2022年內蒙古呼倫貝爾市高考數(shù)學四模試卷含解析

2022年高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1．請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用0．5毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2．答題前，認真閱讀答題紙上的《注意事項》，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．數(shù)列的通項公式為．則“”是“為遞增數(shù)列”的（）條件．A．必要而不充分 B．充要 C．充分而不必要 D．即不充分也不必要2．橢圓是日常生活中常見的圖形，在圓柱形的玻璃杯中盛半杯水，將杯體傾斜一個角度，水面的邊界即是橢圓.現(xiàn)有一高度為12厘米，底面半徑為3厘米的圓柱形玻璃杯，且杯中所盛水的體積恰為該玻璃杯容積的一半（玻璃厚度忽略不計），在玻璃杯傾斜的過程中（杯中的水不能溢出），杯中水面邊界所形成的橢圓的離心率的取值范圍是（）A． B． C． D．3．已知函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A．函數(shù)在上單調遞減B．函數(shù)在上單調遞增C．函數(shù)的對稱中心是D．函數(shù)的對稱軸是4．己知四棱錐中，四邊形為等腰梯形，，，是等邊三角形，且；若點在四棱錐的外接球面上運動，記點到平面的距離為，若平面平面，則的最大值為（）A． B．C． D．5．已知定義在上的偶函數(shù)滿足，且在區(qū)間上是減函數(shù)，令，則的大小關系為（）A． B．C． D．6．將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度后，得到的圖像關于坐標原點對稱，則的最小值為（）A． B． C． D．7．已知等差數(shù)列的前n項和為，且，則（）A．4 B．8 C．16 D．28．已知集合，，若，則（）A．或 B．或 C．或 D．或9．在空間直角坐標系中，四面體各頂點坐標分別為：．假設螞蟻窩在點，一只螞蟻從點出發(fā)，需要在，上分別任意選擇一點留下信息，然后再返回點．那么完成這個工作所需要走的最短路徑長度是（）A． B． C． D．10．定義：表示不等式的解集中的整數(shù)解之和.若，，，則實數(shù)的取值范圍是A． B． C． D．11．的展開式中的項的系數(shù)為（）A．120 B．80 C．60 D．4012．已知類產品共兩件，類產品共三件，混放在一起，現(xiàn)需要通過檢測將其區(qū)分開來，每次隨機檢測一件產品，檢測后不放回，直到檢測出2件類產品或者檢測出3件類產品時，檢測結束，則第一次檢測出類產品，第二次檢測出類產品的概率為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．在中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，則________.14．設等比數(shù)列的前項和為，若，，則__________．15．在正方體中，已知點在直線上運動，則下列四個命題中：①三棱錐的體積不變；②；③當為中點時，二面角的余弦值為；④若正方體的棱長為2，則的最小值為；其中說法正確的是____________（寫出所有說法正確的編號）16．己知雙曲線的左、右焦點分別為，直線是雙曲線過第一、三象限的漸近線，記直線的傾斜角為，直線，，垂足為，若在雙曲線上，則雙曲線的離心率為_______三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）在直角坐標系中，曲線的標準方程為.以原點為極點，軸的非負半軸為極軸建立極坐標系，直線的極坐標方程為.（1）求直線的直角坐標方程；（2）若點在曲線上，點在直線上，求的最小值.18．（12分）已知{an}是一個公差大于0的等差數(shù)列，且滿足a3a5=45，a2+a6=1．（I）求{an}的通項公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}滿足：…，求{bn}的前n項和．19．（12分）某大學開學期間，該大學附近一家快餐店招聘外賣騎手，該快餐店提供了兩種日工資結算方案：方案規(guī)定每日底薪100元，外賣業(yè)務每完成一單提成2元；方案規(guī)定每日底薪150元，外賣業(yè)務的前54單沒有提成，從第55單開始，每完成一單提成5元.該快餐店記錄了每天騎手的人均業(yè)務量，現(xiàn)隨機抽取100天的數(shù)據(jù)，將樣本數(shù)據(jù)分為七組，整理得到如圖所示的頻率分布直方圖.（1）隨機選取一天，估計這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的概率；（2）從以往統(tǒng)計數(shù)據(jù)看，新聘騎手選擇日工資方案的概率為，選擇方案的概率為.若甲、乙、丙、丁四名騎手分別到該快餐店應聘，四人選擇日工資方案相互獨立，求至少有兩名騎手選擇方案的概率，（3）若僅從人日均收入的角度考慮，請你為新聘騎手做出日工資方案的選擇，并說明理由.（同組中的每個數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值代替）20．（12分）在直角坐標系中，直線的參數(shù)方程為，（為參數(shù)）.以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線的極坐標方程為.（1）求直線的普通方程和曲線的直角坐標方程；（2）若點是直線的一點，過點作曲線的切線，切點為，求的最小值.21．（12分）某市環(huán)保部門對該市市民進行了一次垃圾分類知識的網絡問卷調查，每一位市民僅有一次參加機會，通過隨機抽樣，得到參加問卷調查的人的得分（滿分：分）數(shù)據(jù)，統(tǒng)計結果如下表所示．組別頻數(shù)（1）已知此次問卷調查的得分服從正態(tài)分布，近似為這人得分的平均值（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表），請利用正態(tài)分布的知識求；（2）在（1）的條件下，環(huán)保部門為此次參加問卷調查的市民制定如下獎勵方案.（ⅰ）得分不低于的可以獲贈次隨機話費，得分低于的可以獲贈次隨機話費；（ⅱ）每次贈送的隨機話費和相應的概率如下表.贈送的隨機話費/元概率現(xiàn)市民甲要參加此次問卷調查，記為該市民參加問卷調查獲贈的話費，求的分布列及數(shù)學期望．附：，若，則，，.22．（10分）己知等差數(shù)列的公差，，且，，成等比數(shù)列.（1）求使不等式成立的最大自然數(shù)n；（2）記數(shù)列的前n項和為，求證：.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．A【解析】

根據(jù)遞增數(shù)列的特點可知，解得，由此得到若是遞增數(shù)列，則，根據(jù)推出關系可確定結果.【詳解】若“是遞增數(shù)列”，則，即，化簡得：，又，，，則是遞增數(shù)列，是遞增數(shù)列，“”是“為遞增數(shù)列”的必要不充分條件．故選：.【點睛】本題考查充分條件與必要條件的判斷，涉及到根據(jù)數(shù)列的單調性求解參數(shù)范圍，屬于基礎題.2．C【解析】

根據(jù)題意可知當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大，由橢圓的幾何性質即可確定此時橢圓的離心率，進而確定離心率的取值范圍.【詳解】當玻璃杯傾斜至杯中水剛好不溢出時，水面邊界所形成橢圓的離心率最大.此時橢圓長軸長為，短軸長為6，所以橢圓離心率，所以.故選：C【點睛】本題考查了橢圓的定義及其性質的簡單應用，屬于基礎題.3．B【解析】

根據(jù)圖象求得函數(shù)的解析式，結合余弦函數(shù)的單調性與對稱性逐項判斷即可.【詳解】由圖象可得，函數(shù)的周期，所以.將點代入中，得，解得，由，可得，所以.令，得，故函數(shù)在上單調遞減，當時，函數(shù)在上單調遞減，故A正確；令，得，故函數(shù)在上單調遞增.當時，函數(shù)在上單調遞增，故B錯誤；令，得，故函數(shù)的對稱中心是，故C正確；令，得，故函數(shù)的對稱軸是，故D正確.故選：B.【點睛】本題考查由圖象求余弦型函數(shù)的解析式，同時也考查了余弦型函數(shù)的單調性與對稱性的判斷，考查推理能力與計算能力，屬于中等題.4．A【解析】

根據(jù)平面平面，四邊形為等腰梯形，則球心在過的中點的面的垂線上，又是等邊三角形，所以球心也在過的外心面的垂線上，從而找到球心，再根據(jù)已知量求解即可.【詳解】依題意如圖所示：取的中點，則是等腰梯形外接圓的圓心，取是的外心，作平面平面，則是四棱錐的外接球球心，且，設四棱錐的外接球半徑為，則，而，所以，故選：A.【點睛】本題考查組合體、球，還考查空間想象能力以及數(shù)形結合的思想，屬于難題.5．C【解析】

可設，根據(jù)在上為偶函數(shù)及便可得到：，可設，，且，根據(jù)在上是減函數(shù)便可得出，從而得出在上單調遞增，再根據(jù)對數(shù)的運算得到、、的大小關系，從而得到的大小關系.【詳解】解：因為，即，又，設，根據(jù)條件，，；若，，且，則：；在上是減函數(shù)；；；在上是增函數(shù)；所以，故選：C【點睛】考查偶函數(shù)的定義，減函數(shù)及增函數(shù)的定義，根據(jù)單調性定義判斷一個函數(shù)單調性的方法和過程：設，通過條件比較與，函數(shù)的單調性的應用，屬于中檔題.6．B【解析】

由余弦的二倍角公式化簡函數(shù)為，要想在括號內構造變?yōu)檎液瘮?shù)，至少需要向左平移個單位長度，即為答案.【詳解】由題可知，對其向左平移個單位長度后，，其圖像關于坐標原點對稱故的最小值為故選：B【點睛】本題考查三角函數(shù)圖象性質與平移變換，還考查了余弦的二倍角公式逆運用，屬于簡單題.7．A【解析】

利用等差的求和公式和等差數(shù)列的性質即可求得.【詳解】.故選:.【點睛】本題考查等差數(shù)列的求和公式和等差數(shù)列的性質,考查基本量的計算,難度容易.8．B【解析】

因為,所以,所以或.若，則,滿足.若，解得或.若，則，滿足.若，顯然不成立，綜上或，選B.9．C【解析】

將四面體沿著劈開，展開后最短路徑就是的邊，在中，利用余弦定理即可求解.【詳解】將四面體沿著劈開，展開后如下圖所示：最短路徑就是的邊．易求得，由，知，由余弦定理知其中，∴故選：C【點睛】本題考查了余弦定理解三角形，需熟記定理的內容，考查了學生的空間想象能力，屬于中檔題.10．D【解析】

由題意得，表示不等式的解集中整數(shù)解之和為6.當時，數(shù)形結合（如圖）得的解集中的整數(shù)解有無數(shù)多個，解集中的整數(shù)解之和一定大于6.當時，，數(shù)形結合（如圖），由解得.在內有3個整數(shù)解，為1，2，3，滿足，所以符合題意.當時，作出函數(shù)和的圖象，如圖所示.若，即的整數(shù)解只有1，2，3.只需滿足，即，解得，所以.綜上，當時，實數(shù)的取值范圍是.故選D.11．A【解析】

化簡得到，再利用二項式定理展開得到答案.【詳解】展開式中的項為.故選：【點睛】本題考查了二項式定理，意在考查學生的計算能力.12．D【解析】

根據(jù)分步計數(shù)原理，由古典概型概率公式可得第一次檢測出類產品的概率，不放回情況下第二次檢測出類產品的概率，即可得解.【詳解】類產品共兩件，類產品共三件，則第一次檢測出類產品的概率為；不放回情況下，剩余4件產品，則第二次檢測出類產品的概率為；故第一次檢測出類產品，第二次檢測出類產品的概率為；故選：D.【點睛】本題考查了分步乘法計數(shù)原理的應用，古典概型概率計算公式的應用，屬于基礎題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

利用正弦定理將邊化角，即可容易求得結果.【詳解】由正弦定理可知，，即.故答案為：.【點睛】本題考查利用正弦定理實現(xiàn)邊角互化，屬基礎題.14．【解析】

由題意，設等比數(shù)列的公比為，根據(jù)已知條件，列出方程組，求得的值，利用求和公式，即可求解．【詳解】由題意，設等比數(shù)列的公比為，因為，即，解得，，所以.【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的通項公式，及前n項和公式的應用，其中解答中根據(jù)等比數(shù)列的通項公式，正確求解首項和公比是解答本題的關鍵，著重考查了推理與計算能力，屬于基礎題．15．①②④【解析】

①∵，∴平面

，得出上任意一點到平面的距離相等，所以判斷命題①；②由已知得出點P在面上的射影在上，根據(jù)線面垂直的判定和性質或三垂線定理，可判斷命題②；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，運用二面角的空間向量求解方法可求得二面角的余弦值，可判斷命題③；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，根據(jù)對稱性和兩點之間線段最短，可求得當點在點時，在一條直線上，取得最小值.可判斷命題④.【詳解】①∵，∴平面

，所以上任意一點到平面的距離相等，所以三棱錐的體積不變，所以①正確；

②在直線上運動時，點P在面上的射影在上，所以DP在面上的射影在上，又，所以，所以②正確；③當為中點時，以點D為坐標原點，建立空間直角系，如下圖所示，設正方體的棱長為2.則:，，所以，設面的法向量為，則，即，令，則，設面的法向量為，，即，，由圖示可知，二面角是銳二面角，所以二面角的余弦值為，所以③不正確；④過作平面交于點，做點關于面對稱的點，使得點在平面內，則，所以，當點在點時，在一條直線上，取得最小值.因為正方體的棱長為2，所以設點的坐標為，，，所以，所以，又所以，所以，，，故④正確.

故答案為：①②④.【點睛】本題考查空間里的線線，線面，面面關系，幾何體的體積，在求解空間里的兩線段的和的最小值，仍可以運用對稱的思想，兩點之間線段最短進行求解，屬于難度題.16．【解析】

由，則，所以點，因為，可得，點坐標化簡為，代入雙曲線的方程求解.【詳解】設，則，即，解得，則，所以，即，代入雙曲線的方程可得，所以所以解得.故答案為：【點睛】本題主要考查了直線與雙曲線的位置關系，及三角恒等變換，還考查了運算求解的能力和數(shù)形結合的思想，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）（2）【解析】

（1）直接利用極坐標公式計算得到答案（2）設，，根據(jù)三角函數(shù)的有界性得到答案.【詳解】（1）因為，所以，因為所以直線的直角坐標方程為.（2）由題意可設，則點到直線的距離.因為，所以，因為，故的最小值為.【點睛】本題考查了極坐標方程，參數(shù)方程，意在考查學生的計算能力和轉化能力.18．（I）；（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）設等差數(shù)列的公差為，則依題設．由,可得．由，得，可得．所以．可得．（Ⅱ）設，則.即，可得，且．所以，可知．所以，所以數(shù)列是首項為4，公比為2的等比數(shù)列．所以前項和．考點：等差數(shù)列通項公式、用數(shù)列前項和求數(shù)列通項公式．19．（1）0.4；（2）；（3）應選擇方案，理由見解析【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖，可求得該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率，即可估算其概率；（2）根據(jù)獨立重復試驗概率求法，先求得四人中有0人、1人選擇方案的概率，再由對立事件概率性質即可求得至少有兩名騎手選擇方案的概率；（3）設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件，分別表示出方案的日工資和方案的日工資函數(shù)解析式，即可計算兩種計算方式下的數(shù)學期望，并根據(jù)數(shù)學期望作出選擇.【詳解】（1）設事件為“隨機選取一天，這一天該快餐店的騎手的人均日外賣業(yè)務量不少于65單”.根據(jù)頻率分布直方圖可知快餐店的人均日外賣業(yè)務量不少于65單的頻率分別為，∵，∴估計為0.4.（2）設事件′為“甲、乙、丙、丁四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案”，設事件，為“甲、乙、丙、丁四名騎手中恰有人選擇方案”，則，所以四名騎手中至少有兩名騎手選擇方案的概率為.（3）設騎手每日完成外賣業(yè)務量為件，方案的日工資，方案的日工資，所以隨機變量的分布列為1601802002202402602800.050.050.20.30.20.150.05；同理，隨機變量的分布列為1501802302803300.30.30.20.150.05.∵，∴建議騎手應選擇方案.【點睛】本題考查了頻率分布直方圖的簡單應用，獨立重復試驗概率的求法，數(shù)學期望的求法并由期望作出方案選擇，屬于中檔題.20．（1），；（2）見解析【解析】

（1）消去t,得直線的普通方程，利用極坐標與普通方程互化公式得曲線的直角坐標方程；（2）判斷與圓相離，連接，在中，，即可求解【詳解】（1）將的參數(shù)方程（為參數(shù)）消去參數(shù)，得.因為，，所以