初一因式分解方法及練習(xí)教案

初一數(shù)學(xué)因式分解教學(xué)目的熟練掌握因式分解類題型的解題方法和技巧授課主題因式分解的常用方法因式分解1?因式分解的概念把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，把這一過程叫分解因式。注意：(1)因式分解是恒等變形；因式分解的結(jié)果是積的形式，每個因式都是整式；必須分解到每個多項式的因式不能再分解為止。2.因式分解與整式乘法的關(guān)系如果把整式乘法看做一個變形的過程，那么多項式的因式分解就是整式乘法的逆過程。m(a+b+c)<整式乘法丄ma+mb+me分解因式(a+b)(a-b)<整式乘法空a2—b2分解因式(a+b)2<整式乘法丄a2+2ab+b2分解因式注意：分解因式時，變形的對象是多項式，即把一個多項式化成單項式<多項式或多項式X多項式的形式，所得的結(jié)果必須乘積的形式。整式乘法和分解因式的互逆的恒等變形。3?提取公因式法因式分解一個多項式中每一項都含有的相同的因式，叫做這個多項式的公因式；如果一個多項式的各項含有公因式，那么可把該公因式提取出來進行因式分解，這種分解因式的方法叫做提取公因式法。注意：(1)T”作為系數(shù)時，通常省略不寫，但單獨成一項時，它在因式分解時不能漏掉；多項式的第一項系數(shù)為負(fù)數(shù)時，一般要提出“-”號，使括號里的第一項是正的。注意在提出負(fù)號時，多項式的各項都要改變符號。添括號法則括號前是“+”號，括到括號里的各項都不變號；括號前面是“-”號，括到括號里的各項都變號。4?用平方差公式因式分解兩個數(shù)的平方差等于這兩個數(shù)的和與這兩個數(shù)的差的積，即a2-b2二(a+b)(a-b)。類似于這樣的多項式都可用平方差公式進行因式分解。注意：(1)應(yīng)用公式時，先將二項式寫成a2-b2的形式，再套用公式；(2)公式中的a、b可以是一個單項式，也可以是一個多項式。5?用完全平方公式因式分解完全平方公式是指兩數(shù)的平方和，加上或者減去這兩個數(shù)乘積的2倍，等于這兩數(shù)和或者差的平方，即a2土2ab+b2=(a土b)2。注意：(1)應(yīng)用公式時，要首先確定哪兩個數(shù)或式子是公式中的a-b，然后再因式分解；(2)當(dāng)?shù)诙椀姆枮椤?”時，選用“和”的完全平方公式；當(dāng)?shù)诙椀姆枮椤?”時，選用差的完全平方公式。知識點梳理提供因式法公因式：多項式中每一項都含有的因式，叫公因式.提公因式法：如果一個多項式的各項含有公因式，那么就可以把這個公因式提出來，從而將多項式化成幾個因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法.公因式的構(gòu)成：系數(shù)：各項系數(shù)的最大公約數(shù)；字母：各項都含有相同字母；指數(shù)：相同字母的最低次冪.提公因式時要一次提盡?公因式可以是單項式，也可以是多項式。ma+mb+mc=m(a+b+c)例1.計算21*3.14+62*3.14+17*3.14解：=3.14*(21+62+17)=3.14*100=314例2.已知有理數(shù)a,b滿足ab=1,a+b=2,求代數(shù)式a2b+ab2的值.點拔：根據(jù)條件不易求出a,b的值，先進行因式分解，然后求值.解：a2b+ab2=ab(a+b)因為ab=1,a+b=2所以原式=1*2=2練習(xí)(1)2x2y—xy(2)6a2b3—9ab2二、運用公式法.在整式的乘、除中，我們學(xué)過若干個乘法公式，現(xiàn)將其反向使用，即為因式分解中常用的公式，例如：(a+b)(a-b)二a2-b2a2_b2=(a+b)(a_b)；(a±b)2=a2±2ab+b2a2±2ab+b2=(a土b)2；(a+b)(a2-ab+b2)二a3+b3a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2)；(a-b)(a2+ab+b2)=a3-b3a3-b3=(a-b)(a2+ab+b2).下面再補充兩個常用的公式a2+b2+c2+2ab+2bc+2ca=(a+b+c)2；a3+b3+c3-3abc=(a+b+c)(a2+b2+c2-ab-bc-ca)；

例.已知a,b,c是AABC的三邊，且a2+b2+c2=ab+bc+ca,則AABC的形狀是()A.直角三角形B等腰三角形C等邊三角形D等腰直角三角形解：a2+b2+c2=ab+bc+ca,2a2+2b2+2c2=2ab+2bc+2ca,(a-b)2+(b-c)2+(c-a)2=0所以a=b=c(1)m2—9(2)x2—4y2三、分組分解法.(一)分組后能直接提公因式例1、分解因式：am+an+bm+bn分析：從“整體”看，這個多項式的各項既沒有公因式可提，也不能運用公式分解，但從“局部”看，這個多項式前兩項都含有a，后兩項都含有b，因此可以考慮將前兩項分為一組，后兩項分為一組先分解，然后再考慮兩組之間的聯(lián)系。解：原式=(am+an)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)每組之間還有公因式！=(a+b)(m+n)例2例2、分解因式：2ax+10ay+5by+bx解法一：第一、二項為一組;第三、四項為一組。解：原式=(2ax+10ay)+(5by+bx)=2a(x+5y)+b(5y+x)

=(x+5y)(2a+b)練習(xí)：分解因式1、a2+ab+ac+bc解法二：第一、四項為一組；第二、三項為一組。原式=(2ax+bx)+(10ay+5by)=x(2a+b)+5y(2a+b)=(2a+b)(x+5y)2、xy+x+y+1(二)分組后能直接運用公式例3、分解因式：x2-y2+ax+ay分析：若將第一、三項分為一組，第二、四項分為一組，雖然可以提公因式，但提完后就能繼續(xù)分解,所以只能另外分組。解：原式=(x2-y2)+(ax+ay)=(x+y)(x-y)+a(x+y)=(x+y)(x-y+a)例4、分解因式：解：原式=a2+2ab+b2-c2=(a2+2ab+b2)-c2=(a+b+c)(a+b-c)

練習(xí)：分解因式3、x2+x-9y2+3y4、x2-y2-z2+2yz四、十字相乘法.(一)二次項系數(shù)為1的二次三項式直接利用公式x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)進行分解。特點：(1)二次項系數(shù)是1；常數(shù)項是兩個數(shù)的乘積；一次項系數(shù)是常數(shù)項的兩因數(shù)的和。思考：十字相乘有什么基本規(guī)律？例.已知OVaW5,且a為整數(shù)，若2x2-3x+a能用十字相乘法分解因式，求符合條件的a.解析：凡是能十字相乘的二次三項式ax2+bx+c,都要求b2-4ac>0而且是一個完全平方數(shù)。于是9-8a為完全平方數(shù)，a=l例5、分解因式：x2-5x+6分析：將6分成兩個數(shù)相乘，且這兩個數(shù)的和要等于5。由于6=2X3=(-2)X(-3)=1X6=(-1)X(-6)，從中可以發(fā)現(xiàn)只有2X3的分解適合，即2+3=5。1紳12解：x2-5x+6=x2-(2+3)x+2*313=(x-2)(x-3)1X2+1X3=5用此方法進行分解的關(guān)鍵:將常數(shù)項分解成兩個因數(shù)的積，且這兩個因數(shù)的代數(shù)和要等于一次項的系數(shù)。例6、分解因式：x2-7x+6-1-611(-1)+(-6)=-7解：原式=x-1