二項(xiàng)分布與超幾何分布-高二下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版選修2-3

二項(xiàng)分布與超幾何分布教學(xué)目標(biāo)通過實(shí)例，理解二項(xiàng)分布、超幾何分布及其特點(diǎn)；掌握二項(xiàng)分布、超幾何分布列及其導(dǎo)出過程；通過對(duì)實(shí)例的分析，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的應(yīng)用。教學(xué)重點(diǎn)教學(xué)難點(diǎn)二項(xiàng)分布、超幾何分布的理解；分布列的推導(dǎo)。二項(xiàng)分布、超幾何分布的具體應(yīng)用。前面我們學(xué)習(xí)了互斥事件、條件概率、相互獨(dú)立事件的意義，這些都是我們?cè)诰唧w求概率時(shí)需要考慮的一些模型，吻合模型用公式去求概率簡(jiǎn)便.

(1)P(A+B)=P(A)+P(B)(當(dāng)A與B互斥時(shí));

(3)P(AB)=P(A)P(B)(當(dāng)A與B相互獨(dú)立時(shí))那么求概率還有什么模型呢?分析下面的試驗(yàn)，它們有什么共同特點(diǎn)?(1)投擲一個(gè)骰子投擲5次;(2)某人射擊1次，擊中目標(biāo)的概率是0.8,他射擊10次;(3)實(shí)力相等的甲、乙兩隊(duì)參加乒乓球團(tuán)體比賽，規(guī)定5局3勝制(即5局內(nèi)誰(shuí)先贏3局就算勝出并停止比賽)(4)一個(gè)盒子中裝有5個(gè)球(3個(gè)紅球和2個(gè)黑球)，有放回地依次從中抽取5個(gè)球;(5)生產(chǎn)一種零件，出現(xiàn)次品的概率是0.04,生產(chǎn)這種零件4件.共同特點(diǎn)是:多次重復(fù)地做同一個(gè)試驗(yàn)伯努利實(shí)驗(yàn)我們把只包含兩個(gè)可能結(jié)果的實(shí)驗(yàn)叫做伯努利實(shí)驗(yàn)。n重伯努利實(shí)驗(yàn)我們將一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)獨(dú)立地重復(fù)n次所組成的隨機(jī)實(shí)驗(yàn)稱為n重伯努利實(shí)驗(yàn)。n重伯努利實(shí)驗(yàn)特征(1)同一個(gè)伯努利實(shí)驗(yàn)重復(fù)做n次;

(2)各次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立。基本概念

投擲一枚圖釘，設(shè)針尖向上的概率為p，則針尖向下的概率為q=1-p.連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是多少？

連續(xù)擲一枚圖釘3次，就是做3次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)。用

表示第i次擲得針尖向上的事件，用

表示“僅出現(xiàn)一次針尖向上”的事件，則由于事件

彼此互斥，由概率加法公式得所以，連續(xù)擲一枚圖釘3次，僅出現(xiàn)1次針尖向上的概率是

上面我們利用擲1次圖釘，針尖向上的概率為p，求出了連續(xù)擲3次圖釘，僅出現(xiàn)次1針尖向上的概率。類似地，連續(xù)擲3次圖釘，出現(xiàn)k（0≤k≤3)次針尖向上的概率是多少？你能發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律嗎？

思考仔細(xì)觀察上述等式，可以發(fā)現(xiàn)問題導(dǎo)學(xué)

在體育課上，某同學(xué)做投籃訓(xùn)練，他連續(xù)投籃3次，每次投籃的命中率都是0.8，用

(i=1,2,3)表示第i次投籃命中這件事,用

表示僅投中1次這件事.

由以上問題的結(jié)果你能得出什么結(jié)論?解二項(xiàng)分布

一般地，在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，設(shè)事件A發(fā)生的次數(shù)為X，在每次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率為p，那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中，事件A恰好發(fā)生k次的概率為

此時(shí)稱隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布，記作X~B(n,p)。注:

展開式中的第k+1項(xiàng).基本概念二項(xiàng)分布的概念；二次分布的概率計(jì)算公式．二項(xiàng)分布1.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣重復(fù)拋擲10次，求∶

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上的概率;

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)的概率.解∶設(shè)A="正面朝上"，則P（A）=0.5.用X表示事件A發(fā)生的次數(shù)，則X～B(10,0.5).

(2)正面朝上出現(xiàn)的頻率在[0.4，0.6]內(nèi)等價(jià)于4≤X≤6于是

(1)恰好出現(xiàn)5次正面朝上等價(jià)于X=5，于是

2.如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但相互錯(cuò)開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當(dāng)?shù)目障蹲鳛橥ǖ?，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落的過程中，每次碰到小木釘后都等可能地向左或向右落下，最后落人底部的格子中.格子從左到右分別編號(hào)為0，1、2，…，10，用X表示小球最后落入格子的號(hào)碼，求X的分布列.解∶設(shè)A="向右下落"，則

="向左下落"，且P（A）=P（

）=0.5.因?yàn)樾∏蜃詈舐淙敫褡拥奶?hào)碼X等于事件A發(fā)生的次數(shù)，而小球在下落的過程中共碰撞小木釘10次，所以X～B（10，0.5）.于是，X的分布列為

X的概率分布圖如柱狀圖所示.3.甲、乙兩選手進(jìn)行象棋比賽，如果每局比賽甲獲勝的概率為0.6，乙獲勝的概率為0.4，那么采用3局2勝制還是采用5局3勝制對(duì)甲更有利?解法1∶采用3局2勝制，甲最終獲勝有兩種可能的比分2∶0或2∶1，前者是前兩局甲連勝，后者是前兩局甲、乙各勝一局且第3局甲勝.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，甲最終獲勝的概率為

類似地，采用5局3勝制，甲最終獲勝有3種比分3∶0，3∶1或3∶2.因?yàn)槊烤直荣惖慕Y(jié)果是獨(dú)立的，所以甲最終獲勝的概率為解法2∶采用3局2勝制，不妨設(shè)賽滿3局，用X表示3局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則X～B（3，0.6）.甲最終獲勝的概率為

采用5局3勝制，不妨設(shè)賽滿5局，用X表示5局比賽中甲勝的局?jǐn)?shù)，則X～B（5，0.6）.甲最終獲勝的概率為因?yàn)?/p>

，所以5局3勝制對(duì)甲有利.實(shí)際上，比賽局?jǐn)?shù)越多，對(duì)實(shí)力較強(qiáng)者越有利.假設(shè)隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布B（n，p），那么X的均值和方差各是什么?如果X～B（n，p），那么E（X）=np，D（X）=np（1-p）.探究1.將一枚質(zhì)地均勻的硬幣連續(xù)拋擲4次，X表示"正面朝上"出現(xiàn)的次數(shù).

(1)求X的分布列;

(2)E(X)=

,D(x)=

.(2)E(X)=2

D(X)=1答案：(1)X0123P4【解答】【解答】【解答】5.雞接種一種疫苗后，有80%不會(huì)感染某種病毒.如果5只雞接種了疫苗，求∶（1）沒有雞感染病毒的概率;

（2）恰好有1只雞感染病毒的概率.【解答】X0123P456答案：(1)(2)Y0123P456小結(jié)一般地，確定一個(gè)二項(xiàng)分布模型的步驟如下∶

明確伯努利試驗(yàn)及事件A的意義，確定事件A發(fā)生的概率p;

確定重復(fù)試驗(yàn)的次數(shù)n，并判斷各次試驗(yàn)的獨(dú)立性;

設(shè)X為n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中事件A發(fā)生的次數(shù),"則X～B（n，p）已知在8件產(chǎn)品中有3件次品，現(xiàn)從這8件產(chǎn)品中任取2件，用X表示取得的次品數(shù).1.X可能取哪些值？X＝0,1,2超幾何分布2.X＝1表示的試驗(yàn)結(jié)果是什么？求P(X＝1)的值.答案

?任取2件產(chǎn)品中恰有1件次品，

3.如何求P(X＝k)(k＝0,1,2)?答案超幾何分布什么是超幾何分布?先思考一個(gè)例子:1.在含有5件次品的100件產(chǎn)品中,任取3件,求取到的次品數(shù)X的分布列.X

0

1

2

3P2.某校組織了一次認(rèn)識(shí)大自然夏令營(yíng)活動(dòng)，有10名同學(xué)參加，其中有6名男生、4名女生，為了活動(dòng)的需要，要從這10名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)去采集自然標(biāo)本，那么其中恰有1名女生的概率有多大？解：從10名同學(xué)中隨機(jī)抽取3名同學(xué)；共有

種不同的方法.其中恰有1名女生有

種方法.恰有1名女生的概率為：

一般地，設(shè)有總數(shù)為N件的兩類物品，其中一類有M件，從所有物品中任取n件(n≤N)，這n件中所含這類物品件數(shù)X是一個(gè)離散型隨機(jī)變量，它取值為m時(shí)的概率為P(X＝m)＝

(0≤m≤l，l為n和M中較小的一個(gè))，則稱離散型隨機(jī)變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布，也稱X服從參數(shù)為N，M，n的超幾何分布.超幾何分布超幾何分布的概念；超幾何分布中的公式．超幾何分布1.從50名學(xué)生中隨機(jī)選出5名學(xué)生代表，求甲被選中的概率.解∶設(shè)X表示選出的5名學(xué)生中含甲的人數(shù)（只能取0或1），則X服從超幾何分布，且N=50，M=1，n=5.因此甲被選中的概率2.一批零件共有30個(gè)，其中有3個(gè)不合格.隨機(jī)抽取10個(gè)零件進(jìn)行檢測(cè)，求至少有1件不合格的概率.解：設(shè)抽取的10個(gè)零件中不合格品數(shù)為X，則X服從超幾何分布，且N=30，M=3，n=10.X的分布列為至少有1件不合格的概率為也可以按如下方法求解∶3.一個(gè)袋子中有100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球、60個(gè)白球，從中隨機(jī)地摸出20個(gè)球作為樣本.用X表示樣本中黃球的個(gè)數(shù).

（1）分別就有放回摸球和不放回摸球，求X的分布列;（2）分別就有放回摸球和不放回摸球，用樣本中黃球的比例估計(jì)總體中黃球的比例，求誤差不超過0.1的概率.解：(1)對(duì)于有放回摸球，每次摸到黃球的概率為0.4，且各次試驗(yàn)之間的結(jié)果是獨(dú)立的，因此X～B（20，0.4），X的分布列為對(duì)于不放回摸球，各次試驗(yàn)的結(jié)果不獨(dú)立，X服從超幾何分布，X的分布列為（2）利用統(tǒng)計(jì)軟件可以計(jì)算出兩個(gè)分布列具體的概率值（精確到0.00001），如下表所示4.一箱24罐的飲料中4罐有獎(jiǎng)券，每張獎(jiǎng)券獎(jiǎng)勵(lì)飲料一罐，從中任意抽取2罐，求這2罐中有獎(jiǎng)券的概率，5.學(xué)校要從12名候選人中選4名同學(xué)組成學(xué)生會(huì)，已知有4名候選人來自甲班.假設(shè)每名候選人都有相同的機(jī)會(huì)被選到，求甲班恰有2名同學(xué)被選到的概率.A.B.C.D.【解答】【解答】答案：(1)X0123P【解答】答案：(1)X0123P4【解答】超幾何分布：超幾何分布在實(shí)際生產(chǎn)中常用來檢驗(yàn)產(chǎn)品的次品數(shù)，只要知道N、M和n就可以根據(jù)公式：求出X取不同值k時(shí)的概率.學(xué)習(xí)時(shí)，不能機(jī)械地去記憶公式，而要結(jié)合條件以及組合知識(shí)理解M、N、n、k的含義.1.拋擲一枚骰子，當(dāng)出現(xiàn)5點(diǎn)或6點(diǎn)時(shí)，就說這次試驗(yàn)成功，求在30次試驗(yàn)中成功次數(shù)X的均值和方差，2.若某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.9，每次射擊的結(jié)果相互獨(dú)立，則在他連續(xù)4次的射擊中，恰好有一次未擊中目標(biāo)的概率是多大?3.如圖，一個(gè)質(zhì)點(diǎn)在隨機(jī)外力的作用下，從原點(diǎn)0出發(fā)，每隔1s等可能地向左或向右移動(dòng)一個(gè)單位，共移動(dòng)6次.求下列事件的概率.(1)質(zhì)點(diǎn)回到原點(diǎn);

(2)質(zhì)點(diǎn)位于4的位置.4.某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率為0.8，共進(jìn)行10次射擊，求（精確到0.01）∶（1）恰有8次擊中目標(biāo)的概率;

（2）至少有8次擊中目標(biāo)的概率.5.有一個(gè)摸獎(jiǎng)