人教版2021中考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第35講 動(dòng)態(tài)專題(動(dòng)點(diǎn)問題)課件

第二部分專題提升第35講動(dòng)態(tài)專題(1)(動(dòng)點(diǎn)問題)第二部分專題提升第35講動(dòng)態(tài)專題(1)(動(dòng)點(diǎn)問題)

動(dòng)點(diǎn)問題研究的是在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，一些圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”的問題.常用的數(shù)學(xué)思想是方程思想、數(shù)學(xué)建模思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等.解答動(dòng)點(diǎn)問題的時(shí)學(xué)會(huì)“動(dòng)中找靜”，即把動(dòng)點(diǎn)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解決，尋找動(dòng)點(diǎn)問題中的特殊情況.知識(shí)梳理動(dòng)點(diǎn)問題研究的是在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，一些圖形位置、數(shù)2考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一

動(dòng)點(diǎn)問題（5年4考）1.（2018·廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ODC，如圖2-35-1①，連接BC.（1）填空：∠OBC=________°；（2）如圖2-35-1①，連接AC，過點(diǎn)P作OP⊥AC，垂足為點(diǎn)P，求OP的長(zhǎng)度；60考點(diǎn)突破考點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)問題（5年4考）1.（3（3）如圖2-35-1②，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB的邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位長(zhǎng)度/s，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位長(zhǎng)度/s.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△OMN的面積為y，則當(dāng)x為何值時(shí),y取得最大值？最大值為多少？（3）如圖2-35-1②，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB4解：（2）在Rt△OAB中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2.∴S△AOC=OA·AB=×2×2=2.∵∠OBC=60°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°.∴AC=∴OP=解：（2）在Rt△OAB中，∵OB=4，∠ABO=30°，5（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)M在OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC,交OC于點(diǎn)E,如答圖2-35-1.則NE=ON·sin60°=x.∴y=OM·NE=×1.5x×x=x2.∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，最大值為（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)M在OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)6②當(dāng)＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H,如答圖2-35-2.則BM=8-1.5x，MH=BM·sin60°=（8-1.5x）.∴y=ON·MH=x·(8-1.5x)=x2+2x=∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＜②當(dāng)＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此7③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，點(diǎn)M，N都在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G,如答圖2-35-3.則MN=12-2.5x，OG=AB=2∴y=MN·OG=(12-2.5x)×23=12∴當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值，最大值為2綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，最大值為③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，點(diǎn)M，N都在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OG⊥8變式診斷2.（2020·嶗山一模）如圖2-35-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；變式診斷2.（2020·嶗山一模）如圖2-35-2，在Rt△9（3）四邊形PQCB的面積能否是△ABC面積的？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEQ為等腰三角形？（直接寫出結(jié)果）（3）四邊形PQCB的面積能否是△ABC面積的？若能，10解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB－BP=10-t．∵PQ∥BC，∴解得t=解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，11（2）∵S四邊形PQCB=S△ACB－S△APQ=AC·BC－AP·AQ·sinA∴y=×6×8-（10-t）·2t·t2-8t+24.∴y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=t2-8t+24（0<t<3）.（2）∵S四邊形PQCB=S△ACB－S△APQ=AC12（3）四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的理由如下：由題意，得t2-8t+24=×24.整理，得t2-10t+12=0.解得t1=5-t2=5+（不合題意,舍去）．故四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的，此時(shí)t的值為5-（3）四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的理由如13（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=②如果EA=EQ，那么（10-2t）×=t，解得t=③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得t=故當(dāng)t為時(shí)，△AEQ為等腰三角形.（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：14考點(diǎn)突破

考點(diǎn)二

動(dòng)線問題（5年1考）3.（2016·廣東）如圖2-35-3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA，QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA，OP．考點(diǎn)突破考點(diǎn)二動(dòng)線問題（5年1考）3.（2015（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形；（2）請(qǐng)判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四16解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.（2）OA=OP，OA⊥OP，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°.∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°.∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°.∴OB=OQ.在△AOB和△POQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS）.∴OA=OP，∠AOB=∠POQ.∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°.∴OA⊥OP.AB=PQ,∠ABO=∠PQO,BO=QO,解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.AB=PQ,17（3）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E．答圖2-35-4①如答圖2-35-4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，則BQ=x+2，OE=∴y=·x，即y=（x+1）2-.又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；（3）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E．18②如答圖2-35-5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，則BQ=2-x，OE=∴y=·x，即y=-（x-1）2+又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為.綜上所述，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2.②如答圖2-35-5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，則BQ=2-x，O19變式診斷4.（2014·東莞）如圖2-35-4，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB，AC，AD于E，F(xiàn)，H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE,DF，求證：四邊形AEDF為菱形；變式診斷4.（2014·東莞）如圖2-35-4，在△ABC中20（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)21（1）證明：如答圖2-35-6，當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則H為AD的中點(diǎn).又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分線.∴AE=DE，AF=DF．∵AD⊥EF，AD⊥BC，∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.又∵∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．答圖2-35-6（1）證明：如答圖2-35-6，當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，22（2）解：如答圖2-35-7.由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴解得EF=10-則S△PEF=EF·DH=·2t=-t2+10t=-（t-2）2+100＜t＜∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2，此時(shí)BP=3t=6cm．（2）解：如答圖2-35-7.23（3）解：存在．理由如下：①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8①.此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴此比例式不成立，故此種情形不存在；（3）解：存在．理由如下：24②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8②.此時(shí)PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．∵PF∥AD，∴解得t=②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8②.25③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8③．過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴解得BM=t.∴PM=BP－BM=3t-③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8③．26在Rt△EMP中，由勾股定理可得PE2=EM2+PM2=（2t）2+∵FN∥AD，∴∴PN=BC－BP－CN=10-3t-t=10-t．在Rt△FNP中，由勾股定理可得PF2=FN2+PN2=（2t）2+t2-85t+100．在Rt△EMP中，由勾股定理可得PE2=EM2+PM2=（227在Rt△PEF中，由勾股定理可得EF2=PE2+PF2，化簡(jiǎn)，得t2-35t=0.解得t=或t=0（舍去）.∴t=綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，△PEF為直角三角形.在Rt△PEF中，由勾股定理可得EF2=PE2+PF2，28專題突破5.（2020·浙江紹興）如圖2-35-5，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止.延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為()A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形B專題突破5.（2020·浙江紹興）如圖2-35-5，點(diǎn)O為296.（2018·黑龍江）如圖2-35-6，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且sin∠CBO=點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l，直線l掃過四邊形OCDA的面積為S.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo);（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;6.（2018·黑龍江）如圖2-35-6，在平面直角坐標(biāo)30（3）在直線l移動(dòng)過程中，l上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）在直線l移動(dòng)過程中，l上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C31解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=45=∴設(shè)CO=4k，則BC=5k.∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9.解得k=1或-1（舍去）.∴BC=5，OC=4.∵四邊形ABCD是菱形，∴CD=BC=5.∴D（5，4）.解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=45=32（2）①如答圖2-35-9，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，直線l掃過的圖形是四邊形OCQP.S=4t.②如答圖2-35-10，當(dāng)2＜t≤5時(shí)，直線l掃過的圖形是五邊形OCQTA.S=S梯形OCDA-S△DQT=×（2+5）×4-×（5-t）×（5-t）=（2）①如答圖2-35-9，當(dāng)0≤t≤2時(shí)，33（3）如答圖2-35-11.①當(dāng)QB=QC，∠BQC=90°時(shí)，Q②當(dāng)BC=CQ′，∠BCQ′=90°時(shí)，Q′（4，1）；③當(dāng)BC=BQ″，∠CBQ″=90°時(shí)，Q″（1，-3）.綜上所述，滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為或（4，1）或（1，-3）.（3）如答圖2-35-11.347.(2020·青島改編）如圖2-35-7，在四邊形ABCD和Rt△EBF中，AB∥CD，CD＞AB，點(diǎn)C在EB上，∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，延長(zhǎng)DC交EF于點(diǎn)M．點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，沿AC方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s；同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)M出發(fā)，沿MF方向勻速運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s．過點(diǎn)P作GH⊥AB于點(diǎn)H，交CD于點(diǎn)G．設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（s）（0＜t＜5）．解答下列問題：7.(2020·青島改編）如圖2-35-7，在四邊形ABC35（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？（2）連接PQ，作QN⊥AF于點(diǎn)N，當(dāng)四邊形PQNH為矩形時(shí)，求t的值；（3）連接QC，QH，設(shè)四邊形QCGH的面積為S（cm2），求S與t的函數(shù)關(guān)系式.（1）當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上？36解：（1）∵AB∥CD，∴∴CM=cm.∵點(diǎn)M在線段CQ的垂直平分線上，∴MQ=CM,即1×t=∴t=解：（1）∵AB∥CD，∴37（2）如答圖2-35-12，過點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N.∵∠ABC=∠EBF=90°，AB=BE=8cm，BC=BF=6cm，∴AC==10（cm），EF==10（cm）.∵CE=2cm，CM=cm，∠ECM=90°，（2）如答圖2-35-12，過點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N.38∴EM=∵sin∠PAH=sin∠CAB，∴∴PH=t.∴EM=39同理可求QN=6-t.∵四邊形PQNH是矩形，∴PH=NQ，即t=6-t.∴t=3.∴當(dāng)t=3時(shí)，四邊形PQNH為矩形.同理可求QN=6-t.40（3）如答圖2-35-13，過點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N.由（2）可知QN=6-t，∵cos∠PAH=cos∠CAB，∴∴AH=t.∴S=S梯形GMFH－S△CMQ－S△HFQ=（3）如答圖2-35-13，過點(diǎn)Q作QN⊥AF于點(diǎn)N.41

謝謝謝謝42第二部分專題提升第35講動(dòng)態(tài)專題(1)(動(dòng)點(diǎn)問題)第二部分專題提升第35講動(dòng)態(tài)專題(1)(動(dòng)點(diǎn)問題)

動(dòng)點(diǎn)問題研究的是在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，一些圖形位置、數(shù)量關(guān)系的“變”與“不變”的問題.常用的數(shù)學(xué)思想是方程思想、數(shù)學(xué)建模思想、函數(shù)思想、轉(zhuǎn)化思想等；常用的數(shù)學(xué)方法有分類討論法、數(shù)形結(jié)合法等.解答動(dòng)點(diǎn)問題的時(shí)學(xué)會(huì)“動(dòng)中找靜”，即把動(dòng)點(diǎn)問題變?yōu)殪o態(tài)問題來解決，尋找動(dòng)點(diǎn)問題中的特殊情況.知識(shí)梳理動(dòng)點(diǎn)問題研究的是在幾何圖形的運(yùn)動(dòng)中，一些圖形位置、數(shù)44考點(diǎn)突破

考點(diǎn)一

動(dòng)點(diǎn)問題（5年4考）1.（2018·廣東）已知Rt△OAB，∠OAB=90°，∠ABO=30°，斜邊OB=4，將Rt△OAB繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)60°得到△ODC，如圖2-35-1①，連接BC.（1）填空：∠OBC=________°；（2）如圖2-35-1①，連接AC，過點(diǎn)P作OP⊥AC，垂足為點(diǎn)P，求OP的長(zhǎng)度；60考點(diǎn)突破考點(diǎn)一動(dòng)點(diǎn)問題（5年4考）1.（45（3）如圖2-35-1②，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB的邊上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)M沿O→C→B路徑勻速運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N沿O→B→C路徑勻速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)兩點(diǎn)相遇時(shí)停止運(yùn)動(dòng).已知點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)速度為1.5單位長(zhǎng)度/s，點(diǎn)N的運(yùn)動(dòng)速度為1單位長(zhǎng)度/s.設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為xs，△OMN的面積為y，則當(dāng)x為何值時(shí),y取得最大值？最大值為多少？（3）如圖2-35-1②，點(diǎn)M，N同時(shí)從點(diǎn)O出發(fā)，在△OCB46解：（2）在Rt△OAB中，∵OB=4，∠ABO=30°，∴OA=OB=2，AB=OA=2.∴S△AOC=OA·AB=×2×2=2.∵∠OBC=60°，∴∠ABC=∠ABO+∠OBC=90°.∴AC=∴OP=解：（2）在Rt△OAB中，∵OB=4，∠ABO=30°，47（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)M在OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)N作NE⊥OC,交OC于點(diǎn)E,如答圖2-35-1.則NE=ON·sin60°=x.∴y=OM·NE=×1.5x×x=x2.∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，最大值為（3）①當(dāng)0＜x≤時(shí)，點(diǎn)M在OC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)48②當(dāng)＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此時(shí)過點(diǎn)M作MH⊥OB于點(diǎn)H,如答圖2-35-2.則BM=8-1.5x，MH=BM·sin60°=（8-1.5x）.∴y=ON·MH=x·(8-1.5x)=x2+2x=∴當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，此時(shí)y＜②當(dāng)＜x≤4時(shí)，點(diǎn)M在BC上運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)N在OB上運(yùn)動(dòng)，此49③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，點(diǎn)M，N都在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OG⊥BC于點(diǎn)G,如答圖2-35-3.則MN=12-2.5x，OG=AB=2∴y=MN·OG=(12-2.5x)×23=12∴當(dāng)x=4時(shí)，y取得最大值，最大值為2綜上所述，當(dāng)x=時(shí)，y取得最大值，最大值為③當(dāng)4＜x≤4.8時(shí)，點(diǎn)M，N都在BC上運(yùn)動(dòng)，過點(diǎn)O作OG⊥50變式診斷2.（2020·嶗山一模）如圖2-35-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)沿BA向點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)，速度為1cm/s，點(diǎn)E是點(diǎn)B以P為對(duì)稱中心的對(duì)稱點(diǎn)，點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn)Q從A出發(fā)沿AC向C運(yùn)動(dòng)，速度為2cm/s，當(dāng)點(diǎn)Q到達(dá)頂點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P，Q同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)P，Q兩點(diǎn)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts．（1）當(dāng)t為何值時(shí)，PQ∥BC？（2）設(shè)四邊形PQCB的面積為y，求y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；變式診斷2.（2020·嶗山一模）如圖2-35-2，在Rt△51（3）四邊形PQCB的面積能否是△ABC面積的？若能，求出此時(shí)t的值；若不能，請(qǐng)說明理由；（4）當(dāng)t為何值時(shí)，△AEQ為等腰三角形？（直接寫出結(jié)果）（3）四邊形PQCB的面積能否是△ABC面積的？若能，52解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，AC=6cm，∴AB=10cm．∵BP=t，AQ=2t，∴AP=AB－BP=10-t．∵PQ∥BC，∴解得t=解：（1）在Rt△ABC中，∵∠C=90°，BC=8cm，53（2）∵S四邊形PQCB=S△ACB－S△APQ=AC·BC－AP·AQ·sinA∴y=×6×8-（10-t）·2t·t2-8t+24.∴y關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為y=t2-8t+24（0<t<3）.（2）∵S四邊形PQCB=S△ACB－S△APQ=AC54（3）四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的理由如下：由題意，得t2-8t+24=×24.整理，得t2-10t+12=0.解得t1=5-t2=5+（不合題意,舍去）．故四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的，此時(shí)t的值為5-（3）四邊形PQCB的面積可以是△ABC面積的理由如55（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：①如果AE=AQ，那么10-2t=2t，解得t=②如果EA=EQ，那么（10-2t）×=t，解得t=③如果QA=QE，那么2t×=5-t，解得t=故當(dāng)t為時(shí)，△AEQ為等腰三角形.（4）△AEQ為等腰三角形時(shí)，分三種情況討論：56考點(diǎn)突破

考點(diǎn)二

動(dòng)線問題（5年1考）3.（2016·廣東）如圖2-35-3，BD是正方形ABCD的對(duì)角線，BC=2，邊BC在其所在的直線上平移，將通過平移得到的線段記為PQ，連接PA，QD，并過點(diǎn)Q作QO⊥BD，垂足為O，連接OA，OP．考點(diǎn)突破考點(diǎn)二動(dòng)線問題（5年1考）3.（2057（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四邊形；（2）請(qǐng)判斷OA，OP之間的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系，并加以證明；（3）在平移變換過程中，設(shè)y=S△OPB，BP=x（0≤x≤2），求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出y的最大值．（1）請(qǐng)直接寫出線段BC在平移過程中，四邊形APQD是什么四58解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.（2）OA=OP，OA⊥OP，證明如下：∵四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC=PQ，∠ABO=∠OBQ=45°.∵OQ⊥BD，∴∠PQO=45°.∴∠ABO=∠OBQ=∠PQO=45°.∴OB=OQ.在△AOB和△POQ中，∴△AOB≌△POQ（SAS）.∴OA=OP，∠AOB=∠POQ.∴∠AOP=∠AOB+∠BOP=∠POQ+∠BOP=∠BOQ=90°.∴OA⊥OP.AB=PQ,∠ABO=∠PQO,BO=QO,解：（1）四邊形APQD為平行四邊形.AB=PQ,59（3）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E．答圖2-35-4①如答圖2-35-4，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B右側(cè)時(shí)，則BQ=x+2，OE=∴y=·x，即y=（x+1）2-.又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2；（3）過點(diǎn)O作OE⊥BC于點(diǎn)E．60②如答圖2-35-5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，則BQ=2-x，OE=∴y=·x，即y=-（x-1）2+又∵0≤x≤2，∴當(dāng)x=1時(shí)，y有最大值為.綜上所述，當(dāng)x=2時(shí)，y有最大值為2.②如答圖2-35-5，當(dāng)點(diǎn)P在點(diǎn)B左側(cè)時(shí)，則BQ=2-x，O61變式診斷4.（2014·東莞）如圖2-35-4，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于點(diǎn)D，BC=10cm，AD=8cm．點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，在線段BC上以每秒3cm的速度向點(diǎn)C勻速運(yùn)動(dòng)，與此同時(shí)，垂直于AD的直線m從底邊BC出發(fā)，以每秒2cm的速度沿DA方向勻速平移，分別交AB，AC，AD于E，F(xiàn)，H，當(dāng)點(diǎn)P到達(dá)點(diǎn)C時(shí)，點(diǎn)P與直線m同時(shí)停止運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts（t＞0）．（1）當(dāng)t=2時(shí)，連接DE,DF，求證：四邊形AEDF為菱形；變式診斷4.（2014·東莞）如圖2-35-4，在△ABC中62（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)△PEF的面積最大時(shí)，求線段BP的長(zhǎng)；（3）是否存在某一時(shí)刻t，使△PEF為直角三角形？若存在，請(qǐng)求出此時(shí)刻t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由．（2）在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，所形成的△PEF的面積存在最大值，當(dāng)63（1）證明：如答圖2-35-6，當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，則H為AD的中點(diǎn).又∵EF⊥AD，∴EF是AD的垂直平分線.∴AE=DE，AF=DF．∵AD⊥EF，AD⊥BC，∴EF∥BC.∴∠AEF=∠B，∠AFE=∠C.又∵∠B=∠C，∴∠AEF=∠AFE，∴AE=AF.∴AE=AF=DE=DF，即四邊形AEDF為菱形．答圖2-35-6（1）證明：如答圖2-35-6，當(dāng)t=2時(shí)，DH=AH=4，64（2）解：如答圖2-35-7.由（1）知EF∥BC，∴△AEF∽△ABC.∴解得EF=10-則S△PEF=EF·DH=·2t=-t2+10t=-（t-2）2+100＜t＜∴當(dāng)t=2時(shí)，S△PEF存在最大值，最大值為10cm2，此時(shí)BP=3t=6cm．（2）解：如答圖2-35-7.65（3）解：存在．理由如下：①若點(diǎn)E為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8①.此時(shí)PE∥AD，PE=DH=2t，BP=3t．∵PE∥AD，∴此比例式不成立，故此種情形不存在；（3）解：存在．理由如下：66②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8②.此時(shí)PF∥AD，PF=DH=2t，BP=3t，CP=10-3t．∵PF∥AD，∴解得t=②若點(diǎn)F為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8②.67③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8③．過點(diǎn)E作EM⊥BC于點(diǎn)M，過點(diǎn)F作FN⊥BC于點(diǎn)N，則EM=FN=DH=2t，EM∥FN∥AD．∵EM∥AD，∴解得BM=t.∴PM=BP－BM=3t-③若點(diǎn)P為直角頂點(diǎn)，如答圖2-35-8③．68在Rt△EMP中，由勾股定理可得PE2=EM2+PM2=（2t）2+∵FN∥AD，∴∴PN=BC－BP－CN=10-3t-t=10-t．在Rt△FNP中，由勾股定理可得PF2=FN2+PN2=（2t）2+t2-85t+100．在Rt△EMP中，由勾股定理可得PE2=EM2+PM2=（269在Rt△PEF中，由勾股定理可得EF2=PE2+PF2，化簡(jiǎn)，得t2-35t=0.解得t=或t=0（舍去）.∴t=綜上所述，當(dāng)t=或t=時(shí)，△PEF為直角三角形.在Rt△PEF中，由勾股定理可得EF2=PE2+PF2，70專題突破5.（2020·浙江紹興）如圖2-35-5，點(diǎn)O為矩形ABCD的對(duì)稱中心，點(diǎn)E從點(diǎn)A出發(fā)沿AB向點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止.延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)F，則四邊形AECF形狀的變化依次為()A．平行四邊形→正方形→平行四邊形→矩形B．平行四邊形→菱形→平行四邊形→矩形C．平行四邊形→正方形→菱形→矩形D．平行四邊形→菱形→正方形→矩形B專題突破5.（2020·浙江紹興）如圖2-35-5，點(diǎn)O為716.（2018·黑龍江）如圖2-35-6，在平面直角坐標(biāo)系中，菱形ABCD的邊AB在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（-3，0），點(diǎn)C在y軸正半軸上，且sin∠CBO=點(diǎn)P從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿x軸正方向移動(dòng)，移動(dòng)時(shí)間為ts（0≤t≤5）,過點(diǎn)P作平行于y軸的直線l，直線l掃過四邊形OCDA的面積為S.（1）求點(diǎn)D的坐標(biāo);（2）求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式;6.（2018·黑龍江）如圖2-35-6，在平面直角坐標(biāo)72（3）在直線l移動(dòng)過程中，l上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C，Q為頂點(diǎn)的三角形是等腰直角三角形？若存在，直接寫出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.（3）在直線l移動(dòng)過程中，l上是否存在一點(diǎn)Q，使得以點(diǎn)B，C73解：（1）在Rt△BOC中，OB=3，sin∠CBO=45=∴設(shè)CO=4k，則BC=5k.∵BC2=CO2+OB2，∴25k2=16k2+9.解得k=1或-1（舍去）.∴BC=5，OC=4.∵