【精品】2018北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第一章-2.3-充要條件

【精品】2018北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第一章-2.3-充要條件【精品】2018北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第一章-2.3-充要條件【精品】2018北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第一章-2.3-充要條件資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月【精品】2018北師大版高中數(shù)學(xué)選修1-1學(xué)案：第一章-2.3-充要條件版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：2.3充要條件學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解充要條件的意義.2.會(huì)判斷、證明充要條件.3.通過(guò)學(xué)習(xí)，弄清對(duì)條件的判斷應(yīng)該歸結(jié)為對(duì)命題真假的判斷．知識(shí)點(diǎn)一充要條件的概念思考1命題“若整數(shù)a是6的倍數(shù)，則整數(shù)a是2和3的倍數(shù)”中條件和結(jié)論有什么關(guān)系它的逆命題成立嗎

思考2若設(shè)p：整數(shù)a是6的倍數(shù)，q：整數(shù)a是2和3的倍數(shù)，則p是q的什么條件？q是p的什么條件？梳理一般地，如果既有p?q，又有q?p，就記作______．此時(shí)，我們說(shuō)，p是q的____________，簡(jiǎn)稱____________________________________________________．知識(shí)點(diǎn)二充要條件的判斷1．由原命題與逆命題的真假情況判斷充分條件、必要條件和充要條件若原命題為“若p，則q”，則逆命題為“若q，則p”，那么p與q有以下四種情形：原命題逆命題條件p與結(jié)論q的關(guān)系結(jié)論真假p是q成立的充分不必要條件假真p是q成立的必要不充分條件真真p是q成立的充要條件假假p是q成立的既不充分又不必要條件由上表可得充要條件的判斷方法：原命題和逆命題均為真命題，p才是q的充要條件．2．從集合的角度判斷充分條件、必要條件和充要條件若A?B，則p是q的充分條件，若AB，則p是q的充分不必要條件若B?A，則p是q的必要條件，若BA，則p是q的必要不充分條件若A＝B，則p，q互為充要條件若A?B且B?A，則p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件其中p：A＝{x|p(x)成立}，q：B＝{x|q(x)成立}．類型一充要條件的判斷例1下列各題中，p是q的什么條件(

指充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要條件)

(1)p：四邊形的對(duì)角線互相平分，q：四邊形是矩形；(2)p：a2＋b2＝0，q：a＋b＝0；(3)p：x＝1或x＝2，q：x－1＝eq\r(x－1)；(4)p：sinα>sinβ，q：α>β.反思與感悟充要條件的常用判斷方法(1)命題判斷法：設(shè)“若p，則q”為原命題，那么：①原命題為真，逆命題為假時(shí)，p是q的充分不必要條件；②原命題為假，逆命題為真時(shí)，p是q的必要不充分條件；③原命題與逆命題都為真時(shí)，p是q的充要條件；④原命題與逆命題都為假時(shí)，p是q的既不充分又不必要條件．(2)集合法：若p與q確定的集合分別是A，B，則當(dāng)且僅當(dāng)A＝B時(shí)，p是q的充要條件．跟蹤訓(xùn)練1(1)“x＞1”是“l(fā)ogeq\f(1,2)(x＋2)＜0”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件(2)設(shè)x>0，y∈R，則“x>y”是“x>|y|”的()A．充要條件 B．充分不必要條件C．必要不充分條件 D．既不充分又不必要條件類型二充要條件的探求與證明命題角度1探求充要條件例2求關(guān)于x的一元二次不等式ax2－ax＋1－a>0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件．反思與感悟探求一個(gè)命題的充要條件，可以利用定義法進(jìn)行探求，即分別證明“條件?結(jié)論”和“結(jié)論?條件”，也可以尋求結(jié)論的等價(jià)命題，還可以先尋求結(jié)論成立的必要條件，再證明它也是其充分條件．跟蹤訓(xùn)練2設(shè)a、b、c為△ABC的三邊，求方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件．命題角度2充要條件的證明例3求證：一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.反思與感悟一般地，證明“p成立的充要條件為q”，在證充分性時(shí)，應(yīng)以q為“已知條件”，p是要證明的“結(jié)論”，即q?p；證明必要性時(shí)，則是以p為“已知條件”，q是要證明的“結(jié)論”，即p?q.跟蹤訓(xùn)練3求證：一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.類型三充分條件與必要條件的應(yīng)用例4已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一個(gè)充分不必要條件，求m的取值范圍．反思與感悟首先應(yīng)把p與q之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為p，q確定的集合之間的包含關(guān)系，然后，構(gòu)建滿足條件的不等式(組)求解．同時(shí)要注意命題的等價(jià)性的應(yīng)用．跟蹤訓(xùn)練4已知p：x≥k，q：eq\f(3,x＋1)<1，如果p是q的充分不必要條件，則k的取值范圍是()A．[2，＋∞) B．(2，＋∞)C．[1，＋∞) D．(－∞，－1]1．“x2>2017”是“x2>2016”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件2．“a>b”是“a>|b|”的()A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充分必要條件 D．既不充分又不必要條件3．已知實(shí)系數(shù)一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，下列結(jié)論中正確的是()①Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件；②Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的必要條件；③Δ＝b2－4ac≥0是這個(gè)方程有實(shí)根的充要條件；④Δ＝b2－4ac＝0是這個(gè)方程有實(shí)根的充分條件．A．③B．①②C．①②③D．①②③④4．直線x＋y＋m＝0與圓(x－1)2＋(y－1)2＝2相切的充要條件是________________．5．已知p：3x＋m<0，q：x2－2x－3>0，若p是q的一個(gè)充分不必要條件，求m的取值范圍．1．充要條件的判斷有三種方法：定義法、命題等價(jià)法、集合法．2．充要條件的證明與探求(1)充要條件的證明是分充分性和必要性兩方面來(lái)證明的，在證明時(shí)要注意兩種敘述方式的區(qū)別：①p是q的充要條件，則由p?q證的是充分性，由q?p證的是必要性；②p的充要條件是q，則由p?q證的是必要性，由q?p證的是充分性．(2)探求充要條件，可先求出必要條件，再證充分性；如果能保證每一步的變形轉(zhuǎn)化過(guò)程都可逆，也可以直接求出充要條件．

答案精析問(wèn)題導(dǎo)學(xué)知識(shí)點(diǎn)一思考1只要滿足條件，必有結(jié)論成立，它的逆命題成立．思考2因?yàn)閜?q且q?p，所以p是q的充分條件也是必要條件；同理，q是p的充分條件，也是必要條件．梳理p?q充分必要條件充要條件知識(shí)點(diǎn)二1．p?q，但q?/pq?p，但p?/qp?q，q?p，即p?qp?/q，q?/p題型探究例1解(1)∵四邊形的對(duì)角線互相平分?/四邊形是矩形，四邊形是矩形?四邊形的對(duì)角線互相平分，∴p是q的必要不充分條件．(2)∵a2＋b2＝0?a＝b＝0?a＋b＝0，a＋b＝0D?/a2＋b2＝0，∴p是q的充分不必要條件．(3)∵當(dāng)x＝1或x＝2成立時(shí)，可得x－1＝eq\r(x－1)成立，反過(guò)來(lái)，當(dāng)x－1＝eq\r(x－1)成立時(shí)，可以推出x＝1或x＝2，∴p是q的充要條件．(4)由sinα>sinβ不能推出α>β，反過(guò)來(lái)由α>β也不能推出sinα>sinβ，∴p既不是q的充分條件，也不是q的必要條件．則p是q的既不充分又不必要條件．跟蹤訓(xùn)練1(1)B[由x＞1?x＋2＞3?＜0，＜0?x＋2＞1?x＞－1，故“x＞1”是“＜0”成立的充分不必要條件．故選B.](2)C[當(dāng)x＝1，y＝－2時(shí)，x>y，但x>|y|不成立；因?yàn)閨y|≥y，所以若x>|y|，則x>y.所以x>y是x>|y|的必要不充分條件．]例2解充分性：當(dāng)0<a<eq\f(4,5)時(shí)，判別式Δ＝a2－4a(1－a)＝5a2－4a＝a(5a－4)<0，則ax2－ax＋1－a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．而當(dāng)a＝0時(shí)，不等式ax2－ax＋1－a>0化為1>0.顯然當(dāng)a＝0時(shí)，不等式ax2－ax＋1－a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立．必要性：因?yàn)閍x2－ax＋1－a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，所以a＝0或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ＝a2－4a1－a<0，))解得0≤a<eq\f(4,5).故0≤a<eq\f(4,5)是不等式ax2－ax＋1－a>0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的充要條件．跟蹤訓(xùn)練2解先由題意求出條件：設(shè)α是兩方程的公共根，顯然α≠0，則α2＋2aα＋b2＝0，①α2＋2cα－b2＝0，②①＋②，得2α2＋2α(a＋c)＝0，∴α＝－(a＋c)．代入①，得(a＋c)2－2a(a＋c)＋b2＝0，即a2＝b2＋c2，以上求條件的過(guò)程就是必要性的證明過(guò)程．再證明充分性：∵a2＝b2＋c2，∴方程x2＋2ax＋b2＝0，可化為x2＋2ax＋a2－c2＝0，它的解為x1＝－(a＋c)，x2＝c－a.同理方程x2＋2cx－b2＝0可化為x2＋2cx－a2＋c2＝0，它的解為x3＝－(a＋c)，x4＝a－c.∵x1＝x3，∴方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根．綜上所述，方程x2＋2ax＋b2＝0與x2＋2cx－b2＝0有公共根的充要條件是a2＝b2＋c2.例3證明充分性：∵ac<0，∴一元二次方程ax2＋bx＋c＝0的判別式Δ＝b2－4ac>0，∴方程一定有兩個(gè)不等實(shí)根，設(shè)兩實(shí)根為x1，x2，則x1x2＝eq\f(c,a)<0，∴方程的兩根異號(hào)，即方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根．必要性：∵方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根，設(shè)兩實(shí)根為x1，x2，則由根與系數(shù)的關(guān)系得x1x2＝eq\f(c,a)<0，且Δ＝b2－4ac>0，即ac<0.綜上可知，一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有一正根和一負(fù)根的充要條件是ac<0.跟蹤訓(xùn)練3證明①充分性：如果b＝0，那么f(x)＝kx，因?yàn)閒(－x)＝k(－x)＝－kx，所以f(－x)＝－f(x)，所以f(x)為奇函數(shù)．②必要性：因?yàn)閒(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)，所以f(－x)＝－f(x)對(duì)任意x均成立，即k(－x)＋b＝－(kx＋b)，所以b＝0.綜上，一次函數(shù)f(x)＝kx＋b(k≠0)是奇函數(shù)的充要條件是b＝0.例4解由3x＋m<0得，x<－eq\f(m,3).∴p：A＝eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x|x<－\f(m,3))).由x2－2x－3>0得，x<－1或x>3.∴q：B＝{x|x<－1或x>3}．∵p?q而q?/p，∴A是B的真子集，∴－eq\f(m,3)≤－1，∴m≥3，即m的取值范圍是[3