競賽輔導(dǎo)-多元函數(shù)微分學(xué)市公開課一等獎省名師優(yōu)質(zhì)課賽課一等獎?wù)n件

多元函數(shù)微分學(xué)數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)第七講一、重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分（概念，理論）二、偏導(dǎo)數(shù)與全微分計算四、應(yīng)用（極值、切線、切平面）三、方向?qū)?shù)和梯度一、重極限、連續(xù)、偏導(dǎo)數(shù)、全微分（概念，理論）

是以“任意方式”1．重極限

題型一：求極限慣用方法：1）四則運算法則及復(fù)合函數(shù)運算法則；2）等價無窮小代換；3）利用無窮小量與有界變量之積為無窮小量.

4）夾逼定理；例1.求0例4.(江蘇競賽)A.等于1；B.等于0；C.等于-1；D.不存在D例2.求0例3.求=e練習(xí)求=0題型二：證實重極限不存在

慣用方法：沿不一樣路徑極限不一樣（如：沿過點直線）；2)沿某一路徑極限不存在.例5判斷函數(shù)在點連續(xù)性.練習(xí)證實重極限不存在2.連續(xù)3.偏導(dǎo)數(shù)例6練習(xí)：幾何意義例7.則在以下A.B.C.D.C條件中能確保4.全微分1)定義:若2)判定:必要條件:與都存在;充分條件:和在連續(xù);是否為零?ii）用定義判定可微性：3)計算：5.連續(xù)、偏導(dǎo)存在和可微關(guān)系題型三討論連續(xù)性、可導(dǎo)性、可微性例8.CD例9A.極限存在但不連續(xù)B.連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在C.偏導(dǎo)存在但不可微D.可微例10例11練習(xí)設(shè),其中在點鄰域內(nèi)連續(xù),問1)應(yīng)滿足什么條件才能使和都存在?2)在上述條件下在(0,0)點是否可微?（可微）練習(xí)2二偏導(dǎo)數(shù)與全微分計算依據(jù)結(jié)構(gòu)圖，“分線相加，連線相乘”“分路偏導(dǎo)，單路全導(dǎo)”對抽象或半抽象函數(shù)，注意1.復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)2.全微分形式不變性3.隱函數(shù)求導(dǎo)法方法:（b）兩邊求偏導(dǎo)（c）利用微分形式不變性:(1)（a）公式:(2)方法：兩邊求偏導(dǎo)；利用全微分形式不變性例12設(shè)求和.題型一求一階偏導(dǎo)數(shù)與全微分設(shè),且當時,則例13.例14.(江蘇06競賽)練習(xí)：已知是某一函數(shù)全微分,則取值分別為（）B練習(xí)：例15.D題型二復(fù)合函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與高階偏導(dǎo)數(shù)練習(xí).(07數(shù)一)練習(xí).練習(xí).設(shè)含有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足又,求例16例17.注：偏導(dǎo)數(shù)坐標變換-----看作復(fù)合函數(shù)求偏導(dǎo)數(shù)或全導(dǎo)2：例18.(江蘇08競賽)練習(xí)1：3：題型三隱函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)與全微分

例19.A.只能確定一個含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)B.可確定兩個含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)C.可確定兩個含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)D.可確定兩個含有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)D例20.例21.練習(xí).例22(99數(shù)一).

題型四已知偏導(dǎo)數(shù)，求函數(shù).例23例24.例25.練習(xí)：例26.三、方向?qū)?shù)和梯度1.方向?qū)?shù)1)定義:可微,則2)計算:若2.梯度計算A)不連續(xù);B)偏導(dǎo)數(shù)存在;C)沿任一方向方向?qū)?shù)不存在;D)沿任一方向方向?qū)?shù)均存在;在點(0,0)處例27函數(shù)()DD()例28設(shè),則A)f(x,y)在(0,0)點連續(xù);為任一方向方向余弦.B)

,其中C)在點沿軸負方向方向?qū)?shù)為.D)練習(xí).練習(xí)：例29練習(xí)：四、多元函數(shù)微分學(xué)應(yīng)用1.曲面切平面與法線2.曲線切線與法平面,,法向量:2)曲面1)曲面2)曲線,切向量:,法向量:其中1)曲線,切向量:練習(xí)：題型一建立曲面切平面和法線方程

例30.例31.練習(xí)練習(xí)題型二建立空間曲線切線和法平面方程,練習(xí)

求曲線在點處切線方程和法平面方程.練習(xí)(03數(shù)一)3.極值與最值1).無條件極值；定義:極大極小必要條件

充分條件2).條件極值與拉格朗日乘數(shù)法3).最大最小值極值點駐點題型一求無條件極值

例32求由方程所確定函數(shù)極值.1)在點處,極大值2)在點處,極小值解2

配方

解1：駐點例33.D注：經(jīng)過變形（如取對數(shù),去根號）,把復(fù)雜函數(shù)轉(zhuǎn)化為簡單函數(shù)是極值問題慣用技巧。例34.例35例36B例37解法1:保號性解法2:排除法解法3：特殊函數(shù)D練習(xí)（03數(shù)一）A題型三求最大最小值

題型二求條件極值練習(xí)求函數(shù)在條件下極值.解法2:化為無條件極值.解法1:拉格朗日乘數(shù)法,極小值8,0練習(xí)B例38.A.最大最小值點都在D