高考總復(fù)習(xí)走向清北課件36數(shù)學(xué)直接證明與間接證明

第三十六講直接證明與間接證明回歸課本證明1.證明分為直接證明與間接證明.直接證明包括綜合法?分析法等;間接證明主要是反證法.2.綜合法:一般地,利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義?定理?公理,

經(jīng)過(guò)一系列的推理論證,最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立,

這種證明方法叫做綜合法.3.分析法:一般地,從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使它成立

的充分條件,直至最后,把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明

顯成立的條件(已知條件?定義?定理?公理等)為止.這種證

明方法叫做分析法.4.反證法:一般地,由證明pq轉(zhuǎn)向證明

qr?t,t與

假設(shè)矛盾,或與某個(gè)真命題矛盾,從而判定q為假,推出q為真的方法,叫反證法.考點(diǎn)陪練1.分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā),逐步尋求使結(jié)論成立的

(

)A.充分條件C.充要條件B.必要條件

D.等價(jià)條件解析:根據(jù)分析法的要求,只要能找到一個(gè)條件使結(jié)論成立即

可,并不需要是等價(jià)條件(充要條件),只需要是充分條件即

可.答案:A2.用P表示已知,Q表示要證的結(jié)論,則綜合法的推理形式為()A.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→?→QnQB.PQ1→Q1Q2→Q2Q3→?→QnQC.QQ1→Q1Q2→Q2Q3→?→QnPD.QQ1→Q1Q2→Q2Q3→?→QnP答案:A3.用反證法證明命題“三角形的內(nèi)角至多有一個(gè)鈍角”時(shí),假設(shè)正確的是()A.假設(shè)至少有一個(gè)鈍角B.假設(shè)至少有兩個(gè)鈍角C.假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角D.假設(shè)沒(méi)有一個(gè)鈍角或至少有兩個(gè)鈍角解析:此題實(shí)際是一個(gè)命題的否定問(wèn)題,“至多有一個(gè)”?“

至少有兩個(gè)”是對(duì)應(yīng)的,此題極易錯(cuò)選為C或A.答案:B4.反證法的關(guān)鍵是在正確的推理下得出矛盾.這個(gè)矛盾可以是()①與已知矛盾;②假設(shè)矛盾;③與定義?公理?定理?法則矛盾;

④與事實(shí)矛盾.B.①③D.①②③④A.①②C.①③④答案:D5.在不等邊三角形中,a為最大邊,要想得到∠A為鈍角的結(jié)論,三邊a?b?c應(yīng)滿(mǎn)足什么條件()A.a2<b2+c2C.a2>b2+c2B.a2=b2+c2D.a2≤b2+c2

b2

c2

a2

2bc

b2

c2

a2

0

a2

b2

c2.答案:C類(lèi)型一綜合法解題準(zhǔn)備:1.用P表示已知條件、已有的定義、定理等,Q表示

所要證的結(jié)論,則綜合法可用框圖表示為:

P

Q1

Q1

Q2

Q2

Q3

?

Qn

Q2.綜合法是“由因到果”,即由已知條件出發(fā),經(jīng)過(guò)逐步的推

理,最后達(dá)到待證結(jié)論.綜合法又叫做順推證法或由因到果

法.3.綜合法格式:從已知條件出發(fā),順著推證,由“已知”得

“推知”,由“推知”得“未知”,逐步推出求證的結(jié)論,

這就是順推法的格式,它的常見(jiàn)書(shū)面表達(dá)是

“∵??,∴??”或“”.lgab

2bcca

2

2lglgalgblgc.【典例1】若a、b、c是不全相等的正數(shù),求證:lg≤

ab

0,≤

bc

0,lglgabbcac

2

2

2lgabbcca

2

2

2lgalgblgc.[證明]

a,b,c(0,),又上述三個(gè)不等式中等號(hào)不能同時(shí)成立,

abbcca

2

2

2

abbcca

2

2

2

≤

ac

0.[反思感悟]用綜合法證題是從已知條件出發(fā),逐步推向結(jié)

論,綜合法的適用范圍是:(1)定義明確的問(wèn)題,如證明函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性,求證無(wú)

條件的等式或不等式等.(2)已知條件明確,并且容易通過(guò)分析和應(yīng)用條件能逐步逼近

結(jié)論的題型.類(lèi)型二

分析法解題準(zhǔn)備:1.用Q表示要證明的結(jié)論,則分析法可用框圖表示

為1

1

2

2

3Q

P

P

P

P

P

?得到一個(gè)明顯成立的條件2.分析法是“執(zhí)果索因”,一步步尋求上一步成立的充分條件,因此分析法又叫做逆證法或執(zhí)果索因法.3.分析法格式:與綜合法正好相反,它是從要求證的結(jié)論出發(fā)

,倒著分析,由未知想需知,由需知逐漸靠近已知(已知條件

,已經(jīng)學(xué)過(guò)的定義、定理、公理、公式、法則等).這種證

明的方法關(guān)鍵在于需保證分析過(guò)程的每一步都是可以逆推

的,它的常見(jiàn)書(shū)寫(xiě)表達(dá)式是“要證??只需??”或

“”.4.綜合法和分析法均屬于直接證明的方法,經(jīng)常要把兩種方

法結(jié)合起來(lái)用,也就是說(shuō)“兩頭湊”,會(huì)使問(wèn)題容易解決.【典例2】已知

(0,),求證:2sin2≤要證明2sin2≤sin1cos只要證明4sincos≤..

11cos

sin

1cos[證明]統(tǒng)一為角,利用弦函數(shù)公式化簡(jiǎn).

成立,

sin

1cos

0,,sin

0.只要證明4cos≤4(1cos)≥2

4(1cos)

4,當(dāng)且僅當(dāng)cos

,即

12

3

11cos41cos.

1

11cos

1cos上式可變形為4≤

1cos

0,時(shí)取等號(hào).

11cos

成立.[反思感悟]在解決問(wèn)題時(shí),根據(jù)條件的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)去轉(zhuǎn)化結(jié)論,得

到中間結(jié)論Q,根據(jù)結(jié)論的特點(diǎn)轉(zhuǎn)化得到中間結(jié)論P(yáng),歸結(jié)為

證明P?Q之間的關(guān)系,通常用分析法尋找思路,綜合法完成

證明.類(lèi)型三反證法解題準(zhǔn)備:1.反證法是間接證明的一種方法,在數(shù)學(xué)研究和考

試中有著重要的作用.一般地,假設(shè)原命題不成立,經(jīng)過(guò)正

確的推理,最后得出矛盾,因此說(shuō)明假設(shè)錯(cuò)誤,從而證明了

原命題的成立,這樣的證明方法叫做反證法.2.反證法的理論依據(jù)是邏輯規(guī)律中的排除律:一個(gè)事物是A或

,二者必居其一,反證法即證明結(jié)論的反面錯(cuò)誤,從而結(jié)論

正確.3.用反證法證明問(wèn)題的步驟:(1)分清命題的條件和結(jié)論,假

設(shè)命題的結(jié)論不成立,即假設(shè)結(jié)論的反面成立;(2)從這個(gè)

假設(shè)出發(fā),經(jīng)過(guò)推理論證,得出矛盾;(3)從矛盾判斷假設(shè)不

正確,從而肯定命題的結(jié)論正確.4.適宜用反證法證明的數(shù)學(xué)命題:(1)結(jié)論本身是以否定形式

出現(xiàn)的命題;(2)關(guān)于唯一性、存在性命題;(3)結(jié)論以“至

多”、“至少”等形式出現(xiàn)的命題;(4)結(jié)論的反面比原結(jié)

論更具體、更容易研究的命題.【典例3】已知a,b,c是互不相等的實(shí)數(shù).求證:由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a和y=cx2+2ax+b確定的三條拋物線(xiàn)至少有一條與x軸有兩個(gè)不同的交點(diǎn).[證明]假設(shè)題設(shè)中的函數(shù)確定的三條拋物線(xiàn)都不與x軸有兩個(gè)

不同的交點(diǎn)(即任何一條拋物線(xiàn)與x軸沒(méi)有兩個(gè)不同的交點(diǎn)),由y=ax2+2bx+c,y=bx2+2cx+a,y=cx2+2ax+b,得Δ

1=(2b)2-4ac≤0,Δ

2=(2c)2-4ab≤0,Δ

3=(2a)2-4bc≤0.同向不等式求和得,4b2+4c2+4a2-4ac-4ab-4bc≤0,∴2a2+2b2+2c2-2ab-2bc-2ca≤0,∴(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2≤0,∴a=b=c,這與題設(shè)a,b,c互不相等矛盾,因此假設(shè)不成立,從而命題得證.[反思感悟]本題是“至少”型命題,直接證明比較困難,因此可用反證法,即否定命題——尋找矛盾——命題得證.錯(cuò)源

邏輯不嚴(yán)密【典例】如圖,設(shè)四面體P-ABC中,∠ABC=90°,PA=PB=PC,D是AC中點(diǎn),求證:PD⊥平面ABC.[錯(cuò)解]∵PA=PC,D是AC的中點(diǎn),∴PD⊥AC.又BC⊥AB,∴BC⊥PD.又AC∩BC=C,∴PD⊥平面ABC.[剖析]本題錯(cuò)誤的原因在于證明PD⊥BC時(shí)沒(méi)有理論依據(jù),完全憑感覺(jué),沒(méi)有邏輯感.[正解]連接BD,因?yàn)锽D是Rt△ABC斜邊上的中線(xiàn),所以DA=DC=DB.又PA=PB=PC,而PD是公共邊,∴△PAD≌△PBD≌△PCD,∴∠PDA=∠PDC=∠PDB=90°,∴PD⊥AC,PD⊥BD,又AC,BD為平面ABC內(nèi)兩相交的直線(xiàn).∴PD⊥平面ABC.am

a

.

bm

b技法不等式(a、b、mR且a

b)的多種證法amabm

b

及推廣和應(yīng)用

1.橫向聯(lián)系,多解求優(yōu)

,只

bm

b需證明:a

mb

abm,即bm

am,只需證明b

a.b

a成立,

.m

m

m

m

am

bm

..11a

bm

0,amabm

bamabm

b

證法二:(綜合法)

a

b,mR,ma

mb,abma

abmb,abm

ba

m.

a、b、mR,a

m,bmR,又

,1

1

,即

a

b

a

b

a

b又

a

0,bm

0,

0,

1,

.aamb

bm

a

bama(bm)

abamaamb(am)

abbm

b

bmbmabam

abbm,證法四:(作商比較法)a、b、mR,

0.又

a

b,am

bm,

0,

.的,當(dāng)m

0時(shí),f0

fm,即

.ama

(ba)mbm

b

b(bm)amabm

ba

xb

xf

(x)

1bab

xaamb

bm證法五:(作差比較法)a

b,ba

0.又

a、b、mR,bmR,bam

0,作差證法六:(函數(shù)法)構(gòu)造函數(shù)f

(x)

(x≥0),則(x≥0),易知fx在其定義域上是單調(diào)遞增a

x

a

(ba)x

0,(y1)

y

0,

y

1,

.ab

,b

x

b

b(b

x)ambmm

aby

y1aby

a

y1

b

m

0,證法七:(解不等式法)a、bR,a

b,關(guān)于x的不等式:

0,等價(jià)于xb

x

0,x

0或x

b.又,b證法八:(求值域)令y

,將命題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域.(y

1,若y

1,則a

b不合題意).0,Y

R,原不等式成立.amabm

b

.,ababtan

ambmambm,tan

證法九:(三角法)欲證的不等式為分式,可考慮令tan

,tan

tan,構(gòu)造圖形:在Rt

ABC中,AC

b,BC

a,且AC

BC,分別延長(zhǎng)CA?CB到A1、B1使AA1

BB1

a

BB2

b

AA

11,BB2

AA1

m,即點(diǎn)B2在BB1之間,而tan

,顯然0

.

2amabm

btan

tan,即am

a(m)a

a0

.,,ab

4

bm

b(m)

b

b0kAB

ambmAOx

ACx

tanACx

tanAOx,kAB

kOA,amabm

b證法十:(解析法),可考慮斜率公式.建立直角坐標(biāo)系:取點(diǎn)Ab,a,Bm,m,如圖,則kOA.由0

a

b,m

0,知射線(xiàn)OA傾斜角滿(mǎn)足0

.由于正切函數(shù)在此區(qū)間內(nèi)為增函數(shù),

1,BE

m,am

am

a

am.

m

ODaBE

OB

b

證法十一:(幾何法)如圖所示,設(shè)CF//AE,DF

m,

CD

a,AB

b,

,

.

AE

OA

AB

b

BE

b又

,即

b

BE

bm

b

bmb

a

am

abm

am

bm

b證法十二:(幾何法)

的ABC,如圖所示,

AC

m,BC

b,

則AB

mb.

b

a

0,

故在CB上可截取CD

a,連接AD,

則AD

ma,BAC

DAC,sinBAC

sinDAC,

,即

.m、bR,構(gòu)造以

m、b為直角邊t

t

bm

b

.,bmat

m

t

bat

t

,

,

am

a

am

a證法十三:(增量法)b

a,設(shè)b

a

t,則t

0,

m、a、tR,可知

ama即

bm

bam

a

am命題3:設(shè)a、b、mR且a

b,則

a

c

a

ac

c;;;

bm

b

bma

2amamb

2bm

bm2.縱向深入,引申推廣

aam

b

bm命題2:設(shè)a、b、mR且m

a

b,則命題4:設(shè)a、b、c、dR且

,則

b

d

b

bd

d

?a1

a1

a2

?an

ana1

a2

an

aka1

b2

?an

a1

a2b1

2

?bnb

b1

2;,a1

a2

anb1

b2

bnbanbn

0(k

b1

b1

b2

?bn

bn命題5:對(duì)任意正整數(shù)n,若,ai、biR,(i1,2,?,n),則命題6:設(shè)有限分?jǐn)?shù)集S

,

,?,

,其中

b1

b2

bn

bk

N*),則Smin≤

≤Smax“”當(dāng)且僅當(dāng)

時(shí)成立.?3.巧用結(jié)論,妙法解題

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos

cos)

A.cosB.cosC.cosD.cosbmbbmam

a

ambbmbma

am

ambmbbmam

a

am

bmbmb

am

am