APB設(shè)PC=x,則AB=BC=1+x∴AB=1+x=3?！唷鰽BC的邊長為3。例4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長為a的正方形,〔1求證：△AEF∽△CEA〔2求證：∠AFB+∠ACB=45°分析：因?yàn)椤鰽EF、△CEA有公共角∠AEF故要證明△AEF∽△CEA只需證明兩個三角形中,夾∠AEF、∠CEA的兩邊對應(yīng)成比例即可。證明：〔1∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形∴AB=BE=EF=FC=a,∠ABE=90°又∵∠CEA=∠AEF∴△CEA∽△AEF〔2∵△AEF∽△CEA∴∠AFE=∠EAC∵四邊形ABEG是正方形∴AD∥BC,AG=GE,AG⊥GE∴∠ACB=∠CAD,∠EAG=45°∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG∴∠AFB+∠ACB=45°例5.已知：如圖,梯形ABCD中,AD∥BC,AC、BD交于點(diǎn)O,EF經(jīng)過點(diǎn)O且和兩底平行,交AB于E,交CD于F求證：OE=OF證明：∵AD∥EF∥BC∴OE=OF從本例的證明過程中,我們還可以得到以下重要的結(jié)論：這是梯形中的一個性質(zhì),由此可知,在AD、BC、EF中,已知任何兩條線段的長度,都可以求出第三條線段的長度。例6.已知：如圖,△ABC中,AD⊥BC于D,DE⊥AB于E,DF⊥AC于F分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多,因而相似三角形多的特點(diǎn),可設(shè)法尋求中間量進(jìn)行代證明：在△ABD和△ADE中,∵∠ADB=∠AED=90°∠BAD=∠DAE∴△ABD∽△ADE∴AD2=AE·AB同理：△ACD∽△ADF可得：AD2=AF·AC∴AE·AB=AF·AC例7.如圖,D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn),∠CAD=∠B,若AD=6,AB=8,BD=7,求DC的長。分析：本題的圖形是證明比例中項(xiàng)時經(jīng)常使用的"公邊共角"的基本圖形,我們可以由基本圖形中得到的相似三角形,從而得到對應(yīng)邊成比例,從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程,使問題得以解決。解：在△ADC和△BAC中∵∠CAD=∠B,∠C=∠C∴△ADC∽△BAC又∵AD=6,AD=8,BD=7解得：DC=9例8.如圖,在矩形ABCD中,E是CD的中點(diǎn),BE⊥AC于F,過F作FG∥AB交AE于G,求證：AG2=AF·FC證明：在矩形ABCD中,AD=BC,∠ADC=∠BCE=90°又∵E是CD的中點(diǎn),∴DE=CE∴Rt△ADE≌Rt△BCE∴AE=BE∵FG∥AB∴AG=BF在Rt△ABC中,BF⊥AC于F∴Rt△BFC≌Rt△AFB∴BF2=AF·FC∴AG2=AF·FC例9.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,若∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H,BH=3AH,且四邊形AHCD的面積為21,求△HBC的面積。分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD,所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長BA、CD交于點(diǎn)P∵CH⊥AB,CD平分∠BCD∴CB=CP,且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴一、填空題1.已知,則__________2.若三角形三邊之比為3：5：7,與它相似的三角形的最長邊是21cm,則其余兩邊之和是__________cm3.如圖,△ABC中,D、E分別是AB、AC的中點(diǎn),BC=6,則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。4.已知線段a=4cm,b=9cm,則線段a、b的比例中項(xiàng)c為__________cm。5.在△ABC中,點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上,DE∥BC,如果AD=8,DB=6,EC=9,那么AE=__________6.已知三個數(shù)1,2,,請你添上一個數(shù),使它能構(gòu)成一個比例式,則這個數(shù)是__________7.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,EF∥BC,若AD=12cm,BC=18cm,AE：EB=2：3,則EF=__________8.如圖,在梯形ABCD中,AD∥BC,∠A=90°,BD⊥CD,AD=6,BC=10,則梯形的面積為：__________二、選擇題1.如果兩個相似三角形對應(yīng)邊的比是3：4,那么它們的對應(yīng)高的比是__________A.9：16 B.：2C.3：4 D.3：72.在比例尺為1：m的某市地圖上,規(guī)劃出長a厘米,寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū),該園區(qū)的實(shí)際面積是__________米2A. B. C. D.3.已知,如圖,DE∥BC,EF∥AB,則下列結(jié)論：②③④其中正確的比例式的個數(shù)是__________A.4個 B.3個 C.2個 D.1個4.如圖,在△ABC中,AB=24,AC=18,D是AC上一點(diǎn),AD=12,在AB上取一點(diǎn)E,使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似,則AE的長是__________A.16 B.14 C.16或14 D.16或95.如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,D是BC的中點(diǎn),AE⊥AD,交CB的延長線于點(diǎn)E,則下列結(jié)論正確的是__________A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC三、解答題：1.如圖,AD∥EG∥BC,AD=6,BC=9,AE：AB=2：3,求GF的長。2.如圖,△ABC中,D是AB上一點(diǎn),且AB=3AD,∠B=75°,∠CDB=60°,求證：△ABC∽△CBD。3.如圖,BE為△ABC的外接圓O的直徑,CD為△ABC的高,求證：AC·BC=BE·CD4.如圖,Rt△ABC中,∠ACB=90°,AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D,過點(diǎn)C作CE⊥AD于E,CE的延長線交AB于點(diǎn)F,過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G,AE·AD=16,AB,〔1求證：CE=EF〔2求EG的長[參考答案]一、填空題：1.19：13 2.24 3.3；1：44.6 5.126.只要是使得其中兩個數(shù)的比值等于另外兩個數(shù)的比值即可,如：等。7.14.4 8.二、選擇題：1.C 2.D3.B 4.D 5.C三、解答題：1.解：∵AD∥EG∥BC∴在△ABC中,有在△ABD中,有∵AE：AB=2：3∴BE：AB=1：3∴∵BC=9,AD=6∴EG=6,EF=2∴GF=EG－EF=42.解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E,∵∠CDB=60°,∠CBD=75°∴∠DBE=30°,∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°∴△CBE是等腰直角三角形。∵AB=3AD,設(shè)AD=k,則AB=3k,BD=2k∴DE=k,BE∴∴,∴∴△ABC∽△CBD3.連