高考總復(fù)習(xí)走向清北課件21數(shù)學(xué)三角函數(shù)的性質(zhì)

第二十一講三角函數(shù)的性質(zhì)回歸課本1.正?余弦曲線的定義正弦函數(shù)的圖象和余弦函數(shù)的圖象分別叫做正弦曲線和余弦曲線.2.周期函數(shù)對于函數(shù)f(x),如果存在一個非零常數(shù)T,使得當(dāng)x取定義域內(nèi)的

每一個值時,都有f(x+T)=f(x),那么函數(shù)f(x)就叫做周期函數(shù)

.非零常數(shù)T叫做這個函數(shù)的周期.如果在周期函數(shù)f(x)的所

有周期中存在一個最小的正數(shù),那么這個最小正數(shù)就叫做

f(x)的最小正周期.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)都是周期函數(shù),2kπ,k∈Z都是它們的周期,最小正周期是2π.3.正弦函數(shù)?余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下表4.y=tanx的性質(zhì)(1)定義域是{x|x≠kπ+(2)值域是R,即正切函數(shù)既無最大值,也無最小值.(3)周期性:正切函數(shù)是周期函數(shù),最小正周期是π.(4)奇偶性:正切函數(shù)是奇函數(shù).2

,k∈Z}.k

,k

,

k∈Z內(nèi)都,0(k∈Z).正切函數(shù)無

(5)單調(diào)性:正切函數(shù)在開區(qū)間

是增函數(shù).(6)對稱性:正切函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱,正切曲線是中心對稱圖形,其對稱中心坐標(biāo)是對稱軸.

2

2

k

25.y=tanx(x≠kπ+

k∈Z)的圖象2考點陪練)C.{x|2kπ-D.x∈R答案:D1.函數(shù)

y

cos(sinx)的定義域是(

A.{x|2kπ-

≤x≤2kπ+

,k∈Z}

2

2B.{x|2kπ≤x≤2kπ+

,k∈Z}

≤x≤2kπ,k∈

2Z}

2xf

(x)

2cos

的最小正周期為T,且T∈(1,3),則正2.若整數(shù)ω的最大值是()A.5B.6C.7D.8答案:B

3

A.[1,1]

2

B.

,1

2

11

2

2值域是(

)

2

2C.1,

D.1,

2

2

答案:C

4.

f

x

tan

(

函數(shù)

的單調(diào)遞增區(qū)間為

k

,k

.

(k

Z)

C

.

k

Z

D

k

,k

)

x

4

A.k

,k

(kZ)

2

2

B.k,(k

1)(kZ)

3

4

4

3

4

4

4解析:令xt,則t單調(diào)遞增,只有tant單調(diào)遞增,才能使原函數(shù)單調(diào)遞增,tk

,k

,

2

2

x

,

2

4

2

3

4

4

答案:Cy

sin2x,x∈R是(

)5.函數(shù)A.奇函數(shù)C.既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)B.偶函數(shù)D.非奇非偶函數(shù)5

22

,

:

y

sin

cos

x

解析5

.

y

sin

為偶函數(shù)5

2x

sin

2x

2

2

2x

2

答案:B類型一三角函數(shù)的定義域解題準(zhǔn)備:求函數(shù)定義域的題型,關(guān)鍵是求使式子有意義的x的

取值范圍,將問題轉(zhuǎn)化為解不等式,此題是解三角不等式,常

用的方法有:①利用單位圓中的三角函數(shù)線;②利用三角函

數(shù)的圖象;③利用函數(shù)單調(diào)性,一定要與相應(yīng)三角函數(shù)的周

期聯(lián)系起來.

x

cos

lg(2sinx1)tanx1

2

8

【典例1】

1求函數(shù)y

的定義域;2求函數(shù)y

2log1x

tanx的定義域.

2

[分析]先寫出使函數(shù)有意義的不等式或不等式組,再利用三角函數(shù)圖象或單位圓求解集.2k

x

2k

利用單位圓得k

x

k

x

2k

4

,(kZ),[解]1要使函數(shù)有意義

1

則tanx1≥0

x

2

8

2

8

2,

5

6

6

3

,

2

4

3{x|2k

x

2k

函數(shù)的定義域為

23

4,kZ}.2要使函數(shù)有意義

2log1x≥0,

2

得

2函數(shù)定義域為{x

|0

x

或≤x≤4}.[反思感悟]①求三角函數(shù)的定義域,既要注意一般函數(shù)的定義

域的規(guī)律,又要注意三角函數(shù)本身的特有屬性,如題中出現(xiàn)tanx,則一定有x≠kπ+

,k∈Z.②求三角函數(shù)的定義域通常使用三角函數(shù)線?三角函數(shù)圖象或單位圓.2類型二三角函數(shù)的值域及最值問題解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)的值域及最值問題,實質(zhì)上大多是含有三

角函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的值域問題,常用的方法有:化為代數(shù)函

數(shù)的值域或化為關(guān)于sinx(或cosx)的二次函數(shù)式,再利用

換元?配方等方法求解.sinx;【典例2】求下列函數(shù)的值域:(1)y=2cos2x+2cosx;(2)y=3cosx-(3)y=sinx+cosx+sinxcosx.[分析]先將原函數(shù)式進(jìn)行等價變形,利用|sinx|≤1,|cosx|≤1,但

要注意自變量的取值變化.311

2

.

[

]

1

y

2cos

x

2cosx

cosx

解min

,

.

cosx

y

時得

故函數(shù)值域為,4

(2)

3

3

2

3

y

cosx

sinx

3

1

2

3

.

cos

22

2

211

1

2

2

2

于是當(dāng)且僅當(dāng)cosx

1時得ymax

4,當(dāng)且僅當(dāng)2

2cosx

sinxx

6

1,

2

3,2

3].

[

cos

≤

該函數(shù)值域為

2sin

2

(

)

1

sinx

cosx

2

1,

sin

sin

2

x

sin

x

x1

2

2.

,y

1

sin

所以當(dāng)

時

取最大值1

1

x

6

22

1(3)y

sinxcosxsinxcosxx2

4

4

4

2

4

2

x

4

2

2當(dāng)sin

212

x

4

2時,y取最小值1,[反思感悟](1)將原函數(shù)式化為

y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B型或化為關(guān)于sinx(

或cosx)的二次函數(shù)式,利用換元法進(jìn)行配方可解決問題.(2)關(guān)于y=acos2x+bcosx+c,a≠0(或y=asin2x+bsinx+c,a≠0)

型或可化為此型的函數(shù)求值域,一般可化為二次函數(shù)在閉

區(qū)間上的值域問題,切忌忽視函數(shù)的定義域.(3)換元法,旨在三角問題代數(shù)化,要防止破壞等價性.類型三三角函數(shù)的單調(diào)性解題準(zhǔn)備:與三角函數(shù)單調(diào)性有關(guān)的問題π(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為減

≤ωx+φ≤2kπ+21.單調(diào)區(qū)間的求法函數(shù)y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的單調(diào)區(qū)間的確定,基本思想是把ωx+φ看作一個整體,比如:由2kπ-

≤ωx+φ≤2kπ+(k∈Z)解出x的范圍,所得區(qū)間即為增區(qū)間,由2kπ+區(qū)間.22

322.如何比較兩個三角函數(shù)值的大小比較三角函數(shù)值的大小,往往是利用奇偶性或周期性轉(zhuǎn)化為

同一單調(diào)區(qū)間上的兩個同名函數(shù)值,再利用單調(diào)性比較.

3

1

;

y

sin

【典例

】

求函數(shù)

的單調(diào)遞減區(qū)間

2

.

3

y

tan

求

的周期及單調(diào)區(qū)間x

2x

3

6

4由2k

≤2x≤2k

≤2x≤2k

kZ,k

≤x≤k

kZ.即k

≤x≤k

,k

2

3

25

6

6

512

122k

kZ,](kZ).[解]1解法一:欲求函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間,只需求y

sinu的單調(diào)遞增區(qū)間.kZ,得

5

12

12

5

12

12原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k

,k

512

12

2x

3

2x

3

5

2

3

2

12

12kZ.](kZ).原函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為[k

4,y

3tan

的周期為4.

x|

|

6

4

k

4k

x

4k

y

3tan

4k

x

kZ內(nèi)單調(diào)遞減.

x

4

8

2

4

6

2

3

34

3

3tan

6

4

4

6

,4k

T

kZ,

6

4

由k

在

4k

,4k

4

6

3

3

在8

3

[反思感悟](1)求形如y=Asin(ωx+φ)或y=Acos(ωx+φ)(其中A≠0,ω>0)的函數(shù)的單調(diào)區(qū)間,可以通過解不

等式的方法去解答,列不等式的原則是:①把“ωx+φ(ω>0)”

視為一個“整體”;②A>0(A<0)時,所列不等式的方向與

y=sinx(x∈R)?y=cosx(x∈R)的單調(diào)區(qū)間對應(yīng)的不等式方向

相同(反).單調(diào)區(qū)

T

(2)對于y=Atan(ωx+φ)(A?ω?φ為常數(shù)),其周期|

|

間利用ωx+φ∈(k∈Z),解出x的取值范圍,

,k

k

即為其單調(diào)區(qū)間,對于復(fù)合函數(shù)y=f(v),v=φ(x),其單調(diào)性的判定方法是:若y=f(v)和v=φ(x)同為增

(減)函數(shù)時,y=f(φ(x))為增函數(shù);若y=f(v)和v=φ(x)一增一減

時,y=f(φ(x))為減函數(shù).,

2

2

類型四三角函數(shù)的奇偶性解題準(zhǔn)備:1.當(dāng)φ=kπ時

,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分別為奇函數(shù)和

偶函數(shù)(k∈Z).2.當(dāng)φ=kπ+

時,y=Asin(ωx+φ),y=Acos(ωx+φ)(A,ω≠0)分

2

別為偶函數(shù)和奇函數(shù)(k∈Z).3.函數(shù)的定義域關(guān)于原點對稱是函數(shù)具有奇偶性的前提條件,

因此在判斷函數(shù)奇偶性時,應(yīng)首先判斷函數(shù)定義域的對稱

性.4.當(dāng)函數(shù)定義域關(guān)于原點對稱時,只需分析f(-x)與f(x)的關(guān)系即可.1sin

x【典例4】判斷下列函數(shù)的奇偶性(1)f(x)=|sinx|+cosx(2)y=lg(sinx+[分析]先確定定義域,再用函數(shù)奇偶性的定義.2)sinx

1sin

x

[解](1)f(x)的定義域為R,f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sinx|+cosx=f(x),故此函數(shù)是偶函數(shù)

.

2

221lg

2故此函數(shù)是奇函數(shù).[反思感悟]判斷函數(shù)奇偶性時應(yīng)注意“定義域關(guān)于原點對稱

是函數(shù)為奇函數(shù)或偶函數(shù)的必要條件”的應(yīng)用.確定定義

域是研究函數(shù)問題的前提,因此解函數(shù)問題的步驟是:①先

研究函數(shù)的定義域.②再用相關(guān)定義加以判斷.類型五三角函數(shù)的周期解題準(zhǔn)備:三角函數(shù)周期的求法有三種:(1)定義法:即直接利用周期函數(shù)的定義求周期;2|

|

2|

|

(2)公式法:三角函數(shù)y=sinx,y=cosx和y=tanx的周期分別為(3)轉(zhuǎn)化法:對于較為復(fù)雜的三角函數(shù),可通過恒等變形轉(zhuǎn)化為

y=Asin(ωx+φ)+k,y=Acos(ωx+φ)+k,y=Atan(ωx+φ)+k

的類型,再利用公式法求得.2π?2π和π.函數(shù)y=Asin(ωx+φ)的周期

T

,

函數(shù)y=Acos(ωx+φ)的周期為

T

,

函數(shù)|

|y=Atan(ωx+φ)的周期為

T

(A,ω,φ為常數(shù),A≠0);2y

2cosxsin

3sin

xsinxcosx;

x2

3

4x

3

【典例5】求下列函數(shù)的最小正周期.

2y

2cosx

3sin

xsinxcosx1

3

sinxcosx

[解]1

y

[

a2

1sinx

]2

a2

1sin2x

1cos(2x2)

2此函數(shù)的最小正周期為

222

222

2

2

2

2

2

2x

3

.該函數(shù)的最小正周期是T

3注意到y(tǒng)

sin

的最小正周期T

2

y

2

sin

的圖象,知其最小正周期為

1

.4x

3

4

24x

3

2

2

4,結(jié)合[反思感悟]求三角函數(shù)最小正周期的基本方法有兩種:一是

將所給函數(shù)化為y=Asin(ωx+φ)(或y=Acos(ωx+φ))的形

式;二是利用圖象的基本特征求.

[錯解]配方得y

3

8

,sinx錯源一沒注意三角函數(shù)的有界性出錯的最大值.54【典例1】求函數(shù)y=-3sin2x+9sinx+

2

3

2故函數(shù)的最大值是ymax=8.[剖析]上述解法的錯誤在于把題中函數(shù)與通常的二次函數(shù)等

同起來了,它們雖有相似之處但也有嚴(yán)格的區(qū)分.忽視了-

1≤sinx≤1的隱含條件.

3

81

2

2遞增.故原函數(shù)當(dāng)sinx=1時取最大值,即ymax=.

2

329

2

4[評析]正?余弦的值域是固定在某一個確定的范圍內(nèi),在解三

角題時,一定要深入挖掘條件中由正?余弦函數(shù)有界性產(chǎn)生

的隱含因素,否則就會擴大解集,造成解題的失誤.y

cos

的單調(diào)遞增區(qū)間.

錯源二確定單調(diào)性時不注意復(fù)合規(guī)律而致錯【典例2】求函數(shù)2x

4

≤x≤k

5

8

8

5

8

8

[錯解]令u

4

4

(kZ),由于k表示的是

8

8周期的整數(shù)倍,所以可寫為k

(kZ),即所[剖析]上述解法忽視了復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的復(fù)合規(guī)律.因為構(gòu)成此所求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為外層函數(shù)y=cosu的減區(qū)間.4原函數(shù)的內(nèi)層函數(shù)

u

2x

在(x∈R)上為減函數(shù),因2x≤(2k

1),kZ,故k

≤x≤k

,

4

3

4

8

83

8

8k

,k

8

8[正解]令u

2x,因為內(nèi)層函數(shù)是關(guān)于x的減函數(shù),那么所求復(fù)合函數(shù)y

cosu的單調(diào)增區(qū)間即要取外層函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間去求解,即u[2k,2k

1](kZ),有2k≤kZ,由于k表示的是周期的整數(shù)倍,所以可寫為k

≤x≤k

,kZ,即該函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為錯源三確定函數(shù)的周期時不注意體現(xiàn)最小而致錯【典例3】求y=|sinx|+|cosx|的周期.[錯解]設(shè)f(x)=|sinx|+|cosx|,因為f(x+π)=|sin(x+π)|+|cos(x+π)|=|sinx|+|cosx|=f(x),所以f(x)最小正周期為π.[剖析]三角函數(shù)周期是指最小正周期,而上述解法沒有體現(xiàn)出所求周期為最小正周期.2

.[正解]因為y=|sinx|+|cosx|>0,所以函數(shù)y的周期與函數(shù)以函數(shù)y=|sinx|+|cosx|的周期為y2=1+|sin2x|的周期相同,而y2=1+|sin2x|的周期為

,

所22

2

|

|

|

|

|

|

[評析]求三角函數(shù)的最小正周期主要有三種方法:一是根據(jù)定

義,但要注意體現(xiàn)最小;二是利用三角函數(shù)的圖象;三是公式

法,即函數(shù)y=Asin(ωx+φ)+B,y=Acos(ωx+φ)+B,y=Atan(ωx+φ)+B(ω≠0)的最小正周期分別為

,

,

.錯源四利用正切函數(shù)圖象求解方程根作圖有誤而致錯4

x

sinx

tan

,

x

(

)

【典例

】若

則方程

的實根個數(shù)為

3

,

C.

x

象在

上有

個交點

故選

,

2

2

A.1

B.2

C.3

D.4

,

2

2

[錯解]如圖所示,正弦函數(shù)y

sinx與正切函數(shù)y

tanx的圖[

]

x

,tanx

sinx,

y

sinx

y

tanx

正解

當(dāng)

時

因此

與

在,

x

0

,sinx

tanx,

,y

sinx

上無交點

當(dāng)

時

由對稱性知

與y

tanx